5. 若定义一种新的运算“*”,规定有理数$a*b=4ab$,如$2*3=4×2×3=24$.
(1)求$3*(-4)$的值；
(2)求$(-2)*(6*3)$的值.

解：
(1) 根据新运算规则，
$3*(-4)=4×3×(-4)=-48$
(2) 先计算括号内的运算：
$6*3=4×6×3=72$
再计算外层运算：
$(-2)*(6*3)=(-2)*72=4×(-2)×72=-576$

【分析】
这是新定义运算类题目，解题核心是准确理解运算规则：有理数a*b=4ab。①第一问直接套用规则，将对应a=3、b=-4代入公式计算即可；②第二问含括号，遵循常规四则运算顺序，先计算括号内的6*3，得到结果后再和-2一起代入新运算公式计算，计算时注意遵守有理数乘法的符号规则。
【解析】
(1) 根据新运算规则$a*b=4ab$，将$a=3$，$b=-4$代入得：
$3*(-4)=4×3×(-4)=-48$
(2) 按照先算括号内的运算顺序，先计算$6*3$：
将$a=6$，$b=3$代入新运算公式得$6*3=4×6×3=72$
再计算外层的$(-2)*72$，将$a=-2$，$b=72$代入得：
$(-2)*72=4×(-2)×72=-576$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-48}$；(2) $\boldsymbol{-576}$
【知识点】
新定义运算，有理数乘法运算，含括号运算顺序
【点评】
本题重点考查对新运算规则的迁移应用能力，计算时要遵循常规运算顺序，注意有理数乘法的符号判断，避免因符号出错丢分。
【难度系数】
0.8

1. (2025·天津)计算$(-21)÷(-7)$的结果等于 ()

A.$-3$
B.$3$
C.$-\dfrac{1}{3}$
D.$\dfrac{1}{3}$

B

【分析】
解决这道题要遵循有理数运算先定符号、再算数值的常规思路，首先回忆有理数除法的符号判定规则，判断本题中两个负数相除的商的符号，再计算两数绝对值的商，结合符号即可得到最终结果。
【解析】
根据有理数除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
本题中被除数$-21$和除数$-7$同为负数，属于同号相除，因此商的符号为正；再计算两数绝对值的商：$21÷7=3$，因此$(-21)÷(-7)=3$。
【答案】
B
【知识点】
有理数的除法
【点评】
本题属于基础运算类题目，主要考查有理数除法的符号判定规则和简单的整数除法计算，熟练掌握运算法则即可快速求解。
【难度系数】
0.9

2. 下列计算正确的是 （）

A.$(-1)×(-2)×(-3)=6$
B.$(-36)÷(-9)×1=-4$
C.$\frac{2}{3}×(-2\frac{1}{4})÷(-1)=\frac{2}{3}$
D.$(-4)÷\frac{1}{2}×(-2)=16$

D

【分析】
本题考查有理数乘除混合运算的正误判断，解题时需遵循有理数乘除运算法则：先根据负因数的个数判断结果符号（奇数个负因数结果为负，偶数个负因数结果为正），再计算绝对值的运算结果，且乘除为同级运算，需按从左到右的顺序依次计算，逐一验证每个选项即可得出正确答案。
【解析】
根据有理数乘除运算法则逐一计算：
A选项：$(-1)×(-2)×(-3)$共3个负因数，结果为负，绝对值计算得$1×2×3=6$，最终结果为$-6$，故A错误；
B选项：先算除法$(-36)÷(-9)=4$，再算乘法$4×1=4$，结果为$4≠-4$，故B错误；
C选项：先将带分数化为假分数：$-2\frac{1}{4}=-\frac{9}{4}$，按顺序计算：$\frac{2}{3}×(-\frac{9}{4})÷(-1)=(-\frac{3}{2})÷(-1)=\frac{3}{2}≠\frac{2}{3}$，故C错误；
D选项：按从左到右计算：$(-4)÷\frac{1}{2}×(-2)=(-4)×2×(-2)=(-8)×(-2)=16$，计算正确，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
有理数乘法法则；有理数除法法则；同级运算顺序
【点评】
本题属于有理数运算的基础题型，核心考点是运算过程中的符号判断和运算顺序的遵守，解题时切忌因跳步忽略符号判断导致出错，熟练掌握乘除运算法则是解题关键。
【难度系数】
0.8

