16. 如图，菱形ABCD，AB=4，∠A=60°。F，G分别为AB，AD边上的动点，连结FG，将菱形沿FG翻折，点A恰好落在CD边上的点E处。当BF长度最大时，DE的长为________。

16.2√3−2 解析:当BF长度最大时,AF长度最短,由折叠知,EF=AF,即当EF⊥AB时EF最短。如图,设DE=x,过点D作DH⊥EG于点H,则∠FEG=∠A=60°,∠DEG=30°,在菱形ABCD中,AB//CD,所以∠ADC=180−∠A=180°−60°=120°。所以∠DGE=30°,所以DG=DE=x,所以DH=1/2 DE=1/2 x,HE=HG=√3 DH=√3/2 x,所以GE=GH+HE=√3 x,由翻折知AG=GE=√3 x,因为AG+DG=4,即√3 x+x=4,所以x=2√3−2,故答案为:2√3−2。

三、解答题(本大题共8小题,第17、18、19、20、21题各8分,第22、23题各10分,第24题12分,共72分)

17. 解：
(1) 原式$=2\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{7\sqrt{3}}{3}$
(2) 因式分解得：$(x-5)(x+1)=0$
$x-5=0$或$x+1=0$
解得$x_1=5$，$x_2=-1$
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18. 证明：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形
∴ $AB// CD$，$AB=CD$
∵ $E$，$F$分别是$AB$，$CD$的中点
∴ $BE=\frac{1}{2}AB$，$DF=\frac{1}{2}CD$
∴ $BE=DF$，且$BE// DF$
∴ 四边形$DEBF$是平行四边形
∴ $DE=BF$
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19. 解：
(1) $a=4$，$b=9$
(2) 将20个成绩从小到大排列，第10、11个数据分别为87、88
∴ 中位数为$\frac{87+88}{2}=87.5$
(3) $200×\frac{7}{20}=70$
答：估计本次竞赛成绩不低于90分的学生有70人。
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20. 解：
(1) 设反比例函数表达式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$
将$x=2$，$y=6$代入得：$6=\frac{k}{2}$，解得$k=12$
∴ 反比例函数表达式为$y=\frac{12}{x}$
(2) ∵$k=12＞0$，∴当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小
当$x=3$时，$y=\frac{12}{3}=4$
∴当$x≥3$时，$0＜y≤4$
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21. 解：
(1) 构造底为3、对应高为3的平行四边形，顶点均在格点上，满足面积为9即可，图形略；
(2) 构造对角线长分别为6和8的菱形，边长为5，周长为20（整数），顶点均在格点上，图形略。
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22. 解：
(1) 设$y=kx+b(k≠0)$，将$x=12,y=56$和$x=15,y=50$代入得：
$\begin{cases}12k+b=56 \\15k+b=50 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-2 \\b=80 \end{cases}$
∴ $y$关于$x$的函数表达式为$y=-2x+80$
(2) 由题意得：$(x-10)(-2x+80)=400$
整理得：$x^2-50x+600=0$
解得$x_1=20$，$x_2=30$
∵ 销售单价不得高于进价的2倍，即$x≤20$
∴ $x=30$不符合题意，舍去
答：该月笔记本的销售单价为20元。
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23. 证明与解：
(1) ∵ $DF⊥ AE$，$FG=AF$
∴ $DF$垂直平分线段$AG$
∴ $DG=AD$，$∠ DAG=∠ DGA$
∵ 四边形$ABCD$是正方形
∴ $AD=AB$，$∠ DAB=90°$
∴ $∠ ADF+∠ DAF=90°$，$∠ BAE+∠ DAF=90°$
∴ $∠ ADF=∠ BAE$
又∵ $∠ AFD=∠ EBA=90°$，$AD=AB$
∴ $△ ADF ∽ △ BAE$，结合$F$为$AG$中点可得$AG=2AF$，由相似比例得$DF=2AF$
∴ $AG=DF$
(2) 设$A(0,0)$，$B(2,0)$，$C(2,2)$，$D(0,2)$，$E$为$BC$中点则$E(2,1)$
直线$AE$解析式为$y=\frac{1}{2}x$，直线$DF$解析式为$y=-2x+2$
联立解得$F(\frac{4}{5},\frac{2}{5})$，由$F$为$AG$中点得$G(\frac{8}{5},\frac{4}{5})$
∴ $DG=\sqrt{(\frac{8}{5}-0)^2+(\frac{4}{5}-2)^2}=2$
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24. 解与证明：
(1) ②④
(2) 证明：∵ $AB=AD$，即四边形$ABCD$有一组邻边相等，且已知对角线$AC⊥ BD$
∴ 满足准等邻边四边形的定义，四边形$ABCD$是准等邻边四边形
(3) 连接$AC$，∵ $AB=BC=4$，$∠ ABC=60°$
∴ $△ ABC$是等边三角形，$AC=4$
∵ 对角线互相垂直，由勾股定理得$AD^2+BC^2=AB^2+CD^2$
代入数值解得$AD=5$
答：$AD$的长为5。

17. 计算：
(1) $\sqrt{12} - 6\sqrt{3} + \sqrt{27}$；
(2) $(3+\sqrt{6})(3-\sqrt{6})$。

17.(1)$-\sqrt{3}$ (2)3

18.解方程：
(1)$x^2 - 2x = 0$；
(2)$x^2 - 4x = 12$。

18.(1)$x_1=0,x_2=2$ (2)$x_1=6,x_2=-2$