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4 用频率估计概率
课堂精要·梳理内容
1. 用试验的方法估计一些较为复杂的随机事件发生的概率时，通常在试验过程中要经历以下几个过程：①
2. 通过试验的方法
去估计事件发生的概率大小必须要求试验是
3. 运用样本中某事件发生的次数与总数的
课堂精要·梳理内容
1. 用试验的方法估计一些较为复杂的随机事件发生的概率时，通常在试验过程中要经历以下几个过程：①
设计试验方案
；②进行试验；③收集试验数据
；④统计结果；⑤估计随机事件发生的概率
。2. 通过试验的方法
去估计事件发生的概率大小必须要求试验是实物试验或模拟试验
。3. 运用样本中某事件发生的次数与总数的
比值
的“平均水平”去估计总体中该事件发生的概率大小的思想，是用频率估计概率常用且可行的方法。答案
1. ①设计试验方案 ③收集试验数据 ⑤估计随机事件发生的概率
2. 实物试验或模拟试验
3. 比值
2. 实物试验或模拟试验
3. 比值
解析
【分析】
这道题考查用频率估计概率的相关基础概念，属于识记类题目。解题时先回忆用试验方法估计随机事件概率的完整流程：首先需要规划试验的开展方式，之后开展试验、收集试验产生的数据，再统计整理数据，最终根据统计结果估计事件概率；其次回忆试验估计概率的要求，试验需要具备可操作性，可选择实物试验或者模拟试验；最后回忆频率的定义：频率是样本中某事件发生次数和总试验次数的比值，我们正是用这个比值的平均水平估计总体概率，按照这个思路即可完成所有填空。
【解析】
1. 用试验估计复杂随机事件概率的完整流程为：①先设计试验方案，保障试验可以有序开展；②按照设计好的方案进行试验；③试验过程中收集产生的所有试验数据，为后续统计做准备；④对收集到的数据做统计整理；⑤最后根据统计得到的频率估计对应随机事件发生的概率。因此三个空依次填设计试验方案、收集试验数据、估计随机事件发生的概率。
2. 用试验方法估计概率时，要求试验具备可操作性，既可以开展实际的实物试验，也可以使用替代物或者计算机开展模拟试验，因此填实物试验或模拟试验。
3. 根据频率的定义，频率是样本中某事件发生的次数与试验总次数的比值，我们用该比值的平均水平估计总体中对应事件的概率，因此填比值。
【答案】
1. ①设计试验方案；③收集试验数据；⑤估计随机事件发生的概率
2. 实物试验或模拟试验
3. 比值
【知识点】
1. 用频率估计概率
2. 频率的定义
3. 试验估算概率的步骤
【点评】
本题属于基础概念考查题，侧重考查对用频率估计概率相关基础知识的记忆与理解，熟练掌握相关基础概念即可快速解答，相关内容是后续解决用频率估计概率实际应用类题目的基础。
【难度系数】
0.9
这道题考查用频率估计概率的相关基础概念，属于识记类题目。解题时先回忆用试验方法估计随机事件概率的完整流程：首先需要规划试验的开展方式，之后开展试验、收集试验产生的数据，再统计整理数据，最终根据统计结果估计事件概率；其次回忆试验估计概率的要求，试验需要具备可操作性，可选择实物试验或者模拟试验；最后回忆频率的定义：频率是样本中某事件发生次数和总试验次数的比值，我们正是用这个比值的平均水平估计总体概率，按照这个思路即可完成所有填空。
【解析】
1. 用试验估计复杂随机事件概率的完整流程为：①先设计试验方案，保障试验可以有序开展；②按照设计好的方案进行试验；③试验过程中收集产生的所有试验数据，为后续统计做准备；④对收集到的数据做统计整理；⑤最后根据统计得到的频率估计对应随机事件发生的概率。因此三个空依次填设计试验方案、收集试验数据、估计随机事件发生的概率。
2. 用试验方法估计概率时，要求试验具备可操作性，既可以开展实际的实物试验，也可以使用替代物或者计算机开展模拟试验，因此填实物试验或模拟试验。
3. 根据频率的定义，频率是样本中某事件发生的次数与试验总次数的比值，我们用该比值的平均水平估计总体中对应事件的概率，因此填比值。
【答案】
1. ①设计试验方案；③收集试验数据；⑤估计随机事件发生的概率
2. 实物试验或模拟试验
3. 比值
【知识点】
1. 用频率估计概率
2. 频率的定义
3. 试验估算概率的步骤
【点评】
本题属于基础概念考查题，侧重考查对用频率估计概率相关基础知识的记忆与理解，熟练掌握相关基础概念即可快速解答，相关内容是后续解决用频率估计概率实际应用类题目的基础。
【难度系数】
0.9
1.在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是(
A.频率就是概率
B.频率与试验次数无关
C.概率是随机的，与频率无关
D.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
D
)。A.频率就是概率
B.频率与试验次数无关
