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1 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,有下列情况,则可解直角三角形的是 (
A.已知$BC=6,∠C=90°$
B.已知$∠C=90°,∠A=60°,BC=5$
C.已知$∠C=90°,∠A=∠B$
D.已知$∠C=∠B=45°$
B
)A.已知$BC=6,∠C=90°$
B.已知$∠C=90°,∠A=60°,BC=5$
C.已知$∠C=90°,∠A=∠B$
D.已知$∠C=∠B=45°$
答案
B 【解析】
∵ 选项C、D缺少边的条件,选项A缺少锐角的条件,
∴ 不能解直角三角形;选项B中,由∠A的正弦可求出AB,∠B=90°-∠A,然后由勾股定理或∠A的正切可求出AC. 故选 B.
∵ 选项C、D缺少边的条件,选项A缺少锐角的条件,
∴ 不能解直角三角形;选项B中,由∠A的正弦可求出AB,∠B=90°-∠A,然后由勾股定理或∠A的正切可求出AC. 故选 B.
解析
【分析】
解这道题首先要明确解直角三角形的定义和可解条件：解直角三角形是求出直角三角形中所有未知的边和角；可解的前提是已知除直角外的2个元素，且这2个元素中至少包含1条边（如果只有角的条件，只能确定三角形的形状，无法确定大小，求不出具体边长）。接下来逐个验证选项是否满足可解条件即可。
【解析】
判断直角三角形是否可解，需看是否满足除直角外至少有2个已知元素，且至少含1条边。
A选项：仅已知直角$∠ C=90°$和边$BC=6$，缺少锐角条件，无法求出其余未知的角和边，不可解；
C、D选项：仅给出角的相关条件，没有给出任何边的长度，三角形大小无法确定，无法求出各边的具体长度，不可解；
B选项：已知$∠ C=90°$，$∠ A=60°$，$BC=5$，满足除直角外有1个锐角和1条边的条件：
① 由直角三角形两锐角互余，得$∠ B=90°-∠ A=30°$；
② 由锐角三角函数$\sin A=\frac{BC}{AB}$，可得$AB=\frac{BC}{\sin60°}=\frac{10\sqrt{3}}{3}$；
③ 再由勾股定理或$\tan A=\frac{BC}{AC}$可求出$AC$的长度，所有未知元素均可求出，可解。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
解直角三角形的条件；直角三角形的性质；锐角三角函数
【点评】
本题是基础概念类考题，核心是要明确解直角三角形不仅要确定三角形的形状，还要确定其大小，因此必须要有边的已知条件，仅知道角的条件无法解出具体边长。
【难度系数】
0.8
解这道题首先要明确解直角三角形的定义和可解条件：解直角三角形是求出直角三角形中所有未知的边和角；可解的前提是已知除直角外的2个元素，且这2个元素中至少包含1条边（如果只有角的条件，只能确定三角形的形状，无法确定大小，求不出具体边长）。接下来逐个验证选项是否满足可解条件即可。
【解析】
判断直角三角形是否可解，需看是否满足除直角外至少有2个已知元素，且至少含1条边。
A选项：仅已知直角$∠ C=90°$和边$BC=6$，缺少锐角条件，无法求出其余未知的角和边，不可解；
C、D选项：仅给出角的相关条件，没有给出任何边的长度，三角形大小无法确定，无法求出各边的具体长度，不可解；
B选项：已知$∠ C=90°$，$∠ A=60°$，$BC=5$，满足除直角外有1个锐角和1条边的条件：
① 由直角三角形两锐角互余，得$∠ B=90°-∠ A=30°$；
② 由锐角三角函数$\sin A=\frac{BC}{AB}$，可得$AB=\frac{BC}{\sin60°}=\frac{10\sqrt{3}}{3}$；
③ 再由勾股定理或$\tan A=\frac{BC}{AC}$可求出$AC$的长度，所有未知元素均可求出，可解。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
解直角三角形的条件；直角三角形的性质；锐角三角函数
【点评】
本题是基础概念类考题，核心是要明确解直角三角形不仅要确定三角形的形状，还要确定其大小，因此必须要有边的已知条件，仅知道角的条件无法解出具体边长。
【难度系数】
0.8
2[2025 安徽无为校级期中]在$△ ABC$中，$∠ B=90°,BC=3,AB=9,∠ A=α$，易知$\tanα=\frac{1}{3}$，聪明的小强想求$\tan2α$的值，于是他在$AB$上取点$D$，使得$CD=AD$，则$\tan2α$的值为
$\boldsymbol{\dfrac{3}{4}}$
.答案
$\dfrac{3}{4}$ 【解析】如
.∵ CD = AD,
∴ ∠A= ∠ACD.
