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1. [2026天津红桥区期末] 计算$\sin 30° + \sqrt{2}\cos 45°$的值为（
A.$1$
B.$\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}$
C.$\dfrac{3}{2}$
D.$\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}$
C
）A.$1$
B.$\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}$
C.$\dfrac{3}{2}$
D.$\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}$
答案
$\sin 30° + \sqrt{2}\cos 45° = \frac{1}{2} + \sqrt{2} × \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}.$
解析
【分析】
本题属于特殊角三角函数值的计算类题目，解题思路如下：第一步，先回忆记忆中的特殊角三角函数值，明确$\sin 30°$和$\cos 45°$的具体数值；第二步，将两个数值代入原式，按照实数混合运算的顺序，先计算乘法，再计算加法，最终得到结果后匹配选项即可。
【解析】
首先写出特殊角的三角函数值：$\sin 30° = \frac{1}{2}$，$\cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$。
将数值代入原式计算：
$\begin{aligned}\sin 30° + \sqrt{2}\cos 45° &= \frac{1}{2} + \sqrt{2} × \frac{\sqrt{2}}{2} \\&= \frac{1}{2} + \frac{2}{2} \\&= \frac{1}{2} + 1 \\&= \frac{3}{2}\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
特殊角的三角函数值、实数的混合运算
【点评】
本题是基础计算题，核心考查对常见特殊角三角函数值的记忆，以及简单的二次根式运算，只要准确记忆特殊角的三角函数值，运算过程细心即可顺利得分。
【难度系数】
0.9
本题属于特殊角三角函数值的计算类题目，解题思路如下：第一步，先回忆记忆中的特殊角三角函数值，明确$\sin 30°$和$\cos 45°$的具体数值；第二步，将两个数值代入原式，按照实数混合运算的顺序，先计算乘法，再计算加法，最终得到结果后匹配选项即可。
【解析】
首先写出特殊角的三角函数值：$\sin 30° = \frac{1}{2}$，$\cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$。
将数值代入原式计算：
$\begin{aligned}\sin 30° + \sqrt{2}\cos 45° &= \frac{1}{2} + \sqrt{2} × \frac{\sqrt{2}}{2} \\&= \frac{1}{2} + \frac{2}{2} \\&= \frac{1}{2} + 1 \\&= \frac{3}{2}\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
特殊角的三角函数值、实数的混合运算
【点评】
本题是基础计算题，核心考查对常见特殊角三角函数值的记忆，以及简单的二次根式运算，只要准确记忆特殊角的三角函数值，运算过程细心即可顺利得分。
【难度系数】
0.9
2. [2026沈阳铁西区期末]下列各数中,最小的是（
A.$-\tan 60°$
B.$0$
C.$\sin 60°$
D.$-\sin 30°$
A
）A.$-\tan 60°$
B.$0$
C.$\sin 60°$
D.$-\sin 30°$
答案
$- \tan 60° = -\sqrt{3},\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \sin 30° = - \frac{1}{2}, \because \frac{\sqrt{3}}{2} ＞ 0 ＞ - \frac{1}{2} ＞ -\sqrt{3}, \therefore \sin 60° ＞ 0 ＞ - \sin 30° ＞ - \tan 60°, \therefore 题中最小的数是 - \tan 60°.$
解析
【分析】
要找出几个数中最小的数，解题思路分为两步：第一步先回忆30°、60°的特殊角三角函数值，分别计算出每个选项对应的具体数值；第二步根据实数比较大小的规则：正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，对计算出的数值排序，即可得到最小的数。
【解析】
先计算各选项对应的数值：
A. $-\tan 60° = -\sqrt{3}$
B. $0$
C. $\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$
D. $-\sin 30° = -\frac{1}{2}$
按照实数大小比较规则排序：
$\because \frac{\sqrt{3}}{2} ＞ 0 ＞ - \frac{1}{2} ＞ -\sqrt{3}$
$\therefore \sin 60° ＞ 0 ＞ - \sin 30° ＞ - \tan 60°$
因此最小的数是$-\tan 60°$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
特殊角的三角函数值、实数大小比较
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是准确识记特殊角的三角函数值，熟练掌握实数大小比较的方法即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
