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1[2026河南郑州质检]如图,在菱形ABCD中,P,Q分别是AD,AC的中点,如果PQ=2,那么菱形ABCD的周长是 (
A.16
B.8
C.4
D.2
(第1题图)
(第2题图)
A
)A.16
B.8
C.4
D.2
(第1题图)
(第2题图)
答案
1.A 【解析】在菱形ABCD中,P,Q分别是AD,AC的中点,
∴PQ是三角形ADC的中位线,
∴CD=2PQ=4,
∴菱形ABCD的周长为4×4=16. 故选 A.
∴PQ是三角形ADC的中位线,
∴CD=2PQ=4,
∴菱形ABCD的周长为4×4=16. 故选 A.
解析
【分析】
解题时首先梳理已知条件：图形为菱形，P、Q分别是AD、AC的中点，PQ长度为2。首先看到两个边的中点连线，可联想到三角形中位线定理，先判定PQ是△ADC的中位线，利用中位线等于第三边一半的性质求出菱形的边长CD，再根据菱形四条边相等的性质，用边长乘4即可求出菱形周长。
【解析】
解：
∵P、Q分别是AD、AC的中点，
∴PQ是△ADC的中位线，
根据三角形中位线定理可得：CD = 2PQ，
已知PQ=2，代入得CD=2×2=4，
∵四边形ABCD是菱形，
∴菱形的四条边长度相等，即AB=BC=CD=DA=4，
∴菱形ABCD的周长=4×CD=4×4=16。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形中位线定理；菱形的性质；周长计算
【点评】
本题属于基础类几何题，核心考查三角形中位线定理和菱形性质的结合应用，解题的关键是快速识别出中位线，是菱形相关考点中的常见题型，掌握相关基础定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先梳理已知条件：图形为菱形，P、Q分别是AD、AC的中点，PQ长度为2。首先看到两个边的中点连线，可联想到三角形中位线定理，先判定PQ是△ADC的中位线，利用中位线等于第三边一半的性质求出菱形的边长CD，再根据菱形四条边相等的性质，用边长乘4即可求出菱形周长。
【解析】
解：
∵P、Q分别是AD、AC的中点，
∴PQ是△ADC的中位线，
根据三角形中位线定理可得：CD = 2PQ，
已知PQ=2，代入得CD=2×2=4，
∵四边形ABCD是菱形，
∴菱形的四条边长度相等，即AB=BC=CD=DA=4，
∴菱形ABCD的周长=4×CD=4×4=16。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形中位线定理；菱形的性质；周长计算
【点评】
本题属于基础类几何题，核心考查三角形中位线定理和菱形性质的结合应用，解题的关键是快速识别出中位线，是菱形相关考点中的常见题型，掌握相关基础定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
2 如图,在菱形ABCD中,点A在x轴上,点B的坐标为(8,2),点D的坐标为(0,2),则点C的坐标为 (
A.(2,2)
B.(2,4)
C.(4,2)
D.(4,4)
D
)A.(2,2)
B.(2,4)
C.(4,2)
D.(4,4)
答案
2.D 【解析】连接AC,BD交于点E,如图所示.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,AE=CE=1/2AC,BE=DE=1/2BD.
∵点B的坐标为(8,2),点D的坐标为(0,2),
∴AE=2=OD,DE=OA=4,
∴AC=4,
∴点C的坐标为(4,4).故选 D.
