登录
1[中]如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8.若∠BPC=$\frac{1}{2}$∠BAC,则tan∠BPC=. 
答案
$\boldsymbol{\frac{4}{3}}$
解析
【分析】
首先根据已知条件可知△ABC是等腰三角形，题目给出∠BPC与∠BAC的倍分关系，我们可以利用等腰三角形三线合一的性质，作底边BC的高，将∠BAC平分为两个相等的角，此时平分得到的角大小与∠BPC相等，再通过勾股定理计算出高的长度，最后在直角三角形中求解正切值即可。
【解析】
过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB=AC=5，AD⊥BC，
∴$BD=\frac{1}{2}BC=4$，$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC$（等腰三角形三线合一），
在Rt△ABD中，由勾股定理可得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，
∵$∠ BPC=\frac{1}{2}∠ BAC$，
∴$∠ BPC=∠ BAD$，
∴$tan∠ BPC=tan∠ BAD=\frac{BD}{AD}=\frac{4}{3}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{4}{3}}$
【知识点】
等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义
【点评】
本题综合考查了等腰三角形、勾股定理和锐角三角函数的相关知识，解题的核心是利用角的倍分关系将所求角转化为直角三角形的内角，是锐角三角函数应用的典型习题，能有效考查学生的转化思维和计算能力。
【难度系数】
0.6
首先根据已知条件可知△ABC是等腰三角形，题目给出∠BPC与∠BAC的倍分关系，我们可以利用等腰三角形三线合一的性质，作底边BC的高，将∠BAC平分为两个相等的角，此时平分得到的角大小与∠BPC相等，再通过勾股定理计算出高的长度，最后在直角三角形中求解正切值即可。
【解析】
过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB=AC=5，AD⊥BC，
∴$BD=\frac{1}{2}BC=4$，$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC$（等腰三角形三线合一），
在Rt△ABD中，由勾股定理可得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，
∵$∠ BPC=\frac{1}{2}∠ BAC$，
∴$∠ BPC=∠ BAD$，
∴$tan∠ BPC=tan∠ BAD=\frac{BD}{AD}=\frac{4}{3}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{4}{3}}$
【知识点】
等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义
【点评】
本题综合考查了等腰三角形、勾股定理和锐角三角函数的相关知识，解题的核心是利用角的倍分关系将所求角转化为直角三角形的内角，是锐角三角函数应用的典型习题，能有效考查学生的转化思维和计算能力。
【难度系数】
0.6
2[2026上海浦东新区校级期中，中]如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，将△ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，EF为折痕。若AE=3CE，sin∠BFD=。
答案
$\boldsymbol{\frac{1}{3}}$
解析
【分析】
解题时先结合折叠性质得到对应边、对应角相等，再利用等腰直角三角形的内角特征推导角度关系，将所求角转化为直角三角形内的角，最后结合正弦定义计算即可。思路如下：1. 根据折叠性质得AE=DE，∠EDF=∠A=45°；2. 结合平角定义和三角形内角和，推导得∠CDE=∠BFD，将求sin∠BFD转化为求sin∠CDE；3. 设参数表示CE、DE的长度，在Rt△CDE中直接计算正弦值。
【解析】
设$CE=x$，
∵ $AE=3CE$，
∴ $AE=3x$，则$AC=CE+AE=4x$。
由折叠的性质可得：$DE=AE=3x$，$∠ EDF=∠ A$。