要找出几个数中最小的数，解题思路分为两步：第一步先回忆30°、60°的特殊角三角函数值，分别计算出每个选项对应的具体数值；第二步根据实数比较大小的规则：正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，对计算出的数值排序，即可得到最小的数。
【解析】
先计算各选项对应的数值：
A. $-\tan 60° = -\sqrt{3}$
B. $0$
C. $\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$
D. $-\sin 30° = -\frac{1}{2}$
按照实数大小比较规则排序：
$\because \frac{\sqrt{3}}{2} ＞ 0 ＞ - \frac{1}{2} ＞ -\sqrt{3}$
$\therefore \sin 60° ＞ 0 ＞ - \sin 30° ＞ - \tan 60°$
因此最小的数是$-\tan 60°$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
特殊角的三角函数值、实数大小比较
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是准确识记特殊角的三角函数值，熟练掌握实数大小比较的方法即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
3. [2026资阳外国语实验学校月考] 
，要测量小河两岸A,B两点的距离，可以在小河边取AB的垂线BC上的一点C，测得BC=100 m，若∠ACB=30°，则小河的宽AB为（
A.50 m
B.$50\sqrt{3}$ m
C.200 m
D.$\frac{100\sqrt{3}}{3}$ m
，要测量小河两岸A,B两点的距离，可以在小河边取AB的垂线BC上的一点C，测得BC=100 m，若∠ACB=30°，则小河的宽AB为（D
）A.50 m
B.$50\sqrt{3}$ m
C.200 m
D.$\frac{100\sqrt{3}}{3}$ m
答案
在Rt△ABC中，$\tan ∠ ACB = \tan 30° = \frac{AB}{BC} = \frac{\sqrt{3}}{3}. \because BC = 100\ \mathrm{m}, \therefore AB = 100 × \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{100\sqrt{3}}{3}(\mathrm{m}).$
解析
【分析】
首先根据题意可知AB垂直BC，因此△ABC是直角三角形，∠B=90°。题目已知BC的长度和∠ACB=30°，要求AB的长度，可利用锐角三角函数的边角关系求解：∠ACB的正切值等于其对边AB与邻边BC的比值，结合30°的正切是需要牢记的特殊角三角函数值，代入已知数据即可算出AB的长度。
【解析】
解：
∵AB⊥BC，
∴△ABC为直角三角形，∠B=90°。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$\tan∠ ACB=\frac{AB}{BC}$，
已知$BC=100\ \mathrm{m}$，$∠ ACB=30°$，$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
代入得：$AB=BC·\tan30°=100×\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{100\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{m}$。
【答案】
D
【知识点】
特殊角的三角函数值，解直角三角形的应用，锐角正切的定义
【点评】
本题是解直角三角形在实际测量中的基础应用，解题核心是找准直角三角形中边角的对应关系，熟记特殊角的三角函数值即可快速作答。
【难度系数】
0.8
首先根据题意可知AB垂直BC，因此△ABC是直角三角形，∠B=90°。题目已知BC的长度和∠ACB=30°，要求AB的长度，可利用锐角三角函数的边角关系求解：∠ACB的正切值等于其对边AB与邻边BC的比值，结合30°的正切是需要牢记的特殊角三角函数值，代入已知数据即可算出AB的长度。
【解析】
解：
∵AB⊥BC，
∴△ABC为直角三角形，∠B=90°。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$\tan∠ ACB=\frac{AB}{BC}$，
已知$BC=100\ \mathrm{m}$，$∠ ACB=30°$，$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
代入得：$AB=BC·\tan30°=100×\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{100\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{m}$。
【答案】
D
【知识点】
特殊角的三角函数值，解直角三角形的应用，锐角正切的定义
【点评】
本题是解直角三角形在实际测量中的基础应用，解题核心是找准直角三角形中边角的对应关系，熟记特殊角的三角函数值即可快速作答。
【难度系数】
0.8
4. [2026淮安清江浦区月考]若$m$为正整数，且$m ＜ \tan 60° ＜ m+1$，则$m$的值为
1
。答案
1 $\because \tan 60° = \sqrt{3},1 ＜ \sqrt{3} ＜ 2,m ＜ \tan 60° ＜ m + 1,m$ 为正整数,$\therefore m = 1.$
解析
【分析】
解决本题首先要回忆特殊角的三角函数值，先求出$\tan60°$的具体数值；再估算该数值的大小范围，最后结合题目给出的不等式关系和$m$为正整数的限制条件，即可确定$m$的取值。
【解析】
解：$\because \tan60°=\sqrt{3}$，且$1＜\sqrt{3}＜2$，
又$\because m＜\tan60°＜m+1$，$m$为正整数，
$\therefore m=1$。
【答案】
$1$
【知识点】