解析
【分析】
解决本题首先要想到菱形对角线互相垂直平分的性质，我们可以先连接AC、BD交于交点E。已知点B和点D的纵坐标相同，说明BD是平行于x轴的水平线段，先求出BD的中点E的坐标，再结合AC垂直BD可知AC是竖直线段，结合点A在x轴上的条件可求出A点坐标，最后利用E是AC中点的性质，就能推导出点C的坐标。
【解析】
连接AC，BD交于点E，如图所示。
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，$AE=CE=\frac{1}{2}AC$，$BE=DE=\frac{1}{2}BD$。
∵点B的坐标为$(8,2)$，点D的坐标为$(0,2)$，
∴BD平行于x轴，BD的中点E的横坐标为$\frac{0+8}{2}=4$，纵坐标为2，即$E(4,2)$，BD长度为$8-0=8$。
∵AC⊥BD，
∴AC平行于y轴，即AC上所有点的横坐标都为4，
又
∵点A在x轴上，
∴A点坐标为$(4,0)$，
∴$AE=2-0=2$，
∴$CE=AE=2$，
∴点C的纵坐标为$2+2=4$，横坐标为4，即点C的坐标为$(4,4)$。
故选D。
【答案】D
【知识点】
1.菱形的性质
2.坐标与图形性质
3.线段中点计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查菱形对角线互相垂直平分的性质，结合平面直角坐标系的坐标特点即可求解，解题的关键是正确连接对角线，利用中点的坐标特征推导未知点的坐标。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要想到菱形对角线互相垂直平分的性质，我们可以先连接AC、BD交于交点E。已知点B和点D的纵坐标相同，说明BD是平行于x轴的水平线段，先求出BD的中点E的坐标，再结合AC垂直BD可知AC是竖直线段，结合点A在x轴上的条件可求出A点坐标，最后利用E是AC中点的性质，就能推导出点C的坐标。
【解析】
连接AC，BD交于点E，如图所示
。∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，$AE=CE=\frac{1}{2}AC$，$BE=DE=\frac{1}{2}BD$。
∵点B的坐标为$(8,2)$，点D的坐标为$(0,2)$，
∴BD平行于x轴，BD的中点E的横坐标为$\frac{0+8}{2}=4$，纵坐标为2，即$E(4,2)$，BD长度为$8-0=8$。
∵AC⊥BD，
∴AC平行于y轴，即AC上所有点的横坐标都为4，
又
∵点A在x轴上，
∴A点坐标为$(4,0)$，
∴$AE=2-0=2$，
∴$CE=AE=2$，
∴点C的纵坐标为$2+2=4$，横坐标为4，即点C的坐标为$(4,4)$。
故选D。
【答案】D
【知识点】
1.菱形的性质
2.坐标与图形性质
3.线段中点计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查菱形对角线互相垂直平分的性质，结合平面直角坐标系的坐标特点即可求解，解题的关键是正确连接对角线，利用中点的坐标特征推导未知点的坐标。
【难度系数】
0.7
3[2026福建厦门期中]如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,OE⊥AB,垂足为E,若∠BCD=72°,则∠BOE的大小为 (
A.25°
B.30°
C.36°
D.48°
(第3题图)
(第4题图)
C
)A.25°
B.30°
C.36°
D.48°
(第3题图)
(第4题图)
答案
3.C 【解析】在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,∠BCD=72°,
∴AC平分∠DAB,∠AOB=90°,∠BAD=∠BCD=72°,
∴∠BAO=1/2∠BAD=36°.
∵OE⊥AB,垂足为E,
∴∠AEO=90°,
∴∠AOE+∠BAO=90°.
∵∠BOE+∠AOE=90°,
∴∠BOE=∠BAO=36°.故选 C.
∴AC平分∠DAB,∠AOB=90°,∠BAD=∠BCD=72°,
∴∠BAO=1/2∠BAD=36°.
∵OE⊥AB,垂足为E,
∴∠AEO=90°,
∴∠AOE+∠BAO=90°.
∵∠BOE+∠AOE=90°,
∴∠BOE=∠BAO=36°.故选 C.
