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16. (11分)先阅读,再解答。我们在判断点$(-7,20)$是否在直线$y=2x+6$上时,常用的方法是把$x=-7$代入$y=2x+6$中,由$2×(-7)+6=-8≠20$,判断出点$(-7,20)$不在直线$y=2x+6$上。小明由此方法并根据“两点确定一条直线”,推断出$A(1,2),B(3,4),C(-1,6)$三点可以确定一个圆。你认为他的推断正确吗?请你利用上述方法说明理由。
答案
解：他的推断正确，理由如下：
设过$A(1,2)$，$B(3,4)$两点的直线解析式为$y=kx+b$，
将两点坐标代入解析式得：
$\begin{cases} k + b = 2 \\ 3k + b = 4 \end{cases}$
解得：
$\begin{cases} k=1 \\ b=1 \end{cases}$
因此直线$AB$的解析式为$y = x + 1$。
把$x=-1$代入$y=x+1$中，得$y = -1 + 1 = 0 ≠ 6$，
所以点$C(-1,6)$不在直线$AB$上，即$A$、$B$、$C$三点不在同一条直线上。
根据“不在同一直线上的三点可以确定一个圆”，可知$A$、$B$、$C$三点可以确定一个圆，因此小明的推断正确。
设过$A(1,2)$，$B(3,4)$两点的直线解析式为$y=kx+b$，
将两点坐标代入解析式得：
$\begin{cases} k + b = 2 \\ 3k + b = 4 \end{cases}$
解得：
$\begin{cases} k=1 \\ b=1 \end{cases}$
因此直线$AB$的解析式为$y = x + 1$。
把$x=-1$代入$y=x+1$中，得$y = -1 + 1 = 0 ≠ 6$，
所以点$C(-1,6)$不在直线$AB$上，即$A$、$B$、$C$三点不在同一条直线上。
根据“不在同一直线上的三点可以确定一个圆”，可知$A$、$B$、$C$三点可以确定一个圆，因此小明的推断正确。
解析
【分析】
要判断三个点是否可以确定一个圆，核心依据是“不在同一直线上的三点可以确定一个圆”，因此首先需要判断A、B、C三点是否共线。我们可以先通过待定系数法求出过A、B两点的直线解析式，再将点C的横坐标代入该解析式，计算得到的y值若与点C的纵坐标相等，说明点C在直线AB上，三点共线不能确定圆；若不相等，说明三点不共线，可以确定一个圆。
【解析】
解：他的推断正确，理由如下：
设过$A(1,2)$，$B(3,4)$两点的直线解析式为$y=kx+b$，
将A、B两点坐标代入解析式得：
$\begin{cases} k + b = 2 \\ 3k + b = 4 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$2k=2$，解得$k=1$，
将$k=1$代入$k+b=2$，得$1+b=2$，解得$b=1$，
因此直线AB的解析式为$y = x + 1$。
把$x=-1$代入$y=x+1$中，得$y = -1 + 1 = 0$，
$\because 0 ≠ 6$，$\therefore$点$C(-1,6)$不在直线$AB$上，即$A$、$B$、$C$三点不在同一条直线上。
根据“不在同一直线上的三点可以确定一个圆”，可知$A$、$B$、$C$三点可以确定一个圆，因此小明的推断正确。
【答案】
小明的推断正确，$A$、$B$、$C$三点可以确定一个圆。
【知识点】
确定圆的条件；待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题融合了一次函数与圆的基础知识点，将三点共圆的判断转化为三点是否共线的验证，解题思路清晰，侧重考查学生对基础知识的应用能力，以及对题目给出方法的迁移运用能力。
【难度系数】
0.7
要判断三个点是否可以确定一个圆，核心依据是“不在同一直线上的三点可以确定一个圆”，因此首先需要判断A、B、C三点是否共线。我们可以先通过待定系数法求出过A、B两点的直线解析式，再将点C的横坐标代入该解析式，计算得到的y值若与点C的纵坐标相等，说明点C在直线AB上，三点共线不能确定圆；若不相等，说明三点不共线，可以确定一个圆。
【解析】
解：他的推断正确，理由如下：