∵ ∠CDB 是△ACD 的一个外角,
∴ ∠CDB = ∠A+∠ACD = 2α. 在 Rt△CBD 中,设 BD=x,则 AD=CD=9-x. 由勾股定理得 $BC^2+BD^2=CD^2$,
∴ 9+$x^2=(9-x)^2$, 解 得 x = 4,
∴ BD = 4,
∴ $\tan∠CDB=\dfrac{BC}{BD}=\dfrac{3}{4}$,
∴ $\tan 2α=\dfrac{3}{4}$. 故答案为$\dfrac{3}{4}$.
解析
【分析】
要求$\tan2α$的值，需先将$2α$转化为直角三角形的内角：由$CD=AD$可得$∠A=∠ACD=α$，根据三角形外角性质可知$∠CDB=∠A+∠ACD=2α$，即$2α$是$Rt△CBD$的内角，因此只需算出$Rt△CBD$中$∠CDB$的对边$BC$与邻边$BD$的比值即可。接下来设$BD=x$，利用$CD=AD=9-x$，结合勾股定理列方程求出$BD$的长度，最后代入正切定义计算即可。
【解析】
$\because CD=AD$，
$\therefore ∠A=∠ACD=α$。
$\because ∠CDB$是$△ ACD$的外角，
$\therefore ∠CDB=∠A+∠ACD=α+α=2α$。
设$BD=x$，则$AD=AB-BD=9-x$，
$\therefore CD=AD=9-x$。
在$Rt△ CBD$中，$∠B=90°$，由勾股定理得：
$BC^2+BD^2=CD^2$，
代入$BC=3$得：$3^2+x^2=(9-x)^2$，
展开计算：$9+x^2=81-18x+x^2$，
消去$x^2$后解得：$18x=72$，即$x=4$，
$\therefore BD=4$。
在$Rt△ CBD$中，$\tan∠CDB=\frac{BC}{BD}=\frac{3}{4}$，
又$\because ∠CDB=2α$，
$\therefore \tan2α=\frac{3}{4}$。
【答案】
$\dfrac{3}{4}$
【知识点】
等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数的定义
【点评】
本题是锐角三角函数计算的典型题型，核心是通过构造等腰三角形将二倍角转化为直角三角形的内角，结合勾股定理求出对应边长后即可计算三角函数值，渗透了转化的数学思想，解题的关键是找到$2α$对应的直角三角形内角。
【难度系数】
0.7
要求$\tan2α$的值，需先将$2α$转化为直角三角形的内角：由$CD=AD$可得$∠A=∠ACD=α$，根据三角形外角性质可知$∠CDB=∠A+∠ACD=2α$，即$2α$是$Rt△CBD$的内角，因此只需算出$Rt△CBD$中$∠CDB$的对边$BC$与邻边$BD$的比值即可。接下来设$BD=x$，利用$CD=AD=9-x$，结合勾股定理列方程求出$BD$的长度，最后代入正切定义计算即可。
【解析】
$\because CD=AD$，
$\therefore ∠A=∠ACD=α$。
$\because ∠CDB$是$△ ACD$的外角，
$\therefore ∠CDB=∠A+∠ACD=α+α=2α$。
设$BD=x$，则$AD=AB-BD=9-x$，
$\therefore CD=AD=9-x$。
在$Rt△ CBD$中，$∠B=90°$，由勾股定理得：
$BC^2+BD^2=CD^2$，
代入$BC=3$得：$3^2+x^2=(9-x)^2$，
展开计算：$9+x^2=81-18x+x^2$，
消去$x^2$后解得：$18x=72$，即$x=4$，
$\therefore BD=4$。
在$Rt△ CBD$中，$\tan∠CDB=\frac{BC}{BD}=\frac{3}{4}$，
又$\because ∠CDB=2α$，
$\therefore \tan2α=\frac{3}{4}$。
【答案】
$\dfrac{3}{4}$
【知识点】
等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数的定义
【点评】
本题是锐角三角函数计算的典型题型，核心是通过构造等腰三角形将二倍角转化为直角三角形的内角，结合勾股定理求出对应边长后即可计算三角函数值，渗透了转化的数学思想，解题的关键是找到$2α$对应的直角三角形内角。
【难度系数】
0.7
3 根据下列条件,解直角三角形.
(1)在$Rt△ ABC$中,$∠ A,∠ B,∠ C$所对的边分别为$a,b,c,∠ C=90°,a=2\sqrt{3},b=2$;
(2)在$Rt△ ABC$中,$∠ A,∠ B,∠ C$所对的边分别为$a,b,c,∠ C=90°,∠ A=45°,c=6.$
(1)在$Rt△ ABC$中,$∠ A,∠ B,∠ C$所对的边分别为$a,b,c,∠ C=90°,a=2\sqrt{3},b=2$;
(2)在$Rt△ ABC$中,$∠ A,∠ B,∠ C$所对的边分别为$a,b,c,∠ C=90°,∠ A=45°,c=6.$
答案
【解】(1)$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{12+4}=4$.
∵ $\tan B=\dfrac{b}{a}=\dfrac{2}{2\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$,
∴ $∠B=30°$,
∴ $∠A=90°-30°=60°$.
