三、估值法
例4 比较大小:(1)$\sqrt{19}+2$ $\sqrt{51}$;
(2)$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$ $\frac{1}{2}$.
解:(1)因为 $4＜\sqrt{19}＜5$,
所以 $6＜\sqrt{19}+2＜7$.
又因为 $\sqrt{51}＞7$,
所以 $\sqrt{19}+2＜\sqrt{51}$.
故填＜.
(2)因为 $1＜3＜4$,
所以 $1＜\sqrt{3}＜2$.
所以 $1-1＜\sqrt{3}-1＜2-1$,
即 $0＜\sqrt{3}-1＜1$.
所以 $0＜\frac{\sqrt{3}-1}{2}＜\frac{1}{2}$,
即 $\frac{\sqrt{3}-1}{2}＜\frac{1}{2}$.
故填＜.
点评:对于能直接估计出大小的两个平方根比较时,我们应该首先考虑估值法比较两个平方根的大小,因为这种大小比较的方法最直接.对于有些无理数,如果我们能综合平方根或立方根的知识,运用“夹逼”法,找出与这些无理数紧相邻的两个完全平方数,确定这个无理数所在的范围,然后再与其他数比较大小.

(1) $\boldsymbol{＜}$；(2) $\boldsymbol{＜}$

【分析】
比较含无理数的式子的大小时，可采用“夹逼法”先确定无理数的取值范围：先找到与无理数的被开方数相邻的两个完全平方数，即可得到无理数所在的相邻整数区间，再通过运算推导出含无理数的目标式子的取值范围，最后与另一侧的数比较大小即可。
第(1)题先确定$\sqrt{19}$的范围，再推导$\sqrt{19}+2$的范围，接着确定$\sqrt{51}$的范围，二者对比即可得到结果；第(2)题先确定$\sqrt{3}$的范围，再推导$\sqrt{3}-1$的范围，最后除以2得到左边分数的范围，和$\frac{1}{2}$对比即可得到结果。
【解析】
(1) 因为$4^2=16$，$5^2=25$，且$16＜19＜25$，所以$4＜\sqrt{19}＜5$，
不等式各部分同时加2，得$4+2＜\sqrt{19}+2＜5+2$，即$6＜\sqrt{19}+2＜7$。
又因为$7^2=49＜51$，所以$\sqrt{51}＞\sqrt{49}=7$，
因此$\sqrt{19}+2＜7＜\sqrt{51}$，即$\sqrt{19}+2＜\sqrt{51}$。
(2) 因为$1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜3＜4$，所以$1＜\sqrt{3}＜2$，
不等式各部分同时减1，得$1-1＜\sqrt{3}-1＜2-1$，即$0＜\sqrt{3}-1＜1$，
不等式各部分同时除以正数2，不等号方向不变，得$\frac{0}{2}＜\frac{\sqrt{3}-1}{2}＜\frac{1}{2}$，
即$\frac{\sqrt{3}-1}{2}＜\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{＜}$；(2) $\boldsymbol{＜}$
【知识点】
无理数估值，实数大小比较
【点评】
本题考查估值法在实数大小比较中的应用，核心是利用“夹逼法”确定无理数的整数取值范围，再结合不等式的运算推导目标表达式的范围，进而完成大小比较，是实数大小比较的常用基础方法。
【难度系数】
0.8