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1[2025山西运城期中,中]如图,菱形ABCD的对角线长分别为8和10,P是较短对角线AC上任意一点(不与点A,C重合),PE//BC交AB于点E,PF//CD交AD于点F,连接EF,则阴影部分的面积是 (
A.12
B.20
C.40
D.80
(第1题图)
(第2题图)
B
)A.12
B.20
C.40
D.80
(第1题图)
(第2题图)
答案
1.B 【解析】
∵菱形ABCD的对角线互相垂直,且对角线长分别为8和10,
∴S菱形ABCD=1/2×8×10=40.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB//CD,AD//BC,AB=BC=CD=AD.在△ABC和△CDA中,{AB=CD,BC=DA,AC=CA,
∴△ABC≌△CDA ( SSS ),
∴S△ABC = S△CDA = 1/2 S菱形ABCD = 1/2×40=20. 如图,设EF交AP于点O.
∵PE//BC,AF//BC,PF//CD,AE//CD,
∴PE//AF,PF//AE,
∴四边形AEPF是平行四边形,∠OPF=∠OAE,
∴OP = OA. 在△OPF 和 △OAE 中,{∠OPF=∠OAE,OP=OA,∠POF=∠AOE,
∴△OPF≌ △OAE ( ASA ),
∴S△OPF = S△OAE,
∴ S阴影 = S四边形BEOC + S△OPF = S四边形BEOC +S△OAE = S△ABC = 20. 故选 B.
解析
【分析】
解题时首先利用菱形面积公式（对角线乘积的一半）求出菱形ABCD的总面积，再结合菱形对边平行的性质，判断四边形AEPF为平行四边形；接着利用平行四边形的性质和全等三角形的判定，证明上方小阴影的面积可以和上方空白小三角形面积等量替换，最终将不规则的阴影总面积转化为△ABC的面积（即菱形面积的一半）即可求解。
【解析】
∵菱形ABCD的对角线互相垂直，且对角线长分别为8和10，
∴$S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}×8×10=40$。
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，
在△ABC和△CDA中，
$\{\begin{array}{l}AB=CD \\BC=DA \\AC=CA\end{array} $
∴△ABC≌△CDA（SSS），
∴$S_{△ABC}=S_{△CDA}=\frac{1}{2}S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}×40=20$。
如图，设EF交AP于点O。
∵PE//BC，AF//BC，PF//CD，AE//CD，
∴PE//AF，PF//AE，
∴四边形AEPF是平行四边形，∠OPF=∠OAE，OP=OA。
在△OPF和△OAE中，
$\{\begin{array}{l}∠OPF=∠OAE \\OP=OA \\∠POF=∠AOE\end{array} $
∴△OPF≌△OAE（ASA），
∴$S_{△OPF}=S_{△OAE}$，
∴$S_{阴影}=S_{四边形BEOC}+S_{△OPF}=S_{四边形BEOC}+S_{△OAE}=S_{△ABC}=20$。
故选B。
【答案】B
【知识点】
菱形的性质；平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题侧重考查几何图形的面积转化，解题的核心是通过平行四边形和全等三角形的性质，将不规则的阴影面积转化为易计算的三角形面积，巧妙运用转化思想可大幅降低解题难度。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用菱形面积公式（对角线乘积的一半）求出菱形ABCD的总面积，再结合菱形对边平行的性质，判断四边形AEPF为平行四边形；接着利用平行四边形的性质和全等三角形的判定，证明上方小阴影的面积可以和上方空白小三角形面积等量替换，最终将不规则的阴影总面积转化为△ABC的面积（即菱形面积的一半）即可求解。
【解析】
∵菱形ABCD的对角线互相垂直，且对角线长分别为8和10，
∴$S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}×8×10=40$。
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，
在△ABC和△CDA中，
$\{\begin{array}{l}AB=CD \\BC=DA \\AC=CA\end{array} $
∴△ABC≌△CDA（SSS），
∴$S_{△ABC}=S_{△CDA}=\frac{1}{2}S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}×40=20$。
如图，设EF交AP于点O。
∵PE//BC，AF//BC，PF//CD，AE//CD，
∴PE//AF，PF//AE，
∴四边形AEPF是平行四边形，∠OPF=∠OAE，OP=OA。
在△OPF和△OAE中，
$\{\begin{array}{l}∠OPF=∠OAE \\OP=OA \\∠POF=∠AOE\end{array} $
∴△OPF≌△OAE（ASA），
∴$S_{△OPF}=S_{△OAE}$，
∴$S_{阴影}=S_{四边形BEOC}+S_{△OPF}=S_{四边形BEOC}+S_{△OAE}=S_{△ABC}=20$。
故选B。
【答案】B
【知识点】
菱形的性质；平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题侧重考查几何图形的面积转化，解题的核心是通过平行四边形和全等三角形的性质，将不规则的阴影面积转化为易计算的三角形面积，巧妙运用转化思想可大幅降低解题难度。
【难度系数】
0.6
2[2025福建宁德质检,中]如图,在菱形ABCD和菱形CEFG(点D在边CG上)中,B,C,E在一条直线上,连接AF,EG相交于点P,连接CP.若$BC=5$,$CE=10$,$EG=12$,则$CP$的长是(
A.8
B.9
C.$\sqrt{73}$
D.$2\sqrt{73}$
C
)A.8
B.9
C.$\sqrt{73}$
D.$2\sqrt{73}$
答案
2.C 【解析】连接CF交EG于O,连接DO.
