1. 如图，在$△ ABC$中，$∠ B=60°$，$△ ABC$的角平分线$AD$，$CE$相交于点$O$。
（1）求$∠ AOC$的度数；
（2）求证：$AE+CD=AC$。

1. (1)在△ABC中,∠B=60°,
∴ ∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-60°=120°.
∵ AD平分∠BAC,CE平分∠ACB,
∴ ∠OAC=∠OAB=1/2∠BAC,∠OCD=∠OCA=1/2∠ACB. 在△OAC中,∠AOC=180°-(∠OAC+∠OCA)=180°-1/2(∠BAC+∠BCA)=180°-1/2×120°=120°.
(2)
∵ ∠AOC=120°,
∴ ∠AOE=∠DOC=180°-∠AOC=180°-120°=60°.如图,在AC上截取AF=AE,连结OF,在△AOE和△AOF中,
$\begin{cases} AE=AF, \\ ∠OAE=∠OAF, \\ OA=OA, \end{cases}$
∴ △AOE ≌ △AOF(SAS),
∴ ∠AOE=∠AOF,
∴ ∠AOF=60°,
∴ ∠COF=∠AOC-∠AOF=120°-60°=60°.又
∵ ∠COD=∠AOE=60°,
∴ ∠COD=∠COF.在△COD和△COF中,
$\begin{cases} ∠COD=∠COF, \\ OC=OC, \\ ∠OCD=∠OCF, \end{cases}$
∴ △COD≌△COF(ASA),
∴ CD=CF.又
∵ AF=AE,
∴ AC=AF+CF=AE+CD,即AE+CD=AC.

2. （2026·杭州月考）【证明体验】
（1）如图①，在△ABC中，CD平分∠ACB，E为BC上一点且CE=CA.求证：AD=DE.
【思考探究】
（2）如图②，在△ABC中，∠A=2∠B，CD平分∠ACB，交AB于点D，AD=1，AC=2，求BC的长.
【拓展延伸】
（3）如图③，已知△ABC中，AB=AC，∠A=20°，BD平分∠ABC，BD=a，BC=b，求AD的长（用含a,b的式子表示）.（提示：在三角形中，若两个角相等，则这两个角所对的边也相等）

2. (1)
∵ CD平分∠ACB,
∴ ∠ACD=∠DCE.在△ACD与△ECD中,
$\begin{cases} CA=CE, \\ ∠ACD=∠ECD, \\ CD=CD, \end{cases}$
∴ △ACD≌△ECD(SAS),
∴ AD=DE.
(2)如图①,在BC边上取点E,使EC=AC,连结DE.由(1)知△ACD≌△ECD,
∴ AC=CE=2,AD=DE=1,∠A=∠DEC.
∵ ∠A=2∠B,∠DEC=∠B+∠EDB,
∴ ∠B=∠EDB,
∴ EB=ED=AD=1,
∴ BC=BE+CE=1+2=3.

(3)如图②,
∵ △ABC中,AB=AC,∠A=20°,
∴ ∠ABC=∠C=80°.
∵ BD平分∠ABC,
∴ ∠1=∠2=40°,∠BDC=60°.在BA边上取点E,使BE=BC=b,连结DE,在△DBE和△DBC中,
$\begin{cases} BE=BC, \\ ∠1=∠2, \\ BD=BD, \end{cases}$
∴ △DBE≌△DBC(SAS),
∴ ∠4=∠BDC=60°,
∴ ∠3=60°.在DA边上取点F,使DF=DB,连结FE,同理得△BDE≌△FDE(SAS),
∴ ∠5=∠1=40°,BE=EF=b.
∵ ∠A=20°,
∴ ∠6=20°,
∴ AF=EF=b.
∵ BD=DF=a,
∴ AD=DF+AF=a+b.