∵ 在Rt△ABC中，$∠ ACB=90°$，$AC=BC$，
∴ $∠ A=∠ B=45°$，
∴ $∠ EDF=45°$，
∴ $∠ CDE + ∠ BDF = 180° - ∠ EDF = 180° - 45° = 135°$。
在△BDF中，$∠ BDF + ∠ BFD = 180° - ∠ B = 180° - 45° = 135°$，
∴ $∠ CDE=∠ BFD$（同角的补角相等）。
在Rt△CDE中，$∠ C=90°$，
∴ $\sin∠ CDE=\frac{CE}{DE}=\frac{x}{3x}=\frac{1}{3}$，
∴ $\sin∠ BFD=\sin∠ CDE=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{1}{3}}$
【知识点】
折叠的性质；等腰直角三角形的性质；锐角三角函数的定义
【点评】
本题通过角度转化将待求三角函数值的角转化为直角三角形中的内角，不需要计算复杂边长即可求解，是求锐角三角函数值的常用技巧，解题时要注意挖掘折叠前后的等量关系。
【难度系数】
0.6
解题时先结合折叠性质得到对应边、对应角相等，再利用等腰直角三角形的内角特征推导角度关系，将所求角转化为直角三角形内的角，最后结合正弦定义计算即可。思路如下：1. 根据折叠性质得AE=DE，∠EDF=∠A=45°；2. 结合平角定义和三角形内角和，推导得∠CDE=∠BFD，将求sin∠BFD转化为求sin∠CDE；3. 设参数表示CE、DE的长度，在Rt△CDE中直接计算正弦值。
【解析】
设$CE=x$，
∵ $AE=3CE$，
∴ $AE=3x$，则$AC=CE+AE=4x$。
由折叠的性质可得：$DE=AE=3x$，$∠ EDF=∠ A$。
∵ 在Rt△ABC中，$∠ ACB=90°$，$AC=BC$，
∴ $∠ A=∠ B=45°$，
∴ $∠ EDF=45°$，
∴ $∠ CDE + ∠ BDF = 180° - ∠ EDF = 180° - 45° = 135°$。
在△BDF中，$∠ BDF + ∠ BFD = 180° - ∠ B = 180° - 45° = 135°$，
∴ $∠ CDE=∠ BFD$（同角的补角相等）。
在Rt△CDE中，$∠ C=90°$，
∴ $\sin∠ CDE=\frac{CE}{DE}=\frac{x}{3x}=\frac{1}{3}$，
∴ $\sin∠ BFD=\sin∠ CDE=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{1}{3}}$
【知识点】
折叠的性质；等腰直角三角形的性质；锐角三角函数的定义
【点评】
本题通过角度转化将待求三角函数值的角转化为直角三角形中的内角，不需要计算复杂边长即可求解，是求锐角三角函数值的常用技巧，解题时要注意挖掘折叠前后的等量关系。
【难度系数】
0.6
3[2025四川成都期中,中]如图,在正方形ABCD外作等腰直角三角形CDE,DE=CE,连接BE,则$\tan∠ EBC=$.
答案
3. $\frac{1}{3}$ 【解析】过点E作EF⊥BC，交BC的延长线于F，如图.设DE=CE=a.
∵△CDE为等腰直角三角形，
∴CD=$\sqrt{2}$CE=$\sqrt{2}$a，∠DCE=45°.
∵四边形ABCD为正方形，
∴CB=CD=$\sqrt{2}$a，∠BCD=90°，
∴∠ECF=45°，
∴△CEF为等腰直角三角形，
∴CF=EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a.在Rt△BEF中，tan∠EBF=$\frac{EF}{BF}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}a}{\sqrt{2}a+\frac{\sqrt{2}}{2}a}$=$\frac{1}{3}$，即tan∠EBC=$\frac{1}{3}$.故答案为$\frac{1}{3}$.
解析
【分析】
要求$\tan∠EBC$，根据正切的定义，需要将$∠EBC$放在直角三角形中计算，因此考虑过点$E$作$EF⊥BC$，交$BC$的延长线于$F$，构造出含$∠EBC$的$\mathrm{Rt}△ BEF$，此时$\tan∠EBC=\frac{EF}{BF}$。接下来通过设参数的方法，结合等腰直角三角形$CDE$和正方形$ABCD$的性质，分别求出$EF$和$BF$的长度，计算二者的比值即可得到结果。
【解析】
过点$E$作$EF⊥BC$，交$BC$的延长线于$F$，如图。
设$DE=CE=a$.
