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6.(2025·山西)如图5,在$△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$AB=AC$,分别以点$B,C$为圆心,$BC$的长为半径画弧,与$BA,CA$的延长线分别交于点$D,E$。若$BC=4$,则图中阴影部分的面积为 ()
A.$2π -4$
B.$4π -4$
C.$8π -8$
D.$4π -8$
A.$2π -4$
B.$4π -4$
C.$8π -8$
D.$4π -8$
答案
D
解析
【分析】
首先识别图形特征：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°、AB=AC，可先求出两个底角∠ABC=∠ACB=45°。观察阴影部分的构成：阴影面积等于两个圆心分别为B、C，半径为BC，圆心角为45°的扇形面积之和，减去2倍的△ABC的面积（每个扇形内的空白区域均为△ABC），再分别计算规则图形的面积即可求出阴影面积。
【解析】
1. 求等腰直角三角形的底角：
在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，因此∠ABC=∠ACB=$\frac{180°-90°}{2}=45°$。
2. 计算两个扇形的面积和：
已知扇形半径$r=BC=4$，单个扇形圆心角为45°，单个扇形面积$S_{单扇}=\frac{nπr²}{360}=\frac{45π×4²}{360}=2π$，因此两个扇形面积和为$2×2π=4π$。
3. 计算△ABC的面积：
等腰直角三角形斜边BC=4，斜边上的高等于斜边的一半，即高$h=\frac{4}{2}=2$，因此$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×BC×h=\frac{1}{2}×4×2=4$。
4. 计算阴影面积：
$S_{阴影}=两个扇形面积和 - 2×S_{△ABC}=4π - 2×4=4π-8$。
【答案】
D
【知识点】
等腰直角三角形的性质、扇形面积计算、割补法求阴影面积
【点评】
本题考查不规则图形面积的求解，核心是将阴影面积转化为规则图形的面积和差，解题时要注意两个扇形均包含空白的△ABC，避免漏减一次三角形面积导致错解。
【难度系数】
0.6
首先识别图形特征：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°、AB=AC，可先求出两个底角∠ABC=∠ACB=45°。观察阴影部分的构成：阴影面积等于两个圆心分别为B、C，半径为BC，圆心角为45°的扇形面积之和，减去2倍的△ABC的面积（每个扇形内的空白区域均为△ABC），再分别计算规则图形的面积即可求出阴影面积。
【解析】
1. 求等腰直角三角形的底角：
在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，因此∠ABC=∠ACB=$\frac{180°-90°}{2}=45°$。
2. 计算两个扇形的面积和：
已知扇形半径$r=BC=4$，单个扇形圆心角为45°，单个扇形面积$S_{单扇}=\frac{nπr²}{360}=\frac{45π×4²}{360}=2π$，因此两个扇形面积和为$2×2π=4π$。
3. 计算△ABC的面积：
等腰直角三角形斜边BC=4，斜边上的高等于斜边的一半，即高$h=\frac{4}{2}=2$，因此$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×BC×h=\frac{1}{2}×4×2=4$。
4. 计算阴影面积：
$S_{阴影}=两个扇形面积和 - 2×S_{△ABC}=4π - 2×4=4π-8$。
【答案】
D
【知识点】
等腰直角三角形的性质、扇形面积计算、割补法求阴影面积
【点评】
本题考查不规则图形面积的求解，核心是将阴影面积转化为规则图形的面积和差，解题时要注意两个扇形均包含空白的△ABC，避免漏减一次三角形面积导致错解。
【难度系数】
0.6
7. 如图6,已知AB是$\odot O$的直径,CD是$\odot O$的弦,$AB⊥CD$,垂足为E。若$AB=26,CD=24$,则$∠OCE$的余弦值为 ()
A.$\frac{7}{13}$
B.$\frac{12}{13}$
C.$\frac{7}{12}$
D.$\frac{13}{12}$
A.$\frac{7}{13}$
B.$\frac{12}{13}$