解析
【分析】
解题时首先从已知的菱形条件出发，回忆菱形的相关性质：菱形的对角相等、对角线互相垂直且平分一组对角。首先利用对角相等得到∠BAD的度数，再由角平分线的定义求出∠BAO的度数；接下来结合OE⊥AB、对角线AC⊥BD的垂直关系，发现∠BAO和∠BOE都是∠AOE的余角，根据同角的余角相等即可求出∠BOE的度数。
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，∠BCD=72°，
∴∠BAD=∠BCD=72°，AC平分∠BAD，AC⊥BD，
∴∠BAO=$\frac{1}{2}$∠BAD=$\frac{1}{2}$×72°=36°，∠AOB=90°。
∵OE⊥AB，
∴∠AEO=90°，
∴在Rt△AEO中，∠AOE+∠BAO=90°，
又
∵在Rt△AOB中，∠BOE+∠AOE=90°，
∴∠BOE=∠BAO=36°。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质；角平分线的定义；余角的性质
【点评】
本题是角度计算的基础题，解题的核心是熟练掌握菱形的性质，结合垂直关系下的余角特征推导角的等量关系，解题时注意不要记错菱形对角线的相关性质。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知的菱形条件出发，回忆菱形的相关性质：菱形的对角相等、对角线互相垂直且平分一组对角。首先利用对角相等得到∠BAD的度数，再由角平分线的定义求出∠BAO的度数；接下来结合OE⊥AB、对角线AC⊥BD的垂直关系，发现∠BAO和∠BOE都是∠AOE的余角，根据同角的余角相等即可求出∠BOE的度数。
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，∠BCD=72°，
∴∠BAD=∠BCD=72°，AC平分∠BAD，AC⊥BD，
∴∠BAO=$\frac{1}{2}$∠BAD=$\frac{1}{2}$×72°=36°，∠AOB=90°。
∵OE⊥AB，
∴∠AEO=90°，
∴在Rt△AEO中，∠AOE+∠BAO=90°，
又
∵在Rt△AOB中，∠BOE+∠AOE=90°，
∴∠BOE=∠BAO=36°。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质；角平分线的定义；余角的性质
【点评】
本题是角度计算的基础题，解题的核心是熟练掌握菱形的性质，结合垂直关系下的余角特征推导角的等量关系，解题时注意不要记错菱形对角线的相关性质。
【难度系数】
0.7
4 如图,在菱形ABCD中,AB=1,∠DAB=60°,则AC的长为 (
A.$\frac{1}{2}$
B.1
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\sqrt{3}$
D
)A.$\frac{1}{2}$
B.1
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\sqrt{3}$
答案
4.D 【解析】如图,连接BD交AC于点O.
∵四边形ABCD是菱形,∠DAB=60°,
∴OA=OC,∠BAO=1/2∠DAB=30°,AC⊥BD,
∴∠AOB=90°,
∴OB=1/2 AB=1/2,
∴OA=√(AB²-OB²)=√(1²-(1/2)²)=√3/2,
∴AC=2OA=√3,故选 D.
解析
【分析】
要计算AC的长度，我们可以结合菱形的性质构造直角三角形求解：首先回忆菱形的性质，菱形的对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角，因此我们先连接BD交AC于点O，可得AC=2OA、AC⊥BD、∠BAO=½∠DAB=30°，此时△AOB为直角三角形。已知AB=1，先利用含30°角的直角三角形的性质求出OB的长度，再通过勾股定理计算OA的长度，最后乘2即可得到AC的长。
【解析】
如图，连接BD交AC于点O。
∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，
∴OA=OC，∠BAO=½∠DAB=30°，AC⊥BD，
∴∠AOB=90°，
∴OB=½AB=½，
∴OA=√(AB²-OB²)=√(1²-(½)²)=√3/2，
∴AC=2OA=√3，故选D。
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题属于基础应用题，解题关键是通过连接菱形的对角线构造直角三角形，结合特殊直角三角形的性质和勾股定理即可求解，熟练掌握菱形的基本性质是解决此类问题的前提。
【难度系数】
0.7
要计算AC的长度，我们可以结合菱形的性质构造直角三角形求解：首先回忆菱形的性质，菱形的对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角，因此我们先连接BD交AC于点O，可得AC=2OA、AC⊥BD、∠BAO=½∠DAB=30°，此时△AOB为直角三角形。已知AB=1，先利用含30°角的直角三角形的性质求出OB的长度，再通过勾股定理计算OA的长度，最后乘2即可得到AC的长。
【解析】
如图，连接BD交AC于点O。
∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，
∴OA=OC，∠BAO=½∠DAB=30°，AC⊥BD，
∴∠AOB=90°，
∴OB=½AB=½，
∴OA=√(AB²-OB²)=√(1²-(½)²)=√3/2，
∴AC=2OA=√3，故选D。
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题属于基础应用题，解题关键是通过连接菱形的对角线构造直角三角形，结合特殊直角三角形的性质和勾股定理即可求解，熟练掌握菱形的基本性质是解决此类问题的前提。
【难度系数】
0.7
5 [2025 陕西榆林调研]如图，点E是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接AE，若$AD=DE$，$∠ AEB=105°$，则$∠ BAE$的度数为
45
°。答案
5.45 【解析】
∵∠AEB=105°,
∴∠AED=75°.