∵$△ CDE$为等腰直角三角形，
∴$CD=\sqrt{2}CE=\sqrt{2}a$，$∠DCE=45°$.
∵四边形$ABCD$为正方形，
∴$CB=CD=\sqrt{2}a$，$∠BCD=90°$，
∴$∠ECF=180°-∠BCD-∠DCE=180°-90°-45°=45°$，
∴$△ CEF$为等腰直角三角形，
∴$CF=EF=\frac{\sqrt{2}}{2}CE=\frac{\sqrt{2}}{2}a$.
在$\mathrm{Rt}△ BEF$中，$BF=BC+CF=\sqrt{2}a+\frac{\sqrt{2}}{2}a=\frac{3\sqrt{2}}{2}a$，
$\tan∠EBF=\frac{EF}{BF}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}a}{\frac{3\sqrt{2}}{2}a}=\frac{1}{3}$，即$\tan∠EBC=\frac{1}{3}$.
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
正方形的性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的定义
【点评】
本题是求锐角三角函数值的典型题，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形，结合特殊几何图形的性质，用设参数法消去参数得到边长的比值，考查了数形结合思想和基本运算能力。
【难度系数】
0.6
要求$\tan∠EBC$，根据正切的定义，需要将$∠EBC$放在直角三角形中计算，因此考虑过点$E$作$EF⊥BC$，交$BC$的延长线于$F$，构造出含$∠EBC$的$\mathrm{Rt}△ BEF$，此时$\tan∠EBC=\frac{EF}{BF}$。接下来通过设参数的方法，结合等腰直角三角形$CDE$和正方形$ABCD$的性质，分别求出$EF$和$BF$的长度，计算二者的比值即可得到结果。
【解析】
过点$E$作$EF⊥BC$，交$BC$的延长线于$F$，如图。
设$DE=CE=a$.
∵$△ CDE$为等腰直角三角形，
∴$CD=\sqrt{2}CE=\sqrt{2}a$，$∠DCE=45°$.
∵四边形$ABCD$为正方形，
∴$CB=CD=\sqrt{2}a$，$∠BCD=90°$，
∴$∠ECF=180°-∠BCD-∠DCE=180°-90°-45°=45°$，
∴$△ CEF$为等腰直角三角形，
∴$CF=EF=\frac{\sqrt{2}}{2}CE=\frac{\sqrt{2}}{2}a$.
在$\mathrm{Rt}△ BEF$中，$BF=BC+CF=\sqrt{2}a+\frac{\sqrt{2}}{2}a=\frac{3\sqrt{2}}{2}a$，
$\tan∠EBF=\frac{EF}{BF}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}a}{\frac{3\sqrt{2}}{2}a}=\frac{1}{3}$，即$\tan∠EBC=\frac{1}{3}$.
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
正方形的性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的定义
【点评】
本题是求锐角三角函数值的典型题，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形，结合特殊几何图形的性质，用设参数法消去参数得到边长的比值，考查了数形结合思想和基本运算能力。
【难度系数】
0.6
4[2026湖南邵阳期中，中]如图，在Rt△ABC中，AC=BC=2，点D在AB的延长线上，且CD=AB，则BD的长是
$\sqrt{6}-\sqrt{2}$
。答案
4. $\sqrt{6}-\sqrt{2}$ 【解析】过点 $C$ 作 $CH ⊥ AB$ 于点 $H$.
$\because AC=BC=2, ∠ ACB=90°, \therefore CH=AH=BH=\frac{1}{2} AB, AB = \sqrt{AC^2+BC^2} = \sqrt{2^2+2^2} = 2 \sqrt{2}$,
$\therefore CH=AH=BH=\sqrt{2}. \because CD=AB, \therefore CD=2\sqrt{2}$.
$\because ∠ CHD = 90°, \therefore$ 由勾股定理得 $DH = \sqrt{CD^2-CH^2} = \sqrt{(2\sqrt{2})^2-(\sqrt{2})^2} = \sqrt{6}, \therefore BD=DH-BH=\sqrt{6}-\sqrt{2}$. 故答案为$\sqrt{6}-\sqrt{2}$.