∵四边形ABCD和四边形CEFG是菱形,BC=5,CE=10,
∴CD=BC=AD=5,CG=FG=CE=10,CF⊥GE,OE=OG=1/2 GE=6,OC = OF, AD//CE//GF,
∴ CO = √(CE²-OE²)= 8.
∵ GD = CG - CD = 5,
∴ CD = DG.
∵ OC=OF,
∴ OD 是△CGF 的中位线,
∴ OD//GF,OD=1/2 GF=5.
∵ AD//GF,
∴ A,D,O 三点共线,
∴ AO=AD+OD=10,∠FGP = ∠AOP,
∴ AO = GF =10.
∵ ∠FPG = ∠APO,
∴ △FPG ≌ △APO ( AAS ),
∴ OP = GP = 1/2 OG = 3.
∵ CF ⊥ GE,
∴ CP = √(OC²+OP²)=√(8²+3²)=√73. 故选 C.
∵四边形ABCD和四边形CEFG是菱形,BC=5,CE=10,
∴CD=BC=AD=5,CG=FG=CE=10,CF⊥GE,OE=OG=1/2 GE=6,OC = OF, AD//CE//GF,
∴ CO = √(CE²-OE²)= 8.
∵ GD = CG - CD = 5,
∴ CD = DG.
∵ OC=OF,
∴ OD 是△CGF 的中位线,
∴ OD//GF,OD=1/2 GF=5.
∵ AD//GF,
∴ A,D,O 三点共线,
∴ AO=AD+OD=10,∠FGP = ∠AOP,
∴ AO = GF =10.
∵ ∠FPG = ∠APO,
∴ △FPG ≌ △APO ( AAS ),
∴ OP = GP = 1/2 OG = 3.
∵ CF ⊥ GE,
∴ CP = √(OC²+OP²)=√(8²+3²)=√73. 故选 C.
解析
【分析】
要求CP的长度，可考虑将CP放在直角三角形中利用勾股定理求解。首先回忆菱形的性质：菱形四条边相等，对角线互相垂直且平分。首先连接菱形CEFG的对角线CF，它与EG垂直且互相平分，可得到直角∠COE，同时O是EG、CF的中点。先计算OC的长度，再推导OP的长度，最后在Rt△COP中用勾股定理即可算出CP。具体思路：第一步利用菱形性质和勾股定理求OC；第二步结合两个菱形的边长推出D是CG中点，结合O是CF中点得到中位线OD，再根据平行线的性质推出A、D、O三点共线；第三步证明△FPG和△APO全等得到OP的长度；最后用勾股定理计算CP。
【解析】
解：连接CF交EG于点O。
∵四边形ABCD和四边形CEFG都是菱形，BC=5，CE=10，
∴CD=BC=5，CG=CE=10，根据菱形对角线的性质可得CF⊥EG，$OE=OG=\frac{1}{2}EG=6$，OC=OF，且AD//CE//GF。
在Rt△COE中，由勾股定理得：$CO=\sqrt{CE^2-OE^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
∵GD=CG-CD=10-5=5，
∴CD=DG，即D是CG的中点，
又
∵OC=OF，即O是CF的中点，
∴OD是△CGF的中位线，
∴OD//GF，$OD=\frac{1}{2}GF=\frac{1}{2}×10=5$。
∵AD//GF，OD//GF，
∴A、D、O三点共线，
∴AO=AD+OD=5+5=10，即AO=GF=10。
在△FPG和△APO中：
$\{\begin{array}{l}∠FGP=∠AOP\\∠FPG=∠APO\\GF=AO\end{array} $
∴△FPG≌△APO（AAS），
∴OP=GP=$\frac{1}{2}$OG=3。
∵CF⊥EG，
∴∠COP=90°，
在Rt△COP中，由勾股定理得：$CP=\sqrt{OC^2+OP^2}=\sqrt{8^2+3^2}=\sqrt{73}$。
【答案】C
【知识点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】本题是菱形性质的综合应用题，解题的关键是合理作出辅助线，充分利用菱形对角线的性质构造直角三角形，结合中位线定理、全等三角形的性质求得相关线段长度，最终用勾股定理得解，能较好考查学生对几何知识的综合运用能力。
【难度系数】0.6
要求CP的长度，可考虑将CP放在直角三角形中利用勾股定理求解。首先回忆菱形的性质：菱形四条边相等，对角线互相垂直且平分。首先连接菱形CEFG的对角线CF，它与EG垂直且互相平分，可得到直角∠COE，同时O是EG、CF的中点。先计算OC的长度，再推导OP的长度，最后在Rt△COP中用勾股定理即可算出CP。具体思路：第一步利用菱形性质和勾股定理求OC；第二步结合两个菱形的边长推出D是CG中点，结合O是CF中点得到中位线OD，再根据平行线的性质推出A、D、O三点共线；第三步证明△FPG和△APO全等得到OP的长度；最后用勾股定理计算CP。
【解析】
解：连接CF交EG于点O。
∵四边形ABCD和四边形CEFG都是菱形，BC=5，CE=10，
∴CD=BC=5，CG=CE=10，根据菱形对角线的性质可得CF⊥EG，$OE=OG=\frac{1}{2}EG=6$，OC=OF，且AD//CE//GF。
在Rt△COE中，由勾股定理得：$CO=\sqrt{CE^2-OE^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
∵GD=CG-CD=10-5=5，
∴CD=DG，即D是CG的中点，
又
∵OC=OF，即O是CF的中点，
∴OD是△CGF的中位线，
∴OD//GF，$OD=\frac{1}{2}GF=\frac{1}{2}×10=5$。
∵AD//GF，OD//GF，
∴A、D、O三点共线，
∴AO=AD+OD=5+5=10，即AO=GF=10。
在△FPG和△APO中：
