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1[2026 山东东营校级期中]用科学计算器求$\sin 9°7'$的值，按键顺序正确的是（
B
）答案
1.B 【解析】根据科学计算器的按键顺序可知，正确的按键顺序是 B 选项. 故选 B.
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确用科学计算器求带度分的锐角正弦值的操作逻辑：①首先明确计算类型是求正弦值，不是反求角度，所以不需要用到切换第二功能的“2ndF”键，直接按“sin”键启动正弦计算；②输入角度时，度、分要分别用“D°M'S”键来标记区分，先输度数，按一次“D°M'S”确认是度，再输分数，再按一次“D°M'S”确认是分，最后按等号得结果。按照这个逻辑逐一排查选项即可得到答案。
【解析】
用科学计算器计算$\sin 9°7'$的正确步骤如下：
1. 按下$\boxed{\sin}$键，开启正弦值计算功能；
2. 输入度数9，按下$\boxed{D° M'S}$键，标记9为度；
3. 输入分数7，再次按下$\boxed{D° M'S}$键，标记7为分；
4. 按下$\boxed{=}$键，即可得到结果。
注：$\boxed{2ndF}$为第二功能切换键，仅在计算反三角函数（如已知正弦值求对应角度）时使用，本题求正弦值无需使用该键，因此A、C选项错误；D选项按键顺序完全不符合操作逻辑，错误。只有B选项按键顺序正确。
【答案】
B
【知识点】
计算器求三角函数值；度分秒输入操作
【点评】
本题考查科学计算器计算锐角三角函数的按键规范，需要区分普通三角函数和反三角函数的按键差异，掌握度分秒形式的角度输入方法，属于基础操作类题目。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确用科学计算器求带度分的锐角正弦值的操作逻辑：①首先明确计算类型是求正弦值，不是反求角度，所以不需要用到切换第二功能的“2ndF”键，直接按“sin”键启动正弦计算；②输入角度时，度、分要分别用“D°M'S”键来标记区分，先输度数，按一次“D°M'S”确认是度，再输分数，再按一次“D°M'S”确认是分，最后按等号得结果。按照这个逻辑逐一排查选项即可得到答案。
【解析】
用科学计算器计算$\sin 9°7'$的正确步骤如下：
1. 按下$\boxed{\sin}$键，开启正弦值计算功能；
2. 输入度数9，按下$\boxed{D° M'S}$键，标记9为度；
3. 输入分数7，再次按下$\boxed{D° M'S}$键，标记7为分；
4. 按下$\boxed{=}$键，即可得到结果。
注：$\boxed{2ndF}$为第二功能切换键，仅在计算反三角函数（如已知正弦值求对应角度）时使用，本题求正弦值无需使用该键，因此A、C选项错误；D选项按键顺序完全不符合操作逻辑，错误。只有B选项按键顺序正确。
【答案】
B
【知识点】
计算器求三角函数值；度分秒输入操作
【点评】
本题考查科学计算器计算锐角三角函数的按键规范，需要区分普通三角函数和反三角函数的按键差异，掌握度分秒形式的角度输入方法，属于基础操作类题目。
【难度系数】
0.8
2 用计算器求下列各式的值.(结果精确到0.0001)
(1)$\tan 63°27' \approx$
(2)$\cos 18°59'27'' \approx$
(3)$\sin 67°38'24'' \approx$
(1)$\tan 63°27' \approx$
2.001 3
；(2)$\cos 18°59'27'' \approx$
0.945 6
；(3)$\sin 67°38'24'' \approx$
0.924 8
.答案
2. (1)2.001 3 (2)0.945 6 (3)0.924 8
解析
【分析】
解题思路如下：①首先确认计算器处于角度（DEG）模式，避免因模式错误导致结果偏差；②处理含分、秒的角度：可以直接用计算器的度分秒键输入角度，也可先将分除以60、秒除以3600，换算为度的单位后求和，得到十进制度数；③输入角度后按下对应的三角函数键得到计算结果；④按照精确到0.0001的要求，对结果四舍五入保留四位小数即可。