C.$\frac{7}{12}$
D.$\frac{13}{12}$
答案
B
解析
【分析】
首先观察题目条件，出现直径垂直于弦的特征，优先运用垂径定理得到弦长的一半；要求∠OCE的余弦值，需明确余弦是直角三角形中锐角的邻边与斜边的比值，因此先求出Rt△OCE中对应边的长度：由直径长度可得半径OC的长度，结合垂径定理得到CE的长度，最后代入余弦定义即可算出结果。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，$AB=26$
∴$\odot O$的半径$OC=\frac{1}{2}AB=13$
∵$AB⊥CD$，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，且$CD=24$
∴$CE=\frac{1}{2}CD=12$
在$Rt△ OCE$中，$∠OEC=90°$，根据余弦的定义：
$\cos∠OCE=\frac{邻边}{斜边}=\frac{CE}{OC}=\frac{12}{13}$
【答案】
B
【知识点】
垂径定理，余弦的定义，圆的基本性质
【点评】
本题属于基础题型，将圆的性质和锐角三角函数结合考查，解题的核心是熟练运用垂径定理得到直角三角形的边长，再代入三角函数公式计算即可。
【难度系数】
0.8
首先观察题目条件，出现直径垂直于弦的特征，优先运用垂径定理得到弦长的一半；要求∠OCE的余弦值，需明确余弦是直角三角形中锐角的邻边与斜边的比值，因此先求出Rt△OCE中对应边的长度：由直径长度可得半径OC的长度，结合垂径定理得到CE的长度，最后代入余弦定义即可算出结果。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，$AB=26$
∴$\odot O$的半径$OC=\frac{1}{2}AB=13$
∵$AB⊥CD$，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，且$CD=24$
∴$CE=\frac{1}{2}CD=12$
在$Rt△ OCE$中，$∠OEC=90°$，根据余弦的定义：
$\cos∠OCE=\frac{邻边}{斜边}=\frac{CE}{OC}=\frac{12}{13}$
【答案】
B
【知识点】
垂径定理，余弦的定义，圆的基本性质
【点评】
本题属于基础题型，将圆的性质和锐角三角函数结合考查，解题的核心是熟练运用垂径定理得到直角三角形的边长，再代入三角函数公式计算即可。
【难度系数】
0.8
8. 如图7,在半径为3的$\odot O$中,AB是直径,AC是弦,D是$\overset{\frown}{AC}$的中点,AC与BD交于点E。若E是BD的中点,则AC的长是 ()
A.$\frac{5}{2}\sqrt{3}$
B.$3\sqrt{3}$
C.$3\sqrt{2}$
D.$4\sqrt{2}$
A.$\frac{5}{2}\sqrt{3}$
B.$3\sqrt{3}$
C.$3\sqrt{2}$
D.$4\sqrt{2}$
答案
D
解析
【分析】
解题时首先利用弧中点的性质结合垂径定理，作辅助线连接OD交AC于点F，可得OD垂直平分AC，F为AC中点，进而推出OF是△ABC的中位线，得到BC=2OF；再结合E是BD中点的条件，证明△DEF与△BEC全等，得到DF=BC，结合OD为半径长3的条件求出OF、BC的长度；最后利用直径所对圆周角为直角的性质，在Rt△ABC中用勾股定理计算AC的长度即可。
【解析】
解：连接OD，交AC于点F。
∵D是$\overset{\frown}{AC}$的中点，
∴根据垂径定理可得：$OD⊥ AC$，$AF=CF$。
∵O是AB中点，F是AC中点，
∴OF是△ABC的中位线，
∴$BC=2OF$，且$OF// BC$，即$∠ DFE=∠ BCE=90°$。
∵E是BD的中点，
∴$DE=BE$。
在$△ DEF$和$△ BEC$中：
$\begin{cases}∠ DFE=∠ BCE \\∠ DEF=∠ BEC \\DE=BE\end{cases}$
∴$△ DEF≌△ BEC$（AAS），
∴$DF=BC$。
∵$\odot O$半径为3，
∴$OD=3$，且$OD=OF+DF=OF+BC$，
将$BC=2OF$代入得：$3=OF+2OF$，解得$OF=1$，
∴$BC=2×1=2$。
∵AB是直径，
∴直径所对圆周角$∠ ACB=90°$，$AB=2×3=6$。