C.概率是随机的，与频率无关
D.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
答案
1.D
解析
【分析】
本题考查频率与概率的区别及联系，解题思路如下：首先明确两个核心概念的本质：概率是随机事件固有的固定属性，不随试验情况改变；频率是试验中事件发生次数与总试验次数的比值，会随试验次数波动。再结合“大量重复试验时，频率会逐渐稳定在概率附近”这一规律，逐一判断各选项正误即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 频率是试验得到的统计值，存在波动，概率是事件固定的固有属性，二者不能等同，该选项错误；
B. 频率=事件发生次数÷试验总次数，试验次数变化时频率可能发生改变，与试验次数有关，该选项错误；
C. 概率是固定不变的，并非随机的，且大量重复试验中可以用频率估计概率，二者存在关联，该选项错误；
D. 根据用频率估计概率的原理，随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
频率与概率的关系；用频率估计概率
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分频率和概率的本质差异，理解用频率估计概率的适用条件，熟练掌握相关概念即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查频率与概率的区别及联系，解题思路如下：首先明确两个核心概念的本质：概率是随机事件固有的固定属性，不随试验情况改变；频率是试验中事件发生次数与总试验次数的比值，会随试验次数波动。再结合“大量重复试验时，频率会逐渐稳定在概率附近”这一规律，逐一判断各选项正误即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 频率是试验得到的统计值，存在波动，概率是事件固定的固有属性，二者不能等同，该选项错误；
B. 频率=事件发生次数÷试验总次数，试验次数变化时频率可能发生改变，与试验次数有关，该选项错误；
C. 概率是固定不变的，并非随机的，且大量重复试验中可以用频率估计概率，二者存在关联，该选项错误；
D. 根据用频率估计概率的原理，随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
频率与概率的关系；用频率估计概率
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分频率和概率的本质差异，理解用频率估计概率的适用条件，熟练掌握相关概念即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2.抛掷一枚均匀的硬币，前2次都正面朝上，则第3次正面朝上的概率（
A.大于$\frac{1}{2}$
B.等于$\frac{1}{2}$
C.小于$\frac{1}{2}$
D.不能确定
B
）。A.大于$\frac{1}{2}$
B.等于$\frac{1}{2}$
C.小于$\frac{1}{2}$
D.不能确定
答案
2.B
解析
【分析】
解题时首先要明确两个关键点：一是抛掷均匀的硬币属于等可能试验，每次抛掷只有正面朝上、反面朝上两种等可能的结果；二是每次抛掷硬币是独立的随机事件，之前的抛掷结果不会对后续的抛掷结果产生任何影响。因此不需要受前2次都是正面朝上的条件干扰，直接计算单次抛硬币正面朝上的概率即可。
【解析】
解：因为硬币是均匀的，所以抛掷一次硬币，出现正面朝上和反面朝上的可能性相等，每次正面朝上的概率均为$\frac{1}{2}$。又因为每次抛掷硬币的结果是相互独立的，前2次的抛掷结果不会影响第3次的结果，因此第3次正面朝上的概率仍然等于$\frac{1}{2}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 独立事件概率特征
2. 等可能事件概率计算
【点评】
本题是易错题，易错点是误认为前两次正面朝上后第三次反面朝上的概率会变大，忽略了独立随机事件的概率不受之前结果的影响，主要考查对概率本质的理解。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确两个关键点：一是抛掷均匀的硬币属于等可能试验，每次抛掷只有正面朝上、反面朝上两种等可能的结果；二是每次抛掷硬币是独立的随机事件，之前的抛掷结果不会对后续的抛掷结果产生任何影响。因此不需要受前2次都是正面朝上的条件干扰，直接计算单次抛硬币正面朝上的概率即可。
【解析】
