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1. 下列各组数中,相等的一组是 ()
A.$-(-1)$与$-|-1|$
B.$-3^2$与$(-3)^2$
C.$(-4)^3$与$-4^3$
D.$\frac{2^2}{3}$与$(\frac{2}{3})^2$
A.$-(-1)$与$-|-1|$
B.$-3^2$与$(-3)^2$
C.$(-4)^3$与$-4^3$
D.$\frac{2^2}{3}$与$(\frac{2}{3})^2$
答案
C
解析
【分析】
这道题考查有理数的基础运算，解题核心是分别计算每个选项中两个式子的结果，再对比是否相等。计算时要注意区分乘方运算中底数是否带括号、相反数和绝对值的运算顺序，避免符号出错，逐个排除错误选项就能得到正确答案。
【解析】
我们逐一计算各选项的数值：
A选项：$-(-1)=1$，$-|-1|=-1$，$1≠-1$，两组数不相等，排除A；
B选项：$-3^2=-9$，$(-3)^2=(-3)×(-3)=9$，$-9≠9$，两组数不相等，排除B；
C选项：$(-4)^3=(-4)×(-4)×(-4)=-64$，$-4^3=-(4×4×4)=-64$，两组数相等，C符合要求；
D选项：$\frac{2^2}{3}=\frac{4}{3}$，$(\frac{2}{3})^2=\frac{2}{3}×\frac{2}{3}=\frac{4}{9}$，$\frac{4}{3}≠\frac{4}{9}$，两组数不相等，排除D。
【答案】
C
【知识点】
有理数乘方运算、绝对值化简、相反数运算
【点评】
本题是有理数运算的典型易错题，易错点在于混淆乘方运算中带括号和不带括号的底数差异，解题时只要严格遵循运算顺序，先算乘方、绝对值，再处理符号，就能准确判断。
【难度系数】
0.7
这道题考查有理数的基础运算，解题核心是分别计算每个选项中两个式子的结果，再对比是否相等。计算时要注意区分乘方运算中底数是否带括号、相反数和绝对值的运算顺序，避免符号出错，逐个排除错误选项就能得到正确答案。
【解析】
我们逐一计算各选项的数值：
A选项：$-(-1)=1$，$-|-1|=-1$，$1≠-1$，两组数不相等，排除A；
B选项：$-3^2=-9$，$(-3)^2=(-3)×(-3)=9$，$-9≠9$，两组数不相等，排除B；
C选项：$(-4)^3=(-4)×(-4)×(-4)=-64$，$-4^3=-(4×4×4)=-64$，两组数相等，C符合要求；
D选项：$\frac{2^2}{3}=\frac{4}{3}$，$(\frac{2}{3})^2=\frac{2}{3}×\frac{2}{3}=\frac{4}{9}$，$\frac{4}{3}≠\frac{4}{9}$，两组数不相等，排除D。
【答案】
C
【知识点】
有理数乘方运算、绝对值化简、相反数运算
【点评】
本题是有理数运算的典型易错题，易错点在于混淆乘方运算中带括号和不带括号的底数差异，解题时只要严格遵循运算顺序，先算乘方、绝对值，再处理符号，就能准确判断。
【难度系数】
0.7
2. 下列各数$(-7)^2, -7^4, 0, -|-7|, (-7)^3$,负数有（）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
C
解析
【分析】
解题时可按三步思考：第一步，先分别计算出题干中5个式子的运算结果，计算时要注意区分运算规则：带括号的负数乘方，底数是括号内的负数，负数的偶次幂为正、奇次幂为负；不带括号、负号在乘方前的运算，底数是正数，负号是结果的符号；有绝对值的先算绝对值再处理符号。第二步，回忆负数的定义：小于0的数为负数，0既不是正数也不是负数。第三步，根据计算结果筛选出所有负数，统计个数即可得到答案。
【解析】
逐个计算每个数的结果：
1. $(-7)^2=(-7)×(-7)=49$，属于正数；
2. $-7^4=-(7×7×7×7)=-2401$，属于负数；
3. $0$既不是正数也不是负数；
4. $-|-7|=-7$，属于负数；
5. $(-7)^3=(-7)×(-7)×(-7)=-343$，属于负数。