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{6^2-2^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理，全等三角形判定与性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查了圆的基本性质、三角形全等以及勾股定理的应用，解题的关键是正确作出辅助线，结合弧中点的性质构造全等三角形和中位线，需要熟练掌握各知识点的关联应用。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用弧中点的性质结合垂径定理，作辅助线连接OD交AC于点F，可得OD垂直平分AC，F为AC中点，进而推出OF是△ABC的中位线，得到BC=2OF；再结合E是BD中点的条件，证明△DEF与△BEC全等，得到DF=BC，结合OD为半径长3的条件求出OF、BC的长度；最后利用直径所对圆周角为直角的性质，在Rt△ABC中用勾股定理计算AC的长度即可。
【解析】
解：连接OD，交AC于点F。
∵D是$\overset{\frown}{AC}$的中点，
∴根据垂径定理可得：$OD⊥ AC$，$AF=CF$。
∵O是AB中点，F是AC中点，
∴OF是△ABC的中位线，
∴$BC=2OF$，且$OF// BC$，即$∠ DFE=∠ BCE=90°$。
∵E是BD的中点，
∴$DE=BE$。
在$△ DEF$和$△ BEC$中：
$\begin{cases}∠ DFE=∠ BCE \\∠ DEF=∠ BEC \\DE=BE\end{cases}$
∴$△ DEF≌△ BEC$（AAS），
∴$DF=BC$。
∵$\odot O$半径为3，
∴$OD=3$，且$OD=OF+DF=OF+BC$，
将$BC=2OF$代入得：$3=OF+2OF$，解得$OF=1$，
∴$BC=2×1=2$。
∵AB是直径，
∴直径所对圆周角$∠ ACB=90°$，$AB=2×3=6$。
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{6^2-2^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理，全等三角形判定与性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查了圆的基本性质、三角形全等以及勾股定理的应用，解题的关键是正确作出辅助线，结合弧中点的性质构造全等三角形和中位线，需要熟练掌握各知识点的关联应用。
【难度系数】
0.6
二、填空题(每小题3分,共18分)
9.(2024·盐城)如图8,△ABC是⊙O的内接三角形,∠C=40°,连接OA,OB,则∠OAB=°。
9.(2024·盐城)如图8,△ABC是⊙O的内接三角形,∠C=40°,连接OA,OB,则∠OAB=°。
答案
$\boldsymbol{50}$
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，先明确∠C是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角，根据圆周角定理可求出圆心角∠AOB的度数；第二步，由OA、OB都是圆的半径，可知△OAB是等腰三角形，两个底角∠OAB和∠OBA相等；第三步，结合三角形内角和为180°，即可计算出∠OAB的度数。
【解析】
∵∠ACB是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角
∴根据圆周角定理，得∠AOB=2∠ACB=2×40°=80°
又
∵OA、OB均为⊙O的半径
∴OA=OB，即△OAB是等腰三角形，∠OAB=∠OBA
在△OAB中，由三角形内角和为180°可得：
∠OAB=(180°-∠AOB)÷2=(180°-80°)÷2=50°
【答案】
50
【知识点】
圆周角定理；等腰三角形性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础题，解题的核心是熟练掌握圆周角定理以及等腰三角形的性质，结合三角形内角和即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为三步：第一步，先明确∠C是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角，根据圆周角定理可求出圆心角∠AOB的度数；第二步，由OA、OB都是圆的半径，可知△OAB是等腰三角形，两个底角∠OAB和∠OBA相等；第三步，结合三角形内角和为180°，即可计算出∠OAB的度数。
【解析】
