1.(2026 江苏镇江期末)学校组织趣味运动会，需要购买一批跳绳，已知甲、乙两家商店每根跳绳的规格一样，且标价相同. 现在两家商店都针对这款跳绳推出了促销活动.
甲商店:每根跳绳按标价打八五折后,在总价的基础上再优惠 12 元.
乙商店:买四送一.
学校打算在其中一家商店购买 20 根跳绳.
(1)若在乙商店购买,则实际需要支付根跳绳的费用；
(2)小明发现按照两家商店的促销方案,在乙商店购买 20 根跳绳比在甲商店购买 20 根跳绳便宜 8 元,求每根跳绳的标价.

1. 解:(1)16
(2)设每根跳绳的标价为x元,
由题意得 20×0.85x−12=16x+8.
解得 x=20.
答:每根跳绳的标价为20元.

【分析】
(1) 先明确乙商店“买四送一”的规则：每支付4根跳绳的费用，可获得5根跳绳。要购买20根跳绳，先计算20根里包含多少个“5根”的组合，再用组合数乘每组需要付费的4根，即可得到实际付费的数量。
(2) 要求每根跳绳的标价，可设标价为x元，分别表示出在甲、乙两店购买20根跳绳的总费用，再根据“乙店购买比甲店便宜8元”的等量关系（即甲店总费用=乙店总费用+8元）列一元一次方程，解方程即可求出标价。
【解析】
(1) 乙商店买四送一，即每5根跳绳只需支付4根的费用。
购买20根跳绳时，包含的组合数为：$20÷(4+1)=4$（组）
实际需要付费的跳绳数量为：$4×4=16$（根）
(2) 设每根跳绳的标价为$x$元。
甲商店购买20根的总费用：20根打八五折后再减12元，即$20×0.85x - 12$元；
乙商店购买20根的总费用：只需支付16根的费用，即$16x$元。
根据题意乙店比甲店便宜8元，列方程得：
$20×0.85x - 12 = 16x + 8$
化简得：$17x - 12 = 16x + 8$
移项计算得：$x=20$
【答案】
(1) 16；(2) 每根跳绳的标价为20元
【知识点】
一元一次方程的应用；销售方案计算；列方程解应用题
【点评】
本题结合生活中购物促销的实际场景命题，解题的核心是准确理解两家店的促销规则，梳理清楚两个方案的费用关系，找到正确的等量关系列方程求解，整体贴合生活实际，能锻炼用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8

2. (2026北京顺义区期末)某食品加工厂计划到草莓种植基地购买一批草莓,当购买量在1 200 kg(含1 200 kg)以上时,种植基地有以下两种销售方案.
方案一:每千克25元,由基地送货上门.
方案二:每千克22元,由食品加工厂自己运回.
已知该食品加工厂租车从基地到工厂的运输费为4 200元.
(1)食品加工厂购买多少千克草莓时,选择两种方案所需的费用相同?
(2)如果食品加工厂计划购买2 500 kg草莓,那么选择哪种方案省钱?为什么?

2. 解:(1)设食品加工厂购买x kg草莓时,选择两种方案所需的费用相同,
由题意得 25x=22x+4 200.
解得 x=1 400.
答:食品加工厂购买1 400 kg草莓时,选择两种方案所需的费用相同.
(2)选择方案二省钱. 理由如下:
方案一:25×2 500=62 500(元).
方案二:22×2 500+4 200=59 200(元).
62 500＞59 200.
答:选择方案二省钱.

【分析】
(1) 要找到两种方案费用相同的购买重量，首先梳理两种方案的总费用构成：方案一总费用仅为草莓的采购费用，即单价乘购买重量；方案二总费用为草莓采购费加运输费。设购买重量为未知数，根据“两种方案费用相等”的等量关系列一元一次方程，求解即可得到对应重量。
(2) 要判断购买2500kg草莓时哪种方案省钱，只需将购买重量分别代入两种方案的费用计算公式，算出各自总费用后比较大小，总费用更低的方案更划算。
【解析】
(1) 设食品加工厂购买$ x $ kg草莓时，选择两种方案所需的费用相同。
由题意得：$ 25x = 22x + 4200 $
移项合并得：$ 3x = 4200 $
解得：$ x = 1400 $
答：食品加工厂购买1400kg草莓时，选择两种方案所需的费用相同。
(2) 选择方案二省钱，理由如下：
购买2500kg草莓时，
方案一总费用：$ 25 × 2500 = 62500 $（元）
方案二总费用：$ 22 × 2500 + 4200 = 59200 $（元）
因为$ 62500 ＞ 59200 $，所以方案二费用更低。
答：选择方案二省钱。
【答案】
(1) 1400kg；
(2) 选择方案二省钱。
【知识点】
一元一次方程的应用，方案决策，代数式求值
【点评】
本题结合生活采购场景考查方案优化问题，解题关键是准确梳理不同方案的成本构成，利用等量关系列方程求解，再通过计算比较得到最优方案，能有效锻炼学生用数学思维解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7

3.某商场推出优惠活动,规定如下:
①一次购物不超过200元,不予折扣;
②一次购物超过200元但不超过500元,按原价给予九折优惠;
③一次购物超过500元,500元的部分按第②条给予优惠,超过500元的部分给予八折优惠.
王叔叔第一次购物付了482元,第二次购物付了170元,如果他将两次所购物品一次性购买完,那么他可节省元.

