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10. [2026威海城里中学月考]下列计算错误的有（
①$\sin 60° - \sin 30° = \sin 30°$；②$\sin^2 45° + \cos^2 45° = 1$；③$\tan^2 60° = \frac{1}{3}$；④$\tan 30° = \frac{\cos 30°}{\sin 30°}$
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
）①$\sin 60° - \sin 30° = \sin 30°$；②$\sin^2 45° + \cos^2 45° = 1$；③$\tan^2 60° = \frac{1}{3}$；④$\tan 30° = \frac{\cos 30°}{\sin 30°}$
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
C ①$\sin 60° - \sin 30° = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2} ≠ \frac{1}{2} = \sin 30°,$故①错误;②$\sin^2 45° + \cos^2 45° = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1,$故②正确;③$\tan^2 60° = (\sqrt{3})^2 = 3 ≠ \frac{1}{3},$故③错误;④$\tan 30° = \frac{\sqrt{3}}{3} ≠ \frac{\cos 30°}{\sin 30°} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3},$故④错误.
解析
【分析】
本题需要判断特殊角三角函数相关计算的正误，解题思路如下：首先牢记30°、45°、60°的正弦、余弦、正切值，再逐一将对应值代入4个式子计算，对比等号两边的结果判断正误，最后统计错误的个数即可选出答案。注意三角函数不能直接按照普通整式的合并规则运算，且正切的同角商数关系不要搞反分子分母。
【解析】
我们逐一分析4个式子：
①左边：$\sin 60° - \sin 30° = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$，右边：$\sin 30° = \frac{1}{2}$，左右不相等，故①错误；
②左边：$\sin^2 45° + \cos^2 45° = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$，和右边相等，故②正确；
③左边：$\tan^2 60° = (\sqrt{3})^2 = 3$，右边是$\frac{1}{3}$，左右不相等，故③错误；
④左边：$\tan 30° = \frac{\sqrt{3}}{3}$，右边：$\frac{\cos 30°}{\sin 30°} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$，左右不相等，故④错误。
综上，错误的有①③④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
特殊角的三角函数值；同角三角函数基本关系
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查对特殊角三角函数值的记忆准确性，易错点是混淆特殊角的三角函数值、记错正切的同角商数关系的分子分母，或错误认为三角函数可以直接合并同类项运算。
【难度系数】
0.7
本题需要判断特殊角三角函数相关计算的正误，解题思路如下：首先牢记30°、45°、60°的正弦、余弦、正切值，再逐一将对应值代入4个式子计算，对比等号两边的结果判断正误，最后统计错误的个数即可选出答案。注意三角函数不能直接按照普通整式的合并规则运算，且正切的同角商数关系不要搞反分子分母。
【解析】
我们逐一分析4个式子：
①左边：$\sin 60° - \sin 30° = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$，右边：$\sin 30° = \frac{1}{2}$，左右不相等，故①错误；
②左边：$\sin^2 45° + \cos^2 45° = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$，和右边相等，故②正确；
③左边：$\tan^2 60° = (\sqrt{3})^2 = 3$，右边是$\frac{1}{3}$，左右不相等，故③错误；
④左边：$\tan 30° = \frac{\sqrt{3}}{3}$，右边：$\frac{\cos 30°}{\sin 30°} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$，左右不相等，故④错误。
综上，错误的有①③④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
特殊角的三角函数值；同角三角函数基本关系
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查对特殊角三角函数值的记忆准确性，易错点是混淆特殊角的三角函数值、记错正切的同角商数关系的分子分母，或错误认为三角函数可以直接合并同类项运算。
【难度系数】
