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7. 将某公园娱乐设施“水上滑梯”的侧面图放在平面直角坐标系中，如图27.3 - 10所示，其中OD为水面，滑梯BC段可看成是反比例函数图象的一部分，矩形AOEB为向上攀爬的梯子，梯子高OA为6 m，宽AB为1 m，出口C点到BE的距离CF为4 m.
(1)求BC段所在反比例函数的解析式，并写出自变量的取值范围；
(2)求点C到x轴的距离(CD的长)；
(3)若滑梯BC上有一个小球Q，Q距水面OD的高度不高于3 m，求Q到BE距离n的取值范围.
图27.3 - 10
(1)求BC段所在反比例函数的解析式，并写出自变量的取值范围；
(2)求点C到x轴的距离(CD的长)；
(3)若滑梯BC上有一个小球Q，Q距水面OD的高度不高于3 m，求Q到BE距离n的取值范围.
图27.3 - 10
答案
(1) 设 BC 段所在的反比例函数解析式为 $y=\frac{k}{x}$, $\because B(1,6), \therefore 6=\frac{k}{1}$,解得 $k=6$. $\because$ 出口 C 点到 BE 的距离 CF 为 4 m, $\therefore OD=4+1=5(\mathrm{m})$. $\therefore BC$ 段所在反比例函数的解析式为 $y=\frac{6}{x}(1≤ x≤5)$
(2) $\because OD=5\ \mathrm{m}$, 当 $x=5$ 时, $y=\frac{6}{5}$. $\therefore$ 点 C 到 x 轴的距离 CD 长为 $\frac{6}{5}\ \mathrm{m}$
(3) 将 $y=3$ 代入 $y=\frac{6}{x}$, 可得 $x=2$. 因为 $y$ 随着 $x$ 的增大而减小, 所以 Q 距水面 OD 的高度不高于 3 m 时, $x≥2$. 又 $\because 1≤ x≤5, \therefore 2≤ x≤5$. 又 $\because BE$ 所在直线为 $x=1$, Q 到 BE 的距离 $n=x-1$, 当 $x=2$ 时, 距离为 $2-1=1(\mathrm{m})$; 当 $x=5$ 时, 距离为 $5-1=4(\mathrm{m})$, 所以 Q 到 BE 的距离 $n$ 的取值范围是 $1≤ n≤4$
(2) $\because OD=5\ \mathrm{m}$, 当 $x=5$ 时, $y=\frac{6}{5}$. $\therefore$ 点 C 到 x 轴的距离 CD 长为 $\frac{6}{5}\ \mathrm{m}$
(3) 将 $y=3$ 代入 $y=\frac{6}{x}$, 可得 $x=2$. 因为 $y$ 随着 $x$ 的增大而减小, 所以 Q 距水面 OD 的高度不高于 3 m 时, $x≥2$. 又 $\because 1≤ x≤5, \therefore 2≤ x≤5$. 又 $\because BE$ 所在直线为 $x=1$, Q 到 BE 的距离 $n=x-1$, 当 $x=2$ 时, 距离为 $2-1=1(\mathrm{m})$; 当 $x=5$ 时, 距离为 $5-1=4(\mathrm{m})$, 所以 Q 到 BE 的距离 $n$ 的取值范围是 $1≤ n≤4$
解析
【分析】
要解决这道题，首先通过矩形的性质确定B点坐标，用待定系数法求出反比例函数解析式；再根据CF的长度确定C点的横坐标，得到自变量的取值范围；求点C到x轴的距离时，将C点横坐标代入反比例函数解析式即可；求Q到BE的距离n的范围时，先根据Q的高度限制求出对应的x范围，再结合BE的位置（x=1），计算n=x-1的取值范围。
【解析】
(1) 设BC段所在反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}$。
由矩形AOEB的性质，OA=6m，AB=1m，得B点坐标为$(1,6)$。
将B(1,6)代入解析式，得$6=\frac{k}{1}$，解得$k=6$，故反比例函数解析式为$y=\frac{6}{x}$。
因出口C点到BE的距离CF为4m，BE所在直线为x=1，所以C点横坐标为$1+4=5$，因此自变量x的取值范围是$1≤x≤5$。
(2) 求点C到x轴的距离，即求x=5时反比例函数的y值。
将x=5代入$y=\frac{6}{x}$，得$y=\frac{6}{5}$，故CD的长为$\frac{6}{5}\ \mathrm{m}$。
