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7. 随着智能手机的普及,网购已经成为人们的一种生活方式,快递业也随之发展壮大.某快递公司每件普通物品的快递收费标准如表:
例如:寄往市内一件1.8千克的物品,运费总额为$10+3×(0.5+0.5)=13$(元).寄往市外一件3.4千克的物品,运费总额为$12+8×(2+0.5)=32$(元).
(1)小华同时寄往市内一件3千克的物品和市外一件3.9千克的物品,各需付运费多少元?
(2)小彤同时寄往市内和市外一件b千克的物品,已知b超过2,且b的整数部分是m,小数部分小于0.5,请用含字母的代数式表示市外与市内这两笔运费的差.
(3)某日小华和小彤同时在该快递公司寄物品,小华寄往市外,小彤寄往市内,小彤所寄物品的质量不是整数,小华的运费比小彤的运费多57元,物品的质量比小彤多2.5千克,则小华和小彤共需付运费多少元?
例如:寄往市内一件1.8千克的物品,运费总额为$10+3×(0.5+0.5)=13$(元).寄往市外一件3.4千克的物品,运费总额为$12+8×(2+0.5)=32$(元).
(1)小华同时寄往市内一件3千克的物品和市外一件3.9千克的物品,各需付运费多少元?
(2)小彤同时寄往市内和市外一件b千克的物品,已知b超过2,且b的整数部分是m,小数部分小于0.5,请用含字母的代数式表示市外与市内这两笔运费的差.
(3)某日小华和小彤同时在该快递公司寄物品,小华寄往市外,小彤寄往市内,小彤所寄物品的质量不是整数,小华的运费比小彤的运费多57元,物品的质量比小彤多2.5千克,则小华和小彤共需付运费多少元?
答案
7. (1)根据题意得寄往市内一件3千克的物品需付运费$10+3×2=16$(元);寄往市外一件3.9千克的物品需付运费$12+8×(2+0.5+0.5)=36$(元).答:各需付运费16元,36元.
(2)根据题意得寄往市内需付运费$10+3(m-1+0.5)=(3m+8.5)$元,寄往市外需付运费$12+8(m-1+0.5)=(8m+8)$元,所以$8m+8-(3m+8.5)=(5m-0.5)$元.
(3)设小彤所寄物品的质量为$(x+a)$(x为正整数,a为小数部分)千克,则小华所寄物品的质量为$(x+a+2.5)$千克,
①当$0＜a≤0.5$时,小彤的运费为$10+3(x-1)+0.5×3=(3x+8.5)$元,小华的运费为$12+8(x-1)+3×8=(8x+28)$元,根据题意得$8x+28-(3x+8.5)=57$,解得$x=7.5$(不符合题意,舍去);
②当$0.5＜a＜1$时,小彤的运费为$10+3(x-1)+1×3=(3x+10)$元,小华的运费为$12+8(x-1)+3.5×8=(8x+32)$元,根据题意得$8x+32-(3x+10)=57$,解得$x=7$,所以$3x+10+8x+32=3×7+10+8×7+32=119$(元).答:小华和小彤共需付运费119元.
(2)根据题意得寄往市内需付运费$10+3(m-1+0.5)=(3m+8.5)$元,寄往市外需付运费$12+8(m-1+0.5)=(8m+8)$元,所以$8m+8-(3m+8.5)=(5m-0.5)$元.
(3)设小彤所寄物品的质量为$(x+a)$(x为正整数,a为小数部分)千克,则小华所寄物品的质量为$(x+a+2.5)$千克,
①当$0＜a≤0.5$时,小彤的运费为$10+3(x-1)+0.5×3=(3x+8.5)$元,小华的运费为$12+8(x-1)+3×8=(8x+28)$元,根据题意得$8x+28-(3x+8.5)=57$,解得$x=7.5$(不符合题意,舍去);
②当$0.5＜a＜1$时,小彤的运费为$10+3(x-1)+1×3=(3x+10)$元,小华的运费为$12+8(x-1)+3.5×8=(8x+32)$元,根据题意得$8x+32-(3x+10)=57$,解得$x=7$,所以$3x+10+8x+32=3×7+10+8×7+32=119$(元).答:小华和小彤共需付运费119元.
