10. 已知关于$x$的不等式组$\begin{cases} \dfrac{x-4}{2}+3≥ x, ① \\ x-1＞a. ② \end{cases}$
(1)当$a=-2$时，求这个不等式组的解集，并把解集在数轴上表示出来；
(2)若不等式组只有2个整数解，求$a$的取值范围。

解：
(1) 解不等式①：
去分母，得$x-4 + 6 \ge 2x$，
移项、合并同类项，得$x \le 2$。
当$a=-2$时，不等式②为$x-1 ＞ -2$，
解得$x ＞ -1$。
所以不等式组的解集为$-1 ＜ x \le 2$。
数轴表示：在数轴上找到表示-1的点画空心圆圈，找到表示2的点画实心圆点，连接两点之间的部分，即为该解集的数轴表示。
(2) 解不等式②，得$x ＞ a+1$，
结合不等式①的解集$x \le 2$，可得不等式组的解集为$a+1 ＜ x \le 2$。
因为不等式组只有2个整数解，这两个整数解为1和2，
因此可得$0 \le a+1 ＜ 1$，
解得$-1 \le a ＜ 0$。

【分析】
(1) 求解给定参数值的不等式组解集时，先分别解出两个不等式的解集，再将参数值代入含参数的不等式得到对应解集，最后取两个解集的公共部分即为不等式组的解集，再按照“大于向右、小于向左，包含端点画实心点、不包含端点画空心圈”的规则在数轴上表示即可。
(2) 已知整数解个数求参数范围时，先解出两个不等式的解集，得到含参数的公共解集，再根据整数解的个数确定具体的整数解，最后结合整数解的边界列关于参数的不等式，注意判断端点是否可取，解不等式即可得到参数范围。
【解析】
(1) 解不等式①：
去分母，得$x-4 + 6 \ge 2x$，
移项、合并同类项，得$x \le 2$。
当$a=-2$时，不等式②为$x-1 ＞ -2$，
解得$x ＞ -1$。
所以不等式组的解集为$-1 ＜ x \le 2$。
数轴表示：在数轴上找到表示-1的点画空心圆圈，找到表示2的点画实心圆点，连接两点之间的部分，即为该解集的数轴表示。
(2) 解不等式②，得$x ＞ a+1$，
结合不等式①的解集$x \le 2$，可得不等式组的解集为$a+1 ＜ x \le 2$。
因为不等式组只有2个整数解，这两个整数解为1和2，
因此可得$0 \le a+1 ＜ 1$，
解得$-1 \le a ＜ 0$。
【答案】
(1) 解集为$\boldsymbol{-1 ＜ x \le 2}$，数轴表示见解析；
(2) $a$的取值范围是$\boldsymbol{-1 \le a ＜ 0}$。
【知识点】
1. 一元一次不等式组的解法
2. 不等式组整数解求参
3. 解集的数轴表示
【点评】
本题是一元一次不等式组的常规考题，第一问侧重基础运算的考查，第二问需要结合整数解个数反推参数范围，解题核心是准确判断边界值是否可取，避免出现多解或漏解的错误。
【难度系数】
0.65

11. 如图，在三角形ABC中，D是AB上一点，E是BC上一点，点F,G在AC上，∠AFD=∠DEB，∠DFC+∠C=180°.
(1)求证：DE//AC；
(2)若∠C=38°，EG平分∠DEC，求∠EGC的度数.

(1) 证明：
∵ $∠ DFC + ∠ AFD = 180°$，$∠ DFC + ∠ C = 180°$，
∴ $∠ AFD = ∠ C$。
又∵ $∠ AFD = ∠ DEB$，
∴ $∠ DEB = ∠ C$，
∴ $DE// AC$（同位角相等，两直线平行）。
---
(2) 解：
∵ $DE// AC$，
∴ $∠ DEC + ∠ C = 180°$。
∵ $∠ C = 38°$，
∴ $∠ DEC = 180° - 38° = 142°$。
∵ $EG$ 平分 $∠ DEC$，
∴ $∠ GEC = \frac{1}{2}∠ DEC = 71°$。
在 $△ EGC$ 中，$∠ EGC + ∠ C + ∠ GEC = 180°$，
∴ $∠ EGC = 180° - 38° - 71° = 71°$。
答：$∠ EGC$ 的度数为 $71°$。

