1. 现实情境 王经理去水果批发市场采购香蕉,他看中了甲、乙两家水果店的香蕉,这两家水果店香蕉品质一样,零售价都为6元/千克,批发价各不相同.
甲水果店规定:批发数量不超过1 000千克,全部按零售价的90%优惠;批发数量超过1 000千克,全部按零售价的85%优惠.
乙水果店规定:批发价格分段计算,如下表所示:

(1) 若王经理需要采购600千克香蕉,则他在甲、乙两家水果店购买分别需要花费多少元?
(2) 若王经理需要采购$x$千克香蕉$(500<x<1\ 000)$,则他在甲、乙两家水果店购买分别需要花费多少元?(用含$x$的代数式表示)
(3) 若现有资金3 402元,则在哪家水果店购买香蕉更划算?请说明理由.
甲水果店规定:批发数量不超过1 000千克,全部按零售价的90%优惠;批发数量超过1 000千克,全部按零售价的85%优惠.
乙水果店规定:批发价格分段计算,如下表所示:
(1) 若王经理需要采购600千克香蕉,则他在甲、乙两家水果店购买分别需要花费多少元?
(2) 若王经理需要采购$x$千克香蕉$(500<x<1\ 000)$,则他在甲、乙两家水果店购买分别需要花费多少元?(用含$x$的代数式表示)
(3) 若现有资金3 402元,则在哪家水果店购买香蕉更划算?请说明理由.
答案
(1) 由题意,得王经理在甲水果店购买需要花费6×90%×600=3 240(元),在乙水果店购买需要花费6×95%×500+6×80%×(600-500)=3 330(元).
(2) 由题意,得王经理在甲水果店购买需要花费6×90%×x=5.4x(元),在乙水果店购买需要花费6×95%×500+6×80%×(x-500)=(4.8x+450)(元).
(3) 因为6×90%×1 000=5 400(元),且5 400>3 402,所以在甲水果店能购得的数量为3 402÷(6×90%)=630(千克).因为6×95%×500=2 850(元),且2 850<3 402,所以可设在乙水果店能购得的数量为a千克,则4.8a+450=3 402,所以a=615.因为630>615,所以在甲水果店购买香蕉更划算.
(2) 由题意,得王经理在甲水果店购买需要花费6×90%×x=5.4x(元),在乙水果店购买需要花费6×95%×500+6×80%×(x-500)=(4.8x+450)(元).
(3) 因为6×90%×1 000=5 400(元),且5 400>3 402,所以在甲水果店能购得的数量为3 402÷(6×90%)=630(千克).因为6×95%×500=2 850(元),且2 850<3 402,所以可设在乙水果店能购得的数量为a千克,则4.8a+450=3 402,所以a=615.因为630>615,所以在甲水果店购买香蕉更划算.
2. 阅读理解 任意写一个个位数字不为0,百位数字与个位数字的差为3的三位数M,按照以下步骤操作:
① 交换M的百位数字与个位数字,得到三位数N;
② 用M减去N得到P.
(1) 若$M=724$,求$P$的值;
(2) 按以上步骤,取符合条件的不同的三位数$M$,所得$P$的值是否相同?若相同,请说明理由;若不同,求出$P$的所有可能值;
(3) 若将条件中“百位数字与个位数字的差为3”改为“百位数字与个位数字的差为$k$($k$为2~8的整数)”,在①②操作步骤基础上,再交换$P$的百位数字与个位数字得到三位数$Q$,最后计算$P$与$Q$的和,记为$G$.$G$的值是否变化?请说明理由.
① 交换M的百位数字与个位数字,得到三位数N;
② 用M减去N得到P.
(1) 若$M=724$,求$P$的值;
(2) 按以上步骤,取符合条件的不同的三位数$M$,所得$P$的值是否相同?若相同,请说明理由;若不同,求出$P$的所有可能值;
(3) 若将条件中“百位数字与个位数字的差为3”改为“百位数字与个位数字的差为$k$($k$为2~8的整数)”,在①②操作步骤基础上,再交换$P$的百位数字与个位数字得到三位数$Q$,最后计算$P$与$Q$的和,记为$G$.$G$的值是否变化?请说明理由.
答案
(1) 因为$M=724$,所以$N=427$,所以$P=M-N=297$.
(2) 所得$P$的值相同.理由如下:设$M=100a+10b+c$,且$a-c=3$,$c≠0$,则$N=100c+10b+a$,所以$P=M-N=99(a-c)=297$,所以所得$P$的值相同.
(3) $G$的值不变.理由如下:同(2),得$P=99k$($k$为2~8的整数),所以$P=100(k-1)+90+(10-k)$,所以$Q=100(10-k)+90+k-1=1\ 089-99k$,所以$G=P+Q=1\ 089$,所以$G$的值不变.
(2) 所得$P$的值相同.理由如下:设$M=100a+10b+c$,且$a-c=3$,$c≠0$,则$N=100c+10b+a$,所以$P=M-N=99(a-c)=297$,所以所得$P$的值相同.
(3) $G$的值不变.理由如下:同(2),得$P=99k$($k$为2~8的整数),所以$P=100(k-1)+90+(10-k)$,所以$Q=100(10-k)+90+k-1=1\ 089-99k$,所以$G=P+Q=1\ 089$,所以$G$的值不变.
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