(2)
∵ $∠A=45°$,
∴ $∠B=90°-45°=45°$.
∵ $\sin A=\sin45°=\dfrac{a}{c}$,即$\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{a}{6}$,
∴ $b=a=3\sqrt{2}$.
∵ $\tan B=\dfrac{b}{a}=\dfrac{2}{2\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$,
∴ $∠B=30°$,
∴ $∠A=90°-30°=60°$.
(2)
∵ $∠A=45°$,
∴ $∠B=90°-45°=45°$.
∵ $\sin A=\sin45°=\dfrac{a}{c}$,即$\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{a}{6}$,
∴ $b=a=3\sqrt{2}$.
解析
【分析】
解直角三角形的目标是求出图形中所有未知的边和角，我们可结合已知条件选择对应的定理逐步求解：
(1) 已知Rt△ABC的两条直角边a、b，∠C=90°，未知量为斜边c、∠A、∠B：第一步先利用勾股定理求出斜边c；第二步通过锐角三角函数（正切）求出其中一个锐角的度数；第三步利用直角三角形两锐角互余的性质求出剩下的锐角即可。
(2) 已知Rt△ABC的一个锐角∠A和斜边c，∠C=90°，未知量为∠B、直角边a、b：第一步先利用直角三角形两锐角互余求出∠B；第二步利用锐角三角函数（正弦）求出直角边a的长度；第三步由∠A=∠B可判断三角形为等腰直角三角形，因此b=a。
【解析】
(1) 由勾股定理计算斜边：
$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2+2^2}=\sqrt{12+4}=4$
根据正切的定义：
$\tan B=\dfrac{b}{a}=\dfrac{2}{2\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
∵∠B是直角三角形的锐角，
∴$∠B=30°$
由直角三角形两锐角互余得：
$∠A=90°-∠B=90°-30°=60°$
(2) 由直角三角形两锐角互余得：
$∠B=90°-∠A=90°-45°=45°$
根据正弦的定义$\sin A=\dfrac{a}{c}$，代入∠A=45°，c=6得：
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{a}{6}$，解得$a=3\sqrt{2}$
∵$∠A=∠B=45°$，
∴$b=a=3\sqrt{2}$
【答案】
(1) $c=4$，$∠A=60°$，$∠B=30°$；
(2) $∠B=45°$，$a=b=3\sqrt{2}$
【知识点】
1. 勾股定理
2. 锐角三角函数
3. 直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是解直角三角形的基础题，覆盖了解直角三角形两类最基本的考法：已知两边求解、已知一边一锐角求解，解题时需根据已知条件灵活选择对应公式计算，注意三角函数值的对应关系不要混淆。
【难度系数】
0.8
解直角三角形的目标是求出图形中所有未知的边和角，我们可结合已知条件选择对应的定理逐步求解：
(1) 已知Rt△ABC的两条直角边a、b，∠C=90°，未知量为斜边c、∠A、∠B：第一步先利用勾股定理求出斜边c；第二步通过锐角三角函数（正切）求出其中一个锐角的度数；第三步利用直角三角形两锐角互余的性质求出剩下的锐角即可。
(2) 已知Rt△ABC的一个锐角∠A和斜边c，∠C=90°，未知量为∠B、直角边a、b：第一步先利用直角三角形两锐角互余求出∠B；第二步利用锐角三角函数（正弦）求出直角边a的长度；第三步由∠A=∠B可判断三角形为等腰直角三角形，因此b=a。
【解析】
(1) 由勾股定理计算斜边：
$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2+2^2}=\sqrt{12+4}=4$
根据正切的定义：
$\tan B=\dfrac{b}{a}=\dfrac{2}{2\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
∵∠B是直角三角形的锐角，
∴$∠B=30°$
由直角三角形两锐角互余得：
$∠A=90°-∠B=90°-30°=60°$
(2) 由直角三角形两锐角互余得：
$∠B=90°-∠A=90°-45°=45°$
根据正弦的定义$\sin A=\dfrac{a}{c}$，代入∠A=45°，c=6得：
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{a}{6}$，解得$a=3\sqrt{2}$
∵$∠A=∠B=45°$，
∴$b=a=3\sqrt{2}$
【答案】
(1) $c=4$，$∠A=60°$，$∠B=30°$；
(2) $∠B=45°$，$a=b=3\sqrt{2}$
【知识点】
1. 勾股定理
2. 锐角三角函数
3. 直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是解直角三角形的基础题，覆盖了解直角三角形两类最基本的考法：已知两边求解、已知一边一锐角求解，解题时需根据已知条件灵活选择对应公式计算，注意三角函数值的对应关系不要混淆。
【难度系数】
0.8
4[2025安徽六安金安区校级质检]如图,在$△ ABC$中,$∠ A=30°$,$∠ B=45°$,$BC=3\sqrt{2}$.
(1)求$AC$的值.
(2)求$△ ABC$的面积.(结果保留根号)
(1)求$AC$的值.
