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1. (2025·成都期中)小明想利用太阳光测量楼高.他带着皮尺来到一栋楼下,发现对面墙上有这栋楼的影子,针对这种情况,他设计了一种测量方案,具体测量情况如下:如图所示,小明边移动边观察,发现站到点E处时,可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠,且高度恰好相同.此时,测得小明落在墙上的影子高度$CD=1.4\ \mathrm{m}$,已知小明的身高$EF$为$2\ \mathrm{m}$,$CE=1\ \mathrm{m}$,$AC=32\ \mathrm{m}$(点$A$,$E$,$C$在同一直线上),请你帮小明求出楼高$AB$.
答案
1. 过点 D 作 DH ⊥ AB,垂足为 H,交 EF 于点 G,由题意得 AH=EG=CD=1.4 m,DH=AC=32 m, DG = EC =1 m, EF ⊥ DH,
∴ ∠BHD=∠FGD = 90°.
∵ ∠BDH=∠FDG,
∴ △BHD∽△FGD,
∴ $\frac{BH}{FG}=\frac{DH}{DG}$,
∴ $\frac{BH}{2-1.4}=\frac{32}{1}$,
解得 BH=19.2 m,
∴ AB=AH+BH=1.4+19.2=20.6(m),
∴ 楼高 AB 为 20.6 m.
∴ ∠BHD=∠FGD = 90°.
∵ ∠BDH=∠FDG,
∴ △BHD∽△FGD,
∴ $\frac{BH}{FG}=\frac{DH}{DG}$,
∴ $\frac{BH}{2-1.4}=\frac{32}{1}$,
解得 BH=19.2 m,
∴ AB=AH+BH=1.4+19.2=20.6(m),
∴ 楼高 AB 为 20.6 m.
解析
【分析】
要解决楼高测量问题，首先注意到楼和人的影子部分落在竖直墙面上，无法直接用普通相似关系求解，因此考虑作辅助线转化模型：过D作AB的垂线，把AB分为两段，一段AH和墙面影子高度CD相等，另一段BH是需要求解的部分。同一条太阳光光线形成的两个直角三角形△BHD和△FGD有公共角，满足相似条件，利用相似三角形对应边成比例求出BH，再加上AH的长度即可得到楼高AB。
【解析】
过点 D 作 DH ⊥ AB，垂足为 H，交 EF 于点 G，由题意得 AH=EG=CD=1.4 m，DH=AC=32 m， DG = EC =1 m， EF ⊥ DH，
∴ ∠BHD=∠FGD = 90°，
∵ ∠BDH=∠FDG（公共角），
∴ △BHD∽△FGD，
∴ $\frac{BH}{FG}=\frac{DH}{DG}$，
其中$FG=EF-EG=2-1.4=0.6\ \mathrm{m}$，代入得$\frac{BH}{0.6}=\frac{32}{1}$，
解得 BH=19.2 m，
∴ AB=AH+BH=1.4+19.2=20.6(m)。
【答案】
20.6 m
【知识点】
1.相似三角形的判定与性质
2.矩形的性质
3.平行投影的应用
【点评】
本题是相似三角形解决实际测量问题的典型题型，解题核心是通过作垂线构造相似三角形，将影子落在竖直墙面的特殊测量问题转化为常规的几何相似模型，求解时要注意准确对应相似三角形的边，结合已知条件列式计算。
【难度系数】
0.65
要解决楼高测量问题，首先注意到楼和人的影子部分落在竖直墙面上，无法直接用普通相似关系求解，因此考虑作辅助线转化模型：过D作AB的垂线，把AB分为两段，一段AH和墙面影子高度CD相等，另一段BH是需要求解的部分。同一条太阳光光线形成的两个直角三角形△BHD和△FGD有公共角，满足相似条件，利用相似三角形对应边成比例求出BH，再加上AH的长度即可得到楼高AB。
【解析】
过点 D 作 DH ⊥ AB，垂足为 H，交 EF 于点 G，由题意得 AH=EG=CD=1.4 m，DH=AC=32 m， DG = EC =1 m， EF ⊥ DH，
∴ ∠BHD=∠FGD = 90°，
∵ ∠BDH=∠FDG（公共角），
∴ △BHD∽△FGD，
∴ $\frac{BH}{FG}=\frac{DH}{DG}$，
其中$FG=EF-EG=2-1.4=0.6\ \mathrm{m}$，代入得$\frac{BH}{0.6}=\frac{32}{1}$，
解得 BH=19.2 m，
∴ AB=AH+BH=1.4+19.2=20.6(m)。
【答案】
20.6 m
【知识点】
1.相似三角形的判定与性质
2.矩形的性质
3.平行投影的应用
【点评】
本题是相似三角形解决实际测量问题的典型题型，解题核心是通过作垂线构造相似三角形，将影子落在竖直墙面的特殊测量问题转化为常规的几何相似模型，求解时要注意准确对应相似三角形的边，结合已知条件列式计算。
【难度系数】
0.65
2. 某数学兴趣小组决定利用所学知识测量一古建筑的高度.如图,古建筑的高度为AB,在地面BC上取E,G两点,分别竖立两根高为1.5 m的标杆EF和GH,两标杆间隔EG为26 m,并且古建筑AB,标杆EF和GH在同一竖直平面内.从标杆EF后退2 m到D处(即ED=2 m),从D处观察A点,A,F,D三点成一线;从标杆GH后退4 m到C处(即CG=4 m),从C处观察A点,A,H,C三点也成一线.已知B,E,D,G,C五点在同一直线上,AB⊥BC,EF⊥BC,GH⊥BC,请你根据以上测量数据,帮助兴趣小组求出该古建筑AB的高度.
