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13. (2025·北京)如图11,⊙O是地球的示意图,其中AB表示赤道,CD,EF分别表示北回归线和南回归线,∠DOB=∠FOB=23.5°。夏至日正午时,太阳光线GD所在直线经过地心O,此时点F处的太阳高度角∠IFH(即平行于GD的光线HF与⊙O的切线FI所成的锐角)的大小为°。
答案
$\boldsymbol{43}$
解析
【分析】
解题时首先回忆相关几何性质：①切线垂直于过切点的半径；②两直线平行，内错角相等。首先根据切线性质得到OF与FI的垂直关系，得到90°的直角；再结合已知的∠DOB和∠FOB的度数，算出∠DOF的大小；接着利用太阳光线平行的条件，通过平行线性质得到∠OFH的度数；最后利用角的和差关系计算出所求的∠IFH。
【解析】
1. 因为FI是⊙O的切线，F为切点，根据切线的性质，可得$OF⊥ FI$，即$∠ OFI=90°$。
2. 已知$∠ DOB=∠ FOB=23.5°$，所以$∠ DOF=∠ DOB+∠ FOB=23.5°+23.5°=47°$。
3. 由题意知太阳光线互相平行，即$GD// HF$，且直线GD过圆心O，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ OFH=∠ DOF=47°$。
4. 因此$∠ IFH=∠ OFI-∠ OFH=90°-47°=43°$。
【答案】
$\boldsymbol{43}$
【知识点】
切线的性质；平行线的性质；角度计算
【点评】
本题结合生活中的地理场景考查几何知识的应用，需要准确识别图形中的角的位置关系，灵活运用切线和平行线的性质求解，注重对基础知识综合应用能力的考查。
【难度系数】
0.6
解题时首先回忆相关几何性质：①切线垂直于过切点的半径；②两直线平行，内错角相等。首先根据切线性质得到OF与FI的垂直关系，得到90°的直角；再结合已知的∠DOB和∠FOB的度数，算出∠DOF的大小；接着利用太阳光线平行的条件，通过平行线性质得到∠OFH的度数；最后利用角的和差关系计算出所求的∠IFH。
【解析】
1. 因为FI是⊙O的切线，F为切点，根据切线的性质，可得$OF⊥ FI$，即$∠ OFI=90°$。
2. 已知$∠ DOB=∠ FOB=23.5°$，所以$∠ DOF=∠ DOB+∠ FOB=23.5°+23.5°=47°$。
3. 由题意知太阳光线互相平行，即$GD// HF$，且直线GD过圆心O，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ OFH=∠ DOF=47°$。
4. 因此$∠ IFH=∠ OFI-∠ OFH=90°-47°=43°$。
【答案】
$\boldsymbol{43}$
【知识点】
切线的性质；平行线的性质；角度计算
【点评】
本题结合生活中的地理场景考查几何知识的应用，需要准确识别图形中的角的位置关系，灵活运用切线和平行线的性质求解，注重对基础知识综合应用能力的考查。
【难度系数】
0.6
14. (2024·资阳)如图12,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2。以点A为圆心,AD长为半径作弧交AB于点E,再以AB为直径作半圆,与$\overset{\frown}{DE}$交于点F,则图中阴影部分的面积为。
答案
$\boldsymbol{\frac{2π}{3}+\sqrt{3}}$
解析
【分析】
求解不规则阴影部分的面积，通常采用割补法转化为规则图形面积的和差计算。首先观察图形特征：以A为圆心的弧半径为AD=2，以AB为直径的半圆半径为2，因此考虑作辅助线：连接AF，取AB中点O连接OF。先根据三边相等证明△AOF是等边三角形，得到∠AOF=60°、∠BOF=120°、∠FAE=60°，再将阴影面积拆分为扇形BOF的面积加上（等边△AOF的面积减去扇形AEF的面积），分别计算各规则图形的面积后运算即可得到结果。
【解析】
解：连接AF，取AB的中点O，连接OF。
由题意可知：$AE=AD=AF=2$，$OA=OB=OF=\frac{1}{2}AB=2$，
∴ $OA=OF=AF=2$，即$△ AOF$为等边三角形，
∴ $∠ FAE=∠ AOF=60°$，$∠ BOF=180°-∠ AOF=120°$。
分别计算各规则图形面积：
1. 扇形$BOF$的面积：$S_{\mathrm{扇形}BOF}=\frac{120°}{360°}×π×2^2=\frac{4π}{3}$；
2. 等边$△ AOF$的面积：$S_{△ AOF}=\frac{\sqrt{3}}{4}×2^2=\sqrt{3}$；
3. 扇形$AEF$（以A为圆心）的面积：$S_{\mathrm{扇形}AEF}=\frac{60°}{360°}×π×2^2=\frac{2π}{3}$。