0.7
11. [2026南阳宛城区期末]如图,在边长为1的正方形网格中,AN与CM交于点P,则$\sin∠ CPN$的值为（
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$1$
D.$\sqrt{2}$
B
）A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$1$
D.$\sqrt{2}$
答案
B 如图,过点A作$AE // MC$,则$∠ CPN = ∠ EAN$(作辅助线进行等角转化). 连接NE,则$AE = \sqrt{5},EN = \sqrt{5},AN = \sqrt{10}. \because (\sqrt{5})^2 + (\sqrt{5})^2 = (\sqrt{10})^2, \therefore △ AEN$ 是等腰直角三角形(勾股定理的逆定理),$\therefore ∠ EAN = 45°, \therefore \sin ∠ CPN = \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}.$
解析
【分析】
要求$\sin∠CPN$的值，首先观察到$∠CPN$不在直角三角形中，无法直接计算其三角函数值，因此采用等角转化的思路求解：第一步，作平行线将$∠CPN$转化为与之相等的同位角；第二步，构造包含转化后角的三角形，用勾股定理计算三角形各边长；第三步，通过勾股定理的逆定理判断三角形形状，得到转化后角的度数；第四步，代入特殊角的三角函数值得到最终结果。
【解析】
解：如图，过点A作$AE // MC$，根据“两直线平行，同位角相等”，可得$∠CPN = ∠EAN$。
连接$NE$，已知网格边长为1，由勾股定理计算各边长度：
$AE = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$，$EN = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$，$AN = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$。
$\because (\sqrt{5})^2 + (\sqrt{5})^2 = 5 + 5 = 10 = (\sqrt{10})^2$，即$AE^2 + EN^2 = AN^2$，
$\therefore △ AEN$是直角三角形，又$\because AE = EN$，
$\therefore △ AEN$是等腰直角三角形，$\therefore ∠EAN = 45°$，
$\therefore ∠CPN = ∠EAN = 45°$，
$\therefore \sin∠CPN = \sin45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质；勾股定理及逆定理；特殊角的三角函数值
【点评】
本题考查了等角转化的数学思想，通过构造平行线将待求角转移到便于计算的三角形中，结合勾股定理及其逆定理判断三角形的形状，进而求解三角函数值，解题的关键是合理构造辅助线完成角的转化。
【难度系数】
0.6
要求$\sin∠CPN$的值，首先观察到$∠CPN$不在直角三角形中，无法直接计算其三角函数值，因此采用等角转化的思路求解：第一步，作平行线将$∠CPN$转化为与之相等的同位角；第二步，构造包含转化后角的三角形，用勾股定理计算三角形各边长；第三步，通过勾股定理的逆定理判断三角形形状，得到转化后角的度数；第四步，代入特殊角的三角函数值得到最终结果。
【解析】
解：如图，过点A作$AE // MC$，根据“两直线平行，同位角相等”，可得$∠CPN = ∠EAN$。
连接$NE$，已知网格边长为1，由勾股定理计算各边长度：
$AE = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$，$EN = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$，$AN = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$。
$\because (\sqrt{5})^2 + (\sqrt{5})^2 = 5 + 5 = 10 = (\sqrt{10})^2$，即$AE^2 + EN^2 = AN^2$，
$\therefore △ AEN$是直角三角形，又$\because AE = EN$，
$\therefore △ AEN$是等腰直角三角形，$\therefore ∠EAN = 45°$，
$\therefore ∠CPN = ∠EAN = 45°$，
$\therefore \sin∠CPN = \sin45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质；勾股定理及逆定理；特殊角的三角函数值
【点评】
本题考查了等角转化的数学思想，通过构造平行线将待求角转移到便于计算的三角形中，结合勾股定理及其逆定理判断三角形的形状，进而求解三角函数值，解题的关键是合理构造辅助线完成角的转化。
【难度系数】
0.6
12. ▶教材例题变式 定义一种新运算：$x★y=\dfrac{x-2y}{x}$。
如$3★1=\dfrac{3-2×1}{3}=\dfrac{1}{3}$，则$\sin 30°★\cos 45°$的值为
如$3★1=\dfrac{3-2×1}{3}=\dfrac{1}{3}$，则$\sin 30°★\cos 45°$的值为