特殊角的三角函数值；无理数大小估算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对特殊角三角函数值的记忆，以及对无理数大小的估算能力，熟练掌握常见特殊角的三角函数值是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要回忆特殊角的三角函数值，先求出$\tan60°$的具体数值；再估算该数值的大小范围，最后结合题目给出的不等式关系和$m$为正整数的限制条件，即可确定$m$的取值。
【解析】
解：$\because \tan60°=\sqrt{3}$，且$1＜\sqrt{3}＜2$，
又$\because m＜\tan60°＜m+1$，$m$为正整数，
$\therefore m=1$。
【答案】
$1$
【知识点】
特殊角的三角函数值；无理数大小估算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对特殊角三角函数值的记忆，以及对无理数大小的估算能力，熟练掌握常见特殊角的三角函数值是解题的关键。
【难度系数】
0.8
5. 计算:
(1)$2\sin 45° - \cos 30° + \sin 60° + \tan 45°$；
(2)$\tan 45° - 4\sin 30° · \cos^2 30°$；
(3)$\frac{2}{\tan 30°} - 2\sin 60° \cos 45° + 3\tan 30° \sin 45°$；
(4)$\sqrt{\tan^2 30° - 2\tan 30° + 1} + |\tan 60° - 1|$.
(1)$2\sin 45° - \cos 30° + \sin 60° + \tan 45°$；
(2)$\tan 45° - 4\sin 30° · \cos^2 30°$；
(3)$\frac{2}{\tan 30°} - 2\sin 60° \cos 45° + 3\tan 30° \sin 45°$；
(4)$\sqrt{\tan^2 30° - 2\tan 30° + 1} + |\tan 60° - 1|$.
答案
解:(1)$2\sin 45° - \cos 30° + \sin 60° + \tan 45° = 2 × \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 = \sqrt{2} + 1.$
(2)$\tan 45° - 4\sin 30° · \cos^2 30° = 1 - 4 × \frac{1}{2} × (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 1 - 2 × \frac{3}{4} = 1 - \frac{3}{2} = - \frac{1}{2}.$
(3)$\frac{2}{\tan 30°} - 2\sin 60° \cos 45° + 3\tan 30° \sin 45° = \frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{3}} - 2 × \frac{\sqrt{3}}{2} × \frac{\sqrt{2}}{2} + 3 × \frac{\sqrt{3}}{3} × \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{3}.$
(4 ) $\sqrt{\tan^2 30° - 2\tan 30° + 1} + | \tan 60° - 1 | = \sqrt{(\tan 30° - 1)^2} + |\tan 60° - 1| = |\frac{\sqrt{3}}{3} - 1| + |\sqrt{3} - 1| = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3} - 1 = \frac{2\sqrt{3}}{3}.$
(2)$\tan 45° - 4\sin 30° · \cos^2 30° = 1 - 4 × \frac{1}{2} × (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 1 - 2 × \frac{3}{4} = 1 - \frac{3}{2} = - \frac{1}{2}.$
(3)$\frac{2}{\tan 30°} - 2\sin 60° \cos 45° + 3\tan 30° \sin 45° = \frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{3}} - 2 × \frac{\sqrt{3}}{2} × \frac{\sqrt{2}}{2} + 3 × \frac{\sqrt{3}}{3} × \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{3}.$
(4 ) $\sqrt{\tan^2 30° - 2\tan 30° + 1} + | \tan 60° - 1 | = \sqrt{(\tan 30° - 1)^2} + |\tan 60° - 1| = |\frac{\sqrt{3}}{3} - 1| + |\sqrt{3} - 1| = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3} - 1 = \frac{2\sqrt{3}}{3}.$
解析
【分析】
解答本题的核心是先准确记忆30°、45°、60°三个特殊角的正弦、余弦、正切值，再将对应值代入各算式，按照实数混合运算的规则计算：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；遇到根号下完全平方的形式，先利用$\sqrt{a^2}=|a|$转化为绝对值，再根据绝对值内式子的正负性去绝对值符号，最后合并化简得到结果。
【解析】
(1) $2\sin 45° - \cos 30° + \sin 60° + \tan 45° = 2 × \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 = \sqrt{2} + 1$