【解析】
(1) 先换算角度：$27' = 27÷60 = 0.45°$，因此$63°27' = 63.45°$，用计算器计算得$\tan63.45°\approx2.00131$，四舍五入到0.0001为$2.0013$；
(2) 换算角度：$27''=27÷3600=0.0075°$，$59'=59÷60\approx0.98333°$，因此$18°59'27''\approx18+0.98333+0.0075=18.99083°$，用计算器计算得$\cos18.99083°\approx0.94561$，四舍五入到0.0001为$0.9456$；
(3) 换算角度：$24''=24÷3600\approx0.00667°$，$38'=38÷60\approx0.63333°$，因此$67°38'24''\approx67+0.63333+0.00667=67.64°$，用计算器计算得$\sin67.64°\approx0.92483$，四舍五入到0.0001为$0.9248$。
【答案】
(1)$2.0013$；(2)$0.9456$；(3)$0.9248$
【知识点】
度分秒换算；计算器求三角函数值；近似数取值
【点评】
本题属于基础操作类题目，核心是掌握计算器求锐角三角函数值的正确操作，注意角度模式的选择和度分秒单位的准确换算，按要求保留近似值即可得分。
【难度系数】
0.85
解题思路如下：①首先确认计算器处于角度（DEG）模式，避免因模式错误导致结果偏差；②处理含分、秒的角度：可以直接用计算器的度分秒键输入角度，也可先将分除以60、秒除以3600，换算为度的单位后求和，得到十进制度数；③输入角度后按下对应的三角函数键得到计算结果；④按照精确到0.0001的要求，对结果四舍五入保留四位小数即可。
【解析】
(1) 先换算角度：$27' = 27÷60 = 0.45°$，因此$63°27' = 63.45°$，用计算器计算得$\tan63.45°\approx2.00131$，四舍五入到0.0001为$2.0013$；
(2) 换算角度：$27''=27÷3600=0.0075°$，$59'=59÷60\approx0.98333°$，因此$18°59'27''\approx18+0.98333+0.0075=18.99083°$，用计算器计算得$\cos18.99083°\approx0.94561$，四舍五入到0.0001为$0.9456$；
(3) 换算角度：$24''=24÷3600\approx0.00667°$，$38'=38÷60\approx0.63333°$，因此$67°38'24''\approx67+0.63333+0.00667=67.64°$，用计算器计算得$\sin67.64°\approx0.92483$，四舍五入到0.0001为$0.9248$。
【答案】
(1)$2.0013$；(2)$0.9456$；(3)$0.9248$
【知识点】
度分秒换算；计算器求三角函数值；近似数取值
【点评】
本题属于基础操作类题目，核心是掌握计算器求锐角三角函数值的正确操作，注意角度模式的选择和度分秒单位的准确换算，按要求保留近似值即可得分。
【难度系数】
0.85
3 已知$\cos A=0.5592$，运用数学课本上采用的科学计算器(在开机状态下)求锐角$A$时，按下的第一个键是 (
A.$\boxed{2\mathrm{ndF}}$
B.$\boxed{\cos}$
C.$\boxed{\sin}$
D.$\boxed{\mathrm{D}\dot{\mathrm{M}}'\mathrm{S}}$
A
)A.$\boxed{2\mathrm{ndF}}$
B.$\boxed{\cos}$
C.$\boxed{\sin}$
D.$\boxed{\mathrm{D}\dot{\mathrm{M}}'\mathrm{S}}$
答案
3.A 【解析】根据锐角的三角函数值求角度时,要先按计算器上(在开机状态下)的$\boxed{2\mathrm{ndF}}$键. 故选 A.