$1-2\sqrt{2}$
。答案
$1-2\sqrt{2}$ 根据题意可得 $\sin 30° \bigstar \cos 45° = \frac{1}{2} \bigstar \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\frac{1}{2} - 2 × \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = 1 - 2\sqrt{2}.$
解析
【分析】
本题是新定义运算与特殊角三角函数值结合的计算题，解题思路分三步：首先读懂新运算的规则，明确$x★y=\frac{x-2y}{x}$中$x$、$y$对应的代数式；其次准确回忆$\sin30°$和$\cos45°$的取值；最后将两个三角函数值代入新运算公式，按分式运算规则化简计算即可得到结果。
【解析】
根据新运算的定义$x★y=\dfrac{x-2y}{x}$，按以下步骤计算：
1. 确定特殊角的三角函数值：$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即此处$x=\frac{1}{2}$，$y=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
2. 代入新运算公式：
$\sin 30°★\cos 45°=\frac{1}{2}★\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\frac{1}{2}-2×\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}$
3. 化简计算：
先计算分子部分：$\frac{1}{2}-2×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2}-\sqrt{2}$
再计算分式：$\frac{\frac{1}{2}-\sqrt{2}}{\frac{1}{2}}=(\frac{1}{2}-\sqrt{2})×2=1-2\sqrt{2}$
【答案】
$1-2\sqrt{2}$
【知识点】
1.新定义运算 2.特殊角的三角函数值 3.分式化简计算
【点评】
本题考查基础运算能力，解题的关键是准确理解新定义的运算规则，牢记特殊角的三角函数值，计算时注意运算顺序，避免代错数值或计算失误。
【难度系数】
0.8
本题是新定义运算与特殊角三角函数值结合的计算题，解题思路分三步：首先读懂新运算的规则，明确$x★y=\frac{x-2y}{x}$中$x$、$y$对应的代数式；其次准确回忆$\sin30°$和$\cos45°$的取值；最后将两个三角函数值代入新运算公式，按分式运算规则化简计算即可得到结果。
【解析】
根据新运算的定义$x★y=\dfrac{x-2y}{x}$，按以下步骤计算：
1. 确定特殊角的三角函数值：$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即此处$x=\frac{1}{2}$，$y=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
2. 代入新运算公式：
$\sin 30°★\cos 45°=\frac{1}{2}★\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\frac{1}{2}-2×\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}$
3. 化简计算：
先计算分子部分：$\frac{1}{2}-2×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2}-\sqrt{2}$
再计算分式：$\frac{\frac{1}{2}-\sqrt{2}}{\frac{1}{2}}=(\frac{1}{2}-\sqrt{2})×2=1-2\sqrt{2}$
【答案】
$1-2\sqrt{2}$
【知识点】
1.新定义运算 2.特殊角的三角函数值 3.分式化简计算
【点评】
本题考查基础运算能力，解题的关键是准确理解新定义的运算规则，牢记特殊角的三角函数值，计算时注意运算顺序，避免代错数值或计算失误。
【难度系数】
0.8
13. 已知$∠ A$为锐角，$\tan A$为方程$x^2 + 4x - 5 = 0$的一个根，求$2\sin A + 2\cos A$的值。
答案
解:$x^2 + 4x - 5 = 0,$解得$x_1 = 1,x_2 = -5.$
$\because ∠ A$ 为锐角,$\tan A$ 为方程$x^2 + 4x - 5 = 0$的一个根,
$\therefore \tan A = 1$(注意:$\tan A ＞ 0$),$\therefore ∠ A = 45°,$
$\therefore 2\sin A + 2\cos A = 2\sin 45° + 2\cos 45° = 2 × \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 × \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}.$
$\because ∠ A$ 为锐角,$\tan A$ 为方程$x^2 + 4x - 5 = 0$的一个根,
$\therefore \tan A = 1$(注意:$\tan A ＞ 0$),$\therefore ∠ A = 45°,$
