登录
7.在同样的条件下对某种小麦种子进行发芽试验,统计发芽种子数,获得如下频数表,由表估计该麦种的发芽概率是(
| 试验种子数n | 50 | 200 | 500 | 1 000 | 3 000 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 发芽频数m | 45 |
| 476 | 951 | 2 850 |
| 发芽频率$\frac{m}{n}$ | 0.9 | 0.94 | 0.952 | 0.951 | 0.95 |
A.0.8
B.0.9
C.0.95
D.1
C
)。| 试验种子数n | 50 | 200 | 500 | 1 000 | 3 000 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 发芽频数m | 45 |
| 476 | 951 | 2 850 || 发芽频率$\frac{m}{n}$ | 0.9 | 0.94 | 0.952 | 0.951 | 0.95 |
A.0.8
B.0.9
C.0.95
D.1
答案
7.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆用频率估计概率的相关知识：当进行大量重复试验时，某一事件发生的频率会逐渐稳定在一个常数附近，我们就把这个常数作为该事件发生概率的估计值。解题时我们观察表格中随着试验种子数n逐渐增大，发芽频率的变化趋势，找到频率稳定的数值，就是发芽概率的估计值。
【解析】
根据用频率估计概率的原理：大量重复试验中，事件发生的频率逐渐稳定到的常数可作为该事件概率的估计值。
观察表格数据：随着试验种子数n从50逐步增加到3000，发芽频率依次为0.9、0.94、0.952、0.951、0.95，可见频率逐渐稳定在0.95附近，因此估计该麦种的发芽概率是0.95，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
用频率估计概率，频率的稳定性
【点评】
本题考查频率估计概率的应用，解题的关键是理解大量重复试验下频率的稳定值即为概率的估计值，属于基础类题型。
【难度系数】
0.85
要解决这道题，首先回忆用频率估计概率的相关知识：当进行大量重复试验时，某一事件发生的频率会逐渐稳定在一个常数附近，我们就把这个常数作为该事件发生概率的估计值。解题时我们观察表格中随着试验种子数n逐渐增大，发芽频率的变化趋势，找到频率稳定的数值，就是发芽概率的估计值。
【解析】
根据用频率估计概率的原理：大量重复试验中，事件发生的频率逐渐稳定到的常数可作为该事件概率的估计值。
观察表格数据：随着试验种子数n从50逐步增加到3000，发芽频率依次为0.9、0.94、0.952、0.951、0.95，可见频率逐渐稳定在0.95附近，因此估计该麦种的发芽概率是0.95，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
用频率估计概率，频率的稳定性
【点评】
本题考查频率估计概率的应用，解题的关键是理解大量重复试验下频率的稳定值即为概率的估计值，属于基础类题型。
【难度系数】
0.85
8.为了估计鱼塘中鱼的条数，养鱼者首先从鱼塘中捕获30条鱼，在每条鱼身上做好记号后，把这些鱼放回鱼塘，再从鱼塘中打捞200条鱼。如果在这200条鱼中有5条鱼是有记号的，那么鱼塘中鱼的条数估计为
1 200
条。答案
8.1 200
解析
【分析】
本题是用频率估计概率的实际应用问题，解题思路如下：首先将标记的30条鱼放回鱼塘后，标记鱼会均匀分布在鱼塘中，此时随机打捞样本中标记鱼的占比（频率）近似等于鱼塘总体中标记鱼的占比（概率）。我们可以设鱼塘总鱼数为未知数，根据两个占比相等建立等量关系，解方程即可得到估计的总鱼数。
【解析】
设鱼塘中估计有$ x $条鱼。
根据用频率估计概率的原理，总体中标记鱼的占比近似等于样本中标记鱼的占比，可列方程：
$\frac{30}{x} = \frac{5}{200}$
交叉相乘得：
$5x = 30 × 200$
计算得：
$5x = 6000$
解得：
$x = 1200$
经检验，$ x=1200 $是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
1200
【知识点】
用频率估计概率、样本估计总体
【点评】
本题是统计估计类的基础题型，解题关键是理解抽样频率可近似反映总体的概率特征，找准等量关系即可快速求解，这类方法在资源数量估算类实际问题中应用十分广泛。
【难度系数】
0.8
本题是用频率估计概率的实际应用问题，解题思路如下：首先将标记的30条鱼放回鱼塘后，标记鱼会均匀分布在鱼塘中，此时随机打捞样本中标记鱼的占比（频率）近似等于鱼塘总体中标记鱼的占比（概率）。我们可以设鱼塘总鱼数为未知数，根据两个占比相等建立等量关系，解方程即可得到估计的总鱼数。
【解析】
设鱼塘中估计有$ x $条鱼。
根据用频率估计概率的原理，总体中标记鱼的占比近似等于样本中标记鱼的占比，可列方程：
$\frac{30}{x} = \frac{5}{200}$
交叉相乘得：
$5x = 30 × 200$
计算得：
$5x = 6000$
解得：
$x = 1200$
经检验，$ x=1200 $是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
1200
【知识点】
用频率估计概率、样本估计总体
【点评】
