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1. (2026·江苏无锡期末)如图,点C在线段AB上,$AC=2BC$,点D,E在线段AB上,点D在点E的左侧.若$AB=2DE$,线段DE在线段AB上移动,且满足关系式$\frac{AD+EC}{BE}=\frac{3}{2}$,则$\frac{CD}{BC}$的值为 (
A.$\frac{5}{6}$
B.$\frac{17}{14}$
C.$\frac{17}{14}$或$\frac{5}{6}$
D.$\frac{11}{10}$
B
)A.$\frac{5}{6}$
B.$\frac{17}{14}$
C.$\frac{17}{14}$或$\frac{5}{6}$
D.$\frac{11}{10}$
答案
解析:设$BC=a$. 因为$AC=2BC$,$AB=2DE$,所以$AC=2a$,$AB=3a$,$DE=1.5a$. 又点$D,E$在线段$AB$上,点$D$在点$E$的左侧,所以分类讨论如下:① 如图①,当点$E$在点$C$左侧时,$AD+EC=AC-DE=0.5a$. 又$BE=BC+EC＞a$,所以不满足关系式$\frac{AD+EC}{BE}=\frac{3}{2}$,所以不合题意;② 如图②,当点$E$在点$C$右侧时,$AD+EC=AC-CD+DE-CD=3.5a-2CD$,所以$BE=AB-(AD+EC)-CD=CD-0.5a$. 因为$\frac{AD+EC}{BE}=\frac{3}{2}$,所以$\frac{3.5a-2CD}{CD-0.5a}=\frac{3}{2}$,所以$CD=\frac{17}{14}a$,所以$\frac{CD}{BC}=\frac{17}{14}$. 综上所述,$\frac{CD}{BC}$的值为$\frac{17}{14}$.
2. 已知$∠ AOB=120°$,射线$OC$绕点$O$从射线$OA$反向延长线的位置出发,以每秒$1°$的速度顺时针旋转;同时射线$OA$以每秒$5°$的速度绕点$O$逆时针旋转,各自旋转$180°$后停止转动.设$OC$旋转的时间为$t\ \mathrm{s}$,则当射线$OA$,$OB$,$OC$中某一条射线是另外两条射线所夹角的角平分线时,$t$的值为________.
答案
$15或\frac{300}{11}或\frac{240}{7}或120$ 解析:分类讨论如下:① 如图①,当$OB$为$∠ A'OC$的平分线时,易得$60-t=120-5t$,解得$t=15$;② 如图②,当$OA'$为$∠ BOC$的平分线时,易得$2(5t-120)=60-t$,解得$t=\frac{300}{11}$;③ 如图③,当$OC$为$∠ A'OB$的平分线时,易得$5t-120=2(60-t)$,解得$t=\frac{240}{7}$;④ 如图④,当$OA$运动停止,$OB$为$∠ A'OC$的平分线时,易得$t-60=60$,解得$t=120$. 综上所述,$t$的值为$15或\frac{300}{11}或\frac{240}{7}或120$.
3. 如图①,射线AB上有一点C,AC=12,一动点P从点C出发,以每秒m个单位长度的速度沿射线CB的方向运动,同时,射线CB开始绕点C按顺时针方向以每秒30°的速度旋转一周.
(1) 当CB第一次转至与AC垂直时,PC=
(2) 当A,P,C三点中有一个点是另外两个点构成的线段的中点时,求m的值;
(3) 如图②,当射线CB绕点C旋转到$CB'⊥AC$时,点P到达射线$CB'$上的点D处.此时,射线$DB'$开始绕点D按顺时针方向以每秒$45°$的速度一同旋转,旋转一周停止运动.再经过
(1) 当CB第一次转至与AC垂直时,PC=
3m
;(用含m的代数式表示)(2) 当A,P,C三点中有一个点是另外两个点构成的线段的中点时,求m的值;
(3) 如图②,当射线CB绕点C旋转到$CB'⊥AC$时,点P到达射线$CB'$上的点D处.此时,射线$DB'$开始绕点D按顺时针方向以每秒$45°$的速度一同旋转,旋转一周停止运动.再经过
2.4或4.8或7.2
s,AC所在直线与$DB'$所在直线垂直.答案
(1) $3m$
(2) 当$A,P,C$三点中有一个点是另外两个点构成的线段的中点时,点$A,P,C$在同一条直线上.分类讨论如下:① 射线$CB$开始绕点$C$按顺时针方向旋转$180°$,所用时间为$180÷30=6(\mathrm{s})$. 因为点$P$的速度是每秒$m$个单位长度,所以$PC=6m$. 若$P$为$AC$的中点,因为$AC=12$,所以$PC=\frac{1}{2}AC=6$,所以$6m=6$,解得$m=1$;若$A$为$PC$的中点,则$PC=2AC=24$,所以$6m=24$,解得$m=4$. ② 射线$CB$开始绕点$C$按顺时针方向旋转$360°$,所用时间为$360÷30=12(\mathrm{s})$. 因为点$P$的速度是每秒$m$个单位长度,所以$PC=12m$. 易得$C$为$AP$的中点,所以$PC=12$,所以$12m=12$,解得$m=1$. 综上所述,$m=1$或$4$.