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确科学计算器三角函数相关操作的区别：如果已知角度求三角函数值，操作顺序是先按三角函数键，再输入角度；如果已知锐角的三角函数值求对应角度，需要调用三角函数的第二功能（反三角函数功能），此时必须先按下功能切换键才能触发反三角函数功能，因此第一步要先按切换功能的$\boxed{2\mathrm{ndF}}$键。
【解析】
使用科学计算器由锐角三角函数值求对应角度时，首先需要按下$\boxed{2\mathrm{ndF}}$键切换到第二功能模式，调用反三角函数功能，后续再按对应的三角函数键、输入函数值即可得到角度。本题已知$\cos A=0.5592$求锐角$A$，第一个按下的键是$\boxed{2\mathrm{ndF}}$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 科学计算器操作
2. 锐角三角函数运算
【点评】
本题考查科学计算器求解锐角对应角度的基础操作，属于识记类基础题，只要熟练掌握计算器正反三角函数的运算步骤就能快速得分。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要明确科学计算器三角函数相关操作的区别：如果已知角度求三角函数值，操作顺序是先按三角函数键，再输入角度；如果已知锐角的三角函数值求对应角度，需要调用三角函数的第二功能（反三角函数功能），此时必须先按下功能切换键才能触发反三角函数功能，因此第一步要先按切换功能的$\boxed{2\mathrm{ndF}}$键。
【解析】
使用科学计算器由锐角三角函数值求对应角度时，首先需要按下$\boxed{2\mathrm{ndF}}$键切换到第二功能模式，调用反三角函数功能，后续再按对应的三角函数键、输入函数值即可得到角度。本题已知$\cos A=0.5592$求锐角$A$，第一个按下的键是$\boxed{2\mathrm{ndF}}$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 科学计算器操作
2. 锐角三角函数运算
【点评】
本题考查科学计算器求解锐角对应角度的基础操作，属于识记类基础题，只要熟练掌握计算器正反三角函数的运算步骤就能快速得分。
【难度系数】
0.9
4 利用数学课本上采用的科学计算器依次输入2ndF $\tan^{-1}$ 5 6 
· 7 8 = 后，显示屏显示的结果为88.991 020 49，将这个数据精确到0.001后，下列说法正确的是 (
A.56.78°的正切函数值约为88.991
B.正切函数值为56.78的角约是88.991°
C.56°78′的正切函数值约为88.991
D.正切函数值为56.78的角约是88°991′
· 7 8 = 后，显示屏显示的结果为88.991 020 49，将这个数据精确到0.001后，下列说法正确的是 (B
)A.56.78°的正切函数值约为88.991
B.正切函数值为56.78的角约是88.991°
C.56°78′的正切函数值约为88.991
D.正切函数值为56.78的角约是88°991′
答案
4.B 【解析】根据计算器功能键的作用可知,正切函数值为 56.78 的角约是88.991°. 故选 B.
解析
【分析】
解题时首先要明确计算器相关功能键的含义：2ndF是第二功能切换键，$\tan^{-1}$是反正切运算功能，作用是已知正切函数值，求对应的锐角的度数。本题输入的数值56.78是正切值，输出的88.991是对应的角度数，再结合角度单位的规范表述、运算逻辑逐一判断选项即可。
【解析】
首先明确按键意义：按下2ndF后启用tan的第二功能$\boldsymbol{\tan^{-1}}$（反正切），该运算的输入值为正切函数值，输出值为对应锐角的角度。
本题输入的正切值为56.78，计算结果精确到0.001为88.991，含义为：正切函数值为56.78的角约是88.991°。
逐一分析选项：
A. 本次运算是已知正切值求角度，不是已知角度求正切值，说法错误；
B. 符合反正切运算的结果含义，说法正确；
C. 角度单位中$1°=60'$，不存在$78'$的表述，且运算不是求角度的正切值，说法错误；
D. 角度单位中$'$的数值最大为59，不可能出现$991'$，说法错误。
综上选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 计算器操作
2. 反正切含义
3. 近似数取法
【点评】
本题重点考查对科学计算器反正切功能的理解，需要区分正切运算（已知角度求函数值）和反正切运算（已知函数值求角度）的差异，同时要掌握角度单位的基本规范，理清运算逻辑即可正确判断。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确计算器相关功能键的含义：2ndF是第二功能切换键，$\tan^{-1}$是反正切运算功能，作用是已知正切函数值，求对应的锐角的度数。本题输入的数值56.78是正切值，输出的88.991是对应的角度数，再结合角度单位的规范表述、运算逻辑逐一判断选项即可。
【解析】
首先明确按键意义：按下2ndF后启用tan的第二功能$\boldsymbol{\tan^{-1}}$（反正切），该运算的输入值为正切函数值，输出值为对应锐角的角度。
本题输入的正切值为56.78，计算结果精确到0.001为88.991，含义为：正切函数值为56.78的角约是88.991°。
逐一分析选项：
A. 本次运算是已知正切值求角度，不是已知角度求正切值，说法错误；
B. 符合反正切运算的结果含义，说法正确；
C. 角度单位中$1°=60'$，不存在$78'$的表述，且运算不是求角度的正切值，说法错误；
D. 角度单位中$'$的数值最大为59，不可能出现$991'$，说法错误。
综上选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 计算器操作
2. 反正切含义
3. 近似数取法
【点评】
本题重点考查对科学计算器反正切功能的理解，需要区分正切运算（已知角度求函数值）和反正切运算（已知函数值求角度）的差异，同时要掌握角度单位的基本规范，理清运算逻辑即可正确判断。
【难度系数】
0.7
5 已知下列锐角三角函数值,用计算器求锐角∠A,∠B的度数(精确到1″).