$\{\begin{array}{l}∠FGP=∠AOP\\∠FPG=∠APO\\GF=AO\end{array} $
∴△FPG≌△APO（AAS），
∴OP=GP=$\frac{1}{2}$OG=3。
∵CF⊥EG，
∴∠COP=90°，
在Rt△COP中，由勾股定理得：$CP=\sqrt{OC^2+OP^2}=\sqrt{8^2+3^2}=\sqrt{73}$。
【答案】C
【知识点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】本题是菱形性质的综合应用题，解题的关键是合理作出辅助线，充分利用菱形对角线的性质构造直角三角形，结合中位线定理、全等三角形的性质求得相关线段长度，最终用勾股定理得解，能较好考查学生对几何知识的综合运用能力。
【难度系数】0.6
3[2026湖北宜昌期中,中]如图,在菱形ABCD中,∠B=45°,E,F分别是边CD,BC上的动点,连接AE,EF,G,H分别为AE,EF的中点,连接GH.若GH的最小值为3,则BC的长为
(第3题图)
(第4题图)
$6\sqrt{2}$
.(第3题图)
(第4题图)
答案
3.$6\sqrt{2}$ 【解析】如图,连接AF.
∵ G,H 分别为AE,EF 的中点,
∴ GH//AF,且 GH=1/2 AF,
∴ 要使 GH 最小,只要 AF 最小即可. 当 AF ⊥ BC 时,AF 最小.
∵ GH 的最小值为 3,
∴ 此时 AF=6.
∵ ∠B=45°,
∴ ∠BAF = 45°,
∴ BF = AF = 6,
∴ AB = √(AF²+BF²)=6√2.
∵ 四边形 ABCD 是菱形,
∴ BC=AB=6√2. 故答案为 $6\sqrt{2}$.
解析
【分析】
解题时首先观察到G、H是两条线段的中点，可联想到三角形中位线定理，因此连接AF，将GH与AF建立关联，GH的最小值可转化为AF的最小值；根据点到直线的距离垂线段最短，可知AF垂直BC时长度最小；再结合∠B=45°的特殊角，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理算出AB的长，最后根据菱形四条边相等的性质即可得到BC的长度。
【解析】
如图，连接AF。
∵G、H分别为AE、EF的中点，
∴GH是△AEF的中位线，
∴GH//AF，且$GH=\frac{1}{2}AF$，
因此要使GH最小，只需AF最小即可，根据垂线段最短，当$AF⊥ BC$时，AF取得最小值。
∵GH的最小值为3，
∴此时$AF=2GH=2×3=6$。
在$Rt△ ABF$中，$∠ B=45°$，
∴$∠ BAF=90°-∠ B=45°$，
∴$BF=AF=6$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AF^2+BF^2}=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}$。
∵四边形ABCD是菱形，菱形的四条边相等，
∴$BC=AB=6\sqrt{2}$。
【答案】
$6\sqrt{2}$
【知识点】
三角形中位线定理，垂线段最短，菱形的性质
【点评】
本题属于几何综合类中档题，解题的核心是利用三角形中位线将未知线段的最值转化为易求的线段最值，结合特殊直角三角形的性质和菱形性质求解，考查学生对几何基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先观察到G、H是两条线段的中点，可联想到三角形中位线定理，因此连接AF，将GH与AF建立关联，GH的最小值可转化为AF的最小值；根据点到直线的距离垂线段最短，可知AF垂直BC时长度最小；再结合∠B=45°的特殊角，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理算出AB的长，最后根据菱形四条边相等的性质即可得到BC的长度。
【解析】
如图，连接AF。
∵G、H分别为AE、EF的中点，
∴GH是△AEF的中位线，
∴GH//AF，且$GH=\frac{1}{2}AF$，
因此要使GH最小，只需AF最小即可，根据垂线段最短，当$AF⊥ BC$时，AF取得最小值。
∵GH的最小值为3，
∴此时$AF=2GH=2×3=6$。
在$Rt△ ABF$中，$∠ B=45°$，
∴$∠ BAF=90°-∠ B=45°$，
∴$BF=AF=6$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AF^2+BF^2}=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}$。
∵四边形ABCD是菱形，菱形的四条边相等，
∴$BC=AB=6\sqrt{2}$。
【答案】
$6\sqrt{2}$
【知识点】
三角形中位线定理，垂线段最短，菱形的性质
【点评】
本题属于几何综合类中档题，解题的核心是利用三角形中位线将未知线段的最值转化为易求的线段最值，结合特殊直角三角形的性质和菱形性质求解，考查学生对几何基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
4[2026 浙江杭州质检,较难]如图,菱形纸片ABCD中,∠A=60°,将纸片折叠,点A,D分别落在A',D'处,且A'D'经过点B,EF为折痕,当D'F⊥CD时,$\frac{CF}{FD}$的值为
$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
.答案
4.$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$ 【解析】如图,设BC与D'F交于点K. 设CF=a,D'K=b.