设过$A(1,2)$，$B(3,4)$两点的直线解析式为$y=kx+b$，
将A、B两点坐标代入解析式得：
$\begin{cases} k + b = 2 \\ 3k + b = 4 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$2k=2$，解得$k=1$，
将$k=1$代入$k+b=2$，得$1+b=2$，解得$b=1$，
因此直线AB的解析式为$y = x + 1$。
把$x=-1$代入$y=x+1$中，得$y = -1 + 1 = 0$，
$\because 0 ≠ 6$，$\therefore$点$C(-1,6)$不在直线$AB$上，即$A$、$B$、$C$三点不在同一条直线上。
根据“不在同一直线上的三点可以确定一个圆”，可知$A$、$B$、$C$三点可以确定一个圆，因此小明的推断正确。
【答案】
小明的推断正确，$A$、$B$、$C$三点可以确定一个圆。
【知识点】
确定圆的条件；待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题融合了一次函数与圆的基础知识点，将三点共圆的判断转化为三点是否共线的验证，解题思路清晰，侧重考查学生对基础知识的应用能力，以及对题目给出方法的迁移运用能力。
【难度系数】
0.7
17. (11分)如图14,AB是$\odot O$的直径,弦DE垂直平分半径OA,C为垂足,弦DF与半径OB相交于点P,连接EF,EO。若$DE=2\sqrt{3}$,$∠ DPA=45°$。
(1)求$\odot O$的半径;
(2)求图中阴影部分的面积。
(1)求$\odot O$的半径;
(2)求图中阴影部分的面积。
答案
解：
(1) ∵ DE垂直平分半径OA，
∴ CE = 1/2 DE = √3，OC = 1/2 OA，∠OCE = 90°。
设⊙O的半径为r，则OE = r，OC = r/2。
在Rt△OCE中，由勾股定理得：
OC² + CE² = OE²
即 $(\frac{r}{2})^2 + (\sqrt{3})^2 = r^2$
整理得 $\frac{3r^2}{4}=3$，解得 $r=2$。
∴ ⊙O的半径为2。
(2) 连接OF，
∵ ∠DCP=90°，∠DPA=45°，
∴ ∠CDP = 90° - 45° = 45°。
由圆周角定理得：∠EOF = 2∠EDF = 2×45° = 90°。
∴ 扇形OEF的面积为：
$S_{扇形OEF} = \frac{90π × 2^2}{360} = π$
△OEF的面积为：
$S_{△ OEF} = \frac{1}{2} × OE × OF = \frac{1}{2} × 2 × 2 = 2$
∴ 阴影部分的面积为：
$S_{阴影} = S_{扇形OEF} - S_{△ OEF} = π - 2$
答：(1) ⊙O的半径为2；(2) 阴影部分的面积为$π-2$。
(1) ∵ DE垂直平分半径OA，
∴ CE = 1/2 DE = √3，OC = 1/2 OA，∠OCE = 90°。
设⊙O的半径为r，则OE = r，OC = r/2。
在Rt△OCE中，由勾股定理得：
OC² + CE² = OE²
即 $(\frac{r}{2})^2 + (\sqrt{3})^2 = r^2$
整理得 $\frac{3r^2}{4}=3$，解得 $r=2$。
∴ ⊙O的半径为2。
(2) 连接OF，
∵ ∠DCP=90°，∠DPA=45°，
∴ ∠CDP = 90° - 45° = 45°。
由圆周角定理得：∠EOF = 2∠EDF = 2×45° = 90°。
∴ 扇形OEF的面积为：
$S_{扇形OEF} = \frac{90π × 2^2}{360} = π$
△OEF的面积为：
$S_{△ OEF} = \frac{1}{2} × OE × OF = \frac{1}{2} × 2 × 2 = 2$
∴ 阴影部分的面积为：
$S_{阴影} = S_{扇形OEF} - S_{△ OEF} = π - 2$
答：(1) ⊙O的半径为2；(2) 阴影部分的面积为$π-2$。
解析
【分析】
(1) 求圆的半径时，先根据DE垂直平分半径OA，结合垂径定理得到CE的长度，同时可知OC为半径的一半，△OCE为直角三角形，设半径为r，利用勾股定理列方程即可求解。