(1)$\sin A=0.7,\sin B=0.01$;
(2)$\cos A=0.15,\cos B=0.8$;
(3)$\tan A=2.4,\tan B=0.5$.
(1)$\sin A=0.7,\sin B=0.01$;
(2)$\cos A=0.15,\cos B=0.8$;
(3)$\tan A=2.4,\tan B=0.5$.
答案
5.【解】(1)由 $\sin A=0.7$,得$∠ A\approx44°25'37''$；由 $\sin B=0.01$,得$∠ B\approx34'23''$.
(2)由 $\cos A=0.15$,得$∠ A\approx81°22'23''$；由 $\cos B=0.8$,得$∠ B\approx36°52'12''$.
(3)由 $\tan A=2.4$,得$∠ A\approx67°22'48''$；由 $\tan B=0.5$,得$∠ B\approx26°33'54''$.
(2)由 $\cos A=0.15$,得$∠ A\approx81°22'23''$；由 $\cos B=0.8$,得$∠ B\approx36°52'12''$.
(3)由 $\tan A=2.4$,得$∠ A\approx67°22'48''$；由 $\tan B=0.5$,得$∠ B\approx26°33'54''$.
解析
【分析】
解题时首先明确本题核心是已知锐角三角函数值求对应角度，思路如下：第一步先将计算器调整为角度计算模式，避免得到弧度制结果出错；第二步根据给出的三角函数类型（正弦、余弦、正切），调用计算器对应的反三角函数功能（即$\sin^{-1}$、$\cos^{-1}$、$\tan^{-1}$键），输入对应函数值得到十进制表示的角度；第三步按照度、分、秒60进制的换算规则，将十进制角度的小数部分依次换算为分、秒，结果精确到1″即可。
【解析】
首先确认计算器处于角度计算模式，再分情况计算：
(1) 已知$\sin A=0.7$，按下计算器的$\sin^{-1}$键，输入0.7，得到$∠ A\approx44.4269°$，将小数部分换算：$0.4269°×60\approx25.614'$，$0.614'×60\approx37''$，故$∠ A\approx44°25'37''$；
已知$\sin B=0.01$，按下$\sin^{-1}$键输入0.01，得到$∠ B\approx0.5730°$，换算得$0.5730°×60\approx34.38'$，$0.38'×60\approx23''$，故$∠ B\approx34'23''$。
(2) 已知$\cos A=0.15$，按下$\cos^{-1}$键输入0.15，得到$∠ A\approx81.3731°$，换算得$0.3731°×60\approx22.386'$，$0.386'×60\approx23''$，故$∠ A\approx81°22'23''$；
已知$\cos B=0.8$，按下$\cos^{-1}$键输入0.8，得到$∠ B\approx36.8699°$，换算得$0.8699°×60\approx52.194'$，$0.194'×60\approx12''$，故$∠ B\approx36°52'12''$。
(3) 已知$\tan A=2.4$，按下$\tan^{-1}$键输入2.4，得到$∠ A\approx67.3801°$，换算得$0.3801°×60\approx22.806'$，$0.806'×60\approx48''$，故$∠ A\approx67°22'48''$；
已知$\tan B=0.5$，按下$\tan^{-1}$键输入0.5，得到$∠ B\approx26.5651°$，换算得$0.5651°×60\approx33.906'$，$0.906'×60\approx54''$，故$∠ B\approx26°33'54''$。
【答案】
(1)$∠ A\approx44°25'37''$，$∠ B\approx34'23''$；
(2)$∠ A\approx81°22'23''$，$∠ B\approx36°52'12''$；
(3)$∠ A\approx67°22'48''$，$∠ B\approx26°33'54''$。
【知识点】
1. 已知三角函数值求锐角
2. 度分秒单位换算
3. 计算器三角函数操作
【点评】