(2) $\tan 45° - 4\sin 30° · \cos^2 30° = 1 - 4 × \frac{1}{2} × (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 1 - 2 × \frac{3}{4} = 1 - \frac{3}{2} = - \frac{1}{2}$
(3) $\frac{2}{\tan 30°} - 2\sin 60° \cos 45° + 3\tan 30° \sin 45° = \frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{3}} - 2 × \frac{\sqrt{3}}{2} × \frac{\sqrt{2}}{2} + 3 × \frac{\sqrt{3}}{3} × \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{3}$
(4) $\sqrt{\tan^2 30° - 2\tan 30° + 1} + |\tan 60° - 1| = \sqrt{(\tan 30° - 1)^2} + |\tan 60° - 1| = |\frac{\sqrt{3}}{3} - 1| + |\sqrt{3} - 1| = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3} - 1 = \frac{2\sqrt{3}}{3}$
【答案】
(1) $\sqrt{2}+1$；(2) $-\frac{1}{2}$；(3) $2\sqrt{3}$；(4) $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
特殊角的三角函数值，实数混合运算，绝对值与二次根式化简
【点评】
本题属于基础运算类题型，重点考查对特殊角三角函数值的识记能力和实数运算规则的运用能力，计算时需注意运算顺序，化简绝对值和二次根式时要先判断符号，避免因粗心导致计算错误。
【难度系数】
0.75
解答本题的核心是先准确记忆30°、45°、60°三个特殊角的正弦、余弦、正切值，再将对应值代入各算式，按照实数混合运算的规则计算：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；遇到根号下完全平方的形式，先利用$\sqrt{a^2}=|a|$转化为绝对值，再根据绝对值内式子的正负性去绝对值符号，最后合并化简得到结果。
【解析】
(1) $2\sin 45° - \cos 30° + \sin 60° + \tan 45° = 2 × \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 = \sqrt{2} + 1$
(2) $\tan 45° - 4\sin 30° · \cos^2 30° = 1 - 4 × \frac{1}{2} × (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 1 - 2 × \frac{3}{4} = 1 - \frac{3}{2} = - \frac{1}{2}$
(3) $\frac{2}{\tan 30°} - 2\sin 60° \cos 45° + 3\tan 30° \sin 45° = \frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{3}} - 2 × \frac{\sqrt{3}}{2} × \frac{\sqrt{2}}{2} + 3 × \frac{\sqrt{3}}{3} × \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{3}$
(4) $\sqrt{\tan^2 30° - 2\tan 30° + 1} + |\tan 60° - 1| = \sqrt{(\tan 30° - 1)^2} + |\tan 60° - 1| = |\frac{\sqrt{3}}{3} - 1| + |\sqrt{3} - 1| = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3} - 1 = \frac{2\sqrt{3}}{3}$
【答案】
(1) $\sqrt{2}+1$；(2) $-\frac{1}{2}$；(3) $2\sqrt{3}$；(4) $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
特殊角的三角函数值，实数混合运算，绝对值与二次根式化简
【点评】
本题属于基础运算类题型，重点考查对特殊角三角函数值的识记能力和实数运算规则的运用能力，计算时需注意运算顺序，化简绝对值和二次根式时要先判断符号，避免因粗心导致计算错误。
【难度系数】
0.75
6. [2026西安国际港务区高新一中陆港初级中学模拟] 若$\tan(α + 20°) = \sqrt{3}$，则锐角$α$的度数为（
A.$40°$
B.$25°$
C.$10°$
D.$15°$
A
）A.$40°$
B.$25°$
C.$10°$
D.$15°$
答案
$\because \tan(α + 20°) = \sqrt{3},\tan 60° = \sqrt{3}, \therefore α + 20° = 60°, 解得 α = 40°.$
解析
【分析】
解题时首先回忆特殊角的正切函数值，明确正切值为$\sqrt{3}$的锐角为$60°$；结合题目中$α$是锐角的条件，可确定$α+20°$的取值范围在$20°∼110°$之间，该范围内仅$60°$的正切值为$\sqrt{3}$，因此可列出关于$α$的等式，求解即可得到$α$的度数，对应选项选出答案。
【解析】
$\because \tan(α + 20°) = \sqrt{3}$，且特殊角的三角函数值中$\tan 60° = \sqrt{3}$，
又$\because α$为锐角，$\therefore α + 20°$是介于$20°$到$110°$之间的角，该范围内正切值为$\sqrt{3}$的角只有$60°$，
$\therefore α + 20° = 60°$，
解得 $α = 60° - 20° = 40°$。
【答案】A
【知识点】
特殊角的三角函数值；角度计算
【点评】