$\because AC=BC=2, ∠ ACB=90°, \therefore CH=AH=BH=\frac{1}{2} AB, AB = \sqrt{AC^2+BC^2} = \sqrt{2^2+2^2} = 2 \sqrt{2}$,
$\therefore CH=AH=BH=\sqrt{2}. \because CD=AB, \therefore CD=2\sqrt{2}$.
$\because ∠ CHD = 90°, \therefore$ 由勾股定理得 $DH = \sqrt{CD^2-CH^2} = \sqrt{(2\sqrt{2})^2-(\sqrt{2})^2} = \sqrt{6}, \therefore BD=DH-BH=\sqrt{6}-\sqrt{2}$. 故答案为$\sqrt{6}-\sqrt{2}$.
解析
【分析】
本题是等腰直角三角形结合勾股定理的几何计算题，解题思路如下：首先已知Rt△ABC为等腰直角三角形，AC=BC=2，可先利用勾股定理求出斜边AB的长度，即可得到CD的长度；直接求BD缺少条件，因此考虑过点C作AB的垂线CH，利用等腰直角三角形“三线合一”的性质，可得CH是斜边AB的中线，从而求出CH、BH的长度；接下来在Rt△CHD中，已知CD和CH的长度，用勾股定理求出DH的长度，最后通过BD=DH-BH即可算出结果。
【解析】
过点$C$作$CH ⊥ AB$于点$H$.
$\because AC=BC=2, ∠ ACB=90°$,
$\therefore AB = \sqrt{AC^2+BC^2} = \sqrt{2^2+2^2} = 2 \sqrt{2}$，
由等腰直角三角形的性质可得$CH=AH=BH=\frac{1}{2} AB=\sqrt{2}$，
$\because CD=AB, \therefore CD=2\sqrt{2}$.
$\because ∠ CHD = 90°, \therefore$在$Rt△ CHD$中由勾股定理得：
$DH = \sqrt{CD^2-CH^2} = \sqrt{(2\sqrt{2})^2-(\sqrt{2})^2} = \sqrt{6}$,
$\because$点D在AB的延长线上，$\therefore BD=DH-BH=\sqrt{6}-\sqrt{2}$.
【答案】
$\sqrt{6}-\sqrt{2}$
【知识点】
1.等腰直角三角形性质 2.勾股定理 3.直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于中等难度的几何计算题，解题关键是通过作高构造新的直角三角形，将未知线段转化为可求线段的差，考查了对等腰直角三角形特殊性质和勾股定理的灵活应用能力。
【难度系数】
0.6
本题是等腰直角三角形结合勾股定理的几何计算题，解题思路如下：首先已知Rt△ABC为等腰直角三角形，AC=BC=2，可先利用勾股定理求出斜边AB的长度，即可得到CD的长度；直接求BD缺少条件，因此考虑过点C作AB的垂线CH，利用等腰直角三角形“三线合一”的性质，可得CH是斜边AB的中线，从而求出CH、BH的长度；接下来在Rt△CHD中，已知CD和CH的长度，用勾股定理求出DH的长度，最后通过BD=DH-BH即可算出结果。
【解析】
过点$C$作$CH ⊥ AB$于点$H$.
$\because AC=BC=2, ∠ ACB=90°$,
$\therefore AB = \sqrt{AC^2+BC^2} = \sqrt{2^2+2^2} = 2 \sqrt{2}$，
由等腰直角三角形的性质可得$CH=AH=BH=\frac{1}{2} AB=\sqrt{2}$，
$\because CD=AB, \therefore CD=2\sqrt{2}$.
$\because ∠ CHD = 90°, \therefore$在$Rt△ CHD$中由勾股定理得：
$DH = \sqrt{CD^2-CH^2} = \sqrt{(2\sqrt{2})^2-(\sqrt{2})^2} = \sqrt{6}$,
$\because$点D在AB的延长线上，$\therefore BD=DH-BH=\sqrt{6}-\sqrt{2}$.