本题是锐角三角函数的基础操作题，主要考查对计算器反三角函数功能的使用熟练度，以及度分秒60进制换算规则的掌握，解题时需注意提前确认计算器为角度模式，换算时严格遵循60进位规则，避免因模式错误或换算进位失误丢分。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确本题核心是已知锐角三角函数值求对应角度，思路如下：第一步先将计算器调整为角度计算模式，避免得到弧度制结果出错；第二步根据给出的三角函数类型（正弦、余弦、正切），调用计算器对应的反三角函数功能（即$\sin^{-1}$、$\cos^{-1}$、$\tan^{-1}$键），输入对应函数值得到十进制表示的角度；第三步按照度、分、秒60进制的换算规则，将十进制角度的小数部分依次换算为分、秒，结果精确到1″即可。
【解析】
首先确认计算器处于角度计算模式，再分情况计算：
(1) 已知$\sin A=0.7$，按下计算器的$\sin^{-1}$键，输入0.7，得到$∠ A\approx44.4269°$，将小数部分换算：$0.4269°×60\approx25.614'$，$0.614'×60\approx37''$，故$∠ A\approx44°25'37''$；
已知$\sin B=0.01$，按下$\sin^{-1}$键输入0.01，得到$∠ B\approx0.5730°$，换算得$0.5730°×60\approx34.38'$，$0.38'×60\approx23''$，故$∠ B\approx34'23''$。
(2) 已知$\cos A=0.15$，按下$\cos^{-1}$键输入0.15，得到$∠ A\approx81.3731°$，换算得$0.3731°×60\approx22.386'$，$0.386'×60\approx23''$，故$∠ A\approx81°22'23''$；
已知$\cos B=0.8$，按下$\cos^{-1}$键输入0.8，得到$∠ B\approx36.8699°$，换算得$0.8699°×60\approx52.194'$，$0.194'×60\approx12''$，故$∠ B\approx36°52'12''$。
(3) 已知$\tan A=2.4$，按下$\tan^{-1}$键输入2.4，得到$∠ A\approx67.3801°$，换算得$0.3801°×60\approx22.806'$，$0.806'×60\approx48''$，故$∠ A\approx67°22'48''$；
已知$\tan B=0.5$，按下$\tan^{-1}$键输入0.5，得到$∠ B\approx26.5651°$，换算得$0.5651°×60\approx33.906'$，$0.906'×60\approx54''$，故$∠ B\approx26°33'54''$。
【答案】
(1)$∠ A\approx44°25'37''$，$∠ B\approx34'23''$；
(2)$∠ A\approx81°22'23''$，$∠ B\approx36°52'12''$；
(3)$∠ A\approx67°22'48''$，$∠ B\approx26°33'54''$。
【知识点】
1. 已知三角函数值求锐角
2. 度分秒单位换算
3. 计算器三角函数操作
【点评】
本题是锐角三角函数的基础操作题，主要考查对计算器反三角函数功能的使用熟练度，以及度分秒60进制换算规则的掌握，解题时需注意提前确认计算器为角度模式，换算时严格遵循60进位规则，避免因模式错误或换算进位失误丢分。
【难度系数】
0.8
6 [2026 安徽池州期末]三角函数 $\sin 30°$, $\cos 16°$,$\sin 43°$之间的大小关系是 （
A.$\sin 43° ＞ \cos 16° ＞ \sin 30°$
B.$\cos 16° ＞ \sin 30° ＞ \sin 43°$
C.$\cos 16° ＞ \sin 43° ＞ \sin 30°$
D.$\sin 43° ＞ \sin 30° ＞ \cos 16°$
C
）A.$\sin 43° ＞ \cos 16° ＞ \sin 30°$
B.$\cos 16° ＞ \sin 30° ＞ \sin 43°$
C.$\cos 16° ＞ \sin 43° ＞ \sin 30°$
D.$\sin 43° ＞ \sin 30° ＞ \cos 16°$
答案
6.C 【解析】$\cos 16°=\sin(90°-16°)=\sin 74°$.
∵ 当 $0°＜α＜90°$时,$\sin α$ 的值随 $α$ 的增大而增大,
∴ $\sin 74°＞ \sin 43°＞ \sin 30°$,即 $\cos 16°＞\sin 43°＞\sin 30°$. 故选 C.
∵ 当 $0°＜α＜90°$时,$\sin α$ 的值随 $α$ 的增大而增大,
∴ $\sin 74°＞ \sin 43°＞ \sin 30°$,即 $\cos 16°＞\sin 43°＞\sin 30°$. 故选 C.