(3) $2.4或4.8或7.2$ 解析:因为射线$CB$绕点$C$按顺时针方向以每秒$30°$的速度旋转,射线$DB'$绕点$D$按顺时针方向以每秒$45°$的速度一同旋转,所以射线$DB'$的旋转速度为每秒$75°$. 因为$AC$所在直线与$DB'$所在直线垂直,所以分类讨论如下:① $DB'$相对于$AC$与$DB'$所在直线第一次垂直时的位置旋转$180°$,$AC$与$DB'$所在直线会再次垂直,所以所用时间为$180÷75=2.4(\mathrm{s})$;② $DB'$相对于$AC$与$DB'$所在直线第一次垂直时的位置旋转$360°$,$AC$与$DB'$所在直线再次垂直,所以所用时间为$360÷75=4.8(\mathrm{s})$;③ 射线$DB'$还未绕点$D$旋转够一周,即$DB'$相对于$AC$与$DB'$所在直线第一次垂直时的位置旋转$540°$时,$AC$与$DB'$所在直线再次垂直,所以所用时间为$540÷75=7.2(\mathrm{s})$. 综上所述,再经过$2.4\ \mathrm{s}$或$4.8\ \mathrm{s}$或$7.2\ \mathrm{s}$,$AC$所在直线与$DB'$所在直线垂直.
(2) 当$A,P,C$三点中有一个点是另外两个点构成的线段的中点时,点$A,P,C$在同一条直线上.分类讨论如下:① 射线$CB$开始绕点$C$按顺时针方向旋转$180°$,所用时间为$180÷30=6(\mathrm{s})$. 因为点$P$的速度是每秒$m$个单位长度,所以$PC=6m$. 若$P$为$AC$的中点,因为$AC=12$,所以$PC=\frac{1}{2}AC=6$,所以$6m=6$,解得$m=1$;若$A$为$PC$的中点,则$PC=2AC=24$,所以$6m=24$,解得$m=4$. ② 射线$CB$开始绕点$C$按顺时针方向旋转$360°$,所用时间为$360÷30=12(\mathrm{s})$. 因为点$P$的速度是每秒$m$个单位长度,所以$PC=12m$. 易得$C$为$AP$的中点,所以$PC=12$,所以$12m=12$,解得$m=1$. 综上所述,$m=1$或$4$.
(3) $2.4或4.8或7.2$ 解析:因为射线$CB$绕点$C$按顺时针方向以每秒$30°$的速度旋转,射线$DB'$绕点$D$按顺时针方向以每秒$45°$的速度一同旋转,所以射线$DB'$的旋转速度为每秒$75°$. 因为$AC$所在直线与$DB'$所在直线垂直,所以分类讨论如下:① $DB'$相对于$AC$与$DB'$所在直线第一次垂直时的位置旋转$180°$,$AC$与$DB'$所在直线会再次垂直,所以所用时间为$180÷75=2.4(\mathrm{s})$;② $DB'$相对于$AC$与$DB'$所在直线第一次垂直时的位置旋转$360°$,$AC$与$DB'$所在直线再次垂直,所以所用时间为$360÷75=4.8(\mathrm{s})$;③ 射线$DB'$还未绕点$D$旋转够一周,即$DB'$相对于$AC$与$DB'$所在直线第一次垂直时的位置旋转$540°$时,$AC$与$DB'$所在直线再次垂直,所以所用时间为$540÷75=7.2(\mathrm{s})$. 综上所述,再经过$2.4\ \mathrm{s}$或$4.8\ \mathrm{s}$或$7.2\ \mathrm{s}$,$AC$所在直线与$DB'$所在直线垂直.