(2)求$△ ABC$的面积.(结果保留根号)
答案
【解】(1)如图,过点 C 作 $CD ⊥ AB$ 于点 D,
∴ $∠CDB = ∠ADC=90°$.
在 Rt△BCD 中,$∠B=45°$,$BC=3\sqrt{2}$,
∴ $BD=BC · \cos45°=3\sqrt{2}×\dfrac{\sqrt{2}}{2}=3$,
∴ $CD=BD=3$.
在 Rt△ACD 中,$∠A=30°$,
∴ $AC=2CD=6$.
(2)由(1)知,在 Rt△ACD 中,$AC=6$,$CD=3$,
∴ 由勾股定理得 $AD=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$,
∴ $AB=AD+BD=3\sqrt{3}+3$,
∴ $S_{△ABC}=\dfrac{1}{2}×AB×CD=\dfrac{9\sqrt{3}+9}{2}$.
解析
【分析】
本题是斜三角形求解问题，核心思路是通过作高将斜三角形转化为两个特殊直角三角形求解：① 求AC时，先过点C作AB的垂线CD，构造Rt△BCD和Rt△ACD，先利用45°直角三角形的性质求出CD的长度，再利用含30°直角三角形中30°角对的直角边等于斜边一半的性质即可求出AC；② 求三角形面积时，已知高CD，只需先分别求出AD、BD的长度得到AB的总长，再代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 如图，过点C作$CD ⊥ AB$于点D，
$\therefore ∠ CDB = ∠ ADC=90°$.
在Rt△BCD中，$∠ B=45°$，$BC=3\sqrt{2}$，
$\therefore BD=BC · \cos45°=3\sqrt{2} × \dfrac{\sqrt{2}}{2}=3$，
$\therefore CD=BD=3$.
在Rt△ACD中，$∠ A=30°$，
$\therefore AC=2CD=6$.
(2) 由(1)知，在Rt△ACD中，$AC=6$，$CD=3$，
$\therefore$ 由勾股定理得 $AD=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$，
$\therefore AB=AD+BD=3\sqrt{3}+3$，
$\therefore S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2} × AB × CD=\dfrac{1}{2} × (3\sqrt{3}+3) × 3=\dfrac{9\sqrt{3}+9}{2}$.
【答案】
(1) $AC=6$；(2) $△ ABC$的面积为$\dfrac{9\sqrt{3}+9}{2}$
【知识点】
1. 解直角三角形
2. 特殊角的三角函数值
3. 三角形面积公式
【点评】
本题属于解三角形的基础题型，解题关键是通过作高的辅助线将斜三角形转化为熟悉的特殊直角三角形，结合特殊直角三角形的性质、勾股定理即可求解，这类构造直角三角形的思路是解斜三角形的常用方法，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
本题是斜三角形求解问题，核心思路是通过作高将斜三角形转化为两个特殊直角三角形求解：① 求AC时，先过点C作AB的垂线CD，构造Rt△BCD和Rt△ACD，先利用45°直角三角形的性质求出CD的长度，再利用含30°直角三角形中30°角对的直角边等于斜边一半的性质即可求出AC；② 求三角形面积时，已知高CD，只需先分别求出AD、BD的长度得到AB的总长，再代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 如图，过点C作$CD ⊥ AB$于点D，
$\therefore ∠ CDB = ∠ ADC=90°$.
在Rt△BCD中，$∠ B=45°$，$BC=3\sqrt{2}$，
$\therefore BD=BC · \cos45°=3\sqrt{2} × \dfrac{\sqrt{2}}{2}=3$，
$\therefore CD=BD=3$.
在Rt△ACD中，$∠ A=30°$，
$\therefore AC=2CD=6$.
(2) 由(1)知，在Rt△ACD中，$AC=6$，$CD=3$，
$\therefore$ 由勾股定理得 $AD=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$，
$\therefore AB=AD+BD=3\sqrt{3}+3$，
$\therefore S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2} × AB × CD=\dfrac{1}{2} × (3\sqrt{3}+3) × 3=\dfrac{9\sqrt{3}+9}{2}$.
【答案】
(1) $AC=6$；(2) $△ ABC$的面积为$\dfrac{9\sqrt{3}+9}{2}$
【知识点】
1. 解直角三角形
2. 特殊角的三角函数值
3. 三角形面积公式
【点评】
本题属于解三角形的基础题型，解题关键是通过作高的辅助线将斜三角形转化为熟悉的特殊直角三角形，结合特殊直角三角形的性质、勾股定理即可求解，这类构造直角三角形的思路是解斜三角形的常用方法，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
5[2026安徽六安期末]如图,在$△ ABC$中,$AC=\sqrt{5},BC=\sqrt{13},\cos A=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$,点$D$在$BC$边上,且$CD=2BD,DE ⊥ AB$,垂足为$E$,连接$CE$.
(1)求线段$AB$的长;
(2)求$∠ CEA$的正切值.