∵AD=DE,
∴∠AED=∠EAD=75°,
∴∠ADB=30°.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,
∴∠ABD=∠ADB=30°,
∴∠BAE=∠AED-∠ABD=45°.故答案为45.
∵∠AEB=105°,
∴∠AED=75°.
∵AD=DE,
∴∠AED=∠EAD=75°,
∴∠ADB=30°.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,
∴∠ABD=∠ADB=30°,
∴∠BAE=∠AED-∠ABD=45°.故答案为45.
解析
【分析】
解题时可按照以下思路推导：首先根据已知的∠AEB的度数，利用邻补角的关系求出∠AED的度数；再结合AD=DE可知△ADE是等腰三角形，根据等边对等角得到∠EAD=∠AED，结合三角形内角和可求出∠ADB的度数；接下来根据菱形的四边相等可知AB=AD，即△ABD为等腰三角形，可得∠ABD=∠ADB；最后利用三角形内角和定理，即可求出∠BAE的度数。
【解析】
∵∠AEB=105°，
∴∠AED=180°-∠AEB=75°，
∵AD=DE，
∴∠AED=∠EAD=75°，
∴∠ADB=180°-∠AED-∠EAD=180°-75°-75°=30°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=30°，
在△ABE中，∠BAE=180°-∠AEB-∠ABD=180°-105°-30°=45°。
【答案】
45
【知识点】
菱形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查了菱形和等腰三角形的相关性质，属于基础常考题型，解题的关键是结合已知条件逐步推导对应角的度数，熟练掌握几何图形的基本性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时可按照以下思路推导：首先根据已知的∠AEB的度数，利用邻补角的关系求出∠AED的度数；再结合AD=DE可知△ADE是等腰三角形，根据等边对等角得到∠EAD=∠AED，结合三角形内角和可求出∠ADB的度数；接下来根据菱形的四边相等可知AB=AD，即△ABD为等腰三角形，可得∠ABD=∠ADB；最后利用三角形内角和定理，即可求出∠BAE的度数。
【解析】
∵∠AEB=105°，
∴∠AED=180°-∠AEB=75°，
∵AD=DE，
∴∠AED=∠EAD=75°，
∴∠ADB=180°-∠AED-∠EAD=180°-75°-75°=30°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=30°，
在△ABE中，∠BAE=180°-∠AEB-∠ABD=180°-105°-30°=45°。
【答案】
45
【知识点】
菱形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查了菱形和等腰三角形的相关性质，属于基础常考题型，解题的关键是结合已知条件逐步推导对应角的度数，熟练掌握几何图形的基本性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
6[2026江苏如皋质检]如图，E为菱形ABCD的对角线BD上一点，连接AE，CE.
(1)求证:AE=CE；
(2)若AE=DE，∠BCE=75°,求∠ABC的度数.
小菜一碟鸭
(1)求证:AE=CE；
(2)若AE=DE，∠BCE=75°,求∠ABC的度数.
小菜一碟鸭
答案
6.(1)【证明】
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC,∠ABD=∠CBD.
