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1. 下列方程组是三元一次方程组的是 （
A.$\begin{cases} x + y = 5, \\ 3x + 2y = z, \\ y^2 + z = 1 \end{cases}$
B.$\begin{cases} xy = 3, \\ y + z = 2, \\ x + z = 6 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x + y + z = 7, \\ 2x + y + 3z = 5, \\ x + 2y + m = 2 \end{cases}$
D.$\begin{cases} y + z = 7, \\ 2x + 3y = 5, \\ y = 2 \end{cases}$
D
）A.$\begin{cases} x + y = 5, \\ 3x + 2y = z, \\ y^2 + z = 1 \end{cases}$
B.$\begin{cases} xy = 3, \\ y + z = 2, \\ x + z = 6 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x + y + z = 7, \\ 2x + y + 3z = 5, \\ x + 2y + m = 2 \end{cases}$
D.$\begin{cases} y + z = 7, \\ 2x + 3y = 5, \\ y = 2 \end{cases}$
答案
1.D
解析
【分析】
要判断一个方程组是不是三元一次方程组，首先要牢记三元一次方程组的3个判定要点：①方程组中一共只含有3个不同的未知数；②每个方程中含未知数的项的次数都是1；③所有方程都是整式方程。解题时就拿着这三个要点逐一排查选项，把不符合要求的选项排除，剩下的就是正确答案。
【解析】
根据三元一次方程组的定义逐一分析选项：
A选项：第三个方程$y^2+z=1$中，$y^2$项的次数是2，不符合“含未知数的项的次数都是1”的要求，不是三元一次方程组；
B选项：第一个方程$xy=3$中，$xy$是两个未知数相乘，该项的次数是2，不符合要求，不是三元一次方程组；
C选项：方程组中出现了$x、y、z、m$共4个不同的未知数，不符合“一共只含3个不同未知数”的要求，不是三元一次方程组；
D选项：方程组中共有$x、y、z$3个不同的未知数，每个方程含未知数的项的次数都是1，且都是整式方程，符合三元一次方程组的定义。
综上，选D。
【答案】
D
【知识点】
三元一次方程组的定义、整式方程的判定、单项式次数的判定
【点评】
本题是基础概念类考题，核心考查对三元一次方程组定义的掌握程度，解题的关键是紧扣三个判定要点，尤其要注意不要误将未知数的平方项、两个未知数的乘积项当成一次项，也不要漏数方程组中未知数的总个数，掌握定义即可快速得分。
【难度系数】
0.8
要判断一个方程组是不是三元一次方程组，首先要牢记三元一次方程组的3个判定要点：①方程组中一共只含有3个不同的未知数；②每个方程中含未知数的项的次数都是1；③所有方程都是整式方程。解题时就拿着这三个要点逐一排查选项，把不符合要求的选项排除，剩下的就是正确答案。
【解析】
根据三元一次方程组的定义逐一分析选项：
A选项：第三个方程$y^2+z=1$中，$y^2$项的次数是2，不符合“含未知数的项的次数都是1”的要求，不是三元一次方程组；
B选项：第一个方程$xy=3$中，$xy$是两个未知数相乘，该项的次数是2，不符合要求，不是三元一次方程组；
C选项：方程组中出现了$x、y、z、m$共4个不同的未知数，不符合“一共只含3个不同未知数”的要求，不是三元一次方程组；
D选项：方程组中共有$x、y、z$3个不同的未知数，每个方程含未知数的项的次数都是1，且都是整式方程，符合三元一次方程组的定义。
综上，选D。
【答案】
D
【知识点】
三元一次方程组的定义、整式方程的判定、单项式次数的判定
【点评】
本题是基础概念类考题，核心考查对三元一次方程组定义的掌握程度，解题的关键是紧扣三个判定要点，尤其要注意不要误将未知数的平方项、两个未知数的乘积项当成一次项，也不要漏数方程组中未知数的总个数，掌握定义即可快速得分。
【难度系数】
0.8
2. 把若干只鸡和兔关在同一个笼子里，从上面数，有11个头；从下面数，有32条腿.则笼中的兔子共有 （
A.3只
B.4只
C.5只
D.6只
C
）A.3只
B.4只
C.5只
D.6只
答案
2.C
解析
【分析】这是典型的鸡兔同笼问题，可结合一元一次方程知识求解：首先明确1只鸡和1只兔都只有1个头，因此11个头说明鸡和兔的总数量为11只；其次1只鸡有2条腿、1只兔有4条腿，总腿数共32条，我们可以设兔子的数量为未知数，用总数量表示出鸡的数量，再根据“兔的总腿数+鸡的总腿数=32”这一等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设笼中兔子共有$ x $只，则鸡的数量为$ (11-x) $只。
根据总腿数为32条，可列方程：
$ 4x + 2(11-x) = 32 $
展开括号得：$ 4x + 22 - 2x = 32 $
合并同类项得：$ 2x + 22 = 32 $
移项计算得：$ 2x = 10 $
解得：$ x = 5 $
即笼中兔子共有5只。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的应用；鸡兔同笼问题
【点评】
本题是基础的鸡兔同笼应用题，解题关键是找到题目中隐含的等量关系，正确设未知数列方程求解，熟练掌握一元一次方程的解法是得分的基础。