解析
【分析】
（1）第一问先明确运费计算规则：首重1千克收费固定，超出1千克的部分为续重，续重以0.5千克为单位，不足0.5千克按0.5千克计算。分别计算两件物品的续重重量，再代入“运费=首重价格+续重×续重单价”即可求解。
（2）第二问已知b的整数部分为m，小数部分小于0.5，可知b超出1千克的部分按$(m-1+0.5)$千克计算续重，分别表示出市内、市外的运费后作差化简即可。
（3）第三问需设小彤物品质量的整数部分为x，小数部分为a，分两种情况讨论：①$0＜a≤0.5$；②$0.5＜a＜1$，分别表示出两人的运费，根据“小华运费比小彤多57元”列方程求解，舍去不符合x为正整数的解，再计算总运费即可。
【解析】
(1) 寄往市内3千克的物品：首重1千克收费10元，续重为$3-1=2$千克，
运费为：$10 + 3×2 = 16$（元）；
寄往市外3.9千克的物品：首重1千克收费12元，超出1千克的部分为$3.9-1=2.9$千克，按3千克计算续重，
运费为：$12 + 8×3 = 36$（元）。
(2) 由题意知，b的整数部分是m，小数部分小于0.5，故续重按$(m-1+0.5)$千克计算：
寄往市内的运费：$10 + 3(m-1+0.5) = 3m + 8.5$（元），
寄往市外的运费：$12 + 8(m-1+0.5) = 8m + 8$（元），
两笔运费的差为：$(8m + 8) - (3m + 8.5) = 5m - 0.5$（元）。
(3) 设小彤所寄物品的质量为$(x+a)$千克（x为正整数，a为小数部分，$0＜a＜1$），则小华所寄物品的质量为$(x+a+2.5)$千克：
① 当$0＜a≤0.5$时：
小彤的运费：$10 + 3(x-1 + 0.5) = 3x + 8.5$（元），
小华的运费：$12 + 8(x+2) = 8x + 28$（元），
由题意得：$8x + 28 - (3x + 8.5) = 57$，解得$x=7.5$，不符合x为正整数，舍去；
② 当$0.5＜a＜1$时：
小彤的运费：$10 + 3(x-1 +1) = 3x +10$（元），
小华的运费：$12 + 8(x+2.5) = 8x +32$（元），
由题意得：$8x +32 - (3x +10) =57$，解得$x=7$，符合题意。
总运费为：$(3×7 +10) + (8×7 +32) = 119$（元）。
【答案】
(1) 寄往市内需付运费16元，寄往市外需付运费36元；
(2) 市外与市内两笔运费的差为$\boldsymbol{(5m - 0.5)}$元；
(3) 小华和小彤共需付运费119元。
【知识点】
分段计费问题；列代数式；一元一次方程的应用
【点评】
本题结合生活中快递计费的实际场景命题，解题核心是准确理解续重的取整规则，第三问需要对物品质量的小数部分分类讨论，既考查了方程思想的应用，也对分类讨论的逻辑思维能力有一定要求，解题时需仔细审题，避免因漏看错看计费规则出错。
【难度系数】
0.5
（1）第一问先明确运费计算规则：首重1千克收费固定，超出1千克的部分为续重，续重以0.5千克为单位，不足0.5千克按0.5千克计算。分别计算两件物品的续重重量，再代入“运费=首重价格+续重×续重单价”即可求解。
（2）第二问已知b的整数部分为m，小数部分小于0.5，可知b超出1千克的部分按$(m-1+0.5)$千克计算续重，分别表示出市内、市外的运费后作差化简即可。
（3）第三问需设小彤物品质量的整数部分为x，小数部分为a，分两种情况讨论：①$0＜a≤0.5$；②$0.5＜a＜1$，分别表示出两人的运费，根据“小华运费比小彤多57元”列方程求解，舍去不符合x为正整数的解，再计算总运费即可。
【解析】
(1) 寄往市内3千克的物品：首重1千克收费10元，续重为$3-1=2$千克，
运费为：$10 + 3×2 = 16$（元）；
寄往市外3.9千克的物品：首重1千克收费12元，超出1千克的部分为$3.9-1=2.9$千克，按3千克计算续重，
运费为：$12 + 8×3 = 36$（元）。
(2) 由题意知，b的整数部分是m，小数部分小于0.5，故续重按$(m-1+0.5)$千克计算：
寄往市内的运费：$10 + 3(m-1+0.5) = 3m + 8.5$（元），
寄往市外的运费：$12 + 8(m-1+0.5) = 8m + 8$（元），
两笔运费的差为：$(8m + 8) - (3m + 8.5) = 5m - 0.5$（元）。
(3) 设小彤所寄物品的质量为$(x+a)$千克（x为正整数，a为小数部分，$0＜a＜1$），则小华所寄物品的质量为$(x+a+2.5)$千克：
① 当$0＜a≤0.5$时：
小彤的运费：$10 + 3(x-1 + 0.5) = 3x + 8.5$（元），
小华的运费：$12 + 8(x+2) = 8x + 28$（元），
由题意得：$8x + 28 - (3x + 8.5) = 57$，解得$x=7.5$，不符合x为正整数，舍去；
② 当$0.5＜a＜1$时：
小彤的运费：$10 + 3(x-1 +1) = 3x +10$（元），
小华的运费：$12 + 8(x+2.5) = 8x +32$（元），
由题意得：$8x +32 - (3x +10) =57$，解得$x=7$，符合题意。
总运费为：$(3×7 +10) + (8×7 +32) = 119$（元）。
【答案】
(1) 寄往市内需付运费16元，寄往市外需付运费36元；
(2) 市外与市内两笔运费的差为$\boldsymbol{(5m - 0.5)}$元；
(3) 小华和小彤共需付运费119元。
【知识点】
分段计费问题；列代数式；一元一次方程的应用
【点评】
本题结合生活中快递计费的实际场景命题，解题核心是准确理解续重的取整规则，第三问需要对物品质量的小数部分分类讨论，既考查了方程思想的应用，也对分类讨论的逻辑思维能力有一定要求，解题时需仔细审题，避免因漏看错看计费规则出错。
【难度系数】
0.5