【答案】
$\sqrt{6}-\sqrt{2}$
【知识点】
1.等腰直角三角形性质 2.勾股定理 3.直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于中等难度的几何计算题，解题关键是通过作高构造新的直角三角形，将未知线段转化为可求线段的差，考查了对等腰直角三角形特殊性质和勾股定理的灵活应用能力。
【难度系数】
0.6
5[2025 山东枣庄期末,中]在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,如果$\tan A = \dfrac{5}{12}$,那么$\cos A$的值等于.
答案
5. $\frac{12}{13}$ 【解析】
∵在△ABC中，∠C=90°，tanA=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{5}{12}$，
∴设AC=12k，BC=5k，则AB=$\sqrt{(12k)^{2}+(5k)^{2}}$=13k，
∴sinB=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{12k}{13k}$=$\frac{12}{13}$.故答案为$\frac{12}{13}$.
∵在△ABC中，∠C=90°，tanA=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{5}{12}$，
∴设AC=12k，BC=5k，则AB=$\sqrt{(12k)^{2}+(5k)^{2}}$=13k，
∴sinB=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{12k}{13k}$=$\frac{12}{13}$.故答案为$\frac{12}{13}$.
解析
【分析】
本题是直角三角形中已知锐角的正切值求余弦值的问题，解题思路如下：首先回忆锐角三角函数的定义，tanA是∠A的对边与邻边的比值，我们可以通过设参数的方式表示出两条直角边的长度，再利用勾股定理求出斜边的长度，最后根据余弦的定义（邻边与斜边的比值）代入计算即可，参数在计算过程中会约去，不影响最终结果。
【解析】
解：
∵在△ABC中，∠C=90°，$\tan A=\frac{∠A的对边}{∠A的邻边}=\frac{BC}{AC}=\frac{5}{12}$，
∴可设$BC=5k$，$AC=12k$（$k＞0$），
由勾股定理可得斜边$AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{(5k)^2+(12k)^2}=\sqrt{25k^2+144k^2}=\sqrt{169k^2}=13k$，
根据余弦的定义，$\cos A=\frac{∠A的邻边}{斜边}=\frac{AC}{AB}=\frac{12k}{13k}=\frac{12}{13}$。
【答案】
$\dfrac{12}{13}$
【知识点】
锐角三角函数的定义，勾股定理
【点评】
本题是锐角三角函数的基础题型，核心考查对三角函数定义的理解和勾股定理的应用，通过设参数的方法求解可以简化计算，避免因假设边长为具体数值带来的不便，是求解这类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.7
本题是直角三角形中已知锐角的正切值求余弦值的问题，解题思路如下：首先回忆锐角三角函数的定义，tanA是∠A的对边与邻边的比值，我们可以通过设参数的方式表示出两条直角边的长度，再利用勾股定理求出斜边的长度，最后根据余弦的定义（邻边与斜边的比值）代入计算即可，参数在计算过程中会约去，不影响最终结果。
【解析】
解：
∵在△ABC中，∠C=90°，$\tan A=\frac{∠A的对边}{∠A的邻边}=\frac{BC}{AC}=\frac{5}{12}$，
∴可设$BC=5k$，$AC=12k$（$k＞0$），
由勾股定理可得斜边$AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{(5k)^2+(12k)^2}=\sqrt{25k^2+144k^2}=\sqrt{169k^2}=13k$，
根据余弦的定义，$\cos A=\frac{∠A的邻边}{斜边}=\frac{AC}{AB}=\frac{12k}{13k}=\frac{12}{13}$。
【答案】
$\dfrac{12}{13}$
【知识点】
锐角三角函数的定义，勾股定理
【点评】
本题是锐角三角函数的基础题型，核心考查对三角函数定义的理解和勾股定理的应用，通过设参数的方法求解可以简化计算，避免因假设边长为具体数值带来的不便，是求解这类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.7
1 构造直角三角形求解 [中]如图,在$4×5$的网格中,每个小正方形的边长均为1.若$△ ABC$的顶点都在格点(小正方形的顶点)处,则$\cos A$的值为.
