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6.在《九章算术》的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成，如图1.图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数$x$，$y$的系数与相应的常数，图1的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表达就是
$\begin{cases}3x+2y=19, \\x+4y=23,\end{cases}$
则图2所示的算筹图所表示的方程组的解为.
$\begin{cases}3x+2y=19, \\x+4y=23,\end{cases}$
则图2所示的算筹图所表示的方程组的解为.
答案
6.$\begin{cases} x=3, \\ y=5 \end{cases}$
解析
【分析】
解题时首先要根据题目给出的示例总结算筹表示数的规则：1. 未知数x、y的系数均为个位数，1根竖筹代表数值1；2. 常数项分为左右两部分，左侧为十位，1根竖筹代表1个十，右侧为个位，1根竖筹代表1，1根横筹代表5。接着依据规则写出图2对应的二元一次方程组，最后用代入消元法或加减消元法求解方程组即可得到答案。
【解析】
首先根据图1的示例总结算筹记数规则，可写出图2对应的二元一次方程组：
$\begin{cases}2x+y=11&①\\x+3y=18&②\end{cases}$
使用代入消元法求解：
由①移项得：$y=11-2x$ ③
将③代入②得：$x+3(11-2x)=18$
展开计算：$x+33-6x=18$
合并同类项、移项得：$-5x=-15$
解得：$x=3$
将$x=3$代入③得：$y=11-2×3=5$
【答案】
$\begin{cases} x=3, \\ y=5 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组解法，传统数学文化，消元思想
【点评】
本题结合我国古代《九章算术》中的算筹记数法设置问题，既考查了二元一次方程组的列写与求解这一基础知识点，又能让学生感受我国传统数学的成就，解题的关键是准确根据示例归纳算筹记数的规则。
【难度系数】
0.7
解题时首先要根据题目给出的示例总结算筹表示数的规则：1. 未知数x、y的系数均为个位数，1根竖筹代表数值1；2. 常数项分为左右两部分，左侧为十位，1根竖筹代表1个十，右侧为个位，1根竖筹代表1，1根横筹代表5。接着依据规则写出图2对应的二元一次方程组，最后用代入消元法或加减消元法求解方程组即可得到答案。
【解析】
首先根据图1的示例总结算筹记数规则，可写出图2对应的二元一次方程组：
$\begin{cases}2x+y=11&①\\x+3y=18&②\end{cases}$
使用代入消元法求解：
由①移项得：$y=11-2x$ ③
将③代入②得：$x+3(11-2x)=18$
展开计算：$x+33-6x=18$
合并同类项、移项得：$-5x=-15$
解得：$x=3$
将$x=3$代入③得：$y=11-2×3=5$
【答案】
$\begin{cases} x=3, \\ y=5 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组解法，传统数学文化，消元思想
【点评】
本题结合我国古代《九章算术》中的算筹记数法设置问题，既考查了二元一次方程组的列写与求解这一基础知识点，又能让学生感受我国传统数学的成就，解题的关键是准确根据示例归纳算筹记数的规则。
【难度系数】
0.7
7.我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题:一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托.如果1托为5尺，那么索长为
20
尺.(其大意为:现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺)答案
7.20
解析
【分析】
这是一道一元一次方程应用类的实际问题，解题时可按以下思路思考：第一步先设未知量，题目要求索长，可直接设索长为x尺；第二步找不变量和等量关系，本题中索长、竿长都是固定不变的，首先根据“索比竿长5尺”，可以用含x的式子表示出竿长为(x-5)尺；再根据“对折索量竿比竿短5尺”，可知对折后的索长加5尺等于竿长，即竿长也可表示为$\frac{1}{2}x + 5$；第三步根据竿长相等列出方程求解即可。
【解析】
解：设绳索的长度为x尺。
由“索比竿长5尺”可得，竿长为$(x - 5)$尺。
绳索对折后的长度为$\frac{1}{2}x$尺，由“对折索量竿比竿短5尺”可列方程：
$\frac{1}{2}x + 5 = x - 5$
移项得：$x - \frac{1}{2}x = 5 + 5$
合并同类项得：$\frac{1}{2}x = 10$
系数化为1得：$x = 20$
【答案】
20
【知识点】
一元一次方程应用；列方程解应用题
【点评】
本题以我国古代数学问题为载体，考查学生从文字信息中提取等量关系、用方程解决实际问题的能力，情境富有趣味性，能让学生感受传统数学文化的魅力。
【难度系数】
0.7
这是一道一元一次方程应用类的实际问题，解题时可按以下思路思考：第一步先设未知量，题目要求索长，可直接设索长为x尺；第二步找不变量和等量关系，本题中索长、竿长都是固定不变的，首先根据“索比竿长5尺”，可以用含x的式子表示出竿长为(x-5)尺；再根据“对折索量竿比竿短5尺”，可知对折后的索长加5尺等于竿长，即竿长也可表示为$\frac{1}{2}x + 5$；第三步根据竿长相等列出方程求解即可。
【解析】
解：设绳索的长度为x尺。
由“索比竿长5尺”可得，竿长为$(x - 5)$尺。
绳索对折后的长度为$\frac{1}{2}x$尺，由“对折索量竿比竿短5尺”可列方程：
$\frac{1}{2}x + 5 = x - 5$
移项得：$x - \frac{1}{2}x = 5 + 5$
合并同类项得：$\frac{1}{2}x = 10$
系数化为1得：$x = 20$
【答案】
20
【知识点】
一元一次方程应用；列方程解应用题
【点评】
本题以我国古代数学问题为载体，考查学生从文字信息中提取等量关系、用方程解决实际问题的能力，情境富有趣味性，能让学生感受传统数学文化的魅力。
【难度系数】
0.7
8.某体育场的环形跑道长400 m，甲、乙两人分别以一定的速度练习长跑和骑自行车.如果反向而行，每隔40 s相遇一次；如果同向而行，每隔80 s乙就追上甲一次.甲、乙的速度分别是多少？
答案
8.解:设甲速度是 $x$ m/s, 乙速度是 $y$ m/s（$y＞x$）.