$\therefore 2\sin A + 2\cos A = 2\sin 45° + 2\cos 45° = 2 × \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 × \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}.$
解析
【分析】
解题可按三步思路进行：①先求解给定的一元二次方程，得到方程的两个根；②结合∠A是锐角的条件，可知锐角的正切值为正数，据此筛选出符合条件的tanA的值，进而确定∠A的度数；③将∠A的度数代入待求式，结合特殊角的三角函数值计算即可得到结果。
【解析】
先解方程$x^2 + 4x - 5 = 0$，因式分解得$(x+5)(x-1)=0$，解得$x_1 = 1$，$x_2 = -5$。
∵∠A为锐角，锐角的正切值大于0，且$\tan A$是方程的根，
∴$\tan A = 1$，由此可得$∠ A = 45°$。
将$∠ A = 45°$代入$2\sin A + 2\cos A$得：
$2\sin45° + 2\cos45° = 2×\frac{\sqrt{2}}{2} + 2×\frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$。
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
一元二次方程的解法；锐角三角函数的性质；特殊角的三角函数值
【点评】
本题是基础综合题，将一元二次方程求解与锐角三角函数知识结合考查，解题的核心是注意锐角三角函数的取值范围，排除不符合题意的根，再代入特殊角的三角函数值计算即可。
【难度系数】
0.8
解题可按三步思路进行：①先求解给定的一元二次方程，得到方程的两个根；②结合∠A是锐角的条件，可知锐角的正切值为正数，据此筛选出符合条件的tanA的值，进而确定∠A的度数；③将∠A的度数代入待求式，结合特殊角的三角函数值计算即可得到结果。
【解析】
先解方程$x^2 + 4x - 5 = 0$，因式分解得$(x+5)(x-1)=0$，解得$x_1 = 1$，$x_2 = -5$。
∵∠A为锐角，锐角的正切值大于0，且$\tan A$是方程的根，
∴$\tan A = 1$，由此可得$∠ A = 45°$。
将$∠ A = 45°$代入$2\sin A + 2\cos A$得：
$2\sin45° + 2\cos45° = 2×\frac{\sqrt{2}}{2} + 2×\frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$。
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
一元二次方程的解法；锐角三角函数的性质；特殊角的三角函数值
【点评】
本题是基础综合题，将一元二次方程求解与锐角三角函数知识结合考查，解题的核心是注意锐角三角函数的取值范围，排除不符合题意的根，再代入特殊角的三角函数值计算即可。
【难度系数】
0.8
14. 运算能力 [2026长春东北师大附中月考] 同学们，当你们进入高中后，还会学到下面的三角函数公式：
$\sin(α - β) = \sin α\cos β - \cos α\sin β$，
$\cos(α - β) = \cos α\cos β + \sin α\sin β$。
例：$\sin 15° = \sin(45° - 30°) = \sin 45°\cos 30° - \cos 45°\sin 30° = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$。
(1) 仿照例题，求$\cos 15°$的值；(结果保留根号)
(2) 已知$\tan α = \frac{\sin α}{\cos α}$，求$\tan 15°$的值。(结果保留根号)
$\sin(α - β) = \sin α\cos β - \cos α\sin β$，
$\cos(α - β) = \cos α\cos β + \sin α\sin β$。
例：$\sin 15° = \sin(45° - 30°) = \sin 45°\cos 30° - \cos 45°\sin 30° = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$。
(1) 仿照例题，求$\cos 15°$的值；(结果保留根号)
(2) 已知$\tan α = \frac{\sin α}{\cos α}$，求$\tan 15°$的值。(结果保留根号)
答案
解:(1)$\cos 15° = \cos(45° - 30°) = \cos 45°\cos 30° + \sin 45°\sin 30° = \frac{\sqrt{2}}{2} × \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} × \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}.$
(2)$\tan 15° = \frac{\sin 15°}{\cos 15°} = \frac{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = 2 - \sqrt{3}.$
(2)$\tan 15° = \frac{\sin 15°}{\cos 15°} = \frac{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = 2 - \sqrt{3}.$
