6. ★★★ 如图,在平面直角坐标系中,△AOB的顶点A的坐标为$(-2,4)$.若以原点O为位似中心,相似比为$\frac{1}{4}$,把△AOB缩小,则点A的对应点A'的坐标是 ()

A.$(-\frac{1}{2},1)$
B.$(-\frac{1}{2},1)$或$(\frac{1}{2},-1)$
C.$(-8,16)$
D.$(-8,16)$或$(8,-16)$

6. B 解析:
∵ 相似比为$\frac{1}{4}$,$\therefore$ 当位似图形在原点的同侧时,点$A$的对应点$A'$的坐标为 $(-2×\frac{1}{4},4×\frac{1}{4})$,即 $(-\frac{1}{2},1)$;当位似图形在原点的异侧时,点 $A$ 的对应点 $A'$ 的坐标为$(-2×(-\frac{1}{4}),4×(-\frac{1}{4}))$,即 $(\frac{1}{2},-1)$.综上,$A'$ 的坐标为 $(-\frac{1}{2},1)$ 或 $(\frac{1}{2},-1)$.故选 B.

【分析】
解决本题首先要明确平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似变换的坐标特征：若相似比为k，则对应点的坐标为原坐标乘k（位似图形与原图形在原点同侧）或乘-k（位似图形与原图形在原点异侧）。本题已知点A的坐标和相似比，只需分两种情况分别计算对应点A'的坐标即可，注意不要遗漏异侧的情况。
【解析】
已知以原点O为位似中心，相似比为$\frac{1}{4}$，将△AOB缩小，分两种情况讨论：
① 当位似图形与原图形在原点同侧时，点A的对应点A'的坐标为原坐标乘相似比：
$(-2×\frac{1}{4},4×\frac{1}{4})=(-\frac{1}{2},1)$；
② 当位似图形与原图形在原点异侧时，点A的对应点A'的坐标为原坐标乘相似比的相反数：
$(-2×(-\frac{1}{4}),4×(-\frac{1}{4}))=(\frac{1}{2},-1)$。
综上，A'的坐标为$(-\frac{1}{2},1)$或$(\frac{1}{2},-1)$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
坐标系中位似变换、分类讨论思想
【点评】
本题是位似变换的常考题，易错点是忽略位似图形可位于原点两侧的情况，导致漏解。解题时要牢记位似变换的两种位置情况，全面分析计算。
【难度系数】
0.6

7. 如图，A是反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$图象上一点，点B，D在y轴正半轴上，$△ ABD$是$△ COD$关于点D的位似图形，且$△ ABD$与$△ COD$的相似比是$1:3$，$△ ABD$的面积为1，则该反比例函数的表达式为（）

A.$y=\frac{8}{x}$
B.$y=\frac{6}{x}$
C.$y=\frac{4}{x}$
D.$y=\frac{10}{x}$

7. A 解析:设点 $A$ 的横坐标为 $a$.
∵ 点 $A$ 在反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x＞0)$ 图象上,$\therefore$ 点 $A$ 的纵坐标为 $\frac{k}{a}$,即 $A(a,\frac{k}{a})$,$\therefore B(0,\frac{k}{a})$,则 $OB=\frac{k}{a}$,$AB=a$.
∵ $△ ABD$ 与 $△ COD$ 的相似比是 $1:3$,$\therefore \frac{BD}{OD}=\frac{1}{3}$,$\therefore BD=\frac{1}{4}OB=\frac{1}{4}·\frac{k}{a}=\frac{k}{4a}$.
∵ $△ ABD$ 的面积为 1,$\therefore \frac{1}{2}· AB · BD=1$,则 $\frac{1}{2}· a · \frac{k}{4a}=1$,解得 $k=8$,$\therefore$ 该反比例函数的表达式为 $y=\frac{8}{x}$.故选 A.