通过割补可得阴影部分面积：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}BOF}+(S_{△ AOF}-S_{\mathrm{扇形}AEF})=\frac{4π}{3}+\sqrt{3}-\frac{2π}{3}=\frac{2π}{3}+\sqrt{3}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{2π}{3}+\sqrt{3}}$
【知识点】
扇形面积计算，等边三角形的判定与性质，割补法求阴影面积
【点评】
本题属于不规则面积计算的常见题型，解题的核心是合理作出辅助线，通过等边三角形的性质求出对应圆心角的度数，再利用割补法将不规则阴影转化为规则图形面积的和差，考查了学生的图形转化能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.65
求解不规则阴影部分的面积，通常采用割补法转化为规则图形面积的和差计算。首先观察图形特征：以A为圆心的弧半径为AD=2，以AB为直径的半圆半径为2，因此考虑作辅助线：连接AF，取AB中点O连接OF。先根据三边相等证明△AOF是等边三角形，得到∠AOF=60°、∠BOF=120°、∠FAE=60°，再将阴影面积拆分为扇形BOF的面积加上（等边△AOF的面积减去扇形AEF的面积），分别计算各规则图形的面积后运算即可得到结果。
【解析】
解：连接AF，取AB的中点O，连接OF。
由题意可知：$AE=AD=AF=2$，$OA=OB=OF=\frac{1}{2}AB=2$，
∴ $OA=OF=AF=2$，即$△ AOF$为等边三角形，
∴ $∠ FAE=∠ AOF=60°$，$∠ BOF=180°-∠ AOF=120°$。
分别计算各规则图形面积：
1. 扇形$BOF$的面积：$S_{\mathrm{扇形}BOF}=\frac{120°}{360°}×π×2^2=\frac{4π}{3}$；
2. 等边$△ AOF$的面积：$S_{△ AOF}=\frac{\sqrt{3}}{4}×2^2=\sqrt{3}$；
3. 扇形$AEF$（以A为圆心）的面积：$S_{\mathrm{扇形}AEF}=\frac{60°}{360°}×π×2^2=\frac{2π}{3}$。
通过割补可得阴影部分面积：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}BOF}+(S_{△ AOF}-S_{\mathrm{扇形}AEF})=\frac{4π}{3}+\sqrt{3}-\frac{2π}{3}=\frac{2π}{3}+\sqrt{3}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{2π}{3}+\sqrt{3}}$
【知识点】
扇形面积计算，等边三角形的判定与性质，割补法求阴影面积
【点评】
本题属于不规则面积计算的常见题型，解题的核心是合理作出辅助线，通过等边三角形的性质求出对应圆心角的度数，再利用割补法将不规则阴影转化为规则图形面积的和差，考查了学生的图形转化能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.65
三、解答题(共58分)
15.(10分)(2024·临夏州)如图13,直线$l$与$\odot O$相切于点$D$,AB为$\odot O$的直径,过点$A$作$AE ⊥ l$于点$E$,延长$AB$交直线$l$于点$C$。
(1)求证:$AD$平分$∠ CAE$;
(2)如果$BC=1,DC=3$,求$\odot O$的半径。
15.(10分)(2024·临夏州)如图13,直线$l$与$\odot O$相切于点$D$,AB为$\odot O$的直径,过点$A$作$AE ⊥ l$于点$E$,延长$AB$交直线$l$于点$C$。
(1)求证:$AD$平分$∠ CAE$;
(2)如果$BC=1,DC=3$,求$\odot O$的半径。
答案
(1) 证明：
连接$OD$，
∵ 直线$l$与$\odot O$相切于点$D$，
∴ $OD ⊥ l$，
又∵ $AE ⊥ l$，
∴ $OD // AE$，
∴ $∠ ODA = ∠ DAE$。
∵ $OA = OD$，
∴ $∠ OAD = ∠ ODA$，
∴ $∠ OAD = ∠ DAE$，
即$AD$平分$∠ CAE$。
---
(2) 解：
设$\odot O$的半径为$r$，则$OD = OB = r$。
∵ $OD ⊥ l$，
∴ $△ ODC$为直角三角形，$∠ ODC = 90°$。
由勾股定理得：$OD^2 + DC^2 = OC^2$，
又∵ $OC = OB + BC = r + 1$，$DC = 3$，代入得：
$r^2 + 3^2 = (r + 1)^2$
展开化简：
$r^2 + 9 = r^2 + 2r + 1$
$2r = 8$
解得$r = 4$。
答：$\odot O$的半径为$\boldsymbol{4}$。
连接$OD$，
∵ 直线$l$与$\odot O$相切于点$D$，
∴ $OD ⊥ l$，