本题为基础题，主要考查对特殊角三角函数值的记忆，只要熟练掌握$30°$、$45°$、$60°$角的各类三角函数值，就能快速列式求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆特殊角的正切函数值，明确正切值为$\sqrt{3}$的锐角为$60°$；结合题目中$α$是锐角的条件，可确定$α+20°$的取值范围在$20°∼110°$之间，该范围内仅$60°$的正切值为$\sqrt{3}$，因此可列出关于$α$的等式，求解即可得到$α$的度数，对应选项选出答案。
【解析】
$\because \tan(α + 20°) = \sqrt{3}$，且特殊角的三角函数值中$\tan 60° = \sqrt{3}$，
又$\because α$为锐角，$\therefore α + 20°$是介于$20°$到$110°$之间的角，该范围内正切值为$\sqrt{3}$的角只有$60°$，
$\therefore α + 20° = 60°$，
解得 $α = 60° - 20° = 40°$。
【答案】A
【知识点】
特殊角的三角函数值；角度计算
【点评】
本题为基础题，主要考查对特殊角三角函数值的记忆，只要熟练掌握$30°$、$45°$、$60°$角的各类三角函数值，就能快速列式求解。
【难度系数】
0.9
变式 [2026 常德桃源期中] 若 $\cos α · \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{4}$,则锐角 $α$ 的度数为
60°
.答案
60° $\because \cos α · \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{4},\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}, \therefore \cos α · \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}, \therefore \cos α = \frac{\sqrt{3}}{4} × \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2}. \because α$ 为锐角,$\therefore α = 60°.$
解析
【分析】
本题要求锐角α的度数，解题思路如下：第一步，先回忆特殊角的三角函数值，写出sin60°的具体数值；第二步，将sin60°的值代入已知等式，通过计算求出cosα的值；第三步，结合α是锐角的条件，对照特殊角的余弦值，即可确定α的度数。
【解析】
已知$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，将其代入等式$\cos α · \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{4}$，可得：
$\cosα × \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}$
等式两边同时乘以$\frac{2}{\sqrt{3}}$，计算得：
$\cosα=\frac{\sqrt{3}}{4}×\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{1}{2}$
因为α为锐角，且$\cos60°=\frac{1}{2}$，所以$α=60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础题型，重点考查特殊角三角函数值的应用，熟练掌握30°、45°、60°角的三角函数值是快速解题的关键。
【难度系数】
0.85
本题要求锐角α的度数，解题思路如下：第一步，先回忆特殊角的三角函数值，写出sin60°的具体数值；第二步，将sin60°的值代入已知等式，通过计算求出cosα的值；第三步，结合α是锐角的条件，对照特殊角的余弦值，即可确定α的度数。
【解析】
已知$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，将其代入等式$\cos α · \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{4}$，可得：
$\cosα × \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}$
等式两边同时乘以$\frac{2}{\sqrt{3}}$，计算得：
$\cosα=\frac{\sqrt{3}}{4}×\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{1}{2}$
因为α为锐角，且$\cos60°=\frac{1}{2}$，所以$α=60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础题型，重点考查特殊角三角函数值的应用，熟练掌握30°、45°、60°角的三角函数值是快速解题的关键。
【难度系数】
0.85
7. [2026 北京通州区期末] 在$△ ABC$中，$∠ A, ∠ B$都是锐角，且$\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}, \cos B = \frac{\sqrt{2}}{2}$,则$△ ABC$的形状为 (
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰直角三角形
A
)A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰直角三角形
答案
$\because \sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}, \cos B = \frac{\sqrt{2}}{2}, \therefore ∠ A = 60°, ∠ B = 45°, \therefore ∠ C = 180° - 60° - 45° = 75°, \therefore △ ABC$ 是锐角三角形.