(1)求线段$AB$的长;
(2)求$∠ CEA$的正切值.
答案
【解】(1)如图所示,过点 C 作 $CF ⊥ AB$ 于点 F.
∵ $AC=\sqrt{5}$ , $\cos A=\dfrac{\sqrt{5}}{5}=\dfrac{AF}{AC}$,
∴ $AF=1$,
∴ $CF=\sqrt{AC^2-AF^2}=2$. 在 Rt△BCF 中, $FB=\sqrt{CB^2-CF^2}=\sqrt{13-4}=3$,
∴ $AB=AF+FB=1+3=4$.
(2)
∵ $CD=2BD$,$BC=\sqrt{13}$,
∴ $BD=\dfrac{1}{3}CB=\dfrac{\sqrt{13}}{3}$.
∵ $FB=3$,$CB=\sqrt{13}$,
∴ $\cos B=\dfrac{EB}{DB}=\dfrac{FB}{CB}=\dfrac{3}{\sqrt{13}}=\dfrac{3\sqrt{13}}{13}$,
∴ $BE=DB · \cos B=\dfrac{\sqrt{13}}{3}×\dfrac{3\sqrt{13}}{13}=1$,
∴ $EF=2$. 又
∵ $CF=2$,$CF ⊥ AB$,
∴ $\tan∠CEA=\tan∠CEF=\dfrac{CF}{EF}=1$.
解析
【分析】
(1) 要求AB的长度，已知AC的长和$\cos A$的值，首先想到过点C作AB的垂线构造直角三角形，先在含$∠ A$的直角三角形中利用余弦定义求出AF，再用勾股定理求出高CF，接着在另一个直角三角形BCF中用勾股定理求出FB，AF加FB就是AB的长。
(2) 要求$∠ CEA$的正切值，正切值需要在直角三角形中计算，已经有了CF⊥AB，只需要求出EF的长度即可。先根据CD和BD的数量关系求出BD的长度，再利用$∠ B$的余弦值求出BE的长度，用FB减去BE得到EF，最后用CF和EF的比值即可求出正切值。
【解析】
(1) 过点$C$作 $CF ⊥ AB$ 于点$F$。
∵ $AC=\sqrt{5}$ , $\cos A=\dfrac{\sqrt{5}}{5}=\dfrac{AF}{AC}$,
∴ $AF=1$,
由勾股定理得 $CF=\sqrt{AC^2-AF^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2-1^2}=2$。
在$Rt△ BCF$中, $FB=\sqrt{CB^2-CF^2}=\sqrt{(\sqrt{13})^2-2^2}=\sqrt{13-4}=3$,
∴ $AB=AF+FB=1+3=4$。
(2)
∵ $CD=2BD$,$BC=\sqrt{13}$,
∴ $BD=\dfrac{1}{3}CB=\dfrac{\sqrt{13}}{3}$。
∵ $FB=3$,$CB=\sqrt{13}$,
∴ $\cos B=\dfrac{EB}{DB}=\dfrac{FB}{CB}=\dfrac{3}{\sqrt{13}}=\dfrac{3\sqrt{13}}{13}$,
∴ $BE=DB · \cos B=\dfrac{\sqrt{13}}{3}×\dfrac{3\sqrt{13}}{13}=1$,
∴ $EF=FB-BE=3-1=2$。
又
∵ $CF=2$,$CF ⊥ AB$,
∴ $\tan∠CEA=\tan∠CEF=\dfrac{CF}{EF}=\dfrac{2}{2}=1$。
【答案】
(1) $AB$的长为$4$；(2) $∠ CEA$的正切值为$1$
【知识点】
解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数
【点评】
本题是解直角三角形的常规综合题，作辅助线构造直角三角形是解题的关键，需要熟练掌握锐角三角函数的定义和勾股定理的应用，能够锻炼学生的几何运算能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要求AB的长度，已知AC的长和$\cos A$的值，首先想到过点C作AB的垂线构造直角三角形，先在含$∠ A$的直角三角形中利用余弦定义求出AF，再用勾股定理求出高CF，接着在另一个直角三角形BCF中用勾股定理求出FB，AF加FB就是AB的长。
(2) 要求$∠ CEA$的正切值，正切值需要在直角三角形中计算，已经有了CF⊥AB，只需要求出EF的长度即可。先根据CD和BD的数量关系求出BD的长度，再利用$∠ B$的余弦值求出BE的长度，用FB减去BE得到EF，最后用CF和EF的比值即可求出正切值。
【解析】
(1) 过点$C$作 $CF ⊥ AB$ 于点$F$。
∵ $AC=\sqrt{5}$ , $\cos A=\dfrac{\sqrt{5}}{5}=\dfrac{AF}{AC}$,
∴ $AF=1$,
由勾股定理得 $CF=\sqrt{AC^2-AF^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2-1^2}=2$。
在$Rt△ BCF$中, $FB=\sqrt{CB^2-CF^2}=\sqrt{(\sqrt{13})^2-2^2}=\sqrt{13-4}=3$,
∴ $AB=AF+FB=1+3=4$。
(2)
∵ $CD=2BD$,$BC=\sqrt{13}$,
∴ $BD=\dfrac{1}{3}CB=\dfrac{\sqrt{13}}{3}$。
∵ $FB=3$,$CB=\sqrt{13}$,