∵∠ACB是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角
∴根据圆周角定理，得∠AOB=2∠ACB=2×40°=80°
又
∵OA、OB均为⊙O的半径
∴OA=OB，即△OAB是等腰三角形，∠OAB=∠OBA
在△OAB中，由三角形内角和为180°可得：
∠OAB=(180°-∠AOB)÷2=(180°-80°)÷2=50°
【答案】
50
【知识点】
圆周角定理；等腰三角形性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础题，解题的核心是熟练掌握圆周角定理以及等腰三角形的性质，结合三角形内角和即可快速求解。
【难度系数】
0.8
10. 如图9,直线$a ⊥ b$,垂足为H,点P在直线b上,$PH=4\ \mathrm{cm}$,$O$为直线b上一动点。若以1 cm为半径的$\odot O$与直线a相切,则$OP$的长为。
图9 图10
图9 图10
答案
解：
∵ 直线$a ⊥ b$，$\odot O$与直线$a$相切，且$\odot O$的半径为$1\ \mathrm{cm}$，
∴ 圆心$O$到直线$a$的距离等于圆的半径，即$OH=1\ \mathrm{cm}$。
分两种情况讨论：
1. 当点$O$在点$H$的左侧时，$OP = PH - OH = 4 - 1 = 3\ \mathrm{cm}$；
2. 当点$O$在点$H$的右侧时，$OP = PH + OH = 4 + 1 = 5\ \mathrm{cm}$。
综上，$OP$的长为$\boldsymbol{3\ \mathrm{cm}}$或$\boldsymbol{5\ \mathrm{cm}}$。
∵ 直线$a ⊥ b$，$\odot O$与直线$a$相切，且$\odot O$的半径为$1\ \mathrm{cm}$，
∴ 圆心$O$到直线$a$的距离等于圆的半径，即$OH=1\ \mathrm{cm}$。
分两种情况讨论：
1. 当点$O$在点$H$的左侧时，$OP = PH - OH = 4 - 1 = 3\ \mathrm{cm}$；
2. 当点$O$在点$H$的右侧时，$OP = PH + OH = 4 + 1 = 5\ \mathrm{cm}$。
综上，$OP$的长为$\boldsymbol{3\ \mathrm{cm}}$或$\boldsymbol{5\ \mathrm{cm}}$。
解析
【分析】
解题时首先回忆切线的性质：圆的圆心到切线的距离等于半径。已知直线$a⊥b$，垂足为$H$，圆心$O$在直线$b$上，因此$O$到直线$a$的距离就是线段$OH$的长度，由此可得出$OH$的长等于圆的半径$1\mathrm{cm}$。接下来注意$O$是直线$b$上的动点，位置不确定，需要分$O$在点$H$的左侧和右侧两种情况讨论，结合已知$PH=4\mathrm{cm}$，分别计算两种情况下$OP$的长度即可。
【解析】
∵ 直线$a ⊥ b$，$\odot O$与直线$a$相切，且$\odot O$的半径为$1\ \mathrm{cm}$，
∴ 圆心$O$到直线$a$的距离等于圆的半径，即$OH=1\ \mathrm{cm}$。
分两种情况讨论：
1. 当点$O$在点$H$的左侧时，$OP = PH - OH = 4 - 1 = 3\ \mathrm{cm}$；
2. 当点$O$在点$H$的右侧时，$OP = PH + OH = 4 + 1 = 5\ \mathrm{cm}$。
综上，$OP$的长为$3\ \mathrm{cm}$或$5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$3\ \mathrm{cm}$或$5\ \mathrm{cm}$
【知识点】
1. 切线的性质
2. 直线与圆的位置关系
3. 分类讨论思想
【点评】
本题属于基础题，主要考查切线性质的应用，易错点是容易忽略动点$O$的位置有两种情况，导致漏解。解题时要结合图形全面分析动点的所有可能位置，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆切线的性质：圆的圆心到切线的距离等于半径。已知直线$a⊥b$，垂足为$H$，圆心$O$在直线$b$上，因此$O$到直线$a$的距离就是线段$OH$的长度，由此可得出$OH$的长等于圆的半径$1\mathrm{cm}$。接下来注意$O$是直线$b$上的动点，位置不确定，需要分$O$在点$H$的左侧和右侧两种情况讨论，结合已知$PH=4\mathrm{cm}$，分别计算两种情况下$OP$的长度即可。