解析
【分析】
解题思路如下：首先根据已知的特殊三角函数值，对应求出锐角∠A和∠B的度数；再利用三角形内角和为180°计算出∠C的度数；最后根据三个内角的大小判断三角形的形状。解题核心是准确识记特殊锐角的三角函数值，结合三角形内角和定理即可推导。
【解析】
解：
∵∠A、∠B都是锐角，且$\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos B = \frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴根据特殊角的三角函数值可得：$∠ A=60°$，$∠ B=45°$，
根据三角形内角和为$180°$，计算第三个角的度数：
$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 60° - 45° = 75°$，
∵△ABC的三个内角均为锐角，
∴△ABC是锐角三角形。
【答案】
A
【知识点】
1.特殊角的三角函数值 2.三角形内角和定理 3.三角形的分类
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对特殊角三角函数值的掌握程度，只要能准确对应特殊角的三角函数值，结合三角形内角和定理就能快速求解，需要熟练识记常见特殊锐角的三角函数值。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先根据已知的特殊三角函数值，对应求出锐角∠A和∠B的度数；再利用三角形内角和为180°计算出∠C的度数；最后根据三个内角的大小判断三角形的形状。解题核心是准确识记特殊锐角的三角函数值，结合三角形内角和定理即可推导。
【解析】
解：
∵∠A、∠B都是锐角，且$\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos B = \frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴根据特殊角的三角函数值可得：$∠ A=60°$，$∠ B=45°$，
根据三角形内角和为$180°$，计算第三个角的度数：
$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 60° - 45° = 75°$，
∵△ABC的三个内角均为锐角，
∴△ABC是锐角三角形。
【答案】
A
【知识点】
1.特殊角的三角函数值 2.三角形内角和定理 3.三角形的分类
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对特殊角三角函数值的掌握程度，只要能准确对应特殊角的三角函数值，结合三角形内角和定理就能快速求解，需要熟练识记常见特殊锐角的三角函数值。
【难度系数】
0.8
8. [2026平顶山鲁山期末] 如图,在$△ ABC$中,$AB=\sqrt{5}$,$BC=3$,$\cos B=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$,则$∠ C$的度数为
45°
.答案
45° 如图,过点A作$AD ⊥ BC$于点D,在$\mathrm{Rt}△ ADB$中, $\cos B = \frac{BD}{AB} = \frac{BD}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}, \therefore BD = \frac{2\sqrt{5}}{5} × \sqrt{5} = 2, \therefore CD = BC - BD = 3 - 2 = 1,AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{(\sqrt{5})^2 - 2^2} = 1, \therefore \tan C = \frac{AD}{CD} = 1, \therefore ∠ C = 45°.$
解析
【分析】
要求∠C的度数，已知条件包含角B的余弦值和三角形的边长，我们可以通过构造直角三角形将斜三角形问题转化为直角三角形问题求解：首先过点A作AD⊥BC，构造出两个直角三角形；先在Rt△ADB中利用余弦的定义求出BD的长度，再通过勾股定理求出AD的长度，结合BC的长度算出CD的长度；最后在Rt△ADC中根据正切的定义求出tanC的值，对应特殊角的三角函数值即可得到∠C的度数。
【解析】
如图，过点A作$AD ⊥ BC$于点D。
在$\mathrm{Rt}△ ADB$中， $\cos B = \frac{BD}{AB}$，
将$AB=\sqrt{5}$，$\cos B=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$代入得：$\frac{BD}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$，
解得$BD = \frac{2\sqrt{5}}{5} × \sqrt{5} = 2$。
$\therefore CD = BC - BD = 3 - 2 = 1$，
由勾股定理得：$AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{(\sqrt{5})^2 - 2^2} = 1$，
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$\tan C = \frac{AD}{CD} = \frac{1}{1}=1$，
又
∵∠C为三角形内角，是锐角，且$\tan45°=1$，
$\therefore ∠ C = 45°$。
【答案】
45°
【知识点】
锐角三角函数的定义，勾股定理，特殊角的三角函数值
【点评】
本题解题的关键是通过作高构造直角三角形，将斜三角形的边角问题转化为直角三角形的边角计算问题，再结合特殊角的三角函数值得到对应角度，是三角函数应用的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
要求∠C的度数，已知条件包含角B的余弦值和三角形的边长，我们可以通过构造直角三角形将斜三角形问题转化为直角三角形问题求解：首先过点A作AD⊥BC，构造出两个直角三角形；先在Rt△ADB中利用余弦的定义求出BD的长度，再通过勾股定理求出AD的长度，结合BC的长度算出CD的长度；最后在Rt△ADC中根据正切的定义求出tanC的值，对应特殊角的三角函数值即可得到∠C的度数。