∵ 四边形ABCD是菱形,∠A=60°,
∴ ∠C=60°,∠D=120°,
∴ 由折叠的性质知∠D' = ∠D=120°.
∵ KF ⊥ CD,
∴ ∠KFC=90°,
∴ ∠FKC=∠BKD'=90°-∠C=30°,
∴ KC=2a,∠KBD' = 180°-∠D'-∠BKD'=30°,
∴ ∠KBD' = ∠BKD',KF=√3 a,
∴ BD'=D'K=b,
∴ 易得 BK=√3 b.
∵ 由折叠的性质可知 DF = D' F,
∴ BC = CD = DF + CF = D' F + CF,
∴ √3 b+2a = b+√3 a +a,
∴ (√3 - 1 ) a = (√3 - 1 ) b,
∴ a = b,
∴ CF/DF = a/(√3 a +a) = (√3 -1)/2,故答案为$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$.
∵ 四边形ABCD是菱形,∠A=60°,
∴ ∠C=60°,∠D=120°,
∴ 由折叠的性质知∠D' = ∠D=120°.
∵ KF ⊥ CD,
∴ ∠KFC=90°,
∴ ∠FKC=∠BKD'=90°-∠C=30°,
∴ KC=2a,∠KBD' = 180°-∠D'-∠BKD'=30°,
∴ ∠KBD' = ∠BKD',KF=√3 a,
∴ BD'=D'K=b,
∴ 易得 BK=√3 b.
∵ 由折叠的性质可知 DF = D' F,
∴ BC = CD = DF + CF = D' F + CF,
∴ √3 b+2a = b+√3 a +a,
∴ (√3 - 1 ) a = (√3 - 1 ) b,
∴ a = b,
∴ CF/DF = a/(√3 a +a) = (√3 -1)/2,故答案为$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$.
解析
【分析】
解题时先回忆菱形与折叠的性质：首先根据菱形对角相等、邻角互补的特征，由∠A=60°推导得∠C=60°、∠D=120°；再结合折叠前后对应角、对应边相等的性质，得∠D'=120°，DF=D'F。接着利用D'F⊥CD的条件，得到含30°角的Rt△KFC，用30°直角三角形的边长关系表示该三角形各边；再推导△BKD'的内角，发现其为含30°角的等腰三角形，同样用参数表示各边。最后根据菱形边长相等（CD=BC）列等式，消去参数即可求出CF与FD的比值。
【解析】
解：设BC与D'F交于点K，设CF=a。
∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，
∴∠C=∠A=60°，∠D=180°-∠A=120°，BC=CD。
由折叠的性质可得：∠D'=∠D=120°，DF=D'F。
∵D'F⊥CD，
∴∠KFC=90°，
在Rt△KFC中，∠FKC=90°-∠C=30°，
∴KC=2CF=2a，由勾股定理得$KF=\sqrt{KC^2-CF^2}=\sqrt{3}a$。
∵∠BKD'=∠FKC=30°，在△BKD'中，
∠KBD'=180°-∠D'-∠BKD'=180°-120°-30°=30°，
∴∠KBD'=∠BKD'，
∴BD'=D'K，设D'K=b，则BD'=b，
由勾股定理得$BK=\sqrt{3}b$。
∵$BC=BK+KC=\sqrt{3}b+2a$，$CD=DF+CF=D'F+CF=(\sqrt{3}a + b)+a$，
又
∵BC=CD，
∴$\sqrt{3}b+2a=\sqrt{3}a + b + a$，
整理得$(\sqrt{3}-1)b=(\sqrt{3}-1)a$，即a=b。
∴$DF=D'F=\sqrt{3}a+a$，
∴$\frac{CF}{FD}=\frac{a}{\sqrt{3}a+a}=\frac{1}{\sqrt{3}+1}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
【知识点】
菱形的性质，折叠的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何综合题，将菱形性质、折叠的不变性与特殊直角三角形的边角关系结合考查，解题核心是抓住折叠前后边、角的不变性，通过设参数量化未知线段，利用边长等量关系建立方程求解，能有效锻炼几何图形分析与运算能力。
【难度系数】
0.3
解题时先回忆菱形与折叠的性质：首先根据菱形对角相等、邻角互补的特征，由∠A=60°推导得∠C=60°、∠D=120°；再结合折叠前后对应角、对应边相等的性质，得∠D'=120°，DF=D'F。接着利用D'F⊥CD的条件，得到含30°角的Rt△KFC，用30°直角三角形的边长关系表示该三角形各边；再推导△BKD'的内角，发现其为含30°角的等腰三角形，同样用参数表示各边。最后根据菱形边长相等（CD=BC）列等式，消去参数即可求出CF与FD的比值。
【解析】
解：设BC与D'F交于点K，设CF=a。
∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，
∴∠C=∠A=60°，∠D=180°-∠A=120°，BC=CD。
由折叠的性质可得：∠D'=∠D=120°，DF=D'F。
∵D'F⊥CD，
∴∠KFC=90°，
在Rt△KFC中，∠FKC=90°-∠C=30°，
∴KC=2CF=2a，由勾股定理得$KF=\sqrt{KC^2-CF^2}=\sqrt{3}a$。