解析
【分析】
要比较不同名的锐角三角函数的大小，首先需要将三角函数统一为同名函数：利用“锐角的余弦值等于它的余角的正弦值”，将$\cos16°$转化为正弦形式，再结合$0°∼90°$范围内正弦函数的增减性（角度越大，对应正弦值越大），通过比较角度的大小即可得出三角函数值的大小关系。
【解析】
根据互余两角的三角函数关系可得：
$\cos 16°=\sin(90°-16°)=\sin 74°$
已知当$0°＜α＜90°$时，$\sinα$的值随$α$的增大而增大，
因为$74°＞43°＞30°$，所以$\sin74°＞\sin43°＞\sin30°$，
代入换算关系可得：$\cos16°＞\sin43°＞\sin30°$。
故选C。
【答案】C
【知识点】
1. 互余两角三角函数关系
2. 锐角正弦函数的增减性
【点评】
本题属于锐角三角函数性质的基础应用题，解题关键是先统一三角函数名称，再结合对应三角函数的增减性判断大小，掌握锐角三角函数的基本性质是解题的核心。
【难度系数】
0.7
要比较不同名的锐角三角函数的大小，首先需要将三角函数统一为同名函数：利用“锐角的余弦值等于它的余角的正弦值”，将$\cos16°$转化为正弦形式，再结合$0°∼90°$范围内正弦函数的增减性（角度越大，对应正弦值越大），通过比较角度的大小即可得出三角函数值的大小关系。
【解析】
根据互余两角的三角函数关系可得：
$\cos 16°=\sin(90°-16°)=\sin 74°$
已知当$0°＜α＜90°$时，$\sinα$的值随$α$的增大而增大，
因为$74°＞43°＞30°$，所以$\sin74°＞\sin43°＞\sin30°$，
代入换算关系可得：$\cos16°＞\sin43°＞\sin30°$。
故选C。
【答案】C
【知识点】
1. 互余两角三角函数关系
2. 锐角正弦函数的增减性
【点评】
本题属于锐角三角函数性质的基础应用题，解题关键是先统一三角函数名称，再结合对应三角函数的增减性判断大小，掌握锐角三角函数的基本性质是解题的核心。
【难度系数】
0.7
7 通过计算(可用计算器),比较下列各对数的大小(填“＜”“＞”或“=”).
(1)$\sin 30°$
$\sin 36°$
$\sin 45°$
$\sin 60°$
$\sin 80°$
(2)根据以上计算结果,提出你的猜想:
(1)$\sin 30°$
=
$2\sin 15°\cos 15°$;$\sin 36°$
=
$2\sin 18°\cos 18°$;$\sin 45°$
=
$2\sin 22.5°\cos 22.5°$;$\sin 60°$
=
$2\sin 30°\cos 30°$;$\sin 80°$
=
$2\sin 40°\cos 40°$.(2)根据以上计算结果,提出你的猜想:
若$0°＜α＜90°$,则$\sin α=2\sin \frac{α}{2}\cos \frac{α}{2}$
.答案
7. (1)= = = = = (2)若$0°＜α＜90°$,则$\sin α=2\sin \frac{α}{2}\cos \frac{α}{2}$ 【解析】(1)通过计算器可得 $\sin 30°= 2\sin 15° \cos 15°$; $\sin 36° = 2\sin 18° \cos 18°$; $\sin 45° = 2\sin 22.5° \cos 22.5°$; $\sin 60° = 2\sin 30° \cos 30°$; $\sin 80° = 2\sin 40° \cos 40°$.
(2)猜想:若$0°＜α＜90°$,则$\sin α=2\sin \frac{α}{2}\cos \frac{α}{2}$.
(2)猜想:若$0°＜α＜90°$,则$\sin α=2\sin \frac{α}{2}\cos \frac{α}{2}$.