【分析】
解题时首先从已知条件入手，先设出点A的横坐标，结合反比例函数表达式可表示出点A的坐标，进而得到线段AB、OB的长度；再利用位似图形的相似比，得出BD与OD的比例关系，推导出BD的长度表达式；最后结合△ABD的面积为1，列方程求解即可得到k的值，确定反比例函数的表达式。
【解析】
设点A的横坐标为$a$，
∵点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上，
∴点A的纵坐标为$\frac{k}{a}$，即$A(a,\frac{k}{a})$，
由图可知$AB⊥ y$轴，因此点B坐标为$(0,\frac{k}{a})$，可得$AB=a$，$OB=\frac{k}{a}$。
∵$△ ABD$与$△ COD$关于点D位似，相似比为$1:3$，
∴$\frac{BD}{OD}=\frac{1}{3}$，即$BD=\frac{1}{1+3}OB=\frac{1}{4}×\frac{k}{a}=\frac{k}{4a}$。
已知$△ ABD$的面积为1，且$△ ABD$为直角三角形，直角在点B处，
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× AB× BD=1$，代入得$\frac{1}{2}× a×\frac{k}{4a}=1$，
化简得$\frac{k}{8}=1$，解得$k=8$，因此反比例函数的表达式为$y=\frac{8}{x}$。
【答案】
A
【知识点】
位似图形的性质，反比例函数的表达式，三角形面积公式
【点评】
本题是位似与反比例函数结合的典型题型，解题的核心是利用位似的相似比得到线段的比例关系，再结合面积公式建立方程求出反比例函数的系数$k$，能较好地考查学生对知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7

8. ★★★ 如图, 以点$C(0,1)$为位似中心, 将$△ ABC$按相似比$2:1$放大, 得到$△ DEC$, 则点$A(2,-1)$的对应点$D$的坐标为________.

8. $(4,-3)$或$(-4,5)$ 解析:分两种情况讨论,①如图①,当$△ ABC$与$△ DEC$在$y$轴同侧时,过点$A$作$AM ⊥ y$轴于点$M$,过点 $D$ 作 $DN ⊥ y$ 轴于点 $N$.
∵ $A(2,-1)$,$C(0,1)$,$\therefore AM=2$,$OC=1$,$CM=1-(-1)=2$.
∵ 将$△ ABC$按相似比$2:1$放大,得到$△ DEC$,$\therefore \frac{CA}{CD}=\frac{1}{2}$.
∵ $∠ ACM=∠ DCN$,$∠ AMC=∠ DNC=90°$,$\therefore △ ACM ∽ △ DCN$,$\therefore \frac{AM}{DN}=\frac{CM}{CN}=\frac{CA}{CD}=\frac{1}{2}$,即 $\frac{2}{DN}=\frac{2}{CN}=\frac{1}{2}$,解得 $DN=4$,$CN=4$, $\therefore ON=CN-OC=4-1=3$,$\therefore D(4,-3)$;
②如图②,当$△ ABC$与$△ DEC$在$y$轴异侧时,过点 $A$ 作$AM ⊥ y$ 轴于点 $M$,过点 $D$ 作 $DN ⊥ y$ 轴于点 $N$.由①可知,$AM=2$,$CM=2$,$\frac{CA}{CD}=\frac{1}{2}$.
∵ $∠ ACM=∠ DCN$,$∠ AMC=∠ DNC=90°$,$\therefore △ ACM ∽ △ DCN$,$\therefore \frac{AM}{DN}=\frac{CM}{CN}=\frac{CA}{CD}=\frac{1}{2}$,即 $\frac{2}{DN}=\frac{2}{CN}=\frac{1}{2}$,解得 $DN=4$,$CN=4$,$\therefore ON=CN+OC=4+1=5$,$\therefore D(-4,5)$.故答案为$(4,-3)$或$(-4,5)$.