解：因为硬币是均匀的，所以抛掷一次硬币，出现正面朝上和反面朝上的可能性相等，每次正面朝上的概率均为$\frac{1}{2}$。又因为每次抛掷硬币的结果是相互独立的，前2次的抛掷结果不会影响第3次的结果，因此第3次正面朝上的概率仍然等于$\frac{1}{2}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 独立事件概率特征
2. 等可能事件概率计算
【点评】
本题是易错题，易错点是误认为前两次正面朝上后第三次反面朝上的概率会变大，忽略了独立随机事件的概率不受之前结果的影响，主要考查对概率本质的理解。
【难度系数】
0.7
3. 为验证“掷一枚质地均匀的骰子，向上的点数为偶数的概率为0.5”，下列模拟试验中，不科学的是(
A.袋中装有1个红球、1个绿球，它们除颜色外都相同，计算随机摸出红球的概率
B.用计算器随机地取不大于10的正整数，计算取得奇数的概率
C.随机掷一枚质地均匀的硬币，计算正面朝上的概率
D.将一个可以自由转动的转盘分成甲、乙、丙3个相同的扇形，转动转盘任其自由停止，计算指针指向甲的概率
D
)。A.袋中装有1个红球、1个绿球，它们除颜色外都相同，计算随机摸出红球的概率
B.用计算器随机地取不大于10的正整数，计算取得奇数的概率
C.随机掷一枚质地均匀的硬币，计算正面朝上的概率
D.将一个可以自由转动的转盘分成甲、乙、丙3个相同的扇形，转动转盘任其自由停止，计算指针指向甲的概率
答案
3.D
解析
【分析】
要验证概率为0.5的事件，设计的模拟试验对应的目标事件概率必须等于0.5才是科学的。因此我们只需要分别计算每个选项中目标事件的概率，选出概率不等于0.5的选项即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A选项：袋中共有2个除颜色外完全相同的球，摸出红球的等可能结果共1种，故摸出红球的概率为$\frac{1}{2}=0.5$，试验科学，不符合题意；
B选项：不大于10的正整数有1、2、3、4、5、6、7、8、9、10共10个，其中奇数有5个，故取得奇数的概率为$\frac{5}{10}=0.5$，试验科学，不符合题意；
C选项：掷质地均匀的硬币，正面朝上和反面朝上是等可能结果，故正面朝上的概率为$\frac{1}{2}=0.5$，试验科学，不符合题意；
D选项：转盘被分成3个相同的扇形，指针指向每个扇形是等可能的，故指针指向甲的概率为$\frac{1}{3}\approx0.33≠0.5$，试验不科学，符合题意。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 等可能事件概率计算
2. 模拟试验合理性判断
【点评】
本题考查模拟试验的科学性判断，解题的关键是明确设计的模拟试验的目标事件概率需与原待验证事件的概率一致，通过计算各选项对应事件的概率对比即可得出结论，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
要验证概率为0.5的事件，设计的模拟试验对应的目标事件概率必须等于0.5才是科学的。因此我们只需要分别计算每个选项中目标事件的概率，选出概率不等于0.5的选项即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A选项：袋中共有2个除颜色外完全相同的球，摸出红球的等可能结果共1种，故摸出红球的概率为$\frac{1}{2}=0.5$，试验科学，不符合题意；
B选项：不大于10的正整数有1、2、3、4、5、6、7、8、9、10共10个，其中奇数有5个，故取得奇数的概率为$\frac{5}{10}=0.5$，试验科学，不符合题意；
C选项：掷质地均匀的硬币，正面朝上和反面朝上是等可能结果，故正面朝上的概率为$\frac{1}{2}=0.5$，试验科学，不符合题意；
D选项：转盘被分成3个相同的扇形，指针指向每个扇形是等可能的，故指针指向甲的概率为$\frac{1}{3}\approx0.33≠0.5$，试验不科学，符合题意。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 等可能事件概率计算
2. 模拟试验合理性判断
【点评】
本题考查模拟试验的科学性判断，解题的关键是明确设计的模拟试验的目标事件概率需与原待验证事件的概率一致，通过计算各选项对应事件的概率对比即可得出结论，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
4.在一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外都相同的球，如果其中有3个白球，且摸出白球的概率是$\frac{1}{4}$，那么袋子中共有球
12
个。答案
4.12
解析
【分析】