在△ABE和△CBE中,{AB=BC,∠ABD=∠CBD,BE=BE,
∴△ABE≌△CBE(SAS),
∴AE=CE.
(2)【解】
∵AB=AD,
∴∠ABD=∠ADB.
∵AE=DE,
∴∠EAD=∠ADB=∠ABD.
由(1)知△ABE≌△CBE,
∴∠BCE=∠BAE=75°.
∵∠ABD+∠ADB+∠DAE+∠BAE=180°,
∴3∠ABD+75°=180°,
∴∠ABD=35°,
∴∠ABC=2∠ABD=70°.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC,∠ABD=∠CBD.
在△ABE和△CBE中,{AB=BC,∠ABD=∠CBD,BE=BE,
∴△ABE≌△CBE(SAS),
∴AE=CE.
(2)【解】
∵AB=AD,
∴∠ABD=∠ADB.
∵AE=DE,
∴∠EAD=∠ADB=∠ABD.
由(1)知△ABE≌△CBE,
∴∠BCE=∠BAE=75°.
∵∠ABD+∠ADB+∠DAE+∠BAE=180°,
∴3∠ABD+75°=180°,
∴∠ABD=35°,
∴∠ABC=2∠ABD=70°.
解析
【分析】
(1)要证明AE=CE，可通过证明两条线段所在的三角形全等来推导。已知四边形ABCD是菱形，根据菱形性质可得AB=BC，对角线BD平分∠ABC，即∠ABD=∠CBD，结合公共边BE，即可用SAS判定△ABE≌△CBE，进而得到AE=CE。
(2)要求∠ABC的度数，根据菱形性质，BD平分∠ABC，因此只需求出∠ABD的度数即可。首先由菱形四条边相等得AB=AD，可推出∠ABD=∠ADB；再结合AE=DE，可得∠EAD=∠ADB，即∠ABD=∠ADB=∠EAD；由(1)的全等结论可得∠BAE=∠BCE=75°，最后在△ABD中利用三角形内角和为180°，即可列方程求出∠ABD的度数，进而求出∠ABC。
【解析】
(1)证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，∠ABD=∠CBD。
在△ABE和△CBE中，
$\{\begin{array}{l} AB=BC \\ ∠ ABD=∠ CBD \\ BE=BE \end{array} $
∴△ABE≌△CBE(SAS)，
∴AE=CE。
(2)解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB。
∵AE=DE，
∴∠EAD=∠ADB，
∴∠EAD=∠ADB=∠ABD。
由(1)知△ABE≌△CBE，
∴∠BCE=∠BAE=75°。
∵∠ABD+∠ADB+∠DAE+∠BAE=180°，
∴3∠ABD+75°=180°，
解得∠ABD=35°，
∴∠ABC=2∠ABD=2×35°=70°。
【答案】
(1)AE=CE得证；
(2)$\boxed{70°}$
【知识点】
菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题属于菱形性质的基础应用题型，第一问侧重全等三角形的判定，第二问需要结合等腰三角形性质和三角形内角和推导角度关系，解题关键是熟练掌握菱形边、对角线的相关性质，灵活运用全等转化边角关系。
【难度系数】
0.7
(1)要证明AE=CE，可通过证明两条线段所在的三角形全等来推导。已知四边形ABCD是菱形，根据菱形性质可得AB=BC，对角线BD平分∠ABC，即∠ABD=∠CBD，结合公共边BE，即可用SAS判定△ABE≌△CBE，进而得到AE=CE。
(2)要求∠ABC的度数，根据菱形性质，BD平分∠ABC，因此只需求出∠ABD的度数即可。首先由菱形四条边相等得AB=AD，可推出∠ABD=∠ADB；再结合AE=DE，可得∠EAD=∠ADB，即∠ABD=∠ADB=∠EAD；由(1)的全等结论可得∠BAE=∠BCE=75°，最后在△ABD中利用三角形内角和为180°，即可列方程求出∠ABD的度数，进而求出∠ABC。
【解析】
(1)证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，∠ABD=∠CBD。
在△ABE和△CBE中，
$\{\begin{array}{l} AB=BC \\ ∠ ABD=∠ CBD \\ BE=BE \end{array} $
∴△ABE≌△CBE(SAS)，
∴AE=CE。
(2)解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB。
∵AE=DE，
∴∠EAD=∠ADB，
∴∠EAD=∠ADB=∠ABD。
由(1)知△ABE≌△CBE，
∴∠BCE=∠BAE=75°。
∵∠ABD+∠ADB+∠DAE+∠BAE=180°，
