一题多解
“一题多解”是“一题多思、一题多悟”的过程，通过多角度、多层次的思考问题，深化思维和路径选择，提炼通性通法等，是有效克服学生定势思维的最佳途径，与此同时，还是培养学生发散思维与灵活思维的重要方法。
【典例剖析】已知关于 $x,y$ 的方程组 $\begin{cases}2x + 3y = k, ①\\3x + 5y = k + 2 ②\end{cases}$ 的解的和是12，求 $k$ 的值。
解:法一 解方程组，得 $\begin{cases}x = 2k - 6,\\y = 4 - k,\end{cases}$ 所以 $2k - 6 + 4 - k = 12$，所以 $k = 14$。
法二 由 $x + y = 12$，得 $x = 12 - y$。
把 $x = 12 - y$ 代入方程组，得 $\begin{cases}2(12 - y) + 3y = k,\\3(12 - y) + 5y = k + 2,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k = 14,\\y = -10.\end{cases}$
法三 ② $ - $ ①，得 $x + 2y = 2$，和方程 $x + y = 12$ 组成方程组 $\begin{cases}x + 2y = 2,\\x + y = 12,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}x = 22,\\y = -10,\end{cases}$ 把 $\begin{cases}x = 22,\\y = -10\end{cases}$ 代入①，得 $k = 14$。
法四 ① $× 2 - $ ②，得 $x + y = k - 2$，所以 $k - 2 = 12$，解得 $k = 14$。
【归纳总结】虽然这类题型运用上面四种方法都能解出，但在具体解题时，我们应当根据题目特点，选择合适的方法进行运算。比如这道题选择法三或法四来解就显得较简便。
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解：方程组为$\begin{cases}2x + 3y = k ①\\3x + 5y = k + 2 ②\end{cases}$
①×2 - ②，得：$2(2x + 3y) - (3x + 5y) = 2k - (k + 2)$
化简得：$x + y = k - 2$
因为方程组的解的和是12，即$x + y = 12$，所以$k - 2 = 12$
解得：$k = 14$

【分析】
拿到题目首先明确已知条件：①关于x、y的二元一次方程组，②方程组的解满足x+y=12，目标是求k的值。我们可以从不同角度思考：思路1：把k当作常数，先解方程组得到x、y关于k的表达式，再根据x+y=12列方程求k；思路2：把x+y=12作为第三个方程，与原方程组联立，先求解x、y的值，再代入求k；思路3：观察原方程组两个式子的系数特点，通过加减消元直接构造出x+y的整体，快速建立k与x+y的关系，这种方法运算量最小，最为简便。
【解析】
已知方程组：
$\begin{cases}2x + 3y = k ①\\3x + 5y = k + 2 ②\end{cases}$
将①×2，得：$4x + 6y = 2k$ ③
用③-②，得：$(4x + 6y) - (3x + 5y) = 2k - (k + 2)$
化简得：$x + y = k - 2$
由题意可知方程组的解的和是12，即$x + y = 12$，代入上式得：
$k - 2 = 12$
解得：$k = 14$
【答案】
$k=14$
【知识点】
二元一次方程组的解法；加减消元法；整体思想
【点评】
本题考查二元一次方程组的灵活应用，存在多种解题路径，解题时可根据题目特征选择最优方法，本题采用整体构造x+y的思路无需单独求解x、y的值，能大幅简化运算，同时有助于培养多角度思考问题的习惯，提升发散思维能力。
【难度系数】
0.7