【分析】
本题考查平面直角坐标系中的位似变换，解题时首先要明确：以某点为位似中心放大图形时，放大后的图形与原图形有两种位置关系，即位于位似中心的同侧或异侧，需分类讨论。接下来通过向y轴作垂线构造相似直角三角形，利用位似的相似比得到相似三角形的对应边比例，进而计算出对应点D的横纵坐标即可。
【解析】
分两种情况讨论：
① 如图①，当$△ ABC$与$△ DEC$在$y$轴同侧时，过点$A$作$AM ⊥ y$轴于点$M$，过点 $D$ 作 $DN ⊥ y$ 轴于点 $N$。
∵ $A(2,-1)$，$C(0,1)$，$\therefore AM=2$，$CM=1-(-1)=2$。
∵ 将$△ ABC$按相似比$2:1$放大，得到$△ DEC$，$\therefore \frac{CA}{CD}=\frac{1}{2}$。
∵ $∠ ACM=∠ DCN$，$∠ AMC=∠ DNC=90°$，$\therefore △ ACM ∽ △ DCN$，
$\therefore \frac{AM}{DN}=\frac{CM}{CN}=\frac{CA}{CD}=\frac{1}{2}$，即 $\frac{2}{DN}=\frac{2}{CN}=\frac{1}{2}$，解得 $DN=4$，$CN=4$，
∴点D的横坐标为4，纵坐标为$1-4=-3$，即$D(4,-3)$。
② 如图②，当$△ ABC$与$△ DEC$在$y$轴异侧时，过点 $A$ 作$AM ⊥ y$ 轴于点 $M$，过点 $D$ 作 $DN ⊥ y$ 轴于点 $N$。
同理可得$△ ACM∽△ DCN$，$\frac{AM}{DN}=\frac{CM}{CN}=\frac{1}{2}$，解得$DN=4$，$CN=4$，
∴点D的横坐标为-4，纵坐标为$1+4=5$，即$D(-4,5)$。
【答案】
$(4,-3)$或$(-4,5)$
【知识点】
位似变换的性质，相似三角形的性质，坐标与图形变换
【点评】
本题需要结合分类讨论思想解题，位似图形在平面直角坐标系中存在同侧、异侧两种位置，很容易漏解，构造直角三角形利用相似比计算坐标是这类题的常用方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.6

9. ★★★如图,正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形,点F的坐标为(1,1),点C的坐标为(4,2),则这两个正方形位似中心的坐标是.

9. $(-2,0)$ 或 $(\frac{4}{3},\frac{2}{3})$ 解析:当两个图形在位似中心的同侧时,位似中心就是 $CF$ 与 $x$ 轴的交点,如图①所示.设直线$CF$ 的表达式为 $y=kx+b$, 将 $C(4,2)$,$F(1,1)$ 代入,得$\begin{cases}4k+b=2,\\k+b=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=\frac{1}{3},\\b=\frac{2}{3},\end{cases}$即 $y=\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}$.令 $y=0$,得 $x=-2$,$\therefore$ 点 $O'$ 坐标是$(-2,0)$.
当两个图形在位似中心的异侧时,$OC$ 和 $BG$ 的交点就是位似中心,如图②所示.设直线 $OC$ 的表达式是 $y=mx$,则$4m=2$,解得 $m=\frac{1}{2}$,则直线 $OC$ 的表达式是 $y=\frac{1}{2}x$.设直线$BG$ 的表达式是 $y=nx+d$,则$\begin{cases}d=1,\\4n+d=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}d=1,\\n=-\frac{1}{4},\end{cases}$则直线$BG$ 的表达式是 $y=-\frac{1}{4}x+1$.由$\begin{cases}y=\frac{1}{2}x,\\y=-\frac{1}{4}x+1,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=\frac{4}{3},\\y=\frac{2}{3},\end{cases}$则交点 $N(\frac{4}{3},\frac{2}{3})$.故答案为$(-2,0)$或$(\frac{4}{3},\frac{2}{3})$.

【分析】
位似中心是位似图形所有对应顶点连线的公共交点，本题需要分两种情况讨论：①两个正方形在位似中心的同侧，此时位似中心为对应点C、F的连线与x轴的交点；②两个正方形在位似中心的异侧，此时位似中心为对应顶点连线OC与BG的交点。分别求出对应直线的解析式，通过求直线与坐标轴交点或联立直线方程即可得到位似中心坐标，注意不要遗漏任意一种情况。
【解析】
分两种情况求解：
1. 两个正方形在位似中心同侧：
此时位似中心是直线CF与x轴的交点，如图①所示。
设直线CF的解析式为$y=kx+b$，将$C(4,2)$、$F(1,1)$代入解析式，得：
$\begin{cases}4k+b=2\\k+b=1\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=\frac{1}{3}\\b=\frac{2}{3}\end{cases}$，即直线CF的解析式为$y=\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}$。
令$y=0$，解得$x=-2$，即此时位似中心坐标为$(-2,0)$。