解析
【分析】
(1) 求解cos15°时，首先观察到15°可拆为特殊角45°与30°的差，直接套用题目给出的$\cos(α-β)$运算公式，将α=45°、β=30°代入公式后，再代入45°、30°的三角函数值，按二次根式运算规则计算即可。
(2) 求解tan15°时，根据题目给出的$\tanα=\frac{\sinα}{\cosα}$的定义，将题目示例中给出的$\sin15°$和第(1)问求出的$\cos15°$代入，再通过约分、分母有理化化简即可得到结果。
【解析】
(1) 由题意得$15°=45°-30°$，代入余弦差角公式：
$\cos 15° = \cos(45° - 30°) = \cos 45°\cos 30° + \sin 45°\sin 30°$
代入特殊角三角函数值$\cos45°=\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin30°=\frac{1}{2}$：
$=\frac{\sqrt{2}}{2} × \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} × \frac{1}{2}$
$=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
(2) 根据$\tan α = \frac{\sin α}{\cos α}$可得：
$\tan 15° = \frac{\sin 15°}{\cos 15°}$
代入$\sin15°=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，$\cos15°=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$：
$=\frac{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$
分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{6}-\sqrt{2}$：
$=\frac{(\sqrt{6}-\sqrt{2})^2}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})}=\frac{6 + 2 - 4\sqrt{3}}{6-2}=\frac{8-4\sqrt{3}}{4}=2-\sqrt{3}$
【答案】
(1) $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$；(2) $2-\sqrt{3}$
【知识点】
特殊角三角函数值、二次根式化简、新公式迁移应用
【点评】
本题属于信息迁移类题型，重点考查对新信息的提取应用能力和运算能力，解题时需准确套用题目给出的新公式，结合已学的特殊角三角函数、二次根式运算知识逐步计算即可，注意分母有理化步骤不要出现计算错误。
【难度系数】
0.7
(1) 求解cos15°时，首先观察到15°可拆为特殊角45°与30°的差，直接套用题目给出的$\cos(α-β)$运算公式，将α=45°、β=30°代入公式后，再代入45°、30°的三角函数值，按二次根式运算规则计算即可。
(2) 求解tan15°时，根据题目给出的$\tanα=\frac{\sinα}{\cosα}$的定义，将题目示例中给出的$\sin15°$和第(1)问求出的$\cos15°$代入，再通过约分、分母有理化化简即可得到结果。
【解析】
(1) 由题意得$15°=45°-30°$，代入余弦差角公式：
$\cos 15° = \cos(45° - 30°) = \cos 45°\cos 30° + \sin 45°\sin 30°$
代入特殊角三角函数值$\cos45°=\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin30°=\frac{1}{2}$：
$=\frac{\sqrt{2}}{2} × \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} × \frac{1}{2}$
$=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
(2) 根据$\tan α = \frac{\sin α}{\cos α}$可得：
$\tan 15° = \frac{\sin 15°}{\cos 15°}$
代入$\sin15°=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，$\cos15°=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$：
$=\frac{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$
分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{6}-\sqrt{2}$：
$=\frac{(\sqrt{6}-\sqrt{2})^2}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})}=\frac{6 + 2 - 4\sqrt{3}}{6-2}=\frac{8-4\sqrt{3}}{4}=2-\sqrt{3}$
【答案】