【分析】
(1) 要证明DE//AC，可通过证明同位角相等实现：首先根据平角的定义可得∠DFC与∠AFD互补，结合已知∠DFC与∠C互补，利用同角的补角相等推出∠AFD=∠C，再结合已知∠AFD=∠DEB，等量代换得到同位角∠DEB=∠C，即可判定DE//AC。
(2) 先利用(1)中平行线的性质，得到∠DEC与∠C互补，计算出∠DEC的度数；再根据角平分线的定义求出∠GEC的度数；最后利用三角形内角和为180°，在△EGC中计算出∠EGC的度数即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ $∠ DFC + ∠ AFD = 180°$（平角的定义），$∠ DFC + ∠ C = 180°$（已知），
∴ $∠ AFD = ∠ C$（同角的补角相等）。
又
∵ $∠ AFD = ∠ DEB$（已知），
∴ $∠ DEB = ∠ C$（等量代换），
∴ $DE//AC$（同位角相等，两直线平行）。
(2) 解：
∵ $DE//AC$（已证），
∴ $∠ DEC + ∠ C = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
∵ $∠ C = 38°$（已知），
∴ $∠ DEC = 180° - 38° = 142°$。
∵ $EG$ 平分 $∠ DEC$（已知），
∴ $∠ GEC = \frac{1}{2}∠ DEC = 71°$（角平分线的定义）。
在 $△ EGC$ 中，$∠ EGC + ∠ C + ∠ GEC = 180°$（三角形内角和为$180°$），
∴ $∠ EGC = 180° - 38° - 71° = 71°$。
【答案】
(1) 证明成立；
(2) $∠ EGC$的度数为$71°$。
【知识点】
平行线的判定与性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何综合题，解题的关键是熟练掌握平行线的判定、性质以及三角形内角和定理，通过角之间的等量代换逐步推导结论，能够帮助巩固几何基础推理能力。
【难度系数】
0.7

12. 已知，直线$AC// BD$，$AE$平分$∠ BAC$交$BD$于点$E$.
(1)如图①，若$∠ ABD=68°$，求$∠ AED$的度数；
(2)如图②，点$F$在线段$AE$上，$∠ DFC=∠ FCD+∠ FDE$，求证：$CF$平分$∠ ACD$；
(3)如图③，点$F$在线段$AE$上，$∠ ABF=3∠ FBE$，$CD⊥ BD$，$DG// EA$交$AC$于点$G$.在射线$AE$上另取一点$P$，使$∠ PBF=∠ CDG$，直接写出$\frac{∠ ABP}{∠ EBP}$的所有值，并写出其中一个值的求解过程.

(1) 解：
∵ $AC// BD$，$∠ ABD=68°$
∴ $∠ BAC = 180° - ∠ ABD = 112°$
∵ $AE$平分$∠ BAC$
∴ $∠ CAE = \frac{1}{2}∠ BAC = 56°$
又∵ $AC// BD$
∴ $∠ CAE + ∠ AED = 180°$
∴ $∠ AED = 180° - 56° = 124°$
---
(2) 证明：
过点$F$作$FM// AC$，
∵ $AC// BD$
∴ $FM// AC// BD$
∴ $∠ ACF = ∠ CFM$，$∠ FDE = ∠ DFM$
∴ $∠ CFD = ∠ CFM + ∠ DFM = ∠ ACF + ∠ FDE$
又∵ $∠ DFC = ∠ FCD + ∠ FDE$
∴ $∠ ACF + ∠ FDE = ∠ FCD + ∠ FDE$
∴ $∠ ACF = ∠ FCD$
即$CF$平分$∠ ACD$
---
(3) 解：
$\frac{∠ ABP}{∠ EBP}$的所有值为$\boldsymbol{5}$和$\boldsymbol{\frac{1}{3}}$。
以值为5的求解过程为例：
设$∠ FBE = α$，则$∠ ABF = 3∠ FBE = 3α$，
∴ $∠ ABE = ∠ ABF + ∠ FBE = 4α$
∵ $AC// BD$，$CD⊥ BD$
∴ $CD⊥ AC$，$∠ ACD = 90°$
∵ $AE$平分$∠ BAC$
∴ $∠ CAE = \frac{1}{2}∠ BAC$
∵ $AC// BD$，∴ $∠ BAC + ∠ ABD = 180°$，即$∠ BAC + 4α = 180°$
∴ $∠ CAE = 90° - 2α$
∵ $DG// AE$，∴ $∠ CGD = ∠ CAE$
在$\mathrm{Rt}△ CDG$中，$∠ CDG + ∠ CGD = 90°$
∴ $∠ CDG = 90° - ∠ CGD = 90° - (90° - 2α) = 2α$
∴ $∠ PBF = ∠ CDG = 2α$
当点$P$在射线$FE$上、位于点$F$远离$A$的一侧时，
$∠ ABP = ∠ ABF + ∠ PBF = 3α + 2α = 5α$
$∠ EBP = ∠ PBF - ∠ FBE = 2α - α = α$
∴ $\frac{∠ ABP}{∠ EBP} = \frac{5α}{α} = 5$