$\begin{cases}40(x+y)=400, \\80(y-x)=400,\end{cases}$
则 $\begin{cases}x+y=10, \\y-x=5,\end{cases}$
得 $2y=15⇒ y=7.5$ m/s,
$2x=15⇒ x=2.5$ m/s,
答:甲的速度是 2.5 m/s,乙的速度是 7.5 m/s.
$\begin{cases}40(x+y)=400, \\80(y-x)=400,\end{cases}$
则 $\begin{cases}x+y=10, \\y-x=5,\end{cases}$
得 $2y=15⇒ y=7.5$ m/s,
$2x=15⇒ x=2.5$ m/s,
答:甲的速度是 2.5 m/s,乙的速度是 7.5 m/s.
解析
【分析】
这是环形跑道的行程问题，解题思路如下：首先明确两类运动的等量关系：①反向而行属于相遇问题，两人运动路程之和等于跑道总长400m，满足“路程和=速度和×相遇时间”；②同向而行属于追及问题，乙速度比甲快，每隔80s乙比甲多跑一圈，满足“路程差=速度差×追及时间”。接下来设甲、乙的速度分别为未知数，根据两个等量关系列出二元一次方程组，解方程组即可得到两人的速度。
【解析】
解：设甲的速度是$x$ m/s，乙的速度是$y$ m/s（$y＞x$）。
根据反向而行40s相遇，可列方程：$40(x+y)=400$；
根据同向而行80s乙追上甲，可列方程：$80(y-x)=400$。
整理方程组得：
$\begin{cases}x+y=10 \\ y-x=5\end{cases}$
将两个方程相加，得$2y=15$，解得$y=7.5$；
将$y=7.5$代入$x+y=10$，得$x=10-7.5=2.5$。
【答案】
甲的速度是2.5 m/s，乙的速度是7.5 m/s。
【知识点】
1.二元一次方程组的应用
2.环形行程问题
3.相遇与追及问题
【点评】
本题是行程类典型应用题，核心是区分反向相遇和同向追及场景下的路程关系，熟练掌握列方程组解应用题的步骤就能快速求解，对后续解决复杂行程问题有铺垫作用。
【难度系数】
0.7
这是环形跑道的行程问题，解题思路如下：首先明确两类运动的等量关系：①反向而行属于相遇问题，两人运动路程之和等于跑道总长400m，满足“路程和=速度和×相遇时间”；②同向而行属于追及问题，乙速度比甲快，每隔80s乙比甲多跑一圈，满足“路程差=速度差×追及时间”。接下来设甲、乙的速度分别为未知数，根据两个等量关系列出二元一次方程组，解方程组即可得到两人的速度。
【解析】
解：设甲的速度是$x$ m/s，乙的速度是$y$ m/s（$y＞x$）。
根据反向而行40s相遇，可列方程：$40(x+y)=400$；
根据同向而行80s乙追上甲，可列方程：$80(y-x)=400$。
整理方程组得：
$\begin{cases}x+y=10 \\ y-x=5\end{cases}$
将两个方程相加，得$2y=15$，解得$y=7.5$；
将$y=7.5$代入$x+y=10$，得$x=10-7.5=2.5$。
【答案】
甲的速度是2.5 m/s，乙的速度是7.5 m/s。
【知识点】
1.二元一次方程组的应用
2.环形行程问题
3.相遇与追及问题
【点评】
本题是行程类典型应用题，核心是区分反向相遇和同向追及场景下的路程关系，熟练掌握列方程组解应用题的步骤就能快速求解，对后续解决复杂行程问题有铺垫作用。
【难度系数】
0.7