解析
【分析】
解决第(1)问时，可借助计算器分别计算每组式子左右两边的三角函数值，对比数值大小即可得到结论；解决第(2)问时，观察第(1)问中所有相等式子的共性，梳理左边角与右边角的数量关系、左右两边式子的结构特征，就能归纳猜想出一般规律。
【解析】
(1) 借助计算器计算各组数值：
① $\sin30°=0.5$，计算得$2\sin15°\cos15°\approx0.5$，因此$\sin30°=2\sin15°\cos15°$；
② 计算得$\sin36°\approx0.5878$，$2\sin18°\cos18°\approx0.5878$，因此$\sin36°=2\sin18°\cos18°$；
③ 计算得$\sin45°\approx0.7071$，$2\sin22.5°\cos22.5°\approx0.7071$，因此$\sin45°=2\sin22.5°\cos22.5°$；
④ 计算得$\sin60°\approx0.8660$，$2\sin30°\cos30°\approx0.8660$，因此$\sin60°=2\sin30°\cos30°$；
⑤ 计算得$\sin80°\approx0.9848$，$2\sin40°\cos40°\approx0.9848$，因此$\sin80°=2\sin40°\cos40°$。
(2) 观察上述式子可发现规律：左边为锐角$α$的正弦值，右边为2乘$\frac{α}{2}$的正弦值与$\frac{α}{2}$的余弦值的乘积，两边始终相等，因此可提出猜想。
【答案】
(1) $=$；$=$；$=$；$=$；$=$
(2) 若$0°＜α＜90°$，则$\sinα=2\sin\frac{α}{2}\cos\frac{α}{2}$
【知识点】
锐角三角函数计算，归纳推理
【点评】
本题从具体的三角函数计算实例出发，引导学生通过计算对比、归纳总结得到通用规律，既巩固了用计算器求锐角三角函数值的技能，也培养了从特殊到一般的探究思维。
【难度系数】
0.85
解决第(1)问时，可借助计算器分别计算每组式子左右两边的三角函数值，对比数值大小即可得到结论；解决第(2)问时，观察第(1)问中所有相等式子的共性，梳理左边角与右边角的数量关系、左右两边式子的结构特征，就能归纳猜想出一般规律。
【解析】
(1) 借助计算器计算各组数值：
① $\sin30°=0.5$，计算得$2\sin15°\cos15°\approx0.5$，因此$\sin30°=2\sin15°\cos15°$；
② 计算得$\sin36°\approx0.5878$，$2\sin18°\cos18°\approx0.5878$，因此$\sin36°=2\sin18°\cos18°$；
③ 计算得$\sin45°\approx0.7071$，$2\sin22.5°\cos22.5°\approx0.7071$，因此$\sin45°=2\sin22.5°\cos22.5°$；
④ 计算得$\sin60°\approx0.8660$，$2\sin30°\cos30°\approx0.8660$，因此$\sin60°=2\sin30°\cos30°$；
⑤ 计算得$\sin80°\approx0.9848$，$2\sin40°\cos40°\approx0.9848$，因此$\sin80°=2\sin40°\cos40°$。
(2) 观察上述式子可发现规律：左边为锐角$α$的正弦值，右边为2乘$\frac{α}{2}$的正弦值与$\frac{α}{2}$的余弦值的乘积，两边始终相等，因此可提出猜想。
【答案】
(1) $=$；$=$；$=$；$=$；$=$
(2) 若$0°＜α＜90°$，则$\sinα=2\sin\frac{α}{2}\cos\frac{α}{2}$
【知识点】
锐角三角函数计算，归纳推理
【点评】
本题从具体的三角函数计算实例出发，引导学生通过计算对比、归纳总结得到通用规律，既巩固了用计算器求锐角三角函数值的技能，也培养了从特殊到一般的探究思维。
【难度系数】
0.85
8(1)如图(1)、图(2)所示,锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的变化而变化,试探究随着锐角度数的增大,它的正弦值和余弦值变化的规律.
(2)根据你探究到的规律,试比较$18°,34°,50°,62°,88°$这些锐角的正弦值的大小关系和余弦值的大小关系.
(3)比较大小(在横线上填写“＞”“=”或“＜”):
若$α=45°$,则$\sinα$
(2)根据你探究到的规律,试比较$18°,34°,50°,62°,88°$这些锐角的正弦值的大小关系和余弦值的大小关系.
(3)比较大小(在横线上填写“＞”“=”或“＜”):
若$α=45°$,则$\sinα$
=
$\cosα$;若$0°＜α＜45°$,则$\sinα$ ＜
$\cosα$;若$45°＜α＜90°$,$\sinα$ ＞
$\cosα$.答案
8.【解】(1)在题图(1)中,令 $AB_1=AB_2=AB_3$.
∵ $B_1C_1 ⊥ AC$ 于点 $C_1$,$B_2C_2 ⊥ AC$ 于点 $C_2$,$B_3C_3 ⊥ AC$ 于点 $C_3$, $B_1C_1 ＞ B_2C_2 ＞ B_3C_3$, $∠ B_1AC_1＞∠ B_2AC_2＞∠ B_3AC_3$,
∴ $\sin ∠ B_1AC_1 = \frac{B_1C_1}{AB_1}$, $\sin ∠ B_2AC_2 = \frac{B_2C_2}{AB_2}$, $\sin ∠ B_3AC_3= \frac{B_3C_3}{AB_3}$,
∴ $\sin ∠ B_1AC_1 ＞ \sin∠ B_2AC_2＞\sin∠ B_3AC_3$.