答案
$\boldsymbol{\frac{\sqrt{5}}{5}}$
解析
【分析】
要求$\cos A$的值，需结合锐角三角函数的定义，将$∠ A$放到直角三角形中计算邻边与斜边的比值。首先可通过割补法算出$△ ABC$的面积，再用勾股定理求出$AB$、$AC$的长度，利用面积法求出$AC$边上的高，进而在含$∠ A$的直角三角形中算出$∠ A$的邻边长，最终推导得到$\cos A$的值。
【解析】
1. 计算$△ ABC$的面积：
包含$△ ABC$的矩形长为5、宽为4，面积为$5×4=20$，减去周围三个直角三角形的面积：
左上角直角三角形面积：$\frac{1}{2}×1×3=\frac{3}{2}$；
右下角直角三角形面积：$\frac{1}{2}×4×4=8$；
左下角直角三角形面积：$\frac{1}{2}×5×1=\frac{5}{2}$；
因此$S_{△ ABC}=20-\frac{3}{2}-8-\frac{5}{2}=8$。
2. 用勾股定理求边长：
$AB=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，$AC=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$。
3. 构造直角三角形求线段长：
过点$B$作$BD⊥ AC$于点$D$，由三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BD$，代入得$8=\frac{1}{2}×4\sqrt{2}× BD$，解得$BD=2\sqrt{2}$。
在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{(\sqrt{10})^2-(2\sqrt{2})^2}=\sqrt{2}$。
4. 计算$\cos A$：
根据余弦定义，$\cos A=\frac{AD}{AB}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
勾股定理，锐角三角函数的定义，网格面积计算
【点评】
本题是网格中求锐角三角函数值的典型题，解题核心是通过构造直角三角形，结合割补法、面积法和勾股定理计算相关线段长度，再利用三角函数定义求解，考查了数形结合的解题思想。
【难度系数】
0.6
要求$\cos A$的值，需结合锐角三角函数的定义，将$∠ A$放到直角三角形中计算邻边与斜边的比值。首先可通过割补法算出$△ ABC$的面积，再用勾股定理求出$AB$、$AC$的长度，利用面积法求出$AC$边上的高，进而在含$∠ A$的直角三角形中算出$∠ A$的邻边长，最终推导得到$\cos A$的值。
【解析】
1. 计算$△ ABC$的面积：
包含$△ ABC$的矩形长为5、宽为4，面积为$5×4=20$，减去周围三个直角三角形的面积：
左上角直角三角形面积：$\frac{1}{2}×1×3=\frac{3}{2}$；
右下角直角三角形面积：$\frac{1}{2}×4×4=8$；
左下角直角三角形面积：$\frac{1}{2}×5×1=\frac{5}{2}$；
因此$S_{△ ABC}=20-\frac{3}{2}-8-\frac{5}{2}=8$。
2. 用勾股定理求边长：
$AB=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，$AC=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$。
3. 构造直角三角形求线段长：
过点$B$作$BD⊥ AC$于点$D$，由三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BD$，代入得$8=\frac{1}{2}×4\sqrt{2}× BD$，解得$BD=2\sqrt{2}$。
在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{(\sqrt{10})^2-(2\sqrt{2})^2}=\sqrt{2}$。
4. 计算$\cos A$：
根据余弦定义，$\cos A=\frac{AD}{AB}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
勾股定理，锐角三角函数的定义，网格面积计算
【点评】
本题是网格中求锐角三角函数值的典型题，解题核心是通过构造直角三角形，结合割补法、面积法和勾股定理计算相关线段长度，再利用三角函数定义求解，考查了数形结合的解题思想。
【难度系数】
0.6
2 转移角后求解 [2025山东菏泽期中,中]如图,点A,B,C,D均在正方形网格线的交点处,AD与BC相交于点O,每个小正方形的边长均为1,则tan∠COD的值为。
答案
2. 3 【解析】如图，连接AE，AB，ED.