∴ $\cos B=\dfrac{EB}{DB}=\dfrac{FB}{CB}=\dfrac{3}{\sqrt{13}}=\dfrac{3\sqrt{13}}{13}$,
∴ $BE=DB · \cos B=\dfrac{\sqrt{13}}{3}×\dfrac{3\sqrt{13}}{13}=1$,
∴ $EF=FB-BE=3-1=2$。
又
∵ $CF=2$,$CF ⊥ AB$,
∴ $\tan∠CEA=\tan∠CEF=\dfrac{CF}{EF}=\dfrac{2}{2}=1$。
【答案】
(1) $AB$的长为$4$；(2) $∠ CEA$的正切值为$1$
【知识点】
解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数
【点评】
本题是解直角三角形的常规综合题，作辅助线构造直角三角形是解题的关键，需要熟练掌握锐角三角函数的定义和勾股定理的应用，能够锻炼学生的几何运算能力。
【难度系数】
0.7
6 如图,已知 $\cos∠ ABC=\frac{1}{2}$,点 M 在射线 BA 上,BM=8,点 N 在射线 BC 上.
(1)给出条件:①$MN=7$;②$MN=9$;③$∠ BMN=75°$.其中能使 BN 的长唯一确定的条件是
(2)在第(1)题中选一个使 BN 的长唯一确定的条件,求出此时 BN 的长度.
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(1)给出条件:①$MN=7$;②$MN=9$;③$∠ BMN=75°$.其中能使 BN 的长唯一确定的条件是
②③
(填序号);(2)在第(1)题中选一个使 BN 的长唯一确定的条件,求出此时 BN 的长度.
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答案
(1) ②③ 【解析】条件②③能使得 BN 的长唯一确定. 故答案为②③.
(2) 如图,过点 M 作 $MD ⊥ BC$ 于点 D.
∵ $\cos B=\dfrac{1}{2}$,
∴ $∠B=60°$,
∴ $BD=BM · \cos B=8×\dfrac{1}{2}=4$,$DM=BM · \sin60°=4\sqrt{3}$.
当 MN = 9 时, $DN = \sqrt{MN^2-MD^2} = \sqrt{9^2-(4\sqrt{3})^2}=\sqrt{33}$,
∴ $BN=BD+DN=4+\sqrt{33}$.
当 $∠BMN=75°$ 时.
∵ $∠MNB=180°-60°-75°=45°$,
∴ $DM=DN=4\sqrt{3}$,
∴ $BN=BD+DN=4+4\sqrt{3}$.(选一个回答即可)
解析
【分析】
(1) 解题思路：首先由$\cos∠ ABC=\frac{1}{2}$可确定$∠ B=60°$，先求出点$M$到$BC$的垂线段长度，该长度是$MN$的最小值，再结合不同条件判断$△ BMN$的解的个数：若$MN$长度介于最小值和$BM$之间，三角形有2个解，$BN$不唯一；若$MN$长度大于等于$BM$，三角形只有1个解，$BN$唯一；若给出另一个内角度数，三角形三个角均确定，结合已知边$BM$，三角形形状大小唯一确定，$BN$也唯一。
(2) 求$BN$的思路：过$M$作$MD⊥ BC$于$D$，将$△ BMN$拆分为两个直角三角形，先利用特殊角的三角函数求出$BD$、$MD$的长度，再根据所选条件求出$DN$的长度，通过$BN=BD+DN$即可求出结果。
【解析】
(1) 由$\cos∠ ABC=\frac{1}{2}$，可得$∠ ABC=60°$。
过点$M$作$MD⊥ BC$于点$D$，在$Rt△ BMD$中，$BM=8$，
$\therefore BD=BM·\cos60°=8×\frac{1}{2}=4$，$MD=BM·\sin60°=8×\frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}\approx6.928$。
分析三个条件：
① 当$MN=7$时，$4\sqrt{3}＜7＜8$，以$M$为圆心、7为半径画弧，与射线$BC$有两个交点，即存在2个不同的$△ BMN$，$BN$的长度有2个，不唯一；
② 当$MN=9$时，$9＞8$，以$M$为圆心、9为半径画弧，与射线$BC$只有1个交点，$△ BMN$唯一，$BN$长度唯一；
③ 当$∠ BMN=75°$时，$△ BMN$中$∠ B=60°$，$∠ BMN=75°$，则$∠ BNM=180°-60°-75°=45°$，已知三角形两角及一边，$△ BMN$的形状大小完全确定，$BN$长度唯一。
故能使$BN$长唯一确定的是②③。
(2) 示例1：选条件②$MN=9$求解：
过点$M$作$MD⊥ BC$于点$D$，
$\because \cos∠ ABC=\frac{1}{2}$，$\therefore ∠ B=60°$，
在$Rt△ BMD$中，$BD=BM·\cos B=8×\frac{1}{2}=4$，$MD=BM·\sin B=8×\frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$。
在$Rt△ MDN$中，由勾股定理得：
$DN=\sqrt{MN^2-MD^2}=\sqrt{9^2-(4\sqrt{3})^2}=\sqrt{81-48}=\sqrt{33}$，