答案
2. 设 BD = x m, 则 BC = BD + DG + CG = x + (26 - 2) + 4 = (x +28)m.
∵ AB ⊥ BC,EF ⊥ BC,
∴ AB // EF,
∴ △ABD∽△FED,
∴ $\frac{EF}{AB}=\frac{DE}{BD}$,即$\frac{1.5}{AB}=\frac{2}{x}$,同理可证△ABC∽△HGC,
∴ $\frac{GH}{AB}=\frac{CG}{BC}$,
即$\frac{1.5}{AB}=\frac{4}{x+28}$,
∴ $\frac{2}{x}=\frac{4}{x+28}$,解得 x=28,经检验,x=28 是原方程的解,
∴ $\frac{1.5}{AB}=\frac{2}{28}$,
∴ AB = 21 m,故该古建筑 AB 的高度为 21 m.
∵ AB ⊥ BC,EF ⊥ BC,
∴ AB // EF,
∴ △ABD∽△FED,
∴ $\frac{EF}{AB}=\frac{DE}{BD}$,即$\frac{1.5}{AB}=\frac{2}{x}$,同理可证△ABC∽△HGC,
∴ $\frac{GH}{AB}=\frac{CG}{BC}$,
即$\frac{1.5}{AB}=\frac{4}{x+28}$,
∴ $\frac{2}{x}=\frac{4}{x+28}$,解得 x=28,经检验,x=28 是原方程的解,
∴ $\frac{1.5}{AB}=\frac{2}{28}$,
∴ AB = 21 m,故该古建筑 AB 的高度为 21 m.
解析
【分析】
首先观察已知条件，AB、EF、GH都垂直于BC，可推出三条竖线互相平行，进而能得到两组相似三角形：△ABD∽△FED、△ABC∽△HGC。我们需要求AB的高度，可先设BD的长度为未知数，根据相似三角形对应边成比例的性质，列出两个包含AB和未知数的比例式，联立两个比例式先解出未知数，再代入即可求出AB的高度。
【解析】
设 BD = x m，
由题意得DG = EG - ED = 26 - 2 = 24 m，因此BC = BD + DG + CG = x + 24 + 4 = (x +28)m。
∵ AB ⊥ BC，EF ⊥ BC，
∴ ∠ABD = ∠FED = 90°，
又
∵ ∠ADB = ∠FDE（公共角），
∴ △ABD∽△FED，
∴ $\frac{EF}{AB}=\frac{DE}{BD}$，代入数据得 $\frac{1.5}{AB}=\frac{2}{x}$ ①。
同理，
∵ AB ⊥ BC，GH ⊥ BC，
∴ ∠ABC = ∠HGC = 90°，
又
∵ ∠ACB = ∠HCG（公共角），
∴ △ABC∽△HGC，
∴ $\frac{GH}{AB}=\frac{CG}{BC}$，代入数据得 $\frac{1.5}{AB}=\frac{4}{x+28}$ ②。
联立①②可得 $\frac{2}{x}=\frac{4}{x+28}$，
交叉相乘解得 x=28，经检验，x=28 是原方程的解，且符合实际意义。
将x=28代入①式：$\frac{1.5}{AB}=\frac{2}{28}$，
解得 AB = 21 m。
【答案】
该古建筑AB的高度为21 m。
【知识点】
相似三角形判定；相似三角形性质；相似三角形实际应用
【点评】
本题是测量物体高度的典型相似应用题，解题关键是通过垂直关系推导相似三角形，再利用相似的性质列方程求解，求解后要注意检验解是否符合实际场景。
【难度系数】
0.7
首先观察已知条件，AB、EF、GH都垂直于BC，可推出三条竖线互相平行，进而能得到两组相似三角形：△ABD∽△FED、△ABC∽△HGC。我们需要求AB的高度，可先设BD的长度为未知数，根据相似三角形对应边成比例的性质，列出两个包含AB和未知数的比例式，联立两个比例式先解出未知数，再代入即可求出AB的高度。
【解析】
设 BD = x m，
由题意得DG = EG - ED = 26 - 2 = 24 m，因此BC = BD + DG + CG = x + 24 + 4 = (x +28)m。
∵ AB ⊥ BC，EF ⊥ BC，
∴ ∠ABD = ∠FED = 90°，
又
∵ ∠ADB = ∠FDE（公共角），
∴ △ABD∽△FED，
∴ $\frac{EF}{AB}=\frac{DE}{BD}$，代入数据得 $\frac{1.5}{AB}=\frac{2}{x}$ ①。
同理，
∵ AB ⊥ BC，GH ⊥ BC，
∴ ∠ABC = ∠HGC = 90°，
又
∵ ∠ACB = ∠HCG（公共角），
∴ △ABC∽△HGC，
∴ $\frac{GH}{AB}=\frac{CG}{BC}$，代入数据得 $\frac{1.5}{AB}=\frac{4}{x+28}$ ②。