∵AB//EC，AB=EC=2，
∴四边形AEBC是平行四边形，
∴AE//BC.
∵AD=$\sqrt{3^{2}+4^{2}}$=5，DE=5，
∴AD=DE=5，
∴∠DAE=∠DEA.
∵AE//BC，
∴∠DAE=∠DOC，
∴∠DOC=∠DEA，
∴tan∠COD=tan∠DEA=$\frac{3}{1}$=3，故答案为3.
解析
【分析】
要求$\tan∠ COD$的值，直接观察$∠ COD$所在区域没有现成的直角三角形，无法直接计算其正切值，因此考虑用转移角的方法求解：首先构造平行四边形，利用平行线的性质将$∠ COD$转化为与之相等的角，再结合网格特征，在直角三角形中计算转化后角的正切值即可。
【解析】
如图，连接AE，AB，ED。
∵$AB// EC$，且$AB=EC=2$，
∴四边形AEBC是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴$AE// BC$，
∴$∠ DAE=∠ COD$（两直线平行，同位角相等）。
由勾股定理可得$AD=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$，又$DE=5$，
∴$AD=DE$，$△ ADE$为等腰三角形，
∴$∠ DAE=∠ DEA$，
∴$∠ COD=∠ DEA$（等量代换）。
观察$∠ DEA$所在的直角三角形，其对边长为3，邻边长为1，
∴$\tan∠ COD=\tan∠ DEA=\frac{3}{1}=3$。
【答案】
3
【知识点】
平行四边形的判定与性质、锐角三角函数的定义、平行线的性质
【点评】
本题是网格中求解锐角三角函数的典型习题，核心考查转化思想，通过构造平行四边形将无法直接计算三角函数的角转移到直角三角形中，结合勾股定理、等腰三角形的性质即可完成计算，是对几何综合应用能力的基础锻炼。
【难度系数】
0.6
要求$\tan∠ COD$的值，直接观察$∠ COD$所在区域没有现成的直角三角形，无法直接计算其正切值，因此考虑用转移角的方法求解：首先构造平行四边形，利用平行线的性质将$∠ COD$转化为与之相等的角，再结合网格特征，在直角三角形中计算转化后角的正切值即可。
【解析】
如图，连接AE，AB，ED。
∵$AB// EC$，且$AB=EC=2$，
∴四边形AEBC是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴$AE// BC$，
∴$∠ DAE=∠ COD$（两直线平行，同位角相等）。
由勾股定理可得$AD=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$，又$DE=5$，
∴$AD=DE$，$△ ADE$为等腰三角形，
∴$∠ DAE=∠ DEA$，
∴$∠ COD=∠ DEA$（等量代换）。
观察$∠ DEA$所在的直角三角形，其对边长为3，邻边长为1，
∴$\tan∠ COD=\tan∠ DEA=\frac{3}{1}=3$。
【答案】
3
【知识点】
平行四边形的判定与性质、锐角三角函数的定义、平行线的性质
【点评】
本题是网格中求解锐角三角函数的典型习题，核心考查转化思想，通过构造平行四边形将无法直接计算三角函数的角转移到直角三角形中，结合勾股定理、等腰三角形的性质即可完成计算，是对几何综合应用能力的基础锻炼。
【难度系数】
0.6
3 等面积法求解 [2025广西贵港期末,中]如图，网格中小正方形的边长均为1，点A,B,O都在格点(小正方形的顶点)处，则$\tan∠ AOB$的值是
$\frac{1}{3}$
。答案
$\therefore \tan ∠ AOB=\frac{AC}{OC}=\frac{1}{3}$,故答案为$\frac{1}{3}$.