∴3∠ABD+75°=180°，
解得∠ABD=35°，
∴∠ABC=2∠ABD=2×35°=70°。
【答案】
(1)AE=CE得证；
(2)$\boxed{70°}$
【知识点】
菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题属于菱形性质的基础应用题型，第一问侧重全等三角形的判定，第二问需要结合等腰三角形性质和三角形内角和推导角度关系，解题关键是熟练掌握菱形边、对角线的相关性质，灵活运用全等转化边角关系。
【难度系数】
0.7
7[2026河北唐山质检]如图,菱形ABCD的边长为$\sqrt{5}$,对角线AC,BD交于点O,OA=1,则菱形ABCD的面积为（
A.$\sqrt{5}$
B.$2\sqrt{5}$
C.2
D.4
D
）A.$\sqrt{5}$
B.$2\sqrt{5}$
C.2
D.4
答案
7.D 【解析】
∵对角线AC,BD交于点O,OA=1,
∴∠AOB=90°,AC=2AO=2.
∵菱形ABCD的边长为√5,
∴AB=√5,
∴BO=√(AB²-AO²)=√4=2,
∴BD=2BO=4,
∴菱形ABCD的面积为1/2 BD×AC=1/2×4×2=4.故选 D.
∵对角线AC,BD交于点O,OA=1,
∴∠AOB=90°,AC=2AO=2.
∵菱形ABCD的边长为√5,
∴AB=√5,
∴BO=√(AB²-AO²)=√4=2,
∴BD=2BO=4,
∴菱形ABCD的面积为1/2 BD×AC=1/2×4×2=4.故选 D.
解析
【分析】
解决本题首先要回忆菱形的核心性质：菱形的对角线互相垂直且平分，菱形的面积等于两条对角线乘积的一半。解题思路如下：第一步根据对角线平分的性质，由OA的长度求出AC的总长度；第二步利用对角线互相垂直的性质得到Rt△AOB，结合菱形边长和勾股定理求出OB的长度，进而得到BD的总长度；最后代入菱形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD交于点O，
∴AC⊥BD，AC=2OA，BD=2OB。
∵OA=1，
∴AC=2×1=2，∠AOB=90°。
又
∵菱形ABCD的边长为$\sqrt{5}$，
∴AB=$\sqrt{5}$，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
$OB=\sqrt{AB^2-OA^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2-1^2}=\sqrt{5-1}=2$，
∴BD=2OB=2×2=4，
∴菱形ABCD的面积=$\frac{1}{2} × AC × BD = \frac{1}{2} × 2 × 4 = 4$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质；勾股定理；菱形面积计算
【点评】
本题是基础几何题，重点考查菱形性质的直接应用，解题的关键是熟练掌握菱形对角线的特征，结合勾股定理求出对角线长度后代入面积公式即可求解。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要回忆菱形的核心性质：菱形的对角线互相垂直且平分，菱形的面积等于两条对角线乘积的一半。解题思路如下：第一步根据对角线平分的性质，由OA的长度求出AC的总长度；第二步利用对角线互相垂直的性质得到Rt△AOB，结合菱形边长和勾股定理求出OB的长度，进而得到BD的总长度；最后代入菱形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD交于点O，
∴AC⊥BD，AC=2OA，BD=2OB。
∵OA=1，
∴AC=2×1=2，∠AOB=90°。
又
∵菱形ABCD的边长为$\sqrt{5}$，
∴AB=$\sqrt{5}$，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
$OB=\sqrt{AB^2-OA^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2-1^2}=\sqrt{5-1}=2$，
∴BD=2OB=2×2=4，
∴菱形ABCD的面积=$\frac{1}{2} × AC × BD = \frac{1}{2} × 2 × 4 = 4$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质；勾股定理；菱形面积计算
【点评】
本题是基础几何题，重点考查菱形性质的直接应用，解题的关键是熟练掌握菱形对角线的特征，结合勾股定理求出对角线长度后代入面积公式即可求解。