【解析】
如图，过点A作$AD ⊥ BC$于点D。
在$\mathrm{Rt}△ ADB$中， $\cos B = \frac{BD}{AB}$，
将$AB=\sqrt{5}$，$\cos B=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$代入得：$\frac{BD}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$，
解得$BD = \frac{2\sqrt{5}}{5} × \sqrt{5} = 2$。
$\therefore CD = BC - BD = 3 - 2 = 1$，
由勾股定理得：$AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{(\sqrt{5})^2 - 2^2} = 1$，
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$\tan C = \frac{AD}{CD} = \frac{1}{1}=1$，
又
∵∠C为三角形内角，是锐角，且$\tan45°=1$，
$\therefore ∠ C = 45°$。
【答案】
45°
【知识点】
锐角三角函数的定义，勾股定理，特殊角的三角函数值
【点评】
本题解题的关键是通过作高构造直角三角形，将斜三角形的边角问题转化为直角三角形的边角计算问题，再结合特殊角的三角函数值得到对应角度，是三角函数应用的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
9. 新趋势·过程性学习 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$∠ C = 90°$，$AB = 2$，$BC = \sqrt{3}$，求 $\sin \dfrac{A}{2}$ 的值。
以下是小明的解答过程：
$\because \sin A = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$\therefore \sin \dfrac{A}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{4}$。
请问小明的解答过程是否正确？如果不正确，请写出正确的解答过程。
以下是小明的解答过程：
$\because \sin A = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$\therefore \sin \dfrac{A}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{4}$。
请问小明的解答过程是否正确？如果不正确，请写出正确的解答过程。
答案
解:不正确. 正确的解答过程如下:
$\because \sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \therefore ∠ A = 60°, \therefore \sin \frac{A}{2} = \sin 30° = \frac{1}{2}.$
$\because \sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \therefore ∠ A = 60°, \therefore \sin \frac{A}{2} = \sin 30° = \frac{1}{2}.$
解析
【分析】
小明的错误在于误认为三角函数值和角的大小成正比例关系，直接将$\sin A$的值除以2得到$\sin \frac{A}{2}$，这是对三角函数概念的误解。正确解题思路为：首先利用直角三角形中正弦的定义求出$∠ A$的正弦值，再结合特殊角的三角函数值确定$∠ A$的度数，最后计算$\frac{A}{2}$的三角函数值即可。
【解析】
小明的解答过程不正确，正确解答过程如下：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°$，
$\because \sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，且$∠ A$为锐角，
$\therefore ∠ A = 60°$，
$\therefore \frac{A}{2} = 30°$，
$\therefore \sin \frac{A}{2} = \sin 30° = \frac{1}{2}$。
【答案】
小明的解答过程不正确，$\sin \dfrac{A}{2}$的值为$\dfrac{1}{2}$。
【知识点】
1. 正弦的定义 2. 特殊角的三角函数值
【点评】
本题考查对锐角三角函数概念的理解和特殊角三角函数值的应用，解题时要注意不能直接将角的倍数关系套用到三角函数值的运算中，需先确定角的度数再计算对应三角函数值。
【难度系数】
0.8
小明的错误在于误认为三角函数值和角的大小成正比例关系，直接将$\sin A$的值除以2得到$\sin \frac{A}{2}$，这是对三角函数概念的误解。正确解题思路为：首先利用直角三角形中正弦的定义求出$∠ A$的正弦值，再结合特殊角的三角函数值确定$∠ A$的度数，最后计算$\frac{A}{2}$的三角函数值即可。
【解析】
小明的解答过程不正确，正确解答过程如下：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°$，
$\because \sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，且$∠ A$为锐角，
$\therefore ∠ A = 60°$，
$\therefore \frac{A}{2} = 30°$，
$\therefore \sin \frac{A}{2} = \sin 30° = \frac{1}{2}$。
【答案】
小明的解答过程不正确，$\sin \dfrac{A}{2}$的值为$\dfrac{1}{2}$。
【知识点】
1. 正弦的定义 2. 特殊角的三角函数值
【点评】
本题考查对锐角三角函数概念的理解和特殊角三角函数值的应用，解题时要注意不能直接将角的倍数关系套用到三角函数值的运算中，需先确定角的度数再计算对应三角函数值。
【难度系数】
0.8