联立①②可得 $\frac{2}{x}=\frac{4}{x+28}$，
交叉相乘解得 x=28，经检验，x=28 是原方程的解，且符合实际意义。
将x=28代入①式：$\frac{1.5}{AB}=\frac{2}{28}$，
解得 AB = 21 m。
【答案】
该古建筑AB的高度为21 m。
【知识点】
相似三角形判定；相似三角形性质；相似三角形实际应用
【点评】
本题是测量物体高度的典型相似应用题，解题关键是通过垂直关系推导相似三角形，再利用相似的性质列方程求解，求解后要注意检验解是否符合实际场景。
【难度系数】
0.7
3. ★★★ 如图,阳阳要测量一座钟塔的高度 CD,他在与钟塔底端处在同水平面上的地面放置一面镜子,并在镜子上做一个标记 E,当他站在离镜子 E 处 1.4 m 的 B 处时,看到钟塔的顶端在镜子中的像与标记 E 重合.已知 B,E,D 三点在同一直线上,阳阳的眼睛离地面的高度 AB=1.6 m,DE=14.7 m,求钟塔的高度 CD.
答案
3.
∵ AB ⊥ BD, CD ⊥ BD,
∴ ∠ABE = ∠CDE = 90°.
∵ ∠AEB =∠CED,
∴ △ABE∽△CDE,
∴ $\frac{AB}{CD}=\frac{BE}{DE}$,
∴ $\frac{1.6}{CD}=\frac{1.4}{14.7}$,
∴ CD =16.8 m,故钟塔的高度 CD 为 16.8 m.
∵ AB ⊥ BD, CD ⊥ BD,
∴ ∠ABE = ∠CDE = 90°.
∵ ∠AEB =∠CED,
∴ △ABE∽△CDE,
∴ $\frac{AB}{CD}=\frac{BE}{DE}$,
∴ $\frac{1.6}{CD}=\frac{1.4}{14.7}$,
∴ CD =16.8 m,故钟塔的高度 CD 为 16.8 m.
解析
【分析】
本题可通过证明三角形相似，利用相似三角形对应边成比例求解钟塔高度。首先由AB、CD均垂直于水平面BD，可得两个直角相等；再根据镜面反射原理，入射角等于反射角，可推出∠AEB=∠CED，即可判定△ABE与△CDE相似，最后根据相似三角形对应边的比例关系，代入已知数值计算就能得到CD的长度。
【解析】
解：
∵ AB⊥BD，CD⊥BD，
∴ ∠ABE = ∠CDE = 90°，
又
∵ 镜面反射时入射角等于反射角，
∴ ∠AEB = ∠CED，
∴ △ABE ∽ △CDE，
∴ 对应边成比例：$\frac{AB}{CD}=\frac{BE}{DE}$，
将AB=1.6m，BE=1.4m，DE=14.7m代入得：
$\frac{1.6}{CD}=\frac{1.4}{14.7}$，
交叉相乘计算得：$1.4CD = 1.6×14.7$，
解得$CD = \frac{1.6×14.7}{1.4}=16.8$（m）。
【答案】
16.8 m
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测量问题中的典型应用，结合了镜面反射的常识，解题核心是准确找到相似三角形，利用其边的比例关系建立等式求解，掌握相似三角形的相关性质即可顺利作答。
【难度系数】
0.7
本题可通过证明三角形相似，利用相似三角形对应边成比例求解钟塔高度。首先由AB、CD均垂直于水平面BD，可得两个直角相等；再根据镜面反射原理，入射角等于反射角，可推出∠AEB=∠CED，即可判定△ABE与△CDE相似，最后根据相似三角形对应边的比例关系，代入已知数值计算就能得到CD的长度。
【解析】
解：
∵ AB⊥BD，CD⊥BD，
∴ ∠ABE = ∠CDE = 90°，
又
∵ 镜面反射时入射角等于反射角，
∴ ∠AEB = ∠CED，
∴ △ABE ∽ △CDE，
∴ 对应边成比例：$\frac{AB}{CD}=\frac{BE}{DE}$，
将AB=1.6m，BE=1.4m，DE=14.7m代入得：
$\frac{1.6}{CD}=\frac{1.4}{14.7}$，
交叉相乘计算得：$1.4CD = 1.6×14.7$，
解得$CD = \frac{1.6×14.7}{1.4}=16.8$（m）。
【答案】
16.8 m
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测量问题中的典型应用，结合了镜面反射的常识，解题核心是准确找到相似三角形，利用其边的比例关系建立等式求解，掌握相似三角形的相关性质即可顺利作答。
【难度系数】
0.7
4. ★★★ 如图,小明用自制的直角三角形纸板DEF测量水平地面上树AB的高度,已知两直角边EF：DE=2：3,他调整自己的姿势和三角形纸板的位置,使斜边DF保持水平,并且边DE与点B在同一直线上,DM垂直于地面,测得AM=21 m,边DF离地面的距离为1.6 m,求树高AB.