又∵ $AE ⊥ l$，
∴ $OD // AE$，
∴ $∠ ODA = ∠ DAE$。
∵ $OA = OD$，
∴ $∠ OAD = ∠ ODA$，
∴ $∠ OAD = ∠ DAE$，
即$AD$平分$∠ CAE$。
---
(2) 解：
设$\odot O$的半径为$r$，则$OD = OB = r$。
∵ $OD ⊥ l$，
∴ $△ ODC$为直角三角形，$∠ ODC = 90°$。
由勾股定理得：$OD^2 + DC^2 = OC^2$，
又∵ $OC = OB + BC = r + 1$，$DC = 3$，代入得：
$r^2 + 3^2 = (r + 1)^2$
展开化简：
$r^2 + 9 = r^2 + 2r + 1$
$2r = 8$
解得$r = 4$。
答：$\odot O$的半径为$\boldsymbol{4}$。
解析
【分析】
(1) 要证明AD平分∠CAE，即需证明∠OAD=∠DAE。遇到切线问题首先考虑连接切点与圆心，结合切线性质可得OD⊥l，结合AE⊥l可推出OD//AE，得到内错角相等；再利用OA、OD是半径即△OAD为等腰三角形的性质，等量代换即可证得两角相等。
(2) 求圆的半径可设半径为r，将相关线段用r表示，由切线性质可知△ODC是直角三角形，利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 证明：
连接$OD$，
∵ 直线$l$与$\odot O$相切于点$D$，
∴ $OD ⊥ l$，
又
∵ $AE ⊥ l$，
∴ $OD // AE$，
∴ $∠ ODA = ∠ DAE$。
∵ $OA = OD$，
∴ $∠ OAD = ∠ ODA$，
∴ $∠ OAD = ∠ DAE$，
即$AD$平分$∠ CAE$。
(2) 解：
设$\odot O$的半径为$r$，则$OD = OB = r$。
∵ $OD ⊥ l$，
∴ $△ ODC$为直角三角形，$∠ ODC = 90°$。
由勾股定理得：$OD^2 + DC^2 = OC^2$，
又
∵ $OC = OB + BC = r + 1$，$DC = 3$，代入得：
$r^2 + 3^2 = (r + 1)^2$
展开化简：
$r^2 + 9 = r^2 + 2r + 1$
$2r = 8$
解得$r = 4$。
【答案】
(1) AD平分$∠CAE$，证明成立；
(2) $\odot O$的半径为$\boldsymbol{4}$。
【知识点】
切线的性质，勾股定理，平行线的判定与性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，核心考察切线问题的常规辅助线做法，通过连接圆心与切点构造垂直关系，结合平行线、等腰三角形的性质可完成角平分线的证明；求线段长度时利用勾股定理建立方程，是几何计算中方程思想的典型应用，解题思路清晰常规。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明AD平分∠CAE，即需证明∠OAD=∠DAE。遇到切线问题首先考虑连接切点与圆心，结合切线性质可得OD⊥l，结合AE⊥l可推出OD//AE，得到内错角相等；再利用OA、OD是半径即△OAD为等腰三角形的性质，等量代换即可证得两角相等。
(2) 求圆的半径可设半径为r，将相关线段用r表示，由切线性质可知△ODC是直角三角形，利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 证明：
连接$OD$，
∵ 直线$l$与$\odot O$相切于点$D$，
∴ $OD ⊥ l$，
又
∵ $AE ⊥ l$，
∴ $OD // AE$，
∴ $∠ ODA = ∠ DAE$。
∵ $OA = OD$，
∴ $∠ OAD = ∠ ODA$，
∴ $∠ OAD = ∠ DAE$，
即$AD$平分$∠ CAE$。
(2) 解：
设$\odot O$的半径为$r$，则$OD = OB = r$。
∵ $OD ⊥ l$，
∴ $△ ODC$为直角三角形，$∠ ODC = 90°$。
由勾股定理得：$OD^2 + DC^2 = OC^2$，
又
∵ $OC = OB + BC = r + 1$，$DC = 3$，代入得：
$r^2 + 3^2 = (r + 1)^2$
展开化简：
$r^2 + 9 = r^2 + 2r + 1$
$2r = 8$
解得$r = 4$。
【答案】
(1) AD平分$∠CAE$，证明成立；
(2) $\odot O$的半径为$\boldsymbol{4}$。
【知识点】
切线的性质，勾股定理，平行线的判定与性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，核心考察切线问题的常规辅助线做法，通过连接圆心与切点构造垂直关系，结合平行线、等腰三角形的性质可完成角平分线的证明；求线段长度时利用勾股定理建立方程，是几何计算中方程思想的典型应用，解题思路清晰常规。
【难度系数】
0.7