2. 两个正方形在位似中心异侧：
此时位似中心是直线OC与直线BG的交点，如图②所示。
先求直线OC的解析式：设解析式为$y=mx$，将$C(4,2)$代入得$4m=2$，解得$m=\frac{1}{2}$，故直线OC解析式为$y=\frac{1}{2}x$。
再求直线BG的解析式：由正方形性质得$G(0,1)$、$B(4,0)$，设解析式为$y=nx+d$，代入两点坐标得$\begin{cases}d=1\\4n+d=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}n=-\frac{1}{4}\\d=1\end{cases}$，故直线BG解析式为$y=-\frac{1}{4}x+1$。
联立两个直线解析式：$\begin{cases}y=\frac{1}{2}x\\y=-\frac{1}{4}x+1\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=\frac{4}{3}\\y=\frac{2}{3}\end{cases}$，即此时位似中心坐标为$(\frac{4}{3},\frac{2}{3})$。
综上，两个正方形位似中心的坐标为$(-2,0)$或$(\frac{4}{3},\frac{2}{3})$。
【答案】
$(-2,0)$或$(\dfrac{4}{3},\dfrac{2}{3})$
【知识点】
位似图形的性质，待定系数法求一次函数解析式，一次函数交点求解
【点评】
本题是位似变换与一次函数结合的典型题，解题核心是掌握位似中心的性质，难点在于要分类讨论位似中心与两个图形的位置关系，避免出现漏解的问题。
【难度系数】
0.6

10. 如图，$△ OAB$的顶点坐标分别为$O(0,0),A(-2,-1),B(-1,-3),△ O_1A_1B_1$与$△ OAB$是关于点$P$为位似中心的位似图形.
(1)在图中标出位似中心$P$的位置,并写出点$P$及点$B$的对应点$B_1$的坐标;
(2)以原点$O$为位似中心,在位似中心的同侧画出$△ OAB$的一个位似$△ OA_2B_2$,使它与$△ OAB$的相似比为$2:1$,并写出点$B$的对应点$B_2$的坐标;
(3)$△ OAB$的内部一点$M$的坐标为$(a,b)$,写出$M$在$△ OA_2B_2$中的对应点$M_2$的坐标.

10. (1)位似中心 $P$ 的位置如图所示.
由图可知,$P(-5,-1)$,$B_1(3,-5)$.
(2)$△ OA_2B_2$ 如图所示,由图可知,$B_2(-2,-6)$.
(3)根据题意,$△ OAB$ 的内部一点 $M$ 的坐标为 $(a,b)$,$△ OA_2B_2$ 与 $△ OAB$ 的相似比为 $2:1$,所以点 $M_2$ 为$(2a,2b)$.

【分析】
(1) 根据位似的性质，位似中心是任意两组对应点连线的交点，因此连接$OO_1$、$AA_1$，两条直线的交点就是位似中心$P$，再结合网格即可读出$P$和$B_1$的坐标。
(2) 以原点为位似中心、在位似中心同侧作相似比为$2:1$的位似图形时，只需将原图形各顶点的横、纵坐标都乘以相似比2（坐标符号不变），得到对应点坐标后描点连线即可，再读取$B_2$的坐标。
(3) 结合原点位似的坐标变化规律，将$M$的横、纵坐标都乘相似比2，即可得到$M_2$的坐标。
【解析】
(1) 连接$OO_1$、$AA_1$，两条直线的交点即为位似中心$P$，结合网格读取坐标可得：$P$的坐标为$(-5,-1)$，点$B$的对应点$B_1$的坐标为$(3,-5)$。
(2) 以原点$O$为位似中心，相似比为$2:1$且在位似中心同侧，将$△ OAB$各顶点的横、纵坐标均乘以2：$O(0,0)$对应点仍为$(0,0)$，$A(-2,-1)$对应点$A_2(-4,-2)$，$B(-1,-3)$对应点$B_2(-2,-6)$，描出$A_2$、$B_2$后顺次连接$O$、$A_2$、$B_2$，即可得到$△ OA_2B_2$，读取坐标得$B_2(-2,-6)$。
(3) 原点为位似中心、同侧相似比为$2:1$时，对应点的横、纵坐标均为原坐标的2倍，因此坐标为$(a,b)$的点$M$，其对应点$M_2$的坐标为$(2a,2b)$。
【答案】
(1)位似中心 $P$ 的位置如图所示.
$P(-5,-1)$,$B_1(3,-5)$.
(2)$△ OA_2B_2$ 如图所示, $B_2(-2,-6)$.
(3)$M_2$的坐标为$(2a,2b)$.
【知识点】
位似中心的确定；坐标系中的位似变换；位似图形坐标规律
【点评】
本题考查位似图形的性质应用，解题核心是掌握位似中心的确定方法，以及原点为位似中心时对应点的坐标变化规律，属于基础题型，熟练掌握位似的基础性质即可快速解答。
【难度系数】
0.7

