1. 如图,在四边形ABCD中,BD平分∠ABC,DE⊥BC交BC于点E,∠A+∠C=180°.
(1)求证:AD=CD;
(2)求证:∠ADC=2∠BDE.

(1) 过点 D 作 DF ⊥ BA 交 BA 延长线于点 F,
∵ BD 平分 ∠ABC,
∴ ∠ABD = ∠CBD.
∵ DF ⊥ BA, DE ⊥ BC,
∴ ∠F = ∠BED = 90°.又
∵ BD = BD,
∴ △BFD≅△BED(AAS),
∴ DF = DE.
∵ ∠BAD + ∠C = 180°, ∠BAD + ∠DAF = 180°,
∴ ∠C = ∠DAF. 又
∵ ∠F = ∠CED = 90°,
∴ △DAF≅△DCE(AAS),
∴ AD = CD.
(2) 由(1)可得 △BFD≅△BED, △DAF≅△DCE,
∴ ∠BDF = ∠BDE, ∠FDA = ∠CDE,
∴ ∠BDA + ∠CDE = ∠BDA + ∠FDA = ∠BDF = ∠BDE,
∴ ∠ADC = 2∠BDE.

2. 如图,已知$∠ MON=90°$,$OQ$为$∠ MON$的平分线,点$P$为$OQ$上一定点,$A,B$分别是$OM,ON$上的动点,且始终保持$∠ APB=90°$.
(1)探索线段$PA,PB$的数量关系,并说明理由;
(2)当点$A,B$运动时,判断四边形$OAPB$的面积是否发生变化,并说明理由.

(1) PA=PB,理由:如图,过点 P 作 PC ⊥ OM 交 OM 于点 C, PD ⊥ ON 交 ON 于点 D.
∵ OP 为 ∠MON 的平分线, PC ⊥ OM, PD ⊥ ON,
∴ PC = PD, ∠ACP = ∠BDP = 90°.
∵ 在四边形 OAPB 中,∠MON=90°, ∠APB=90°,
∴ ∠OAP + ∠OBP = 360° - ∠AOB - ∠APB = 180°.
∵ ∠CAP + ∠OBP = 180°, ∠PBD + ∠OBP = 180°,
∴ ∠CAP = ∠PBD,
∴ △ACP≅△BDP(AAS),
∴ PA = PB.
(2) 四边形 OAPB 的面积不变,理由:
∵ OP 平分 ∠COB, ∠OCP = ∠ODP = 90°, OP = OP,
∴ △OCP≅△ODP(AAS),
∴ S_△OCP = S_△ODP,由(1)可知 △ACP≅△BDP,
∴ S_△ACP = S_△BDP,
∴ S_四边形OAPB = S_△OAP + S_△OBP = S_△OCP + S_△ACP + S_△OBP = S_△OCP + S_△BDP + S_△OBP = S_△OCP + S_△ODP = 2S_△OCP.
∵ S_△OCP 是不变的,
∴ 当点 A,B 运动时,四边形 OAPB 的面积不变.