(1) $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$；(2) $2-\sqrt{3}$
【知识点】
特殊角三角函数值、二次根式化简、新公式迁移应用
【点评】
本题属于信息迁移类题型，重点考查对新信息的提取应用能力和运算能力，解题时需准确套用题目给出的新公式，结合已学的特殊角三角函数、二次根式运算知识逐步计算即可，注意分母有理化步骤不要出现计算错误。
【难度系数】
0.7
1. 在$Rt△ ABC$中，$AB=3$，$AC=4$，则$\tan C$的值为（
A.$\dfrac{3}{4}$
B.$\dfrac{3\sqrt{7}}{7}$
C.$\dfrac{3}{4}$或$\dfrac{3\sqrt{7}}{7}$
D.$\dfrac{4}{3}$或$\sqrt{7}$
C
）A.$\dfrac{3}{4}$
B.$\dfrac{3\sqrt{7}}{7}$
C.$\dfrac{3}{4}$或$\dfrac{3\sqrt{7}}{7}$
D.$\dfrac{4}{3}$或$\sqrt{7}$
答案
C ①当AB与AC都是直角边时,$\tan C = \frac{AB}{AC} = \frac{3}{4};$②当AB为直角边,AC为斜边时,另一条直角边$BC = \sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt{7}$,则$\tan C = \frac{AB}{BC} = \frac{3}{\sqrt{7}} = \frac{3\sqrt{7}}{7}.$综上,$\tan C$ 的值是$\frac{3}{4}$或$\frac{3\sqrt{7}}{7}.$
解析
【分析】
题目给出直角三角形两条边长但未明确直角顶点，首先需结合直角三角形斜边最长的性质分类讨论：由于AC=4＞AB=3，因此AC可能为直角边也可能为斜边，AB只能为直角边；再根据正切的定义（锐角的正切值等于对边与邻边的比值），分别计算两种情况下的tanC值即可。
【解析】
本题需分两种情况讨论：
① 当AB、AC均为直角边时，∠A为直角，此时∠C的对边为AB=3，邻边为AC=4，根据正切定义可得：
$\tan C = \frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}} = \frac{AB}{AC} = \frac{3}{4}$；
② 当AC为斜边，AB为直角边时，∠B为直角，先由勾股定理计算另一条直角边BC的长度：
$BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt{7}$，
此时∠C的对边为AB=3，邻边为BC=√7，因此：
$\tan C = \frac{AB}{BC} = \frac{3}{\sqrt{7}} = \frac{3\sqrt{7}}{7}$。
综上，$\tan C$的值为$\frac{3}{4}$或$\frac{3\sqrt{7}}{7}$。
【答案】
C
【知识点】
正切的定义，勾股定理，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略直角顶点的不确定性，直接默认∠A为直角导致漏解，解题时遇到未明确直角顶点的直角三角形问题，要先结合斜边最长的性质判断可能的边长组合，分情况讨论求解。
【难度系数】
0.7
题目给出直角三角形两条边长但未明确直角顶点，首先需结合直角三角形斜边最长的性质分类讨论：由于AC=4＞AB=3，因此AC可能为直角边也可能为斜边，AB只能为直角边；再根据正切的定义（锐角的正切值等于对边与邻边的比值），分别计算两种情况下的tanC值即可。
【解析】
本题需分两种情况讨论：
① 当AB、AC均为直角边时，∠A为直角，此时∠C的对边为AB=3，邻边为AC=4，根据正切定义可得：
$\tan C = \frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}} = \frac{AB}{AC} = \frac{3}{4}$；
② 当AC为斜边，AB为直角边时，∠B为直角，先由勾股定理计算另一条直角边BC的长度：
$BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt{7}$，
此时∠C的对边为AB=3，邻边为BC=√7，因此：
$\tan C = \frac{AB}{BC} = \frac{3}{\sqrt{7}} = \frac{3\sqrt{7}}{7}$。
综上，$\tan C$的值为$\frac{3}{4}$或$\frac{3\sqrt{7}}{7}$。
【答案】
C
【知识点】
正切的定义，勾股定理，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略直角顶点的不确定性，直接默认∠A为直角导致漏解，解题时遇到未明确直角顶点的直角三角形问题，要先结合斜边最长的性质判断可能的边长组合，分情况讨论求解。
【难度系数】
0.7
2. 若方程$x^2 -4x +3 =0$的两个实数根分别是$\mathrm{Rt}△ ABC$的两条边，且$△ ABC$最小的角为$∠ A$，则$\tan A$的值为 （
A.$\frac{1}{3}$或$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{4}$或$\frac{1}{3}$
C.$\frac{\sqrt{2}}{4}$
D.$\frac{1}{2}$
B
