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5. 新趋势 推导探究 如图，点C在线段AB上，$AC=6\ \mathrm{cm}$，$CB=4\ \mathrm{cm}$. 点M以1 cm/s的速度从点A沿线段AC向点C运动，同时点N以2 cm/s的速度从点C出发，在线段CB上做往返运动（即沿$C→B→C→B→…$运动）. 当点M运动到点C时，点M，N都停止运动，设点M的运动时间为$t\ \mathrm{s}$.
(1) 当$t=1$时，求$MN$的长；
(2) 当$t$为何值时，$C$为线段$MN$的中点？
(3) 若$P$是线段$CN$的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使$PM$的长保持不变？若存在，请求出$PM$的长；若不存在，请说明理由.
(1) 当$t=1$时，求$MN$的长；
(2) 当$t$为何值时，$C$为线段$MN$的中点？
(3) 若$P$是线段$CN$的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使$PM$的长保持不变？若存在，请求出$PM$的长；若不存在，请说明理由.
答案
(1) 当$t=1$时,$AM=1\ \mathrm{cm}$,$CN=2\ \mathrm{cm}$. 因为$AC=6\ \mathrm{cm}$,所以$MN=MC+CN=AC-AM+CN=7\ \mathrm{cm}$.
(2) 由题意,得$AM=t\ \mathrm{cm}$,则$MC=(6-t)\ \mathrm{cm}$. $6÷1=6(\mathrm{s})$,$4÷2=2(\mathrm{s})$. 因为点$M$运动到点$C$时,点$M,N$都停止运动,所以$0＜t≤6$. 因为$C$为线段$MN$的中点,所以$MC=CN$. 分类讨论如下:① 当$0＜t≤2$时,点$N$从点$C$向点$B$运动,$CN=2t\ \mathrm{cm}$,则$6-t=2t$,解得$t=2$;② 当$2＜t≤4$时,点$N$从点$B$向点$C$运动,$BN=(2t-4)\ \mathrm{cm}$,所以$CN=4-(2t-4)=(8-2t)\ \mathrm{cm}$,则$6-t=8-2t$,解得$t=2$(舍去);③ 当$4＜t≤6$时,点$N$从点$C$向点$B$运动,$CN=(2t-8)\ \mathrm{cm}$,则$6-t=2t-8$,解得$t=\frac{14}{3}$. 综上所述,当$t=2$或$\frac{14}{3}$时,$C$为线段$MN$的中点.
(3) 分类讨论如下:① 当$0＜t≤2$时,点$N$从点$C$向点$B$运动,$CN=2t\ \mathrm{cm}$. 因为$P$是线段$CN$的中点,所以$CP=\frac{1}{2}CN=t\ \mathrm{cm}$,所以$PM=MC+CP=6-t+t=6\ \mathrm{cm}$,此时$PM$的长保持不变. ② 当$2＜t≤4$时,点$N$从点$B$向点$C$运动,$CN=(8-2t)\mathrm{cm}$. 因为$P$是线段$CN$的中点,所以$CP=\frac{1}{2}CN=(4-t)\mathrm{cm}$,所以$PM=MC+CP=6-t+(4-t)=(10-2t)\mathrm{cm}$,此时$PM$的长变化. ③ 当$4＜t≤6$时,点$N$从点$C$向点$B$运动,$CN=(2t-8)\mathrm{cm}$. 因为$P$是线段$CN$的中点,所以$CP=\frac{1}{2}CN=(t-4)\mathrm{cm}$,所以$PM=MC+CP=6-t+(t-4)=2\ \mathrm{cm}$,此时$PM$的长保持不变. 综上所述,当$0＜t≤2$时,$PM$的长保持不变,为$6\ \mathrm{cm}$;当$4＜t≤6$时,$PM$的长保持不变,为$2\ \mathrm{cm}$.
(2) 由题意,得$AM=t\ \mathrm{cm}$,则$MC=(6-t)\ \mathrm{cm}$. $6÷1=6(\mathrm{s})$,$4÷2=2(\mathrm{s})$. 因为点$M$运动到点$C$时,点$M,N$都停止运动,所以$0＜t≤6$. 因为$C$为线段$MN$的中点,所以$MC=CN$. 分类讨论如下:① 当$0＜t≤2$时,点$N$从点$C$向点$B$运动,$CN=2t\ \mathrm{cm}$,则$6-t=2t$,解得$t=2$;② 当$2＜t≤4$时,点$N$从点$B$向点$C$运动,$BN=(2t-4)\ \mathrm{cm}$,所以$CN=4-(2t-4)=(8-2t)\ \mathrm{cm}$,则$6-t=8-2t$,解得$t=2$(舍去);③ 当$4＜t≤6$时,点$N$从点$C$向点$B$运动,$CN=(2t-8)\ \mathrm{cm}$,则$6-t=2t-8$,解得$t=\frac{14}{3}$. 综上所述,当$t=2$或$\frac{14}{3}$时,$C$为线段$MN$的中点.
(3) 分类讨论如下:① 当$0＜t≤2$时,点$N$从点$C$向点$B$运动,$CN=2t\ \mathrm{cm}$. 因为$P$是线段$CN$的中点,所以$CP=\frac{1}{2}CN=t\ \mathrm{cm}$,所以$PM=MC+CP=6-t+t=6\ \mathrm{cm}$,此时$PM$的长保持不变. ② 当$2＜t≤4$时,点$N$从点$B$向点$C$运动,$CN=(8-2t)\mathrm{cm}$. 因为$P$是线段$CN$的中点,所以$CP=\frac{1}{2}CN=(4-t)\mathrm{cm}$,所以$PM=MC+CP=6-t+(4-t)=(10-2t)\mathrm{cm}$,此时$PM$的长变化. ③ 当$4＜t≤6$时,点$N$从点$C$向点$B$运动,$CN=(2t-8)\mathrm{cm}$. 因为$P$是线段$CN$的中点,所以$CP=\frac{1}{2}CN=(t-4)\mathrm{cm}$,所以$PM=MC+CP=6-t+(t-4)=2\ \mathrm{cm}$,此时$PM$的长保持不变. 综上所述,当$0＜t≤2$时,$PM$的长保持不变,为$6\ \mathrm{cm}$;当$4＜t≤6$时,$PM$的长保持不变,为$2\ \mathrm{cm}$.