(2) 求阴影部分面积时，观察图形可知阴影面积为扇形OEF的面积减去△OEF的面积：先根据∠DPA=45°和直角三角形两锐角互余求出圆周角∠EDF的度数，再由圆周角定理得到圆心角∠EOF的度数，分别计算扇形和三角形的面积后作差即可得到结果。
【解析】
(1)
∵ DE垂直平分半径OA，
∴ CE = $\frac{1}{2}$ DE = $\sqrt{3}$，OC = $\frac{1}{2}$ OA，∠OCE = 90°。
设⊙O的半径为r，则OE = r，OC = $\frac{r}{2}$。
在Rt△OCE中，由勾股定理得：
$OC^2 + CE^2 = OE^2$
即 $(\frac{r}{2})^2 + (\sqrt{3})^2 = r^2$
整理得 $\frac{3r^2}{4}=3$，解得 $r=2$。
∴ ⊙O的半径为2。
(2) 连接OF，
∵ ∠DCP=90°，∠DPA=45°，
∴ ∠CDP = 90° - 45° = 45°。
由圆周角定理得：∠EOF = 2∠EDF = 2×45° = 90°。
∴ 扇形OEF的面积为：
$S_{扇形OEF} = \frac{90π × 2^2}{360} = π$
△OEF的面积为：
$S_{△ OEF} = \frac{1}{2} × OE × OF = \frac{1}{2} × 2 × 2 = 2$
∴ 阴影部分的面积为：
$S_{阴影} = S_{扇形OEF} - S_{△ OEF} = π - 2$
【答案】
(1) ⊙O的半径为$\boxed{2}$；(2) 阴影部分的面积为$\boxed{π-2}$
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，扇形面积计算
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题时需结合已知条件灵活运用圆的相关性质，通过勾股定理求半径，用割补法计算不规则阴影部分的面积，是圆章节的典型常考题型。
【难度系数】
0.7
(1) 求圆的半径时，先根据DE垂直平分半径OA，结合垂径定理得到CE的长度，同时可知OC为半径的一半，△OCE为直角三角形，设半径为r，利用勾股定理列方程即可求解。
(2) 求阴影部分面积时，观察图形可知阴影面积为扇形OEF的面积减去△OEF的面积：先根据∠DPA=45°和直角三角形两锐角互余求出圆周角∠EDF的度数，再由圆周角定理得到圆心角∠EOF的度数，分别计算扇形和三角形的面积后作差即可得到结果。
【解析】
(1)
∵ DE垂直平分半径OA，
∴ CE = $\frac{1}{2}$ DE = $\sqrt{3}$，OC = $\frac{1}{2}$ OA，∠OCE = 90°。
设⊙O的半径为r，则OE = r，OC = $\frac{r}{2}$。
在Rt△OCE中，由勾股定理得：
$OC^2 + CE^2 = OE^2$
即 $(\frac{r}{2})^2 + (\sqrt{3})^2 = r^2$
整理得 $\frac{3r^2}{4}=3$，解得 $r=2$。
∴ ⊙O的半径为2。
(2) 连接OF，
∵ ∠DCP=90°，∠DPA=45°，
∴ ∠CDP = 90° - 45° = 45°。
由圆周角定理得：∠EOF = 2∠EDF = 2×45° = 90°。
∴ 扇形OEF的面积为：
$S_{扇形OEF} = \frac{90π × 2^2}{360} = π$
△OEF的面积为：
$S_{△ OEF} = \frac{1}{2} × OE × OF = \frac{1}{2} × 2 × 2 = 2$
∴ 阴影部分的面积为：
$S_{阴影} = S_{扇形OEF} - S_{△ OEF} = π - 2$
【答案】
(1) ⊙O的半径为$\boxed{2}$；(2) 阴影部分的面积为$\boxed{π-2}$
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，扇形面积计算
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题时需结合已知条件灵活运用圆的相关性质，通过勾股定理求半径，用割补法计算不规则阴影部分的面积，是圆章节的典型常考题型。
【难度系数】
0.7