11. (盐城中考)如果两个一次函数$y=k_1x+b_1$和$y=k_2x+b_2$满足$k_1=k_2$，$b_1≠b_2$，那么称这两个一次函数为“平行一次函数”.如图，已知函数$y=-2x+4$的图象与$x$轴、$y$轴分别交于$A$，$B$两点，一次函数$y=kx+b$与$y=-2x+4$是“平行一次函数”.
(1)若函数$y=kx+b$的图象过点$(3,1)$，求$b$的值；
(2)若函数$y=kx+b$的图象与两坐标轴围成的三角形和$△ AOB$构成位似图形，位似中心为原点，相似比为$1:2$，求函数$y=kx+b$的表达式.

11. (1)由已知得 $k=-2$,把点 $(3,1)$ 和 $k=-2$ 代入 $y=kx+b$ 中,得 $1=-2×3+b$,$\therefore b=7$.
(2)根据相似比为 $1:2$ 得函数 $y=kx+b$ 的图象有两种情况,如图所示. ①不经过第三象限时,过点 $(1,0)$ 和点 $(0,2)$,这时表达式为 $y=-2x+2$;②不经过第一象限时,过点 $(-1,0)$ 和点 $(0,-2)$,这时表达式为 $y=-2x-2$.

【分析】
(1) 首先根据“平行一次函数”的定义，两个平行一次函数的k值相等，可直接得出k=-2，再将已知点(3,1)和k=-2代入一次函数解析式y=kx+b，解方程即可求出b的值。
(2) 先求出原函数y=-2x+4与坐标轴的交点A、B的坐标：A(2,0)，B(0,4)。已知位似中心为原点，相似比为1:2，位似图形可以和原图形在原点同侧，也可以在异侧，因此对应交点坐标有两种情况：①同侧时，与x轴、y轴的交点为(1,0)、(0,2)；②异侧时，交点为(-1,0)、(0,-2)，分别将交点代入解析式求出b的值，即可得到对应的函数表达式。
【解析】
(1) 由“平行一次函数”的定义可得，y=kx+b与y=-2x+4的k值相等，即k=-2。
将点(3,1)、k=-2代入y=kx+b，得：
$1=-2×3+b$
解得$b=7$。
(2) 对于函数y=-2x+4：
令y=0，得$0=-2x+4$，解得x=2，即A点坐标为(2,0)；
令x=0，得y=4，即B点坐标为(0,4)。
因为位似中心为原点，相似比为1:2，分两种情况讨论：
① 当函数图象与△AOB在原点同侧时，函数y=-2x+b与x轴、y轴的交点为(1,0)、(0,2)，将(1,0)代入解析式得$0=-2×1+b$，解得b=2，此时函数表达式为$y=-2x+2$；
② 当函数图象与△AOB在原点异侧时，函数y=-2x+b与x轴、y轴的交点为(-1,0)、(0,-2)，将(-1,0)代入解析式得$0=-2×(-1)+b$，解得b=-2，此时函数表达式为$y=-2x-2$。
【答案】
11. (1)由已知得 $k=-2$,把点 $(3,1)$ 和 $k=-2$ 代入 $y=kx+b$ 中,得 $1=-2×3+b$,$\therefore b=7$.
(2)根据相似比为 $1:2$ 得函数 $y=kx+b$ 的图象有两种情况,如图所示. ①不经过第三象限时,过点 $(1,0)$ 和点 $(0,2)$,这时表达式为 $y=-2x+2$;②不经过第一象限时,过点 $(-1,0)$ 和点 $(0,-2)$,这时表达式为 $y=-2x-2$.
【知识点】
一次函数的性质，位似图形的性质，待定系数法求解析式
【点评】
本题结合新定义考查一次函数与位似图形的综合应用，解题时要注意位似图形相对于原点的位置有两种可能，避免漏解。
【难度系数】
0.7