【解析】
∵ 直线$a ⊥ b$，$\odot O$与直线$a$相切，且$\odot O$的半径为$1\ \mathrm{cm}$，
∴ 圆心$O$到直线$a$的距离等于圆的半径，即$OH=1\ \mathrm{cm}$。
分两种情况讨论：
1. 当点$O$在点$H$的左侧时，$OP = PH - OH = 4 - 1 = 3\ \mathrm{cm}$；
2. 当点$O$在点$H$的右侧时，$OP = PH + OH = 4 + 1 = 5\ \mathrm{cm}$。
综上，$OP$的长为$3\ \mathrm{cm}$或$5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$3\ \mathrm{cm}$或$5\ \mathrm{cm}$
【知识点】
1. 切线的性质
2. 直线与圆的位置关系
3. 分类讨论思想
【点评】
本题属于基础题，主要考查切线性质的应用，易错点是容易忽略动点$O$的位置有两种情况，导致漏解。解题时要结合图形全面分析动点的所有可能位置，避免漏解。
【难度系数】
0.7
11. 如图10，AD，AE，BC分别切$\odot O$于点D，E，F。若$AD=20$，则$△ ABC$的周长是。
答案
$\boldsymbol{40}$
解析
【分析】
本题可利用切线长定理解题，解题思路如下：①首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等；②观察△ABC的周长构成，可将BC边拆分为BF+CF两段，再利用切线长定理将BF替换为BD，CF替换为CE，将AB+BF、AC+CF分别转化为AD、AE的长度；③最后结合已知AD的长度即可求出三角形周长。
【解析】
根据切线长定理可知：
∵AD、AE是从点A引⊙O的两条切线，切点分别为D、E，
∴AE = AD = 20；
又
∵BD、BF是从点B引⊙O的两条切线，切点分别为D、F，
∴BD = BF；
同理，CE、CF是从点C引⊙O的两条切线，切点分别为E、F，
∴CE = CF。
△ABC的周长为：
$C_{△ ABC}=AB+BC+AC$
$=AB+BF+CF+AC$
将BF=BD、CF=CE代入得：
$C_{△ ABC}=AB+BD+CE+AC$
$=(AB+BD)+(AC+CE)$
$=AD+AE$
$=20+20=40$
【答案】
$\boldsymbol{40}$
【知识点】
1.切线长定理；2.三角形周长计算
【点评】
本题是切线长定理的典型应用题型，解题核心是通过切线长相等实现线段的等量替换，将三角形周长转化为已知的切线长之和，解题时要注意识别从同一点出发的两条切线，准确找到相等的线段。
【难度系数】
0.8
本题可利用切线长定理解题，解题思路如下：①首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等；②观察△ABC的周长构成，可将BC边拆分为BF+CF两段，再利用切线长定理将BF替换为BD，CF替换为CE，将AB+BF、AC+CF分别转化为AD、AE的长度；③最后结合已知AD的长度即可求出三角形周长。
【解析】
根据切线长定理可知：
∵AD、AE是从点A引⊙O的两条切线，切点分别为D、E，
∴AE = AD = 20；
又
∵BD、BF是从点B引⊙O的两条切线，切点分别为D、F，
∴BD = BF；
同理，CE、CF是从点C引⊙O的两条切线，切点分别为E、F，
∴CE = CF。
△ABC的周长为：
$C_{△ ABC}=AB+BC+AC$
$=AB+BF+CF+AC$
将BF=BD、CF=CE代入得：
$C_{△ ABC}=AB+BD+CE+AC$
$=(AB+BD)+(AC+CE)$
$=AD+AE$
$=20+20=40$
【答案】
$\boldsymbol{40}$
【知识点】
1.切线长定理；2.三角形周长计算
【点评】
本题是切线长定理的典型应用题型，解题核心是通过切线长相等实现线段的等量替换，将三角形周长转化为已知的切线长之和，解题时要注意识别从同一点出发的两条切线，准确找到相等的线段。
【难度系数】
0.8
12. 在$\odot O$中,若弦$BC$垂直平分半径$OA$,则弦$BC$所对的圆周角等于。
答案
解：设弦BC与OA的交点为D，连接OB、OC。
由弦BC垂直平分半径OA，得$OD = \frac{1}{2}OA$，$BC⊥ OA$。
∵ $OA=OB=OC$，均为$\odot O$的半径，
∴ $OD = \frac{1}{2}OB$。
在$\mathrm{Rt}△ ODB$中，$∠ ODB=90°$，$OD=\frac{1}{2}OB$，