【难度系数】
0.8
【解析】
解：设笼中兔子共有$ x $只，则鸡的数量为$ (11-x) $只。
根据总腿数为32条，可列方程：
$ 4x + 2(11-x) = 32 $
展开括号得：$ 4x + 22 - 2x = 32 $
合并同类项得：$ 2x + 22 = 32 $
移项计算得：$ 2x = 10 $
解得：$ x = 5 $
即笼中兔子共有5只。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的应用；鸡兔同笼问题
【点评】
本题是基础的鸡兔同笼应用题，解题关键是找到题目中隐含的等量关系，正确设未知数列方程求解，熟练掌握一元一次方程的解法是得分的基础。
【难度系数】
0.8
3. 小军在商场搞活动期间购买了甲、乙两种商品，分别是以七折和九折的优惠价格购买的，共付款386元.若这两种商品原价之和为500元，则甲、乙两商品的原价分别是（
A.320元、180元
B.300元、200元
C.330元、170元
D.310元、190元
A
）A.320元、180元
B.300元、200元
C.330元、170元
D.310元、190元
答案
3.A
解析
【分析】
本题属于折扣类应用题，解题时首先要找准两个核心等量关系：一是甲乙两种商品的原价之和为500元，二是打折后两种商品的付款总和为386元。我们可以通过设未知数，根据等量关系列一元一次方程求解，也可以直接将选项代入条件验证，快速得到答案。
【解析】
方法一：列方程求解
设甲商品原价为$ x $元，则乙商品原价为$ (500-x) $元。
甲打七折后的售价为$ 0.7x $元，乙打九折后的售价为$ 0.9(500-x) $元，根据总付款386元列方程：
$0.7x + 0.9(500 - x) = 386$
展开括号得：$ 0.7x + 450 - 0.9x = 386 $
移项合并同类项得：$ -0.2x = -64 $
解得：$ x = 320 $
则乙商品原价为$ 500 - 320 = 180 $元。
方法二：代入验证法
验证A选项：甲原价320元，七折后价格为$ 320×0.7=224 $元；乙原价180元，九折后价格为$ 180×0.9=162 $元；总付款$ 224+162=386 $元，完全符合题意。
【答案】
A
【知识点】
打折销售计算，一元一次方程应用
【点评】
本题结合生活中的购物折扣场景命题，解题核心是准确梳理原价、折扣、实际售价之间的关系，找到对应的等量关系列方程，也可通过代入选项快速验证，是典型的基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
本题属于折扣类应用题，解题时首先要找准两个核心等量关系：一是甲乙两种商品的原价之和为500元，二是打折后两种商品的付款总和为386元。我们可以通过设未知数，根据等量关系列一元一次方程求解，也可以直接将选项代入条件验证，快速得到答案。
【解析】
方法一：列方程求解
设甲商品原价为$ x $元，则乙商品原价为$ (500-x) $元。
甲打七折后的售价为$ 0.7x $元，乙打九折后的售价为$ 0.9(500-x) $元，根据总付款386元列方程：
$0.7x + 0.9(500 - x) = 386$
展开括号得：$ 0.7x + 450 - 0.9x = 386 $
移项合并同类项得：$ -0.2x = -64 $
解得：$ x = 320 $
则乙商品原价为$ 500 - 320 = 180 $元。
方法二：代入验证法
验证A选项：甲原价320元，七折后价格为$ 320×0.7=224 $元；乙原价180元，九折后价格为$ 180×0.9=162 $元；总付款$ 224+162=386 $元，完全符合题意。
【答案】
A
【知识点】
打折销售计算，一元一次方程应用
【点评】
本题结合生活中的购物折扣场景命题，解题核心是准确梳理原价、折扣、实际售价之间的关系，找到对应的等量关系列方程，也可通过代入选项快速验证，是典型的基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
4.为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)；接收方由密文→明文(解密).已知加密规则为:明文a,b,c对应的密文为$a-b+c$,$4a+2b+c$,$5a+4b+c$.例如,明文1,2,3对应的密文为2,11,16.当接收方收到密文2,17,24时,解密得到的明文应为（
A.4,2,3
B.3,1,2
C.3,2,1
D.2,3,4
C
）A.4,2,3
B.3,1,2
C.3,2,1
D.2,3,4
答案
4.C
解析
【分析】
解题首先要对应加密规则的等量关系：明文a、b、c对应的三个密文分别等于$a-b+c$、$4a+2b+c$、$5a+4b+c$。已知接收的密文数值，我们可以将密文和对应表达式相等，列出关于a、b、c的三元一次方程组，再用消元法逐步消去未知数，先消去c得到二元一次方程组，求解a、b后代入原式求c，即可得到明文。
【解析】
根据加密规则和已知密文，列方程组得：
$\begin{cases}a - b + c = 2 \quad \mathrm{①} \\4a + 2b + c = 17 \quad \mathrm{②} \\5a + 4b + c = 24 \quad \mathrm{③}\end{cases}$
1. 消去未知数c：
用②-①得：$(4a+2b+c)-(a-b+c)=17-2$，化简得$3a+3b=15$，即$a + b = 5$ ④