）A.$\frac{1}{3}$或$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{4}$或$\frac{1}{3}$
C.$\frac{\sqrt{2}}{4}$
D.$\frac{1}{2}$
答案
B 已知$x^2 - 4x + 3 = 0$,解得$x_1 = 1,x_2 = 3. \because$ 方程$x^2 - 4x + 3 = 0$的两个实数根分别是$\mathrm{Rt}△ ABC$的两条边,且$△ ABC$最小的角为$∠ A, \therefore$ 当3是直角边长时,$\tan A = \frac{1}{3};$当3是斜边长时,另一条直角边长是$2\sqrt{2},\tan A = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}.$
解析
【分析】
解题时首先需要求解一元二次方程得到直角三角形的两条边长，再结合直角三角形的边长性质分类讨论：已知的较长边3可能是直角边，也可能是斜边，两种情况都要考虑；再根据“最小角对应最短边”确定∠A的对边和邻边，最后利用正切的定义计算即可，注意结果要化为最简形式。
【解析】
第一步：解一元二次方程$x^2 -4x +3 =0$，因式分解得$(x-1)(x-3)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=3$，即$\mathrm{Rt}△ABC$的两条边长为1和3。
第二步：分情况讨论：
① 当边长3为直角边长时，$\mathrm{Rt}△ABC$的两条直角边为1和3，最短边为1，对应最小角$∠A$，根据正切定义，$\tan A=\frac{∠A的对边}{∠A的邻边}=\frac{1}{3}$；
② 当边长3为斜边长时，根据勾股定理，另一条直角边长为$\sqrt{3^2 -1^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，此时最短边仍为1，对应最小角$∠A$，则$\tan A=\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$。
综上，$\tan A$的值为$\frac{\sqrt{2}}{4}$或$\frac{1}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的解法、勾股定理、锐角三角函数的定义
【点评】
本题的易错点是容易忽略3为斜边的情况导致漏解，解题时要结合直角三角形的边长性质全面分类讨论，同时要注意二次根式的化简，保证结果为最简形式。
【难度系数】
0.6
解题时首先需要求解一元二次方程得到直角三角形的两条边长，再结合直角三角形的边长性质分类讨论：已知的较长边3可能是直角边，也可能是斜边，两种情况都要考虑；再根据“最小角对应最短边”确定∠A的对边和邻边，最后利用正切的定义计算即可，注意结果要化为最简形式。
【解析】
第一步：解一元二次方程$x^2 -4x +3 =0$，因式分解得$(x-1)(x-3)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=3$，即$\mathrm{Rt}△ABC$的两条边长为1和3。
第二步：分情况讨论：
① 当边长3为直角边长时，$\mathrm{Rt}△ABC$的两条直角边为1和3，最短边为1，对应最小角$∠A$，根据正切定义，$\tan A=\frac{∠A的对边}{∠A的邻边}=\frac{1}{3}$；
② 当边长3为斜边长时，根据勾股定理，另一条直角边长为$\sqrt{3^2 -1^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，此时最短边仍为1，对应最小角$∠A$，则$\tan A=\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$。
综上，$\tan A$的值为$\frac{\sqrt{2}}{4}$或$\frac{1}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的解法、勾股定理、锐角三角函数的定义
【点评】
本题的易错点是容易忽略3为斜边的情况导致漏解，解题时要结合直角三角形的边长性质全面分类讨论，同时要注意二次根式的化简，保证结果为最简形式。
【难度系数】
0.6
3. 在$△ ABC$中,若$∠ B = 45°, AB = 10\sqrt{2}, AC = 5\sqrt{5}$,求$△ ABC$的面积.
答案
解:如图,过点A作$AD ⊥ BC$,垂足为点D.
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,$AD = AB × \sin B = 10,BD = AB × \cos B = 10.$
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中,$AD = 10,AC = 5\sqrt{5},$
故$CD = \sqrt{AC^2 - AD^2} = 5.$
当$∠ ACB$是钝角时,如图1,$BC = BD - CD = 5,$
此时$S_{△ ABC} = \frac{1}{2}BC · AD = \frac{1}{2} × 5 × 10 = 25.$
当$∠ ACB$是锐角时,如图2,$BC = BD + CD = 15,$
此时$S_{△ ABC} = \frac{1}{2}BC · AD = \frac{1}{2} × 15 × 10 = 75.$
综上,$△ ABC$的面积为25或75.