【分析】
本题分为三个小问，逐层递进考查几何知识：
(1) 求解∠AED的度数，首先利用AC//BD的性质得到同旁内角∠BAC与∠ABD互补，算出∠BAC的度数，再结合角平分线的定义求出∠CAE，最后再次利用平行线同旁内角互补的性质即可求出∠AED。
(2) 要证明CF平分∠ACD，即证明∠ACF=∠FCD，我们通过作辅助线FM//AC，结合AC//BD可得到FM平行于两条直线，利用平行线内错角相等的性质，将∠CFD拆分为两个角的和，再结合题目给出的∠DFC的等量关系，消去相同角即可得到两个角相等，完成证明。
(3) 求比值需要先设小角为参数表示其他角，先根据已知的角的倍数关系设∠FBE=α，结合平行线、垂直、角平分线的性质求出∠CDG=2α，再考虑点P在射线AE上的两种位置：①在F远离A的一侧，②在A和F之间，分别计算两个角的比值即可。
【解析】
(1) 解：
∵ $AC// BD$，$∠ ABD=68°$
∴ $∠ BAC = 180° - ∠ ABD = 112°$
∵ $AE$平分$∠ BAC$
∴ $∠ CAE = \frac{1}{2}∠ BAC = 56°$
又
∵ $AC// BD$
∴ $∠ CAE + ∠ AED = 180°$
∴ $∠ AED = 180° - 56° = 124°$
(2) 证明：
过点$F$作$FM// AC$，
∵ $AC// BD$
∴ $FM// AC// BD$
∴ $∠ ACF = ∠ CFM$，$∠ FDE = ∠ DFM$
∴ $∠ CFD = ∠ CFM + ∠ DFM = ∠ ACF + ∠ FDE$
又
∵ $∠ DFC = ∠ FCD + ∠ FDE$
∴ $∠ ACF + ∠ FDE = ∠ FCD + ∠ FDE$
∴ $∠ ACF = ∠ FCD$
即$CF$平分$∠ ACD$
(3) 解：
设$∠ FBE = α$，则$∠ ABF = 3∠ FBE = 3α$，
∴ $∠ ABE = ∠ ABF + ∠ FBE = 4α$
∵ $AC// BD$，$CD⊥ BD$
∴ $CD⊥ AC$，$∠ ACD = 90°$
∵ $AE$平分$∠ BAC$
∴ $∠ CAE = \frac{1}{2}∠ BAC$
∵ $AC// BD$，
∴ $∠ BAC + ∠ ABD = 180°$，即$∠ BAC + 4α = 180°$
∴ $∠ CAE = 90° - 2α$
∵ $DG// AE$，
∴ $∠ CGD = ∠ CAE$
在$\mathrm{Rt}△ CDG$中，$∠ CDG + ∠ CGD = 90°$
∴ $∠ CDG = 90° - ∠ CGD = 90° - (90° - 2α) = 2α$
∴ $∠ PBF = ∠ CDG = 2α$
情况1：当点$P$在射线$FE$上、位于点$F$远离$A$的一侧时，
$∠ ABP = ∠ ABF + ∠ PBF = 3α + 2α = 5α$
$∠ EBP = ∠ PBF - ∠ FBE = 2α - α = α$
∴ $\frac{∠ ABP}{∠ EBP} = \frac{5α}{α} = 5$
情况2：当点$P$在射线$AF$上、位于点$F$靠近$A$的一侧时，
$∠ ABP = ∠ ABF - ∠ PBF = 3α - 2α = α$
$∠ EBP = ∠ PBF + ∠ FBE = 2α + α = 3α$
∴ $\frac{∠ ABP}{∠ EBP} = \frac{α}{3α} = \frac{1}{3}$
【答案】
(1) $∠AED=124°$；
(2) 证明见解析；
(3) $\frac{∠ ABP}{∠ EBP}$的所有值为$\boldsymbol{5}$和$\boldsymbol{\frac{1}{3}}$。
【知识点】
平行线的性质、角平分线的判定与性质、分类讨论思想
【点评】
本题是几何综合题，难度梯度设置合理，第一问为基础题，考查平行线和角平分线性质的直接应用；第二问考查平行线辅助线的典型做法，属于常考题型；第三问需要注意射线的延展性，考虑动点的两种位置，避免漏解，能够有效考查几何知识的综合运用能力和逻辑思维能力。
【难度系数】
0.55