$\therefore BN=BD+DN=4+\sqrt{33}$。
示例2：选条件③$∠ BMN=75°$求解：
过点$M$作$MD⊥ BC$于点$D$，同理得$BD=4$，$MD=4\sqrt{3}$，
$\because ∠ B=60°$，$∠ BMN=75°$，$\therefore ∠ MNB=180°-60°-75°=45°$，
在$Rt△ MDN$中，$∠ MND=45°$，$\therefore △ MDN$是等腰直角三角形，$DN=MD=4\sqrt{3}$，
$\therefore BN=BD+DN=4+4\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $\boxed{②③}$
(2) 选条件②时$BN=4+\sqrt{33}$；选条件③时$BN=4+4\sqrt{3}$（任选其一即可）
【知识点】
解直角三角形，三角形解的判定，特殊角的三角函数
【点评】
本题考查解直角三角形的应用，易错点是判断三角形解的个数时忽略“射线$BC$”的限制，通过作高将斜三角形转化为直角三角形是求解此类问题的常用方法，需要熟练掌握特殊角的三角函数值及勾股定理的应用。
【难度系数】
0.6
(1) 解题思路：首先由$\cos∠ ABC=\frac{1}{2}$可确定$∠ B=60°$，先求出点$M$到$BC$的垂线段长度，该长度是$MN$的最小值，再结合不同条件判断$△ BMN$的解的个数：若$MN$长度介于最小值和$BM$之间，三角形有2个解，$BN$不唯一；若$MN$长度大于等于$BM$，三角形只有1个解，$BN$唯一；若给出另一个内角度数，三角形三个角均确定，结合已知边$BM$，三角形形状大小唯一确定，$BN$也唯一。
(2) 求$BN$的思路：过$M$作$MD⊥ BC$于$D$，将$△ BMN$拆分为两个直角三角形，先利用特殊角的三角函数求出$BD$、$MD$的长度，再根据所选条件求出$DN$的长度，通过$BN=BD+DN$即可求出结果。
【解析】
(1) 由$\cos∠ ABC=\frac{1}{2}$，可得$∠ ABC=60°$。
过点$M$作$MD⊥ BC$于点$D$，在$Rt△ BMD$中，$BM=8$，
$\therefore BD=BM·\cos60°=8×\frac{1}{2}=4$，$MD=BM·\sin60°=8×\frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}\approx6.928$。
分析三个条件：
① 当$MN=7$时，$4\sqrt{3}＜7＜8$，以$M$为圆心、7为半径画弧，与射线$BC$有两个交点，即存在2个不同的$△ BMN$，$BN$的长度有2个，不唯一；
② 当$MN=9$时，$9＞8$，以$M$为圆心、9为半径画弧，与射线$BC$只有1个交点，$△ BMN$唯一，$BN$长度唯一；
③ 当$∠ BMN=75°$时，$△ BMN$中$∠ B=60°$，$∠ BMN=75°$，则$∠ BNM=180°-60°-75°=45°$，已知三角形两角及一边，$△ BMN$的形状大小完全确定，$BN$长度唯一。
故能使$BN$长唯一确定的是②③。
(2) 示例1：选条件②$MN=9$求解：
过点$M$作$MD⊥ BC$于点$D$，
$\because \cos∠ ABC=\frac{1}{2}$，$\therefore ∠ B=60°$，
在$Rt△ BMD$中，$BD=BM·\cos B=8×\frac{1}{2}=4$，$MD=BM·\sin B=8×\frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$。
在$Rt△ MDN$中，由勾股定理得：
$DN=\sqrt{MN^2-MD^2}=\sqrt{9^2-(4\sqrt{3})^2}=\sqrt{81-48}=\sqrt{33}$，
$\therefore BN=BD+DN=4+\sqrt{33}$。
示例2：选条件③$∠ BMN=75°$求解：
过点$M$作$MD⊥ BC$于点$D$，同理得$BD=4$，$MD=4\sqrt{3}$，
$\because ∠ B=60°$，$∠ BMN=75°$，$\therefore ∠ MNB=180°-60°-75°=45°$，
在$Rt△ MDN$中，$∠ MND=45°$，$\therefore △ MDN$是等腰直角三角形，$DN=MD=4\sqrt{3}$，
$\therefore BN=BD+DN=4+4\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $\boxed{②③}$
(2) 选条件②时$BN=4+\sqrt{33}$；选条件③时$BN=4+4\sqrt{3}$（任选其一即可）
【知识点】
解直角三角形，三角形解的判定，特殊角的三角函数
【点评】
本题考查解直角三角形的应用，易错点是判断三角形解的个数时忽略“射线$BC$”的限制，通过作高将斜三角形转化为直角三角形是求解此类问题的常用方法，需要熟练掌握特殊角的三角函数值及勾股定理的应用。
【难度系数】
0.6
7 已知,在$△ ABC$中,$∠ A=45°$,$AB=4\sqrt{2}$,$BC=5$,则$△ ABC$的面积为$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$.