解决本题首先要回忆等可能事件的概率计算逻辑：摸出某类球的概率 = 该类球的数量 ÷ 袋中球的总数量。题目已知白球个数和摸出白球的概率，要求总球数，我们可以设总球数为未知数，将已知条件代入概率公式列出方程，解方程即可得到结果，注意分式方程需要检验解是否符合要求。
【解析】
设袋子中共有球$ x $个，根据概率公式可得：
$\frac{3}{x} = \frac{1}{4}$
交叉相乘求解得：$ x = 3 × 4 = 12 $
经检验，$ x=12 $是原分式方程的解，且符合实际意义。
【答案】
12
【知识点】
概率公式，分式方程解法
【点评】
本题属于概率基础题型，重点考查对概率计算公式的理解和运用，结合方程思想就能快速解题，是概率模块的常规基础题。
【难度系数】
0.85
解决本题首先要回忆等可能事件的概率计算逻辑：摸出某类球的概率 = 该类球的数量 ÷ 袋中球的总数量。题目已知白球个数和摸出白球的概率，要求总球数，我们可以设总球数为未知数，将已知条件代入概率公式列出方程，解方程即可得到结果，注意分式方程需要检验解是否符合要求。
【解析】
设袋子中共有球$ x $个，根据概率公式可得：
$\frac{3}{x} = \frac{1}{4}$
交叉相乘求解得：$ x = 3 × 4 = 12 $
经检验，$ x=12 $是原分式方程的解，且符合实际意义。
【答案】
12
【知识点】
概率公式，分式方程解法
【点评】
本题属于概率基础题型，重点考查对概率计算公式的理解和运用，结合方程思想就能快速解题，是概率模块的常规基础题。
【难度系数】
0.85
5.一个口袋里有10个白球和一些黑球。为了估计口袋里有多少个黑球，小明随机从口袋里摸出一个球，记下颜色，再放回，不断重复上述过程，小明共摸了50次，有10次摸到白球，因此可以估计口袋里有
40
个黑球。答案
5.40
解析
【分析】
这是用频率估计概率的典型应用问题，解题思路如下：第一步，先计算摸球试验中摸到白球的频率，根据大量重复试验的规律，事件发生的频率会稳定在对应概率附近，因此该频率近似等于口袋中白球数占总球数的比例；第二步，设黑球数量为未知数，结合已知的白球数量，根据概率的计算公式列方程求解，即可得到黑球的数量。
【解析】
解：设口袋里有$x$个黑球，则口袋中球的总数量为$(10+x)$个。
由题意可知，摸球试验中摸到白球的频率为：$\frac{10}{50}=\frac{1}{5}$。
根据大量重复试验中频率近似等于概率的规律，可得摸到白球的概率约为$\frac{1}{5}$，结合概率公式列方程：
$\frac{10}{10+x}=\frac{1}{5}$
交叉相乘得：$10+x=5×10$
解得：$x=40$
经检验，$x=40$是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
40
【知识点】
用频率估计概率、简单概率计算、样本估计总体
【点评】
本题是统计与概率部分的基础应用型题目，核心考查频率与概率的关系，解题关键是明确大量重复试验下频率可近似代替对应事件的概率，再结合概率公式建立等量关系求解，这类估算类题型实用性较强，需熟练掌握解题逻辑。
【难度系数】
0.8
这是用频率估计概率的典型应用问题，解题思路如下：第一步，先计算摸球试验中摸到白球的频率，根据大量重复试验的规律，事件发生的频率会稳定在对应概率附近，因此该频率近似等于口袋中白球数占总球数的比例；第二步，设黑球数量为未知数，结合已知的白球数量，根据概率的计算公式列方程求解，即可得到黑球的数量。
【解析】
解：设口袋里有$x$个黑球，则口袋中球的总数量为$(10+x)$个。
由题意可知，摸球试验中摸到白球的频率为：$\frac{10}{50}=\frac{1}{5}$。
根据大量重复试验中频率近似等于概率的规律，可得摸到白球的概率约为$\frac{1}{5}$，结合概率公式列方程：
$\frac{10}{10+x}=\frac{1}{5}$
交叉相乘得：$10+x=5×10$
解得：$x=40$
经检验，$x=40$是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
40
【知识点】
用频率估计概率、简单概率计算、样本估计总体
【点评】
本题是统计与概率部分的基础应用型题目，核心考查频率与概率的关系，解题关键是明确大量重复试验下频率可近似代替对应事件的概率，再结合概率公式建立等量关系求解，这类估算类题型实用性较强，需熟练掌握解题逻辑。
【难度系数】
0.8
6.在一个不透明袋子中有1个红球、1个绿球和n个白球，这些球除颜色外无其他差别。
(1)当$n=1$时，从袋中随机摸出1个球，摸到红球和摸到白球的可能性是否相同？
(2)从袋中随机摸出一个球，记录其颜色，然后放回，大量重复该试验，发现摸到绿球的频率稳定于0.25，则$n$的值是
(3)当$n=2$时，先从袋中任意摸出1个球不放回，再从袋中任意摸出1个球，请用列表或画树状图的方法，求两次都摸到白球的概率。