答案
4.
∵ ∠DEF = ∠BCD = 90°, ∠D = ∠D,
∴ △DEF∽△DCB,
∴ $\frac{EF}{DE}=\frac{BC}{CD}=\frac{2}{3}$,
∴ BC = $\frac{2}{3}$CD.
∵ AM = CD = 21 m,
∴ BC =14 m,
∴ AB=AC+BC=1.6+14=15.6(m).答:树高 15.6 m.
∵ ∠DEF = ∠BCD = 90°, ∠D = ∠D,
∴ △DEF∽△DCB,
∴ $\frac{EF}{DE}=\frac{BC}{CD}=\frac{2}{3}$,
∴ BC = $\frac{2}{3}$CD.
∵ AM = CD = 21 m,
∴ BC =14 m,
∴ AB=AC+BC=1.6+14=15.6(m).答:树高 15.6 m.
解析
【分析】
本题是利用相似三角形测量物体高度的实际问题，解题思路如下：首先观察图形，直角三角形DEF和直角三角形DCB有公共角∠D，且都含直角，可判定两三角形相似；再根据相似三角形对应边成比例的性质，结合已知的EF:DE的比值，以及CD与AM长度相等的关系，就能求出BC的长度；最后树高AB等于BC加上DF离地面的高度AC，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ ∠DEF = ∠BCD = 90°，∠D是△DEF和△DCB的公共角，
∴ △DEF∽△DCB，
∴ 对应边成比例，即$\frac{EF}{DE}=\frac{BC}{CD}=\frac{2}{3}$，
∴ $BC = \frac{2}{3}CD$，
由题意得CD=AM=21 m，
代入得：$BC=\frac{2}{3}×21=14$ m，
又
∵ DF离地面的高度AC=1.6 m，
∴ 树高$AB=AC+BC=1.6+14=15.6$（m）。
【答案】
15.6 m
【知识点】
相似三角形判定、相似三角形性质、高度测量
【点评】
本题是相似三角形在实际测量中的典型应用，解题的关键是准确找出相似三角形，理清各条线段的对应关系，计算时注意不要忽略测量基准高度。
【难度系数】
0.7
本题是利用相似三角形测量物体高度的实际问题，解题思路如下：首先观察图形，直角三角形DEF和直角三角形DCB有公共角∠D，且都含直角，可判定两三角形相似；再根据相似三角形对应边成比例的性质，结合已知的EF:DE的比值，以及CD与AM长度相等的关系，就能求出BC的长度；最后树高AB等于BC加上DF离地面的高度AC，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ ∠DEF = ∠BCD = 90°，∠D是△DEF和△DCB的公共角，
∴ △DEF∽△DCB，
∴ 对应边成比例，即$\frac{EF}{DE}=\frac{BC}{CD}=\frac{2}{3}$，
∴ $BC = \frac{2}{3}CD$，
由题意得CD=AM=21 m，
代入得：$BC=\frac{2}{3}×21=14$ m，
又
∵ DF离地面的高度AC=1.6 m，
∴ 树高$AB=AC+BC=1.6+14=15.6$（m）。
【答案】
15.6 m
【知识点】
相似三角形判定、相似三角形性质、高度测量
【点评】
本题是相似三角形在实际测量中的典型应用，解题的关键是准确找出相似三角形，理清各条线段的对应关系，计算时注意不要忽略测量基准高度。
【难度系数】
0.7