解析
【分析】
要计算△ABC的面积，已知∠B的度数、AB和AC的边长，我们可以通过作BC边上的高AD，将斜三角形转化为两个直角三角形求解：第一步，先在Rt△ABD中，利用45°角的三角函数值求出AD和BD的长度；第二步，在Rt△ACD中用勾股定理求出CD的长度；第三步，注意∠ACB可能是锐角也可能是钝角，两种情况下BC的长度不同，需分类计算对应的三角形面积。
【解析】
过点A作$AD ⊥ BC$，垂足为点D。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ B=45°$，$AB = 10\sqrt{2}$：
$AD = AB × \sin B = 10\sqrt{2} × \frac{\sqrt{2}}{2}=10$，
$BD = AB × \cos B = 10\sqrt{2} × \frac{\sqrt{2}}{2}=10$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$AD = 10$，$AC = 5\sqrt{5}$，由勾股定理得：
$CD = \sqrt{AC^2 - AD^2} = \sqrt{(5\sqrt{5})^2 - 10^2}=\sqrt{125-100}=5$。
接下来分两种情况讨论：
1. 当$∠ ACB$是钝角时，如图1，点C在线段BD上，$BC = BD - CD = 10-5=5$，
此时$S_{△ ABC} = \frac{1}{2}BC · AD = \frac{1}{2} × 5 × 10 = 25$。
2. 当$∠ ACB$是锐角时，如图2，点C在线段BD的延长线上，$BC = BD + CD = 10+5=15$，
此时$S_{△ ABC} = \frac{1}{2}BC · AD = \frac{1}{2} × 15 × 10 = 75$。
综上，△ABC的面积为25或75。
【答案】
△ABC的面积为25或75。
【知识点】
特殊角的三角函数值，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题的易错点是忽略分类讨论，仅考虑其中一种三角形形状导致漏解，解题时要结合已知条件分析图形的多种可能性，熟练运用直角三角形的相关性质求解。
【难度系数】
0.6
要计算△ABC的面积，已知∠B的度数、AB和AC的边长，我们可以通过作BC边上的高AD，将斜三角形转化为两个直角三角形求解：第一步，先在Rt△ABD中，利用45°角的三角函数值求出AD和BD的长度；第二步，在Rt△ACD中用勾股定理求出CD的长度；第三步，注意∠ACB可能是锐角也可能是钝角，两种情况下BC的长度不同，需分类计算对应的三角形面积。
【解析】
过点A作$AD ⊥ BC$，垂足为点D。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ B=45°$，$AB = 10\sqrt{2}$：
$AD = AB × \sin B = 10\sqrt{2} × \frac{\sqrt{2}}{2}=10$，
$BD = AB × \cos B = 10\sqrt{2} × \frac{\sqrt{2}}{2}=10$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$AD = 10$，$AC = 5\sqrt{5}$，由勾股定理得：
$CD = \sqrt{AC^2 - AD^2} = \sqrt{(5\sqrt{5})^2 - 10^2}=\sqrt{125-100}=5$。
接下来分两种情况讨论：
1. 当$∠ ACB$是钝角时，如图1，点C在线段BD上，$BC = BD - CD = 10-5=5$，
此时$S_{△ ABC} = \frac{1}{2}BC · AD = \frac{1}{2} × 5 × 10 = 25$。
2. 当$∠ ACB$是锐角时，如图2，点C在线段BD的延长线上，$BC = BD + CD = 10+5=15$，
此时$S_{△ ABC} = \frac{1}{2}BC · AD = \frac{1}{2} × 15 × 10 = 75$。
综上，△ABC的面积为25或75。
【答案】
△ABC的面积为25或75。
【知识点】
特殊角的三角函数值，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题的易错点是忽略分类讨论，仅考虑其中一种三角形形状导致漏解，解题时要结合已知条件分析图形的多种可能性，熟练运用直角三角形的相关性质求解。
【难度系数】
0.6