答案
2 或 14 【解析】分两种情况讨论:如图(1),过点 B 作 $BD ⊥ AC$ 于点 D.
∵ $∠A=45°$,
∴ △ABD 是等腰直角三角形.
∵ $AB=4\sqrt{2}$,
∴ $AD=BD=4$. 在 Rt△BCD 中,$BC=5$,
∴ $DC=\sqrt{BC^2-BD^2}=3$,
∴ $AC=AD+DC=7$,
∴ $S_{△ABC}=\dfrac{1}{2}BD · AC=\dfrac{1}{2}×4×7=14$. 如图(2),同理可求出 $AC=AD-CD=4-3=1$,
∴ $S_{△ABC}=\dfrac{1}{2}BD · AC=\dfrac{1}{2}×4×1=2$,
∴ △ABC 的面积为 14 或 2.
解析
【分析】
要求△ABC的面积，需要先求出AC边的长度和AC边上的高。已知∠A=45°，AB=4√2，我们可以过点B作AC所在直线的垂线BD，构造直角三角形：首先利用∠A=45°可得△ABD是等腰直角三角形，据此算出高BD和线段AD的长度；再结合BC=5，用勾股定理求出DC的长度。由于已知两边及其中一边的对角时，三角形的形状不唯一，垂足D可能在线段AC上，也可能在线段AC的延长线上，因此需要分两种情况计算AC的长度，最后代入三角形面积公式即可得到结果。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 如图(1)，过点B作BD⊥AC于点D：
∵ ∠A=45°，∠ADB=90°，
∴ △ABD是等腰直角三角形。
∵ AB=4√2，由勾股定理得AD²+BD²=AB²，且AD=BD，
∴ AD=BD=4。
在Rt△BCD中，BC=5，BD=4，
由勾股定理得：DC=√(BC²-BD²)=√(5²-4²)=3，
∴ AC=AD+DC=4+3=7，
∴ S△ABC=$\frac{1}{2}× BD× AC=\frac{1}{2}×4×7=14$。
2. 如图(2)，过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D：
同理可得AD=BD=4，DC=3，
此时AC=AD-CD=4-3=1，
∴ S△ABC=$\frac{1}{2}× BD× AC=\frac{1}{2}×4×1=2$。
综上，△ABC的面积为2或14。
【答案】
2或14
【知识点】
等腰直角三角形性质，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题重点考查分类讨论的数学思想，解题时容易忽略高在三角形外部的情况导致漏解，做题时要结合已知条件全面分析图形的所有可能情况，培养严谨的思维习惯。
【难度系数】
0.6
要求△ABC的面积，需要先求出AC边的长度和AC边上的高。已知∠A=45°，AB=4√2，我们可以过点B作AC所在直线的垂线BD，构造直角三角形：首先利用∠A=45°可得△ABD是等腰直角三角形，据此算出高BD和线段AD的长度；再结合BC=5，用勾股定理求出DC的长度。由于已知两边及其中一边的对角时，三角形的形状不唯一，垂足D可能在线段AC上，也可能在线段AC的延长线上，因此需要分两种情况计算AC的长度，最后代入三角形面积公式即可得到结果。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 如图(1)，过点B作BD⊥AC于点D：
∵ ∠A=45°，∠ADB=90°，
∴ △ABD是等腰直角三角形。
∵ AB=4√2，由勾股定理得AD²+BD²=AB²，且AD=BD，
∴ AD=BD=4。
在Rt△BCD中，BC=5，BD=4，
由勾股定理得：DC=√(BC²-BD²)=√(5²-4²)=3，
∴ AC=AD+DC=4+3=7，
∴ S△ABC=$\frac{1}{2}× BD× AC=\frac{1}{2}×4×7=14$。
2. 如图(2)，过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D：
同理可得AD=BD=4，DC=3，
此时AC=AD-CD=4-3=1，
∴ S△ABC=$\frac{1}{2}× BD× AC=\frac{1}{2}×4×1=2$。
综上，△ABC的面积为2或14。
【答案】
2或14
【知识点】
等腰直角三角形性质，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题重点考查分类讨论的数学思想，解题时容易忽略高在三角形外部的情况导致漏解，做题时要结合已知条件全面分析图形的所有可能情况，培养严谨的思维习惯。
【难度系数】
0.6