解析
【分析】
要求$\tan∠ AOB$，根据正切的定义，需要将$∠ AOB$置于直角三角形中，找到它的对边和邻边的长度。解题思路如下：首先过点A作$AC⊥ OB$于点C，得到含$∠ AOB$的直角三角形$Rt△ OAC$，此时$\tan∠ AOB=\frac{AC}{OC}$；接下来通过割补法求出$△ OAB$的面积，结合勾股定理算出$OB$的长度，用等面积法求出高$AC$；再用勾股定理求出$OA$的长度，在$Rt△ OAC$中用勾股定理算出$OC$的长度，最后计算对边和邻边的比值即可得到结果。
【解析】
解：过点A作$AC⊥ OB$于点C，设网格中小正方形的边长为1。
1. 求$△ OAB$的面积：
观察网格可知，A、B在同一水平线上，$AB=2$，点O到AB的竖直距离为2，因此
$S_{△ OAB}=\frac{1}{2} × AB × \mathrm{高}=\frac{1}{2} × 2 × 2=2$。
2. 求$OB$的长度：
由勾股定理得：$OB=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
3. 用等面积法求$AC$的长度：
三角形面积也可表示为$S_{△ OAB}=\frac{1}{2} × OB × AC$，代入数值：
$\frac{1}{2} × 2\sqrt{5} × AC=2$，解得$AC=\frac{2}{\sqrt{5}}$。
4. 求$OA$和$OC$的长度：
由勾股定理得$OA=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。
在$Rt△ OAC$中，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=\sqrt{8-\frac{4}{5}}=\sqrt{\frac{36}{5}}=\frac{6}{\sqrt{5}}$。
5. 计算$\tan∠ AOB$：
$\tan∠ AOB=\frac{AC}{OC}=\frac{\frac{2}{\sqrt{5}}}{\frac{6}{\sqrt{5}}}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
正切的定义，等面积法，勾股定理
【点评】
本题是网格中求解锐角三角函数的典型题型，解题核心是构造包含所求角的直角三角形，结合等面积法求边长，考查了学生对三角函数定义的理解和网格图形的计算能力，方法具有通用性。
【难度系数】
0.6
要求$\tan∠ AOB$，根据正切的定义，需要将$∠ AOB$置于直角三角形中，找到它的对边和邻边的长度。解题思路如下：首先过点A作$AC⊥ OB$于点C，得到含$∠ AOB$的直角三角形$Rt△ OAC$，此时$\tan∠ AOB=\frac{AC}{OC}$；接下来通过割补法求出$△ OAB$的面积，结合勾股定理算出$OB$的长度，用等面积法求出高$AC$；再用勾股定理求出$OA$的长度，在$Rt△ OAC$中用勾股定理算出$OC$的长度，最后计算对边和邻边的比值即可得到结果。
【解析】
解：过点A作$AC⊥ OB$于点C，设网格中小正方形的边长为1。
1. 求$△ OAB$的面积：
观察网格可知，A、B在同一水平线上，$AB=2$，点O到AB的竖直距离为2，因此
$S_{△ OAB}=\frac{1}{2} × AB × \mathrm{高}=\frac{1}{2} × 2 × 2=2$。
2. 求$OB$的长度：
由勾股定理得：$OB=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
3. 用等面积法求$AC$的长度：
三角形面积也可表示为$S_{△ OAB}=\frac{1}{2} × OB × AC$，代入数值：
$\frac{1}{2} × 2\sqrt{5} × AC=2$，解得$AC=\frac{2}{\sqrt{5}}$。
4. 求$OA$和$OC$的长度：
由勾股定理得$OA=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。
在$Rt△ OAC$中，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=\sqrt{8-\frac{4}{5}}=\sqrt{\frac{36}{5}}=\frac{6}{\sqrt{5}}$。
5. 计算$\tan∠ AOB$：
$\tan∠ AOB=\frac{AC}{OC}=\frac{\frac{2}{\sqrt{5}}}{\frac{6}{\sqrt{5}}}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
正切的定义，等面积法，勾股定理
【点评】
本题是网格中求解锐角三角函数的典型题型，解题核心是构造包含所求角的直角三角形，结合等面积法求边长，考查了学生对三角函数定义的理解和网格图形的计算能力，方法具有通用性。
【难度系数】
0.6