3. 34 解析 因为 200×0.9 = 180(元),500×0.9 = 450(元),170＜180,450＜482,所以王叔叔第一次购物的原价超过500元,第二次购物的原价为170元.
设王叔叔第一次购物的原价为x元,由题意得 500×0.9+0.8(x−500)=482. 解得 x=540. 482+170−[500×0.9+(540+170−500)×0.8]=34(元),所以如果王叔叔将两次所购物品一次性购买完,那么他可节省34元.

【分析】
解题时首先要结合商场的优惠规则，判断两次购物的原价：①先看第二次付费170元，计算得200元打九折后为180元，170＜180，说明第二次购物未享受折扣，原价就是170元；②再看第一次付费482元，计算得500元打九折后为450元，482＞450，说明第一次购物原价超过500元，可列一元一次方程求出第一次的原价。接着计算两次购物原价总和，按优惠规则算出一次性购买的应付费用，最后用原来两次总付费减去一次性购买的费用，即可得到节省的金额。
【解析】
先计算分段节点的优惠后金额：$200 × 0.9 = 180$（元），$500 × 0.9 = 450$（元）。
因为$170 ＜ 180$，所以第二次购物未享受折扣，原价为170元。
因为$482 ＞ 450$，所以第一次购物原价超过500元，设第一次购物原价为$x$元，根据题意列方程：
$500 × 0.9 + 0.8(x-500) = 482$
解方程：
$450 + 0.8x - 400 = 482 \\0.8x + 50 = 482 \\0.8x = 432 \x = 540$
两次购物原价总和为$540 + 170 = 710$（元）。
若一次性购买，应付费用为：
$500 × 0.9 + (710 - 500) × 0.8 = 450 + 168 = 618$
原来两次总付费为$482 + 170 = 652$（元）。
可节省金额为$652 - 618 = 34$（元）。
【答案】
34
【知识点】
1. 分段计费
2. 一元一次方程应用
3. 方案决策
【点评】
本题是典型的分段计费类方案决策题，解题核心是先根据已付金额反推商品原价，需明确不同优惠区间的计费规则，找准分段节点，避免混淆折扣适用范围，再通过对比不同购买方案的总费用得出结果。
【难度系数】
0.65

4.(2025河北保定期末)某校组织学生外出研学,旅行社报价每人收费300元,当研学人数超过100时,旅行社给出的两种优惠方案如下.
方案一:研学团队先交500元,每人再交280元.
方案二:10人免费,其余每人的收费打九五折.
(1)当参加研学的总人数是$x(x＞100)$时,选择方案一需付费元,选择方案二需付费元.(用含$x$的代数式表示)
(2)若参加研学的有甲、乙两个团队,且两个团队的人数都超过100,其中甲团队人数比乙团队人数多10,但需支付的费用一样多.请你判断这样的情况是否存在.若存在,请计算乙团队的研学人数;若不存在,请说明理由.

4. 解:(1)(280x+500);(285x−2 850)
(2)设乙团队的研学人数为y,则甲团队的研学人数为y+10.
根据(1)可知,两个方案的费用都随着人数的增加而增加,
所以当两个团队的花费一样多时,两个团队选择的方案必然不同.
当甲团队选择方案一,乙团队选择方案二时,
可得 500+280(y+10)=285y−2 850.
解得 y=1 230.
当甲团队选择方案二,乙团队选择方案一时,
可得 500+280y=285(y+10)−2 850.
解得 y=100(不符合题意,舍去).
所以当乙团队的研学人数为1 230时,甲、乙两个团队需支付的费用一样多.

【分析】
（1）第一问需根据两个方案的收费规则分别列代数式：方案一总费用为固定预交费用加每人收费乘总人数；方案二总费用为付费人数乘打折后每人的费用，化简即可得到结果。
（2）第二问先明确：同一方案下费用随人数增加而升高，甲团队人数更多却和乙团队费用相同，说明两个团队选择的方案必然不同，因此分两种情况讨论：①甲选方案一、乙选方案二；②甲选方案二、乙选方案一，分别列一元一次方程求解，再检验解是否满足“人数超过100”的条件，舍去不符合要求的解即可。
【解析】
（1）方案一费用：先交500元，每人再交280元，总费用为$500 + 280x = (280x + 500)$元；
方案二费用：10人免费，付费人数为$(x-10)$人，打折后每人收费$300×0.95=285$元，总费用为$285(x-10)=(285x - 2850)$元。
（2）存在这样的情况，理由如下：
设乙团队的研学人数为$y(y＞100)$，则甲团队的研学人数为$y+10$。
因为两种方案的费用都随人数增加而递增，若两团队选同一方案，人数更多的甲团队费用必然更高，因此两团队选择的方案不同，分情况讨论：
①当甲团队选方案一，乙团队选方案二时，根据费用相等列方程：
$500 + 280(y + 10) = 285y - 2850$
化简得：$3300 + 280y = 285y - 2850$
移项合并得：$5y = 6150$
解得$y=1230$，满足$y＞100$，符合题意。
②当甲团队选方案二，乙团队选方案一时，根据费用相等列方程：
$500 + 280y = 285(y + 10) - 2850$
化简得：$500 + 280y = 285y$
解得$y=100$，不符合“人数超过100”的条件，舍去。
综上，符合要求的情况存在。
【答案】
(1) $(280x + 500)$；$(285x - 2850)$
(2) 存在，乙团队的研学人数为1230人。
【知识点】
列代数式；一元一次方程的应用；方案决策问题
【点评】
本题结合实际研学收费场景命题，解题核心是准确梳理两种优惠方案的收费逻辑，第二问需要结合费用随人数变化的单调性确定分类讨论的方向，同时要注意检验方程的解是否符合题目的限制条件，避免得到不符合实际的结果。
【难度系数】
0.6