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1. 下列命题正确的是 （）
A.直径相等的两个圆是等圆
B.一个圆只有一条直径
C.圆上任意两点将圆分为一条优弧和一条劣弧
D.弦是直径
A.直径相等的两个圆是等圆
B.一个圆只有一条直径
C.圆上任意两点将圆分为一条优弧和一条劣弧
D.弦是直径
答案
A
解析
【分析】
解答本题需结合圆的相关基础概念，采用逐一排查法判断各选项正误：先回忆等圆、直径、优弧劣弧、弦的定义，再将选项描述和定义逐一比对，排除不符合定义的错误选项，即可选出正确答案。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 圆的大小由半径决定，直径相等的两个圆半径一定相等，半径相等的两个圆能够完全重合，属于等圆，该选项正确。
B. 直径是经过圆心的弦，过圆心可作无数条直线与圆交于两点，因此一个圆有无数条直径，该选项错误。
C. 若圆上两点是直径的两个端点，两点会将圆分成两个半圆，半圆既不属于优弧也不属于劣弧，并非一定分成一条优弧和一条劣弧，该选项错误。
D. 弦是连接圆上任意两点的线段，只有经过圆心的弦才是直径，不是所有弦都是直径，该选项错误。
【答案】
A
【知识点】
等圆的判定、直径的定义、弦与弧的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点在于忽略直径分圆为两个半圆的特殊情况、混淆弦和直径的包含关系，准确识记圆的相关定义即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解答本题需结合圆的相关基础概念，采用逐一排查法判断各选项正误：先回忆等圆、直径、优弧劣弧、弦的定义，再将选项描述和定义逐一比对，排除不符合定义的错误选项，即可选出正确答案。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 圆的大小由半径决定，直径相等的两个圆半径一定相等，半径相等的两个圆能够完全重合，属于等圆，该选项正确。
B. 直径是经过圆心的弦，过圆心可作无数条直线与圆交于两点，因此一个圆有无数条直径，该选项错误。
C. 若圆上两点是直径的两个端点，两点会将圆分成两个半圆，半圆既不属于优弧也不属于劣弧，并非一定分成一条优弧和一条劣弧，该选项错误。
D. 弦是连接圆上任意两点的线段，只有经过圆心的弦才是直径，不是所有弦都是直径，该选项错误。
【答案】
A
【知识点】
等圆的判定、直径的定义、弦与弧的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点在于忽略直径分圆为两个半圆的特殊情况、混淆弦和直径的包含关系，准确识记圆的相关定义即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2. (2025·长沙)如图1,AC,BC为⊙O的弦,连接OA,OB,OC。若∠AOB=40°,∠OCA=30°,则∠BCO的度数为 ()
A.40°
B.45°
C.50°
D.55°
A.40°
B.45°
C.50°
D.55°
答案
C
解析
【分析】
要计算∠BCO的度数，首先回忆圆的基本性质：同圆的所有半径相等，因此可得△OAC、△OBC均为等腰三角形，可结合等腰三角形等边对等角的性质、三角形内角和定理逐步推导角度。第一步先根据△OAC的已知底角求顶角∠AOC，第二步结合已知∠AOB求出∠BOC，第三步利用等腰△OBC的性质计算底角∠BCO即可。
【解析】
∵OA、OC都是⊙O的半径，
∴OA=OC，
∴△OAC为等腰三角形，∠OAC=∠OCA=30°，
根据三角形内角和定理，∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=180°-30°-30°=120°。
∵∠AOB=40°，
∴∠BOC=∠AOC - ∠AOB=120°-40°=80°。
又
∵OB、OC都是⊙O的半径，
∴OB=OC，
∴△OBC为等腰三角形，
∴∠BCO=(180°-∠BOC)÷2=(180°-80°)÷2=50°。
【答案】
C
【知识点】
同圆半径相等；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是圆中角度计算的常规基础题，解题核心是利用同圆半径相等构造等腰三角形，再结合角度的和差关系、三角形内角和定理求解，熟练掌握相关基础性质就能快速解题。
【难度系数】
0.7
要计算∠BCO的度数，首先回忆圆的基本性质：同圆的所有半径相等，因此可得△OAC、△OBC均为等腰三角形，可结合等腰三角形等边对等角的性质、三角形内角和定理逐步推导角度。第一步先根据△OAC的已知底角求顶角∠AOC，第二步结合已知∠AOB求出∠BOC，第三步利用等腰△OBC的性质计算底角∠BCO即可。
【解析】
∵OA、OC都是⊙O的半径，
∴OA=OC，
∴△OAC为等腰三角形，∠OAC=∠OCA=30°，
根据三角形内角和定理，∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=180°-30°-30°=120°。
∵∠AOB=40°，
∴∠BOC=∠AOC - ∠AOB=120°-40°=80°。
又
∵OB、OC都是⊙O的半径，
∴OB=OC，
∴△OBC为等腰三角形，
∴∠BCO=(180°-∠BOC)÷2=(180°-80°)÷2=50°。
【答案】
C
【知识点】