∵∠BKD'=∠FKC=30°，在△BKD'中，
∠KBD'=180°-∠D'-∠BKD'=180°-120°-30°=30°，
∴∠KBD'=∠BKD'，
∴BD'=D'K，设D'K=b，则BD'=b，
由勾股定理得$BK=\sqrt{3}b$。
∵$BC=BK+KC=\sqrt{3}b+2a$，$CD=DF+CF=D'F+CF=(\sqrt{3}a + b)+a$，
又
∵BC=CD，
∴$\sqrt{3}b+2a=\sqrt{3}a + b + a$，
整理得$(\sqrt{3}-1)b=(\sqrt{3}-1)a$，即a=b。
∴$DF=D'F=\sqrt{3}a+a$，
∴$\frac{CF}{FD}=\frac{a}{\sqrt{3}a+a}=\frac{1}{\sqrt{3}+1}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
【知识点】
菱形的性质，折叠的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何综合题，将菱形性质、折叠的不变性与特殊直角三角形的边角关系结合考查，解题核心是抓住折叠前后边、角的不变性，通过设参数量化未知线段，利用边长等量关系建立方程求解，能有效锻炼几何图形分析与运算能力。
【难度系数】
0.3
5[2025辽宁铁岭质检,中]如图,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,射线BM以点B为旋转中心,从BC的位置开始逆时针旋转,旋转角为α(0°＜α＜120°),点E与点C关于BM成轴对称,连接AE并延长与BM交于点F,连接CE,CF,DF.(1)试判断△CEF的形状,并说明理由;(2)当点E为AF中点时,求此时旋转角α的度数. 
答案
5.【解】(1)△CEF是等边三角形,理由如下:
如图(1),连接BE.
∵ 四边形ABCD是菱形,
∴ AB = BC.
∵ E,C关于BM对称,
∴ BC=BE,FE=FC,
∴ AB=BE,
∴ ∠BAE=∠BEA.
∵ BC=BE,
∴ ∠BEC=∠BCE.
在四边形ABCE中,∠ABC = 120°,
∴ ∠BAE + ∠AEC+ ∠BCE=2∠AEC=360°-120°=240°,
∴ ∠AEC=120°,
∴ ∠CEF=60°.
又
∵ FE=FC,
∴ △CEF是等边三角形.
(2)连接AC,BD,AC与BD交于点O,如图(2).
∵ E 为 AF 中点,
∴ AE = EF. 又
∵ △CEF 是等边三角形,
∴ CE = CF = EF,
∴ AE = CE, ∠ECF = ∠EFC,
∴ ∠EAC=∠ECA,
∴ 2∠ECA+2∠ECF=180°,
∴ ∠ACF=90°.
在菱形ABCD中,∠ABC=120°,AC⊥BD,
∴ ∠AOD = 90°,∠ADB = ∠BDC = 1/2 ∠ADC = 1/2 ∠ABC = 60°,
∴ BD//CF,
∴ ∠BDC=∠DCF=60°.
又
∵ ∠ECF=60°,
∴ EC 与 CD 重合.
∵ 四边形 ABCD 是菱形,∠ABC=120°,
∴ ∠BCD=60°,
∴ △BCD 是等边三角形,
∴ ∠DBC=60°.
∵ BM ⊥ CD,
∴ BM 平分∠DBC,
∴ 旋转角 α=30°.
解析
【分析】
(1) 要判断△CEF的形状，首先结合轴对称性质可得FE=FC，因此只需证明该三角形有一个内角为60°即可。我们可以通过连接BE，利用菱形四边相等、轴对称对应边相等得到AB=BC=BE，进而得到两组等角，再结合四边形ABCE的内角和为360°，推导得出∠CEF=60°，即可判定三角形形状。
(2) 已知E为AF中点，结合(1)中△CEF是等边三角形的结论，可推出AE=CE，进而推导得到∠ACF=90°；再利用菱形对角线互相垂直的性质得到BD//CF，结合角度关系推出EC与CD重合，最后利用等边三角形三线合一的性质求出旋转角α的度数。
【解析】
(1) △CEF是等边三角形，理由如下：
如图(1)，连接BE。
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB = BC。
∵ 点E与点C关于BM成轴对称，
∴ BC=BE，FE=FC，
∴ AB=BE，
∴ ∠BAE=∠BEA。
∵ BC=BE，
∴ ∠BEC=∠BCE。
在四边形ABCE中，∠ABC = 120°，
∴ ∠BAE + ∠AEC+ ∠BCE=2∠AEC=360°-120°=240°，
∴ ∠AEC=120°，
∴ ∠CEF=180°-120°=60°。
又
∵ FE=FC，
∴ △CEF是等边三角形。
(2) 连接AC，BD，AC与BD交于点O，如图(2)。
∵ E为AF中点，
∴ AE = EF。
又
∵ △CEF是等边三角形，
∴ CE = CF = EF，
∴ AE = CE, ∠ECF = ∠EFC=60°，
∴ ∠EAC=∠ECA，
∴ 2∠ECA+2∠ECF=180°，
∴ ∠ACF=90°，即AC⊥CF。
在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AC⊥BD，
∴ ∠AOD = 90°，∠ADB = ∠BDC = $\frac{1}{2}$∠ADC = $\frac{1}{2}$∠ABC = 60°，