用③-②得：$(5a+4b+c)-(4a+2b+c)=24-17$，化简得$a + 2b = 7$ ⑤
2. 解二元一次方程组：
用⑤-④得：$(a+2b)-(a+b)=7-5$，解得$b=2$
将$b=2$代入④得：$a + 2 = 5$，解得$a=3$
3. 求c的值：
将$a=3$，$b=2$代入①得：$3 - 2 + c = 2$，解得$c=1$
因此明文为a=3，b=2，c=1，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
三元一次方程组的应用，消元法解方程组
【点评】
本题结合信息加密的生活情境考查方程组的应用，解题核心是根据题意准确建立等量关系，再利用消元思想逐步求解未知数，计算过程难度较低，细心运算即可得分。
【难度系数】
0.7
解题首先要对应加密规则的等量关系：明文a、b、c对应的三个密文分别等于$a-b+c$、$4a+2b+c$、$5a+4b+c$。已知接收的密文数值，我们可以将密文和对应表达式相等，列出关于a、b、c的三元一次方程组，再用消元法逐步消去未知数，先消去c得到二元一次方程组，求解a、b后代入原式求c，即可得到明文。
【解析】
根据加密规则和已知密文，列方程组得：
$\begin{cases}a - b + c = 2 \quad \mathrm{①} \\4a + 2b + c = 17 \quad \mathrm{②} \\5a + 4b + c = 24 \quad \mathrm{③}\end{cases}$
1. 消去未知数c：
用②-①得：$(4a+2b+c)-(a-b+c)=17-2$，化简得$3a+3b=15$，即$a + b = 5$ ④
用③-②得：$(5a+4b+c)-(4a+2b+c)=24-17$，化简得$a + 2b = 7$ ⑤
2. 解二元一次方程组：
用⑤-④得：$(a+2b)-(a+b)=7-5$，解得$b=2$
将$b=2$代入④得：$a + 2 = 5$，解得$a=3$
3. 求c的值：
将$a=3$，$b=2$代入①得：$3 - 2 + c = 2$，解得$c=1$
因此明文为a=3，b=2，c=1，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
三元一次方程组的应用，消元法解方程组
【点评】
本题结合信息加密的生活情境考查方程组的应用，解题核心是根据题意准确建立等量关系，再利用消元思想逐步求解未知数，计算过程难度较低，细心运算即可得分。
【难度系数】
0.7
5.一个两位数的十位数字与个位数字的和是7.如果把这个两位数加上45，那么恰好成为个位数字与十位数字对调后组成的两位数，则这个两位数是
16
。答案
5.16
解析
【分析】
解决这类数字应用题，首先要明确两位数的表示规则：一个两位数的十位数字为a、个位数字为b时，这个两位数可表示为10a+b，个位与十位对调后的两位数可表示为10b+a。本题给出两个等量关系：①十位数字+个位数字=7；②原两位数+45=对调后得到的两位数。我们可以先设十位数字为未知数，借助第一个等量关系表示出个位数字，再代入第二个等量关系列一元一次方程求解即可。
【解析】
设这个两位数的十位数字为$x$，则个位数字为$7-x$。
原两位数可表示为：$10x + (7-x)$
对调后得到的两位数可表示为：$10(7-x) + x$
根据题意列方程：
$10x + (7-x) + 45 = 10(7-x) + x$
化简方程：
左边：$10x +7 -x +45 = 9x +52$
右边：$70 -10x +x =70 -9x$
移项得：$9x +9x =70 -52$
合并同类项得：$18x =18$
解得：$x=1$
则个位数字为$7 -1 =6$，所以这个两位数是16。
【答案】
16
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 两位数的表示方法
【点评】
本题是典型的数字类应用题，解题核心是掌握多位数的代数式表示方法，准确提取题干中的等量关系列方程求解，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.8
解决这类数字应用题，首先要明确两位数的表示规则：一个两位数的十位数字为a、个位数字为b时，这个两位数可表示为10a+b，个位与十位对调后的两位数可表示为10b+a。本题给出两个等量关系：①十位数字+个位数字=7；②原两位数+45=对调后得到的两位数。我们可以先设十位数字为未知数，借助第一个等量关系表示出个位数字，再代入第二个等量关系列一元一次方程求解即可。
【解析】
设这个两位数的十位数字为$x$，则个位数字为$7-x$。
原两位数可表示为：$10x + (7-x)$
对调后得到的两位数可表示为：$10(7-x) + x$
根据题意列方程：
$10x + (7-x) + 45 = 10(7-x) + x$
化简方程：
左边：$10x +7 -x +45 = 9x +52$
右边：$70 -10x +x =70 -9x$
移项得：$9x +9x =70 -52$
合并同类项得：$18x =18$
解得：$x=1$
则个位数字为$7 -1 =6$，所以这个两位数是16。
【答案】
16
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 两位数的表示方法
【点评】
本题是典型的数字类应用题，解题核心是掌握多位数的代数式表示方法，准确提取题干中的等量关系列方程求解，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.8