同圆半径相等；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是圆中角度计算的常规基础题，解题核心是利用同圆半径相等构造等腰三角形，再结合角度的和差关系、三角形内角和定理求解，熟练掌握相关基础性质就能快速解题。
【难度系数】
0.7
3. (2024·甘孜州)如图2,正六边形ABCDEF内接于$\odot O$,$OA=1$,则AB的长为 ()
A.2
B.$\sqrt{3}$
C.1
D.$\dfrac{1}{2}$
A.2
B.$\sqrt{3}$
C.1
D.$\dfrac{1}{2}$
答案
C
解析
【分析】
本题是正多边形内接于圆的边长计算问题，解题思路可按以下步骤梳理：第一步，回忆正多边形中心角的计算方法，正$n$边形的中心角为$\frac{360°}{n}$，代入$n=6$即可求出正六边形相邻顶点与圆心形成的夹角$∠ AOB$的度数；第二步，结合圆的性质，可知$OA、OB$都是$\odot O$的半径，因此$OA=OB$；第三步，结合第一步得到的$60°$夹角，可判定$△ AOB$为等边三角形，根据等边三角形三边相等的性质，就能直接得到$AB$的长度等于半径$OA$的长度。
【解析】
解：$\because$正六边形$ABCDEF$内接于$\odot O$
$\therefore$正六边形的中心角$∠ AOB=\frac{360°}{6}=60°$
又$\because OA、OB$都是$\odot O$的半径，且$OA=1$
$\therefore OA=OB=1$
$\therefore △ AOB$是有一个内角为$60°$的等腰三角形，即等边三角形
$\therefore AB=OA=1$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
正多边形与圆的性质；等边三角形的判定
【点评】
本题属于基础类考题，核心考察正六边形的基础性质，结合圆的半径相等和等边三角形的判定规则即可求解，掌握正多边形中心角的计算方法是解题的关键。
【难度系数】
0.8
本题是正多边形内接于圆的边长计算问题，解题思路可按以下步骤梳理：第一步，回忆正多边形中心角的计算方法，正$n$边形的中心角为$\frac{360°}{n}$，代入$n=6$即可求出正六边形相邻顶点与圆心形成的夹角$∠ AOB$的度数；第二步，结合圆的性质，可知$OA、OB$都是$\odot O$的半径，因此$OA=OB$；第三步，结合第一步得到的$60°$夹角，可判定$△ AOB$为等边三角形，根据等边三角形三边相等的性质，就能直接得到$AB$的长度等于半径$OA$的长度。
【解析】
解：$\because$正六边形$ABCDEF$内接于$\odot O$
$\therefore$正六边形的中心角$∠ AOB=\frac{360°}{6}=60°$
又$\because OA、OB$都是$\odot O$的半径，且$OA=1$
$\therefore OA=OB=1$
$\therefore △ AOB$是有一个内角为$60°$的等腰三角形，即等边三角形
$\therefore AB=OA=1$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
正多边形与圆的性质；等边三角形的判定
【点评】
本题属于基础类考题，核心考察正六边形的基础性质，结合圆的半径相等和等边三角形的判定规则即可求解，掌握正多边形中心角的计算方法是解题的关键。
【难度系数】
0.8
4. (2024·广元)如图3,已知四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形,E为AD延长线上一点,$∠ AOC=128°$,则$∠ CDE$等于 ()
A.$64°$
B.$60°$
C.$54°$
D.$52°$
A.$64°$
B.$60°$
C.$54°$
D.$52°$
答案
A
解析
【分析】
解题时先从已知的圆心角入手，利用圆周角定理求出同弧所对的圆周角∠B的度数；再结合圆内接四边形对角互补、平角的性质，通过等量代换得到∠CDE与∠B相等，即可求出结果。
【解析】
1. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。
∵ ∠AOC是弧AC所对的圆心角，∠B是弧AC所对的圆周角，
∴ ∠B = $\frac{1}{2}$∠AOC = $\frac{1}{2}$×128° = 64°。
2.
∵ 四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，
∴ ∠B + ∠ADC = 180°（圆内接四边形对角互补）。
又
∵ E为AD延长线上一点，
∴ ∠CDE + ∠ADC = 180°（平角的定义）。
3. 根据同角的补角相等，可得∠CDE = ∠B = 64°。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理、圆内接四边形的性质
【点评】
本题是圆性质的基础应用题型，核心是熟练运用圆周角定理和圆内接四边形的相关性质，掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的圆心角入手，利用圆周角定理求出同弧所对的圆周角∠B的度数；再结合圆内接四边形对角互补、平角的性质，通过等量代换得到∠CDE与∠B相等，即可求出结果。
【解析】
1. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。
∵ ∠AOC是弧AC所对的圆心角，∠B是弧AC所对的圆周角，
∴ ∠B = $\frac{1}{2}$∠AOC = $\frac{1}{2}$×128° = 64°。
2.