(3) Q距水面OD的高度不高于3m，即Q点纵坐标$y≤3$，将$y=3$代入$y=\frac{6}{x}$，得$3=\frac{6}{x}$，解得$x=2$。
因反比例函数$y=\frac{6}{x}$中y随x增大而减小，故$y≤3$时$x≥2$，结合BC段自变量范围$1≤x≤5$，得$2≤x≤5$。
BE所在直线为x=1，Q到BE的距离$n=x-1$，当x=2时$n=1$，x=5时$n=4$，故n的取值范围是$1≤n≤4$。
【答案】
(1) $y=\frac{6}{x}(1≤x≤5)$；(2) $\frac{6}{5}\ \mathrm{m}$；(3) $1≤n≤4$
【知识点】
反比例函数解析式、反比例函数的性质、坐标与距离的关系
【点评】
本题是反比例函数在实际场景的应用，核心是利用待定系数法求解析式，结合反比例函数的增减性解决问题，需准确确定各点坐标，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先通过矩形的性质确定B点坐标，用待定系数法求出反比例函数解析式；再根据CF的长度确定C点的横坐标，得到自变量的取值范围；求点C到x轴的距离时，将C点横坐标代入反比例函数解析式即可；求Q到BE的距离n的范围时，先根据Q的高度限制求出对应的x范围，再结合BE的位置（x=1），计算n=x-1的取值范围。
【解析】
(1) 设BC段所在反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}$。
由矩形AOEB的性质，OA=6m，AB=1m，得B点坐标为$(1,6)$。
将B(1,6)代入解析式，得$6=\frac{k}{1}$，解得$k=6$，故反比例函数解析式为$y=\frac{6}{x}$。
因出口C点到BE的距离CF为4m，BE所在直线为x=1，所以C点横坐标为$1+4=5$，因此自变量x的取值范围是$1≤x≤5$。
(2) 求点C到x轴的距离，即求x=5时反比例函数的y值。
将x=5代入$y=\frac{6}{x}$，得$y=\frac{6}{5}$，故CD的长为$\frac{6}{5}\ \mathrm{m}$。
(3) Q距水面OD的高度不高于3m，即Q点纵坐标$y≤3$，将$y=3$代入$y=\frac{6}{x}$，得$3=\frac{6}{x}$，解得$x=2$。
因反比例函数$y=\frac{6}{x}$中y随x增大而减小，故$y≤3$时$x≥2$，结合BC段自变量范围$1≤x≤5$，得$2≤x≤5$。
BE所在直线为x=1，Q到BE的距离$n=x-1$，当x=2时$n=1$，x=5时$n=4$，故n的取值范围是$1≤n≤4$。
【答案】
(1) $y=\frac{6}{x}(1≤x≤5)$；(2) $\frac{6}{5}\ \mathrm{m}$；(3) $1≤n≤4$
【知识点】
反比例函数解析式、反比例函数的性质、坐标与距离的关系
【点评】
本题是反比例函数在实际场景的应用，核心是利用待定系数法求解析式，结合反比例函数的增减性解决问题，需准确确定各点坐标，难度适中。
【难度系数】
0.6
8. 已知压力$F$(单位:N)一定时，压强$p$(单位:Pa)与受力面积$S$(单位:$\mathrm{m}^2$)之间的函数解析式为 $p=\frac{F}{S}$. 当$S=0.3\ \mathrm{m}^2$时，$p=1\ 800\ \mathrm{Pa}$，则压强$p$关于受力面积$S$的函数图象正确的是(
C
).答案
8. C
解析
【分析】首先，根据压强公式$ p=\frac{F}{S} $，压力$ F $一定时，压强$ p $与受力面积$ S $成反比例关系，因此函数图像应为反比例曲线，先排除非反比例的图像；接着计算出压力$ F $的大小，得到函数解析式，再验证选项中的点是否符合该解析式，从而确定正确图像。
【解析】根据压强公式$ p=\frac{F}{S} $，当压力$ F $一定时，$ p $与$ S $成反比例函数关系，故函数图像为反比例曲线，排除A（正比例直线）、B（一次函数直线）。计算压力$ F $：已知$ S=0.3\ \mathrm{m}^2 $时，$ p=1800\ \mathrm{Pa} $，则$ F=pS=1800\ \mathrm{Pa} × 0.3\ \mathrm{m}^2=540\ \mathrm{N} $，因此函数解析式为$ p=\frac{540}{S} $。验证选项：C选项中，当$ S=0.6\ \mathrm{m}^2 $时，$ p=\frac{540}{0.6}=900\ \mathrm{Pa} $，与图像一致；D选项中，当$ S=0.5\ \mathrm{m}^2 $时，$ p=\frac{540}{0.5}=1080\ \mathrm{Pa} ≠ 1000\ \mathrm{Pa} $，不符合，排除D。