∴ BD//CF，
∴ ∠BDC=∠DCF=60°。
又
∵ ∠ECF=60°，
∴ EC与CD重合。
∵ 四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，
∴ ∠BCD=60°，BC=CD，
∴ △BCD是等边三角形，
∴ ∠DBC=60°。
∵ 点E与点C关于BM对称，EC与CD重合，
∴ BM⊥CD，
∴ BM平分∠DBC，
∴ 旋转角α=$\frac{1}{2}$∠DBC=30°。
【答案】
(1) △CEF是等边三角形；
(2) 旋转角α的度数为30°。
【知识点】
菱形的性质，轴对称的性质，等边三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了几何图形的性质应用，解题时需灵活转化边与角的关系，合理添加辅助线搭建已知和结论的联系，对几何综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 要判断△CEF的形状，首先结合轴对称性质可得FE=FC，因此只需证明该三角形有一个内角为60°即可。我们可以通过连接BE，利用菱形四边相等、轴对称对应边相等得到AB=BC=BE，进而得到两组等角，再结合四边形ABCE的内角和为360°，推导得出∠CEF=60°，即可判定三角形形状。
(2) 已知E为AF中点，结合(1)中△CEF是等边三角形的结论，可推出AE=CE，进而推导得到∠ACF=90°；再利用菱形对角线互相垂直的性质得到BD//CF，结合角度关系推出EC与CD重合，最后利用等边三角形三线合一的性质求出旋转角α的度数。
【解析】
(1) △CEF是等边三角形，理由如下：
如图(1)，连接BE。
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB = BC。
∵ 点E与点C关于BM成轴对称，
∴ BC=BE，FE=FC，
∴ AB=BE，
∴ ∠BAE=∠BEA。
∵ BC=BE，
∴ ∠BEC=∠BCE。
在四边形ABCE中，∠ABC = 120°，
∴ ∠BAE + ∠AEC+ ∠BCE=2∠AEC=360°-120°=240°，
∴ ∠AEC=120°，
∴ ∠CEF=180°-120°=60°。
又
∵ FE=FC，
∴ △CEF是等边三角形。
(2) 连接AC，BD，AC与BD交于点O，如图(2)。
∵ E为AF中点，
∴ AE = EF。
又
∵ △CEF是等边三角形，
∴ CE = CF = EF，
∴ AE = CE, ∠ECF = ∠EFC=60°，
∴ ∠EAC=∠ECA，
∴ 2∠ECA+2∠ECF=180°，
∴ ∠ACF=90°，即AC⊥CF。
在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AC⊥BD，
∴ ∠AOD = 90°，∠ADB = ∠BDC = $\frac{1}{2}$∠ADC = $\frac{1}{2}$∠ABC = 60°，
∴ BD//CF，
∴ ∠BDC=∠DCF=60°。
又
∵ ∠ECF=60°，
∴ EC与CD重合。
∵ 四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，
∴ ∠BCD=60°，BC=CD，
∴ △BCD是等边三角形，
∴ ∠DBC=60°。
∵ 点E与点C关于BM对称，EC与CD重合，
∴ BM⊥CD，
∴ BM平分∠DBC，
∴ 旋转角α=$\frac{1}{2}$∠DBC=30°。
【答案】
(1) △CEF是等边三角形；
(2) 旋转角α的度数为30°。
【知识点】
菱形的性质，轴对称的性质，等边三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了几何图形的性质应用，解题时需灵活转化边与角的关系，合理添加辅助线搭建已知和结论的联系，对几何综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
6 核心素养推理能力[2026贵州黔东南州调研,难]
已知四边形ABCD是菱形,∠BAD=120°,AB=4,∠EAF的两边分别与射线CB、射线DC交于点E,F,点E与点C、点B不重合,∠EAF=60°.
【问题探究】(1)如图(1),当点E在线段CB上时,BE与CF的数量关系为
【类比迁移】(2)如图(2),当点E在线段CB上时,连接BD交AE于点H,当BE=BH时,求BE的长;
【应用拓展】(3)当∠BAE=15°时,求BE的长.
已知四边形ABCD是菱形,∠BAD=120°,AB=4,∠EAF的两边分别与射线CB、射线DC交于点E,F,点E与点C、点B不重合,∠EAF=60°.
【问题探究】(1)如图(1),当点E在线段CB上时,BE与CF的数量关系为
BE=CF
;【类比迁移】(2)如图(2),当点E在线段CB上时,连接BD交AE于点H,当BE=BH时,求BE的长;
【应用拓展】(3)当∠BAE=15°时,求BE的长.
答案
6.【解】(1)如图(1),连接AC.
∵ 四边形ABCD是菱形,∠BAD = 120°,
∴ ∠BAC = ∠CAD = ∠B = 60°,∠BCD = 120°,
∴ ∠ACD = ∠ACB = 60°,
∴ ∠B = ∠BAC = ∠ACB = ∠ACD=60°,
∴ △ABC 为等边三角形,
∴ AB=AC.
