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1. 在多项式 $ x - y - z - m - n $ 中任意加括号，加括号后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“加算操作”，例如：$ (x - y) - (z - m - n) = x - y - z + m + n $，$ x - y - (z - m) - n = x - y - z + m - n $，…。给出下列说法：① 至少存在一种“加算操作”，使其运算结果与原多项式相等；② 不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③ 所有可能的“加算操作”共有8种不同运算结果。其中正确的个数是（
A.0
B.1
C.2
D.3
D
）A.0
B.1
C.2
D.3
答案
1. D 解析：$(x-y-z)-m-n=x-y-z-m-n$,故①正确;由题意,得经过“加算操作”后的多项式中x项的系数始终为1,所以不存在任何“加算操作”,使其运算结果与原多项式之和为0,故②正确;所有可能的“加算操作”的结果为 $x-y-z-m-n,x-y+z-m-n,x-y+z+m-n,x-y+z+m+n,x-y+z-m+n,x-y-z+m-n,x-y-z+m+n,x-y-z-m+n$,共有8种不同的运算结果,故③正确.综上所述,其中正确说法的个数是3.
2. (2026·江苏苏州期末)某人步行5 h,先沿平路走,然后上山,再沿来的路线返回.若在平路上每小时走4 km,上山每小时走3 km,下山每小时走6 km,则在这5 h里一共走的路程是
20
km.答案
2. 20 解析:设平路有$s_1$ km,山路有$s_2$ km. 由题意,得$\frac{s_1}{4}+\frac{s_2}{3}+\frac{s_1}{4}+\frac{s_2}{6}=5$,所以$\frac{1}{2}(s_1+s_2)=5$,所以$2(s_1+s_2)=20$.故在这5 h里一共走的路程是20 km.
3. 已知代数式$(2x^2 + 3ax - y) - 2(bx^2 - \frac{b}{2}x + 2y - 1)$的值与字母$x$的取值无关，求代数式$(2a - b) - (a + b)$的值。
答案
3. 原式$=2x^2+3ax-y-2bx^2+bx-4y+2=(2-2b)x^2+(3a+b)x-5y+2$.因为代数式的值与字母$x$的取值无关,所以$2-2b=0,3a+b=0$,所以$a=-\frac{1}{3},b=1$,所以$(2a-b)-(a+b)=2a-b-a-b=a-2b=-\frac{1}{3}-2×1=-\frac{7}{3}$.
4. 已知多项式$x^3 + ax^2 + bx + c$，其中$a,b,c$为常数. 当$x=1$时，多项式的值是1；当$x=2$时，多项式的值是2. 当$x$分别是8和－5时，多项式的值分别是$M$和$N$，求$M-N$的值.
答案
4. 当$x=1$时,原式$=1+a+b+c=1$,则$a+b+c=0$.当$x=2$时,原式$=8+4a+2b+c=2$,则$4a+2b+c=-6$.当$x=8$时,$M=512+64a+8b+c$;当$x=-5$时,$N=-125+25a-5b+c$,所以$M-N=637+39a+13b=637+13(3a+b)=637+13[4a+2b+c-(a+b+c)]=637+13×(-6)=559$.
5. 已知$ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = (x - 2)^4$，求下列代数式的值：
(1) $a + b + c + d + e$；
(2) $a + c$。
(1) $a + b + c + d + e$；
(2) $a + c$。
答案
5. (1) 令$x=1$,得$a+b+c+d+e=(1-2)^4$,即$a+b+c+d+e=1$.
(2) 令$x=-1$,得$a-b+c-d+e=(-1-2)^4=81$.令$x=0$,得$e=(0-2)^4=16$,所以$a+c=\frac{1}{2}[a+b+c+d+e+(a-b+c-d+e)]-e=\frac{1}{2}×(1+81)-16=25$.
(2) 令$x=-1$,得$a-b+c-d+e=(-1-2)^4=81$.令$x=0$,得$e=(0-2)^4=16$,所以$a+c=\frac{1}{2}[a+b+c+d+e+(a-b+c-d+e)]-e=\frac{1}{2}×(1+81)-16=25$.
6. 新趋势 情境素材 小明与同学做游戏，他把一张纸剪成9块，再从所得的纸片中任取一块再剪成9块；然后再从所得的纸片中任取一块，再剪成9块……这样类似地进行下去，能不能在第n次剪出的纸片恰好是2025块？若能，求n的值；若不能，请说明理由。
答案
6. 第1次剪出的纸片是$8×1+1=9$(块),第2次剪出的纸片是$8×2+1=17$(块)……依此类推,第$n$次剪出的纸片是$(8n+1)$块. 令$8n+1=2025$,解得$n=253$.故在第253次剪出的纸片恰好是2025块.