【答案】C
【知识点】反比例函数的应用、压强公式
【点评】本题结合压强知识考查反比例函数图像，需先确定函数类型，再通过计算压力得到解析式，验证点的坐标判断图像，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】根据压强公式$ p=\frac{F}{S} $，当压力$ F $一定时，$ p $与$ S $成反比例函数关系，故函数图像为反比例曲线，排除A（正比例直线）、B（一次函数直线）。计算压力$ F $：已知$ S=0.3\ \mathrm{m}^2 $时，$ p=1800\ \mathrm{Pa} $，则$ F=pS=1800\ \mathrm{Pa} × 0.3\ \mathrm{m}^2=540\ \mathrm{N} $，因此函数解析式为$ p=\frac{540}{S} $。验证选项：C选项中，当$ S=0.6\ \mathrm{m}^2 $时，$ p=\frac{540}{0.6}=900\ \mathrm{Pa} $，与图像一致；D选项中，当$ S=0.5\ \mathrm{m}^2 $时，$ p=\frac{540}{0.5}=1080\ \mathrm{Pa} ≠ 1000\ \mathrm{Pa} $，不符合，排除D。
【答案】C
【知识点】反比例函数的应用、压强公式
【点评】本题结合压强知识考查反比例函数图像，需先确定函数类型，再通过计算压力得到解析式，验证点的坐标判断图像，难度适中。
【难度系数】0.5
9. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流$ I $(单位：A)与电阻$ R $(单位：$\Omega$)是反比例函数关系，它的图象如图27.3-11所示。如果以此蓄电池为电源的用电器，其限制电流不能超过10 A，那么用电器可变电阻$ R $应控制的范围是
$R≥3.6\ \Omega$
。答案
9. $R≥3.6\ \Omega$
解析
【分析】首先，电流$ I $与电阻$ R $是反比例函数关系，根据反比例函数形式设解析式$ I=\frac{U}{R} $（$ U $为定值，即蓄电池电压）；接着从图像中找到已知点$(9,4)$，代入解析式求出定值电压$ U $；最后根据“限制电流不超过10 A”的条件，结合$ I $与$ R $的反比例关系列出不等式，求解电阻$ R $的范围，注意电阻$ R $为正数，解不等式时不等号方向不变。
【解析】因为电流$ I $与电阻$ R $成反比例函数关系，设解析式为$ I=\frac{U}{R} $（$ U $为蓄电池的定值电压）。
由图像可知，当$ R=9\ \Omega $时，$ I=4\ A $，代入得：
$ U=I× R=4\ A×9\ \Omega=36\ V $，因此反比例函数解析式为$ I=\frac{36}{R} $。
题目要求电流不超过10 A，即$ I≤10\ A $，代入解析式得：
$ \frac{36}{R}≤10 $。
由于电阻$ R＞0 $，两边同乘$ R $（不等号方向不变），得：
$ 36≤10R $，解得$ R≥3.6\ \Omega $。
【答案】$ R≥3.6\ \Omega $
【知识点】反比例函数应用、欧姆定律、不等式求解
【点评】本题结合电学知识与反比例函数，考查学生对反比例函数解析式的确定及不等式的应用能力，关键是先利用图像求出定值电压，再根据电流限制推导电阻范围，属于基础应用题。
【难度系数】0.6
【解析】因为电流$ I $与电阻$ R $成反比例函数关系，设解析式为$ I=\frac{U}{R} $（$ U $为蓄电池的定值电压）。
由图像可知，当$ R=9\ \Omega $时，$ I=4\ A $，代入得：
$ U=I× R=4\ A×9\ \Omega=36\ V $，因此反比例函数解析式为$ I=\frac{36}{R} $。
题目要求电流不超过10 A，即$ I≤10\ A $，代入解析式得：
$ \frac{36}{R}≤10 $。
由于电阻$ R＞0 $，两边同乘$ R $（不等号方向不变），得：
$ 36≤10R $，解得$ R≥3.6\ \Omega $。
【答案】$ R≥3.6\ \Omega $
【知识点】反比例函数应用、欧姆定律、不等式求解
【点评】本题结合电学知识与反比例函数，考查学生对反比例函数解析式的确定及不等式的应用能力，关键是先利用图像求出定值电压，再根据电流限制推导电阻范围，属于基础应用题。
【难度系数】0.6