∵ 四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，
∴ ∠B + ∠ADC = 180°（圆内接四边形对角互补）。
又
∵ E为AD延长线上一点，
∴ ∠CDE + ∠ADC = 180°（平角的定义）。
3. 根据同角的补角相等，可得∠CDE = ∠B = 64°。
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理、圆内接四边形的性质
【点评】
本题是圆性质的基础应用题型，核心是熟练运用圆周角定理和圆内接四边形的相关性质，掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
5. (2024·广州)如图4,在$\odot O$中,弦AB的长为$4\sqrt{3}$,点C在$\odot O$上,$OC ⊥ AB$,$∠ ABC=30°$。$\odot O$所在的平面内有一点P,若$OP=5$,则点P与$\odot O$的位置关系是 ()
A.点P在$\odot O$上
B.点P在$\odot O$内
C.点P在$\odot O$外
D.无法确定
A.点P在$\odot O$上
B.点P在$\odot O$内
C.点P在$\odot O$外
D.无法确定
答案
C
解析
【分析】
要判断点P与$\odot O$的位置关系，核心是先求出$\odot O$的半径$r$，再比较$OP=5$和$r$的大小：若$OP＞r$则点在圆外，$OP=r$则点在圆上，$OP＜r$则点在圆内。解题思路如下：①设OC与AB交于点D，根据垂径定理，由$OC⊥AB$可得AB被平分，求出AD的长度；②根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，由$∠ ABC=30°$求出对应的圆心角$∠ AOC$的度数；③在直角三角形AOD中用勾股定理或三角函数求出半径OA的长度；④比较OP和半径的大小得出结论。
【解析】
设OC与AB交于点D。
1. 由垂径定理可知，垂直于弦的直径平分弦，
∵$OC⊥AB$，$AB=4\sqrt{3}$，
∴$AD=BD=\frac{1}{2}AB=2\sqrt{3}$。
2. 由圆周角定理可知，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
$∠ ABC$是弧AC所对的圆周角，$∠ AOC$是弧AC所对的圆心角，
∴$∠ AOC=2∠ ABC=2×30°=60°$。
3. 在$Rt△ AOD$中，$∠ ADO=90°$，$∠ AOD=60°$，设$\odot O$的半径$OA=r$，则$∠ OAD=30°$，
∴$OD=\frac{1}{2}OA=\frac{1}{2}r$，
根据勾股定理：$OD^2+AD^2=OA^2$，
代入得：$(\frac{1}{2}r)^2+(2\sqrt{3})^2=r^2$，
化简得：$\frac{3}{4}r^2=12$，解得$r=4$（半径取正值）。
4. 已知$OP=5$，
∵$5＞4$，即$OP＞r$，
∴点P在$\odot O$外。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理、圆周角定理、点与圆的位置关系
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题的关键是熟练运用垂径定理和圆周角定理求出圆的半径，再通过比较点到圆心的距离和半径的大小判断点与圆的位置关系，是圆章节的高频考点题型。
【难度系数】
0.7
要判断点P与$\odot O$的位置关系，核心是先求出$\odot O$的半径$r$，再比较$OP=5$和$r$的大小：若$OP＞r$则点在圆外，$OP=r$则点在圆上，$OP＜r$则点在圆内。解题思路如下：①设OC与AB交于点D，根据垂径定理，由$OC⊥AB$可得AB被平分，求出AD的长度；②根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，由$∠ ABC=30°$求出对应的圆心角$∠ AOC$的度数；③在直角三角形AOD中用勾股定理或三角函数求出半径OA的长度；④比较OP和半径的大小得出结论。
【解析】
设OC与AB交于点D。
1. 由垂径定理可知，垂直于弦的直径平分弦，
∵$OC⊥AB$，$AB=4\sqrt{3}$，
∴$AD=BD=\frac{1}{2}AB=2\sqrt{3}$。
2. 由圆周角定理可知，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
$∠ ABC$是弧AC所对的圆周角，$∠ AOC$是弧AC所对的圆心角，
∴$∠ AOC=2∠ ABC=2×30°=60°$。
3. 在$Rt△ AOD$中，$∠ ADO=90°$，$∠ AOD=60°$，设$\odot O$的半径$OA=r$，则$∠ OAD=30°$，
∴$OD=\frac{1}{2}OA=\frac{1}{2}r$，
根据勾股定理：$OD^2+AD^2=OA^2$，
代入得：$(\frac{1}{2}r)^2+(2\sqrt{3})^2=r^2$，
化简得：$\frac{3}{4}r^2=12$，解得$r=4$（半径取正值）。
4. 已知$OP=5$，
∵$5＞4$，即$OP＞r$，
∴点P在$\odot O$外。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理、圆周角定理、点与圆的位置关系
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题的关键是熟练运用垂径定理和圆周角定理求出圆的半径，再通过比较点到圆心的距离和半径的大小判断点与圆的位置关系，是圆章节的高频考点题型。
【难度系数】
0.7