综上，负数共有3个。
【答案】
C
【知识点】
有理数乘方运算；绝对值的性质；负数的定义
【点评】
本题易错点是混淆带括号和不带括号的乘方运算的符号规则，解题时要先明确底数，再根据乘方的符号法则计算，最后结合负数的定义判断即可。
【难度系数】
0.7
解题时可按三步思考：第一步，先分别计算出题干中5个式子的运算结果，计算时要注意区分运算规则：带括号的负数乘方，底数是括号内的负数，负数的偶次幂为正、奇次幂为负；不带括号、负号在乘方前的运算，底数是正数，负号是结果的符号；有绝对值的先算绝对值再处理符号。第二步，回忆负数的定义：小于0的数为负数，0既不是正数也不是负数。第三步，根据计算结果筛选出所有负数，统计个数即可得到答案。
【解析】
逐个计算每个数的结果：
1. $(-7)^2=(-7)×(-7)=49$，属于正数；
2. $-7^4=-(7×7×7×7)=-2401$，属于负数；
3. $0$既不是正数也不是负数；
4. $-|-7|=-7$，属于负数；
5. $(-7)^3=(-7)×(-7)×(-7)=-343$，属于负数。
综上，负数共有3个。
【答案】
C
【知识点】
有理数乘方运算；绝对值的性质；负数的定义
【点评】
本题易错点是混淆带括号和不带括号的乘方运算的符号规则，解题时要先明确底数，再根据乘方的符号法则计算，最后结合负数的定义判断即可。
【难度系数】
0.7
3. (2022·南京)若$2^4 + 2^4 = 2^a$，$3^5 + 3^5 + 3^5 = 3^b$，则$a+b=$。
答案
解：
因为$2^4 + 2^4 = 2×2^4 = 2^5$，且$2^4 + 2^4 = 2^a$，
所以$a=5$。
因为$3^5 + 3^5 + 3^5 = 3×3^5 = 3^6$，且$3^5 + 3^5 + 3^5 = 3^b$，
所以$b=6$。
则$a+b=5+6=11$。
因为$2^4 + 2^4 = 2×2^4 = 2^5$，且$2^4 + 2^4 = 2^a$，
所以$a=5$。
因为$3^5 + 3^5 + 3^5 = 3×3^5 = 3^6$，且$3^5 + 3^5 + 3^5 = 3^b$，
所以$b=6$。
则$a+b=5+6=11$。
解析
【分析】
解题时先观察等式左边是几个相同的幂相加，首先可以将相同加数的加法转化为乘法运算，再根据同底数幂相乘底数不变、指数相加的运算规则，分别求出a和b的值，最后计算a与b的和即可得到结果。
【解析】
因为$2^4 + 2^4 = 2×2^4 = 2^5$，且$2^4 + 2^4 = 2^a$，
所以$a=5$。
因为$3^5 + 3^5 + 3^5 = 3×3^5 = 3^6$，且$3^5 + 3^5 + 3^5 = 3^b$，
所以$b=6$。
则$a+b=5+6=11$。
【答案】
11
【知识点】
同底数幂的乘法，乘方的意义，代数式求值
【点评】
本题属于基础运算题，核心是将相同幂的加法转化为乘法，再结合同底数幂的运算法则求解，掌握同底数幂的运算规则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时先观察等式左边是几个相同的幂相加，首先可以将相同加数的加法转化为乘法运算，再根据同底数幂相乘底数不变、指数相加的运算规则，分别求出a和b的值，最后计算a与b的和即可得到结果。
【解析】
因为$2^4 + 2^4 = 2×2^4 = 2^5$，且$2^4 + 2^4 = 2^a$，
所以$a=5$。
因为$3^5 + 3^5 + 3^5 = 3×3^5 = 3^6$，且$3^5 + 3^5 + 3^5 = 3^b$，
所以$b=6$。
则$a+b=5+6=11$。
【答案】
11
【知识点】
同底数幂的乘法，乘方的意义，代数式求值
【点评】
本题属于基础运算题，核心是将相同幂的加法转化为乘法，再结合同底数幂的运算法则求解，掌握同底数幂的运算规则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
4.计算：
(1)
;
(2) $-1^4 +16÷(-2)^3×|-3-1|.$