∵ ∠EAF=60°=∠BAC,
∴ ∠EAF-∠EAC = ∠BAC-∠EAC,即 ∠BAE = ∠CAF,
∴ △BAE ≌ △CAF (ASA),
∴ BE=CF. 故答案为 BE=CF.
(2)如图(2),连接 AC 交 BD 于点 G. 由(1)知△ABC 是等边三角形,
∴ AB=AC.
∵ 四边形 ABCD 是菱形,
∴ AC ⊥ BD 于点 G,AD// BC,BG=DG,AG=CG.
∵ AB=4,
∴ AD=AB=AC=4,
∴ AG=2,
∴ BD=2BG=2√(AB²-AG²)=4√3.
∵ BE=BH,
∴ ∠BEH=∠BHE.
∵ AD//BC,
∴ ∠DAH=∠BEH.
∵ ∠DHA=∠BHE,
∴ ∠DAH=∠DHA,
∴ DH=AD=4,
∴ BE=BH=BD-DH=4√3-4.
(3)分以下两种情况:
①如图(3),当 E 在线段 CB 上时,作 AM ⊥ BC 于点 M,作 EN ⊥ AB 于点 N.
∵ ∠B=60°,
∴ ∠BAM=30°.
∵ ∠BAE=15°,
∴ ∠BAE=∠MAE=15°,即 AE 平分∠BAM,
∴ NE = ME.
∵ AE = AE, ∠AME = ∠ANE = 90°,
∴ △AEN≌△AEM(AAS),
∴ AN=AM.
∵ AB=4,
∴ BM=2,
∴ AM=√(AB²-BM²)=2√3,
∴ AN=AM=2√3,
∴ BN=4-2√3.
设 BE=x,则 NE=ME=2-x.
∵ BN²+NE²=BE²,
∴ (4-2√3)²+(2-x)²=x²,解得 x=8-4√3,
∴ BE=8-4√3.
②如图(4),当 E 在 CB 的延长线上时,作 AM ⊥ BC 于点 M.
∵ ∠ABM = 60°, ∠BAE = 15°,
∴ ∠E = ∠ABM-∠BAE = 45°.
∵ ∠AME = 90°,
∴ ∠BAM = 30°, ∠EAM = 45° = ∠E.
由①可知,BM=2,AM=2√3,
∴ EM=AM=2√3,
∴ BE=EM-BM=2√3-2.
综上所述,当∠BAE=15°时,BE 的长为 8-4√3 或 2√3-2.
解析
【分析】
(1) 要判断BE和CF的数量关系，已知四边形ABCD是含120°内角的菱形，连接AC可将菱形分为两个等边三角形，结合∠EAF=60°推导角相等，证明△BAE与△CAF全等即可得到线段关系。
(2) 求BE的长时，先利用菱形对角线互相垂直平分的性质计算出BD的长度，再结合BE=BH、AD//BC推导角相等，得到DH=AD，通过BD-DH即可求出BE的长度。
(3) 当∠BAE=15°时，需分两种情况讨论：①点E在线段CB上，作高构造直角三角形，利用角平分线的性质和勾股定理计算BE；②点E在CB的延长线上，利用外角性质得到等腰直角三角形，结合线段和差计算BE。
【解析】
(1) 如图(1)，连接AC。
∵ 四边形ABCD是菱形，∠BAD = 120°，
∴ ∠BAC = ∠CAD = ∠B = 60°，∠BCD = 120°，
∴ ∠ACD = ∠ACB = 60°，
∴ ∠B = ∠BAC = ∠ACB = ∠ACD=60°，
∴ △ABC 为等边三角形，
∴ AB=AC。
∵ ∠EAF=60°=∠BAC，
∴ ∠EAF-∠EAC = ∠BAC-∠EAC，即 ∠BAE = ∠CAF，
∴ △BAE ≌ △CAF (ASA)，
∴ BE=CF。
(2) 如图(2)，连接 AC 交 BD 于点 G。由(1)知△ABC 是等边三角形，
∴ AB=AC。
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ AC ⊥ BD 于点 G，AD// BC，BG=DG，AG=CG。
∵ AB=4，
∴ AD=AB=AC=4，
∴ AG=2，
∴ BD=2BG=2√(AB²-AG²)=4√3。
∵ BE=BH，
∴ ∠BEH=∠BHE。
∵ AD//BC，
∴ ∠DAH=∠BEH。
∵ ∠DHA=∠BHE，
∴ ∠DAH=∠DHA，
∴ DH=AD=4，
∴ BE=BH=BD-DH=4√3-4。
(3) 分以下两种情况：
①如图(3)，当 E 在线段 CB 上时，作 AM ⊥ BC 于点 M，作 EN ⊥ AB 于点 N。
∵ ∠B=60°，
∴ ∠BAM=30°。
∵ ∠BAE=15°，
∴ ∠BAE=∠MAE=15°，即 AE 平分∠BAM，
∴ NE = ME。
∵ AE = AE, ∠AME = ∠ANE = 90°，
∴ △AEN≌△AEM(AAS)，
∴ AN=AM。
∵ AB=4，
∴ BM=2，
∴ AM=√(AB²-BM²)=2√3，
∴ AN=AM=2√3，
∴ BN=4-2√3。
设 BE=x，则 NE=ME=2-x。
∵ BN²+NE²=BE²，
∴ (4-2√3)²+(2-x)²=x²，解得 x=8-4√3，
∴ BE=8-4√3。