∴ $∠ BOD=60°$，同理可得$∠ COD=60°$，
∴ 圆心角$∠ BOC = ∠ BOD + ∠ COD = 120°$。
根据圆周角定理：
弦BC所对的劣弧对应的圆周角为$\frac{1}{2}∠ BOC = 60°$，
弦BC所对的优弧对应的圆周角为$\frac{1}{2}×(360° - 120°) = 120°$。
综上，弦$BC$所对的圆周角等于$\boldsymbol{60°}$或$\boldsymbol{120°}$。
由弦BC垂直平分半径OA，得$OD = \frac{1}{2}OA$，$BC⊥ OA$。
∵ $OA=OB=OC$，均为$\odot O$的半径，
∴ $OD = \frac{1}{2}OB$。
在$\mathrm{Rt}△ ODB$中，$∠ ODB=90°$，$OD=\frac{1}{2}OB$，
∴ $∠ BOD=60°$，同理可得$∠ COD=60°$，
∴ 圆心角$∠ BOC = ∠ BOD + ∠ COD = 120°$。
根据圆周角定理：
弦BC所对的劣弧对应的圆周角为$\frac{1}{2}∠ BOC = 60°$，
弦BC所对的优弧对应的圆周角为$\frac{1}{2}×(360° - 120°) = 120°$。
综上，弦$BC$所对的圆周角等于$\boldsymbol{60°}$或$\boldsymbol{120°}$。
解析
【分析】
解题时首先构造辅助线，连接圆心O与弦BC的两个端点B、C，得到半径OB、OC，这是处理圆中弦与半径关系问题的常规操作。结合BC垂直平分半径OA的条件，可得OD（D为BC与OA的交点）等于OB的一半，且△ODB为直角三角形，利用直角三角形的边角关系可求出∠BOD的度数，进而得到圆心角∠BOC的度数。最后根据圆周角定理求解弦BC所对的圆周角，注意一条弦对应劣弧和优弧两条弧，因此对应的圆周角有两个，不要漏解。
【解析】
设弦BC与OA的交点为D，连接OB、OC。
由弦BC垂直平分半径OA，得$OD = \frac{1}{2}OA$，$BC⊥ OA$。
∵ $OA=OB=OC$，均为$\odot O$的半径，
∴ $OD = \frac{1}{2}OB$。
在$\mathrm{Rt}△ ODB$中，$∠ ODB=90°$，$OD=\frac{1}{2}OB$，
∴ $∠ BOD=60°$，同理可得$∠ COD=60°$，
∴ 圆心角$∠ BOC = ∠ BOD + ∠ COD = 120°$。
根据圆周角定理：
弦BC所对的劣弧对应的圆周角为$\frac{1}{2}∠ BOC = 60°$，
弦BC所对的优弧对应的圆周角为$\frac{1}{2}×(360° - 120°) = 120°$。
【答案】
$60°$或$120°$
【知识点】
垂直平分线的性质；直角三角形的性质；圆周角定理
【点评】
本题属于圆的性质基础综合题，易错点是容易忽略一条弦对应两条不同的弧，从而漏算优弧所对的圆周角，解题时要注意分类讨论，考虑全面。
【难度系数】
0.6
解题时首先构造辅助线，连接圆心O与弦BC的两个端点B、C，得到半径OB、OC，这是处理圆中弦与半径关系问题的常规操作。结合BC垂直平分半径OA的条件，可得OD（D为BC与OA的交点）等于OB的一半，且△ODB为直角三角形，利用直角三角形的边角关系可求出∠BOD的度数，进而得到圆心角∠BOC的度数。最后根据圆周角定理求解弦BC所对的圆周角，注意一条弦对应劣弧和优弧两条弧，因此对应的圆周角有两个，不要漏解。
【解析】
设弦BC与OA的交点为D，连接OB、OC。
由弦BC垂直平分半径OA，得$OD = \frac{1}{2}OA$，$BC⊥ OA$。
∵ $OA=OB=OC$，均为$\odot O$的半径，
∴ $OD = \frac{1}{2}OB$。
在$\mathrm{Rt}△ ODB$中，$∠ ODB=90°$，$OD=\frac{1}{2}OB$，
∴ $∠ BOD=60°$，同理可得$∠ COD=60°$，
∴ 圆心角$∠ BOC = ∠ BOD + ∠ COD = 120°$。
根据圆周角定理：
弦BC所对的劣弧对应的圆周角为$\frac{1}{2}∠ BOC = 60°$，
弦BC所对的优弧对应的圆周角为$\frac{1}{2}×(360° - 120°) = 120°$。
【答案】
$60°$或$120°$
【知识点】
垂直平分线的性质；直角三角形的性质；圆周角定理
【点评】
本题属于圆的性质基础综合题，易错点是容易忽略一条弦对应两条不同的弧，从而漏算优弧所对的圆周角，解题时要注意分类讨论，考虑全面。
【难度系数】
0.6