(1)当$n=1$时，从袋中随机摸出1个球，摸到红球和摸到白球的可能性是否相同？
(2)从袋中随机摸出一个球，记录其颜色，然后放回，大量重复该试验，发现摸到绿球的频率稳定于0.25，则$n$的值是
2
。(3)当$n=2$时，先从袋中任意摸出1个球不放回，再从袋中任意摸出1个球，请用列表或画树状图的方法，求两次都摸到白球的概率。
答案
6.解:(1)当$n=1$时，从袋中随机摸出1个球，摸到红球和摸到白球的可能性相同。
(2)2
(3)画树状图如图
。共有12种等可能的结果，其中两次都摸到白球的结果共有2种，
所以两次都摸到白球的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
解析
【分析】
(1) 判断摸到两种球的可能性是否相同，只需对比两种球的数量是否相等，当n=1时，红球和白球数量均为1，可直接得出结论。
(2) 大量重复试验中，频率的稳定值近似等于事件发生的概率，因此摸到绿球的概率为0.25，结合概率公式：某事件概率=对应事件的数量÷总数量，代入绿球数量和总球数列式求解即可得到n的值。
(3) 当n=2时，袋中共有4个球，不放回摸两次属于两步不放回试验，通过画树状图列出所有等可能的结果，再统计两次都摸到白球的结果数，最后代入概率公式计算即可。
【解析】
解：
(1) 当$n=1$时，袋中红球有1个，白球有1个，两类球的数量相等，因此随机摸1个球，摸到红球和摸到白球的可能性相同。
(2) 由频率稳定于0.25可知，摸到绿球的概率约为0.25。袋中总球数为$1+1+n=n+2$，绿球共1个，根据概率公式列方程：
$\frac{1}{n+2}=0.25$
解得$n+2=4$，即$n=2$。
(3) 当$n=2$时，袋中有1红、1绿、2个白球（记为白₁、白₂），进行不放回摸球两次，画树状图统计所有结果：
由树状图可得，共有$4×3=12$种等可能的结果，其中两次都摸到白球的结果有2种，分别是（白₁，白₂）、（白₂，白₁），因此两次都摸到白球的概率为$P=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
(1)当$n=1$时，从袋中随机摸出1个球，摸到红球和摸到白球的可能性相同。
(2)2
(3)画树状图如图。
共有12种等可能的结果，其中两次都摸到白球的结果共有2种，
所以两次都摸到白球的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【知识点】
可能性大小判断；用频率估计概率；树状图法求概率
【点评】
本题围绕概率基础考点设置，涵盖可能性判断、频率与概率的关系、不放回事件的概率计算三类常见题型，解题时需注意区分放回和不放回试验的差异，避免计数错误。
【难度系数】
0.7
(1) 判断摸到两种球的可能性是否相同，只需对比两种球的数量是否相等，当n=1时，红球和白球数量均为1，可直接得出结论。
(2) 大量重复试验中，频率的稳定值近似等于事件发生的概率，因此摸到绿球的概率为0.25，结合概率公式：某事件概率=对应事件的数量÷总数量，代入绿球数量和总球数列式求解即可得到n的值。
(3) 当n=2时，袋中共有4个球，不放回摸两次属于两步不放回试验，通过画树状图列出所有等可能的结果，再统计两次都摸到白球的结果数，最后代入概率公式计算即可。
【解析】
解：
(1) 当$n=1$时，袋中红球有1个，白球有1个，两类球的数量相等，因此随机摸1个球，摸到红球和摸到白球的可能性相同。
(2) 由频率稳定于0.25可知，摸到绿球的概率约为0.25。袋中总球数为$1+1+n=n+2$，绿球共1个，根据概率公式列方程：
$\frac{1}{n+2}=0.25$
解得$n+2=4$，即$n=2$。
(3) 当$n=2$时，袋中有1红、1绿、2个白球（记为白₁、白₂），进行不放回摸球两次，画树状图统计所有结果：
由树状图可得，共有$4×3=12$种等可能的结果，其中两次都摸到白球的结果有2种，分别是（白₁，白₂）、（白₂，白₁），因此两次都摸到白球的概率为$P=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
(1)当$n=1$时，从袋中随机摸出1个球，摸到红球和摸到白球的可能性相同。
(2)2
(3)画树状图如图
。共有12种等可能的结果，其中两次都摸到白球的结果共有2种，
所以两次都摸到白球的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【知识点】
可能性大小判断；用频率估计概率；树状图法求概率
【点评】
本题围绕概率基础考点设置，涵盖可能性判断、频率与概率的关系、不放回事件的概率计算三类常见题型，解题时需注意区分放回和不放回试验的差异，避免计数错误。
【难度系数】
0.7