②如图(4)，当 E 在 CB 的延长线上时，作 AM ⊥ BC 于点 M。
∵ ∠ABM = 60°, ∠BAE = 15°，
∴ ∠E = ∠ABM-∠BAE = 45°。
∵ ∠AME = 90°，
∴ ∠BAM = 30°, ∠EAM = 45° = ∠E。
由①可知，BM=2，AM=2√3，
∴ EM=AM=2√3，
∴ BE=EM-BM=2√3-2。
综上所述，当∠BAE=15°时，BE 的长为 8-4√3 或 2√3-2。
【答案】
(1) $\boldsymbol{BE=CF}$
(2) $\boldsymbol{4\sqrt{3}-4}$
(3) $\boldsymbol{8-4\sqrt{3}}$或$\boldsymbol{2\sqrt{3}-2}$
【知识点】
菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题以菱形为背景，融合了特殊三角形的判定、全等三角形的应用等知识点，解题时需要结合分类讨论思想分析点的位置，对几何推理能力和计算能力有较高要求。
【难度系数】
0.3
(1) 要判断BE和CF的数量关系，已知四边形ABCD是含120°内角的菱形，连接AC可将菱形分为两个等边三角形，结合∠EAF=60°推导角相等，证明△BAE与△CAF全等即可得到线段关系。
(2) 求BE的长时，先利用菱形对角线互相垂直平分的性质计算出BD的长度，再结合BE=BH、AD//BC推导角相等，得到DH=AD，通过BD-DH即可求出BE的长度。
(3) 当∠BAE=15°时，需分两种情况讨论：①点E在线段CB上，作高构造直角三角形，利用角平分线的性质和勾股定理计算BE；②点E在CB的延长线上，利用外角性质得到等腰直角三角形，结合线段和差计算BE。
【解析】
(1) 如图(1)，连接AC。
∵ 四边形ABCD是菱形，∠BAD = 120°，
∴ ∠BAC = ∠CAD = ∠B = 60°，∠BCD = 120°，
∴ ∠ACD = ∠ACB = 60°，
∴ ∠B = ∠BAC = ∠ACB = ∠ACD=60°，
∴ △ABC 为等边三角形，
∴ AB=AC。
∵ ∠EAF=60°=∠BAC，
∴ ∠EAF-∠EAC = ∠BAC-∠EAC，即 ∠BAE = ∠CAF，
∴ △BAE ≌ △CAF (ASA)，
∴ BE=CF。
(2) 如图(2)，连接 AC 交 BD 于点 G。由(1)知△ABC 是等边三角形，
∴ AB=AC。
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ AC ⊥ BD 于点 G，AD// BC，BG=DG，AG=CG。
∵ AB=4，
∴ AD=AB=AC=4，
∴ AG=2，
∴ BD=2BG=2√(AB²-AG²)=4√3。
∵ BE=BH，
∴ ∠BEH=∠BHE。
∵ AD//BC，
∴ ∠DAH=∠BEH。
∵ ∠DHA=∠BHE，
∴ ∠DAH=∠DHA，
∴ DH=AD=4，
∴ BE=BH=BD-DH=4√3-4。
(3) 分以下两种情况：
①如图(3)，当 E 在线段 CB 上时，作 AM ⊥ BC 于点 M，作 EN ⊥ AB 于点 N。
∵ ∠B=60°，
∴ ∠BAM=30°。
∵ ∠BAE=15°，
∴ ∠BAE=∠MAE=15°，即 AE 平分∠BAM，
∴ NE = ME。
∵ AE = AE, ∠AME = ∠ANE = 90°，
∴ △AEN≌△AEM(AAS)，
∴ AN=AM。
∵ AB=4，
∴ BM=2，
∴ AM=√(AB²-BM²)=2√3，
∴ AN=AM=2√3，
∴ BN=4-2√3。
设 BE=x，则 NE=ME=2-x。
∵ BN²+NE²=BE²，
∴ (4-2√3)²+(2-x)²=x²，解得 x=8-4√3，
∴ BE=8-4√3。
②如图(4)，当 E 在 CB 的延长线上时，作 AM ⊥ BC 于点 M。
∵ ∠ABM = 60°, ∠BAE = 15°，
∴ ∠E = ∠ABM-∠BAE = 45°。
∵ ∠AME = 90°，
∴ ∠BAM = 30°, ∠EAM = 45° = ∠E。
由①可知，BM=2，AM=2√3，
∴ EM=AM=2√3，
∴ BE=EM-BM=2√3-2。
综上所述，当∠BAE=15°时，BE 的长为 8-4√3 或 2√3-2。
【答案】
(1) $\boldsymbol{BE=CF}$
(2) $\boldsymbol{4\sqrt{3}-4}$
(3) $\boldsymbol{8-4\sqrt{3}}$或$\boldsymbol{2\sqrt{3}-2}$
【知识点】
菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题以菱形为背景，融合了特殊三角形的判定、全等三角形的应用等知识点，解题时需要结合分类讨论思想分析点的位置，对几何推理能力和计算能力有较高要求。
【难度系数】
0.3