4. 如图①,将一副直角三角板摆放在直线MN上,在直角三角板OAB和直角三角板OCD中,
∠OAB=∠OCD=90°,∠AOB=45°,∠COD=30°.
(1) 保持直角三角板OCD不动,当直角三角板OAB旋转至图②所示位置时,∠BOD与∠AON之间有怎样的数量关系?请说明理由;
(2) 如图③,若直角三角板OAB绕点O以每秒6°的速度逆时针旋转,同时直角三角板OCD也绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转,当边OB旋转至射线OM上时,两把直角三角板同时停止转动.设旋转的时间为t s,则在此过程中,是否存在某一时刻,使得∠BOD+∠AON=60°?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.
∠OAB=∠OCD=90°,∠AOB=45°,∠COD=30°.
(1) 保持直角三角板OCD不动,当直角三角板OAB旋转至图②所示位置时,∠BOD与∠AON之间有怎样的数量关系?请说明理由;
(2) 如图③,若直角三角板OAB绕点O以每秒6°的速度逆时针旋转,同时直角三角板OCD也绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转,当边OB旋转至射线OM上时,两把直角三角板同时停止转动.设旋转的时间为t s,则在此过程中,是否存在某一时刻,使得∠BOD+∠AON=60°?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.
答案
(1) $∠ BOD-∠ AON=15°$. 理由如下:因为$∠ AOB=45°$,$∠ COD=30°$,所以$∠ BOD-∠ AON=∠ AOB+∠ AOD - (∠ AOD + ∠ COD) = ∠ AOB - ∠ COD=15°$.
(2) 因为$∠ AOB=45°$,$∠ COD=30°$,所以当边$OB$旋转至射线$OM$上时,$t=180÷6=30$;当边$OA$旋转至射线$ON$上时,$t=45÷6=\frac{15}{2}$;当边$OB$与边$OD$重合时,$t=30÷(6-3)=10$. 若$∠ BOD+∠ AON=60°$,则分类讨论如下:① 当$0≤ t≤\frac{15}{2}$时,$∠ AON=(45-6t)°$,$∠ BON=6t°$,$∠ DON=(3t+30)°$,所以$∠ BOD=∠ DON-∠ BON=(30-3t)°$,所以$30-3t+(45-6t)=60$,解得$t=\frac{5}{3}$;② 当$\frac{15}{2}＜t＜10$时,$∠ AON=(6t-45)°$,$∠ BOD=(30-3t)°$,所以$30-3t+(6t-45)=60$,解得$t=25$,不合题意,舍去;③ 当$10≤ t≤30$时,$∠ AON=(6t-45)°$,$∠ BON=6t°$,$∠ DON=(3t+30)°$,所以$∠ BOD=∠ BON-∠ DON=(3t-30)°$,所以$3t-30+(6t-45)=60$,解得$t=15$. 综上所述,当$t=\frac{5}{3}$或$15$时,$∠ BOD+∠ AON=60°$.
(2) 因为$∠ AOB=45°$,$∠ COD=30°$,所以当边$OB$旋转至射线$OM$上时,$t=180÷6=30$;当边$OA$旋转至射线$ON$上时,$t=45÷6=\frac{15}{2}$;当边$OB$与边$OD$重合时,$t=30÷(6-3)=10$. 若$∠ BOD+∠ AON=60°$,则分类讨论如下:① 当$0≤ t≤\frac{15}{2}$时,$∠ AON=(45-6t)°$,$∠ BON=6t°$,$∠ DON=(3t+30)°$,所以$∠ BOD=∠ DON-∠ BON=(30-3t)°$,所以$30-3t+(45-6t)=60$,解得$t=\frac{5}{3}$;② 当$\frac{15}{2}＜t＜10$时,$∠ AON=(6t-45)°$,$∠ BOD=(30-3t)°$,所以$30-3t+(6t-45)=60$,解得$t=25$,不合题意,舍去;③ 当$10≤ t≤30$时,$∠ AON=(6t-45)°$,$∠ BON=6t°$,$∠ DON=(3t+30)°$,所以$∠ BOD=∠ BON-∠ DON=(3t-30)°$,所以$3t-30+(6t-45)=60$,解得$t=15$. 综上所述,当$t=\frac{5}{3}$或$15$时,$∠ BOD+∠ AON=60°$.