本题是统计估计类的基础题型，解题关键是理解抽样频率可近似反映总体的概率特征，找准等量关系即可快速求解，这类方法在资源数量估算类实际问题中应用十分广泛。
【难度系数】
0.8
9.小明在操场上做游戏，他发现地上有一个不规则的封闭图形ABC，如图所示。为了求其面积，小明在封闭的图形中找出了一个半径为1 m的圆，在不远处向圈内掷石子，且记录如下表：
你能否求出封闭图形ABC的面积？试试看。
你能否求出封闭图形ABC的面积？试试看。
答案
9.解:由记录得$\frac{m}{n}\approx\frac{1}{2}$，
$\therefore P(石子落在圆内)=\frac{m}{m+n}=\frac{1}{3}$。
又$P(石子落在圆内)=\frac{圆的面积}{圆的面积+阴影的面积}$，
$\therefore \frac{S_{圆}}{S_{封闭图形ABC}}=\frac{1}{3}$。$\because S_{圆}=π×1^2=π(\mathrm{m}^2)$，
$S_{封闭图形ABC}=3π\ \mathrm{m}^2$。
$\therefore P(石子落在圆内)=\frac{m}{m+n}=\frac{1}{3}$。
又$P(石子落在圆内)=\frac{圆的面积}{圆的面积+阴影的面积}$，
$\therefore \frac{S_{圆}}{S_{封闭图形ABC}}=\frac{1}{3}$。$\because S_{圆}=π×1^2=π(\mathrm{m}^2)$，
$S_{封闭图形ABC}=3π\ \mathrm{m}^2$。
解析
【分析】
要计算不规则封闭图形ABC的面积，可结合频率估计概率、几何概率的知识求解：首先，大量重复掷石子的试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在概率附近，我们可先通过试验数据得到石子落在圆内的概率；其次，几何概率中，石子落在圆内的概率等于圆的面积与封闭图形ABC的面积的比值，结合已知圆的半径求出圆的面积后，即可代入计算出封闭图形的总面积。
【解析】
由试验记录可知，多次试验后，石子落在圆内的次数$m$与落在圆外阴影部分的次数$n$的比值约为$\frac{1}{2}$，因此：
$P(\mathrm{石子落在圆内})=\frac{\mathrm{落在圆内的次数}}{\mathrm{总投掷次数}}=\frac{m}{m+n}=\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3}$
根据几何概率的意义，$P(\mathrm{石子落在圆内})=\frac{\mathrm{圆的面积}}{\mathrm{封闭图形}ABC\mathrm{的面积}}$
已知圆的半径$r=1\ \mathrm{m}$，先计算圆的面积：
$S_{\mathrm{圆}}=π r^2=π×1^2=π(\mathrm{m}^2)$
代入概率公式得：$\frac{S_{\mathrm{圆}}}{S_{\mathrm{封闭图形}ABC}}=\frac{1}{3}$
解得：$S_{\mathrm{封闭图形}ABC}=3S_{\mathrm{圆}}=3π(\mathrm{m}^2)$
【答案】
$3π\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
用频率估计概率、几何概率计算
【点评】
本题是概率知识在实际测量场景中的应用，解题的关键是明确大量重复试验下频率可作为概率的估计值，同时理解几何概率等于对应区域的面积之比，能有效考查学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
要计算不规则封闭图形ABC的面积，可结合频率估计概率、几何概率的知识求解：首先，大量重复掷石子的试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在概率附近，我们可先通过试验数据得到石子落在圆内的概率；其次，几何概率中，石子落在圆内的概率等于圆的面积与封闭图形ABC的面积的比值，结合已知圆的半径求出圆的面积后，即可代入计算出封闭图形的总面积。
【解析】
由试验记录可知，多次试验后，石子落在圆内的次数$m$与落在圆外阴影部分的次数$n$的比值约为$\frac{1}{2}$，因此：
$P(\mathrm{石子落在圆内})=\frac{\mathrm{落在圆内的次数}}{\mathrm{总投掷次数}}=\frac{m}{m+n}=\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3}$
根据几何概率的意义，$P(\mathrm{石子落在圆内})=\frac{\mathrm{圆的面积}}{\mathrm{封闭图形}ABC\mathrm{的面积}}$
已知圆的半径$r=1\ \mathrm{m}$，先计算圆的面积：
$S_{\mathrm{圆}}=π r^2=π×1^2=π(\mathrm{m}^2)$
代入概率公式得：$\frac{S_{\mathrm{圆}}}{S_{\mathrm{封闭图形}ABC}}=\frac{1}{3}$
解得：$S_{\mathrm{封闭图形}ABC}=3S_{\mathrm{圆}}=3π(\mathrm{m}^2)$
【答案】
$3π\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
用频率估计概率、几何概率计算
【点评】