【难度系数】
0.8
8 如图,小陶家有一个菱形中国结装饰,测得$BD=12\ \mathrm{cm},AC=16\ \mathrm{cm},AC,BD$交于点$O,EF ⊥ AB$分别交$AB,CD$于点$E,F$,则$EF$的长为
$\frac{48}{5}$
cm.答案
8.$\frac{48}{5}$ 【解析】
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,AO=1/2 AC=8 cm,BO=1/2 BD=6 cm,
∴AB=√(AO²+BO²)=10 cm.
∵S菱形ABCD=1/2 AC·BD=AB·EF,
∴1/2×16×12=10EF,
∴EF=48/5 cm,故答案为48/5.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,AO=1/2 AC=8 cm,BO=1/2 BD=6 cm,
∴AB=√(AO²+BO²)=10 cm.
∵S菱形ABCD=1/2 AC·BD=AB·EF,
∴1/2×16×12=10EF,
∴EF=48/5 cm,故答案为48/5.
解析
【分析】
解题时首先结合菱形的性质分析：菱形的对角线互相垂直平分，因此可先求出两条对角线一半的长度，再利用勾股定理计算出菱形的边长；其次，菱形的面积有两种计算方式，一是对角线乘积的一半，二是底乘对应高，本题中EF是AB、CD这组对边之间的距离，即边长AB对应的高，因此通过两种面积计算方法列等式，即可求出EF的长度。
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，
∴$AC⊥BD$，$AO=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×16=8\ \mathrm{cm}$，$BO=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×12=6\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10\ \mathrm{cm}$，
∵$S_{\mathrm{菱形}ABCD}=\frac{1}{2}AC· BD=AB· EF$，
代入数值可得：$\frac{1}{2}×16×12=10EF$，
解得：$EF=\frac{96}{10}=\frac{48}{5}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\frac{48}{5}$
【知识点】
菱形的性质；勾股定理；菱形面积计算
【点评】
本题是菱形性质应用的典型题型，解题核心是熟练掌握菱形面积的两种计算方法，灵活运用等面积法求解线段长度，解题逻辑清晰，是考查菱形相关知识的常考题。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合菱形的性质分析：菱形的对角线互相垂直平分，因此可先求出两条对角线一半的长度，再利用勾股定理计算出菱形的边长；其次，菱形的面积有两种计算方式，一是对角线乘积的一半，二是底乘对应高，本题中EF是AB、CD这组对边之间的距离，即边长AB对应的高，因此通过两种面积计算方法列等式，即可求出EF的长度。
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，
∴$AC⊥BD$，$AO=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×16=8\ \mathrm{cm}$，$BO=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×12=6\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10\ \mathrm{cm}$，
∵$S_{\mathrm{菱形}ABCD}=\frac{1}{2}AC· BD=AB· EF$，
代入数值可得：$\frac{1}{2}×16×12=10EF$，
解得：$EF=\frac{96}{10}=\frac{48}{5}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\frac{48}{5}$
【知识点】
菱形的性质；勾股定理；菱形面积计算
【点评】
本题是菱形性质应用的典型题型，解题核心是熟练掌握菱形面积的两种计算方法，灵活运用等面积法求解线段长度，解题逻辑清晰，是考查菱形相关知识的常考题。
【难度系数】
0.7