3. 已知$|x|=3$，$|y|=2$，且$xy＜0$，则$\frac{x}{y}$的值等于。

【分析】
解题时首先根据绝对值的性质得出x、y的所有可能取值，再结合条件xy＜0判断x和y为异号的关系，最后可以分情况计算$\frac{x}{y}$的值，也可以直接利用有理数除法的符号规律和绝对值的比值快速得出结果。
【解析】
解：
∵$|x|=3$，
∴$x=3$或$x=-3$；
∵$|y|=2$，
∴$y=2$或$y=-2$；
∵$xy＜0$，
∴x和y异号，分两种情况讨论：
①当$x=3$时，$y=-2$，此时$\frac{x}{y}=\frac{3}{-2}=-\frac{3}{2}$；
②当$x=-3$时，$y=2$，此时$\frac{x}{y}=\frac{-3}{2}=-\frac{3}{2}$；
综上，$\frac{x}{y}$的值为$-\frac{3}{2}$。
【答案】
$-\frac{3}{2}$（或$-1.5$）
【知识点】
绝对值的性质；有理数乘法符号判断；有理数的除法
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是先通过绝对值确定未知数的取值范围，再结合两数乘积为负的条件判断两数符号相反，最终计算结果即可，整体逻辑清晰，不易失分。
【难度系数】
0.8

4. 我们知道当$a≠0,b≠0$时，$a÷b=\frac{a}{b},b÷a=\frac{b}{a}$，显然$a÷b$与$b÷a$的结果互为倒数关系. 小明利用这一思想方法计算$(-\frac{1}{30})÷(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5})$的过程如下:因为$(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5})÷(-\frac{1}{30})=(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5})×(-30)=-20+3-5+12=-10.$
所以原式$=-\frac{1}{10}.$
请你仿照这种方法计算:$(-\frac{1}{42})÷(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7}).$

解：
先计算$(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7})÷(-\frac{1}{42})$
$=(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7})×(-42)$
$=\frac{1}{6}×(-42)-\frac{3}{14}×(-42)+\frac{2}{3}×(-42)-\frac{2}{7}×(-42)$
$=-7+9-28+12$
$=-14$
因为$(-\frac{1}{42})÷(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7})$与$(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7})÷(-\frac{1}{42})$互为倒数，
所以原式$=-\frac{1}{14}$。

【分析】
直接计算原式时，先计算括号内分数的加减需要通分，计算量较大。根据题目给出的方法，我们可以利用“非零的两个数相除，交换被除数与除数的位置后，所得结果与原结果互为倒数”的性质，先计算除数除以被除数的值，将除法转化为乘法后可使用乘法分配律简化计算，最后对所得结果取倒数即可得到原式的答案。
【解析】
先计算$(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7})÷(-\frac{1}{42})$
$=(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7})×(-42)$
$=\frac{1}{6}×(-42)-\frac{3}{14}×(-42)+\frac{2}{3}×(-42)-\frac{2}{7}×(-42)$
$=-7+9-28+12$
$=-14$
因为$(-\frac{1}{42})÷(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7})$与$(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7})÷(-\frac{1}{42})$互为倒数，
所以原式$=-\frac{1}{14}$。
【答案】
$-\frac{1}{14}$
【知识点】
有理数的除法；倒数的性质；乘法分配律
【点评】
本题属于有理数除法的巧算题型，通过利用倒数的性质转化运算形式，避免了复杂的通分计算，降低了运算量，解题时要特别注意乘法分配律应用过程中的符号问题。
【难度系数】
0.7