本题是概率知识在实际测量场景中的应用，解题的关键是明确大量重复试验下频率可作为概率的估计值，同时理解几何概率等于对应区域的面积之比，能有效考查学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
10.某校数学社团成员采用随机抽样的方法，抽取了八年级部分学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间t(单位:h)进行了调查，将数据整理后得到下列不完整的统计图表：
请根据图表信息回答下列问题：
(1)频数分布表中，a=
(2)扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角的度数是
(3)请估算该校600名八年级学生中睡眠不足7小时的人数。
(4)研究表明，初中生每天睡眠时长低于7小时，会严重影响学习效率。请你根据以上调查统计结果，向学校提出一条合理化的建议。
请根据图表信息回答下列问题：
(1)频数分布表中，a=
0.2
，b=7
。(2)扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角的度数是
72
°。(3)请估算该校600名八年级学生中睡眠不足7小时的人数。
(4)研究表明，初中生每天睡眠时长低于7小时，会严重影响学习效率。请你根据以上调查统计结果，向学校提出一条合理化的建议。
答案
10.解:(1)0.2 7
(2)72
(3)$0.08+0.16=0.24$，
$600×0.24=144$(人)，
因此，估计该校600名八年级学生中睡眠不足7小时的人数为144人。
(4)根据(3)中求得的该学校每天睡眠时长低于7小时的人数，建议学校尽量让学生在学校完成作业，课后少布置作业。(答案不唯一)
(2)72
(3)$0.08+0.16=0.24$，
$600×0.24=144$(人)，
因此，估计该校600名八年级学生中睡眠不足7小时的人数为144人。
(4)根据(3)中求得的该学校每天睡眠时长低于7小时的人数，建议学校尽量让学生在学校完成作业，课后少布置作业。(答案不唯一)
解析
【分析】
解题前先明确统计问题的核心关系：①总抽样人数=某组频数÷对应组的频率；②某组频率=该组频数÷总抽样人数；③扇形统计图中某组的圆心角度数=该组频率×360°；④估算总体中某类的数量，用样本中该类的频率×总体总人数。
解题步骤：首先从已知的频数和频率求出抽样总人数，再利用总人数计算a、b的值；其次用C组的频率乘360°得到对应圆心角度数；然后找到睡眠不足7小时的组的频率和，乘总人数600得到估算人数；最后根据调查结果提出合理化建议即可。
【解析】
(1) 先计算抽样调查的总人数：由已知A组频数为4，频率为0.08，可得总人数 = 4÷0.08 = 50人。
求a：a对应组的频数为10，因此a = 10÷50 = 0.2；
求b：b对应组的频率为0.14，因此b = 50×0.14 = 7。
(2) C组的频率为0.2，因此C组所在扇形圆心角的度数 = 0.2×360° = 72°。
(3) 睡眠不足7小时的是t＜7的两组，对应频率和为0.08+0.16=0.24，
则该校600名八年级学生中睡眠不足7小时的人数约为600×0.24 = 144人。
(4) 结合调查结果，可围绕保障学生睡眠时间提出合理建议即可。
【答案】
(1) 0.2；7
(2) 72
(3) 144人
(4) 示例：建议学校尽量让学生在学校完成作业，课后少布置作业（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
频数与频率，扇形统计图，用样本估计总体
【点评】
本题属于统计基础应用题，结合学生睡眠的现实场景命题，既考查对统计图表相关公式的掌握，也引导学生关注作息健康，解题关键是熟练掌握频数、频率、总人数三者的换算关系。
【难度系数】
0.7
解题前先明确统计问题的核心关系：①总抽样人数=某组频数÷对应组的频率；②某组频率=该组频数÷总抽样人数；③扇形统计图中某组的圆心角度数=该组频率×360°；④估算总体中某类的数量，用样本中该类的频率×总体总人数。
解题步骤：首先从已知的频数和频率求出抽样总人数，再利用总人数计算a、b的值；其次用C组的频率乘360°得到对应圆心角度数；然后找到睡眠不足7小时的组的频率和，乘总人数600得到估算人数；最后根据调查结果提出合理化建议即可。
【解析】
(1) 先计算抽样调查的总人数：由已知A组频数为4，频率为0.08，可得总人数 = 4÷0.08 = 50人。
求a：a对应组的频数为10，因此a = 10÷50 = 0.2；
求b：b对应组的频率为0.14，因此b = 50×0.14 = 7。
(2) C组的频率为0.2，因此C组所在扇形圆心角的度数 = 0.2×360° = 72°。
(3) 睡眠不足7小时的是t＜7的两组，对应频率和为0.08+0.16=0.24，
则该校600名八年级学生中睡眠不足7小时的人数约为600×0.24 = 144人。
(4) 结合调查结果，可围绕保障学生睡眠时间提出合理建议即可。
【答案】
(1) 0.2；7
(2) 72
(3) 144人
(4) 示例：建议学校尽量让学生在学校完成作业，课后少布置作业（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
频数与频率，扇形统计图，用样本估计总体
【点评】
本题属于统计基础应用题，结合学生睡眠的现实场景命题，既考查对统计图表相关公式的掌握，也引导学生关注作息健康，解题关键是熟练掌握频数、频率、总人数三者的换算关系。
【难度系数】
0.7