(1)
;(2) $-1^4 +16÷(-2)^3×|-3-1|.$
答案
解：
(1) 原式$=(-\dfrac{1}{2}-\dfrac{5}{9}+\dfrac{2}{3})× 18$
$=-\dfrac{1}{2}× 18 - \dfrac{5}{9}× 18 + \dfrac{2}{3}× 18$
$=-9 - 10 + 12$
$=-7$
(2) 原式$=-1 + 16÷ (-2)^3× |-4|$
$=-1 + 16÷ (-8)× 4$
$=-1 + (-2)× 4$
$=-1 - 8$
$=-9$
(1) 原式$=(-\dfrac{1}{2}-\dfrac{5}{9}+\dfrac{2}{3})× 18$
$=-\dfrac{1}{2}× 18 - \dfrac{5}{9}× 18 + \dfrac{2}{3}× 18$
$=-9 - 10 + 12$
$=-7$
(2) 原式$=-1 + 16÷ (-2)^3× |-4|$
$=-1 + 16÷ (-8)× 4$
$=-1 + (-2)× 4$
$=-1 - 8$
$=-9$
解析
【分析】
(1) 观察算式特征，除以$\frac{1}{18}$可转化为乘以18，括号内各分数的分母均为18的因数，因此使用乘法分配律展开计算，比先通分计算括号内的结果更简便，计算时要注意每一项的符号不要出错。
(2) 本题是有理数混合运算，需遵循运算优先级：先算乘方和绝对值，再算乘除，最后算加减。要注意$-1^4$表示1的4次方的相反数，结果为-1，计算过程中重点关注负数运算的符号处理。
【解析】
(1) 原式$=(-\dfrac{1}{2}-\dfrac{5}{9}+\dfrac{2}{3})× 18$
$=-\dfrac{1}{2}× 18 - \dfrac{5}{9}× 18 + \dfrac{2}{3}× 18$
$=-9 - 10 + 12$
$=-7$
(2) 原式$=-1 + 16÷ (-2)^3× |-3-1|$
$=-1 + 16÷ (-8)× 4$
$=-1 + (-2)× 4$
$=-1 - 8$
$=-9$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-7}$；(2) $\boldsymbol{-9}$
【知识点】
有理数除法法则，乘法分配律，有理数混合运算顺序
【点评】
这两道题是有理数运算的常规考题，第一题将除法转化为乘法后使用分配律，可简化计算、降低通分的计算量；第二题需要重点关注运算顺序和符号判断，尤其是乘方、绝对值的计算规则，避免因符号或运算顺序错误失分。
【难度系数】
0.7
(1) 观察算式特征，除以$\frac{1}{18}$可转化为乘以18，括号内各分数的分母均为18的因数，因此使用乘法分配律展开计算，比先通分计算括号内的结果更简便，计算时要注意每一项的符号不要出错。
(2) 本题是有理数混合运算，需遵循运算优先级：先算乘方和绝对值，再算乘除，最后算加减。要注意$-1^4$表示1的4次方的相反数，结果为-1，计算过程中重点关注负数运算的符号处理。
【解析】
(1) 原式$=(-\dfrac{1}{2}-\dfrac{5}{9}+\dfrac{2}{3})× 18$
$=-\dfrac{1}{2}× 18 - \dfrac{5}{9}× 18 + \dfrac{2}{3}× 18$
$=-9 - 10 + 12$
$=-7$
(2) 原式$=-1 + 16÷ (-2)^3× |-3-1|$
$=-1 + 16÷ (-8)× 4$
$=-1 + (-2)× 4$
$=-1 - 8$
$=-9$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-7}$；(2) $\boldsymbol{-9}$
【知识点】
有理数除法法则，乘法分配律，有理数混合运算顺序
【点评】
这两道题是有理数运算的常规考题，第一题将除法转化为乘法后使用分配律，可简化计算、降低通分的计算量；第二题需要重点关注运算顺序和符号判断，尤其是乘方、绝对值的计算规则，避免因符号或运算顺序错误失分。
【难度系数】
0.7