如题图(2)所示,在 $\mathrm{Rt}△ ACB_3$ 中,$∠ C=90°$,$∠ B_3AC ＞ ∠ B_2AC ＞ ∠ B_1AC$, $\cos ∠ B_1AC = \frac{AC}{AB_1}$, $\cos ∠ B_2AC = \frac{AC}{AB_2}$, $\cos ∠ B_3AC = \frac{AC}{AB_3}$.
∵ $AB_3＞ AB_2 ＞ AB_1$,
∴ $\frac{AC}{AB_1} ＞ \frac{AC}{AB_2} ＞ \frac{AC}{AB_3}$, 即$\cos∠ B_3AC＜\cos∠ B_2AC＜\cos∠ B_1AC$.
结论:锐角的正弦值随角度的增大而增大,锐角的余弦值随角度的增大而减小.
(2)由(1)的结论可知 $\sin 88°＞ \sin 62°＞ \sin 50°＞ \sin 34°＞ \sin 18°$; $\cos 88°＜ \cos 62°＜ \cos 50°＜\cos 34°＜\cos 18°$.
(3)若$α=45°$,则 $\sin α=\cos α$;若$0°＜α＜45°$,则 $\sin α＜\cos α$;若$45°＜α＜90°$,则 $\sin α＞\cos α$.
故答案为=,＜,＞.
∵ $B_1C_1 ⊥ AC$ 于点 $C_1$,$B_2C_2 ⊥ AC$ 于点 $C_2$,$B_3C_3 ⊥ AC$ 于点 $C_3$, $B_1C_1 ＞ B_2C_2 ＞ B_3C_3$, $∠ B_1AC_1＞∠ B_2AC_2＞∠ B_3AC_3$,
∴ $\sin ∠ B_1AC_1 = \frac{B_1C_1}{AB_1}$, $\sin ∠ B_2AC_2 = \frac{B_2C_2}{AB_2}$, $\sin ∠ B_3AC_3= \frac{B_3C_3}{AB_3}$,
∴ $\sin ∠ B_1AC_1 ＞ \sin∠ B_2AC_2＞\sin∠ B_3AC_3$.
如题图(2)所示,在 $\mathrm{Rt}△ ACB_3$ 中,$∠ C=90°$,$∠ B_3AC ＞ ∠ B_2AC ＞ ∠ B_1AC$, $\cos ∠ B_1AC = \frac{AC}{AB_1}$, $\cos ∠ B_2AC = \frac{AC}{AB_2}$, $\cos ∠ B_3AC = \frac{AC}{AB_3}$.
∵ $AB_3＞ AB_2 ＞ AB_1$,
∴ $\frac{AC}{AB_1} ＞ \frac{AC}{AB_2} ＞ \frac{AC}{AB_3}$, 即$\cos∠ B_3AC＜\cos∠ B_2AC＜\cos∠ B_1AC$.
结论:锐角的正弦值随角度的增大而增大,锐角的余弦值随角度的增大而减小.
(2)由(1)的结论可知 $\sin 88°＞ \sin 62°＞ \sin 50°＞ \sin 34°＞ \sin 18°$; $\cos 88°＜ \cos 62°＜ \cos 50°＜\cos 34°＜\cos 18°$.
(3)若$α=45°$,则 $\sin α=\cos α$;若$0°＜α＜45°$,则 $\sin α＜\cos α$;若$45°＜α＜90°$,则 $\sin α＞\cos α$.
故答案为=,＜,＞.
解析
【分析】
解题可分三步思考：1. 探究规律阶段，用控制变量法结合锐角三角函数定义推导增减性：探究正弦规律时控制斜边长度相等，对比不同角度下对边的长度变化；探究余弦规律时控制邻边长度相等，对比不同角度下斜边的长度变化。2. 多个锐角三角函数值比较大小阶段，直接使用第一步得到的增减性规律，按角度大小排序即可得到对应三角函数值的大小关系。3. 同角正余弦比较大小阶段，先明确45°角的正余弦值相等，再结合增减性判断不同角度范围的大小关系。
【解析】
(1) 探究变化规律：
① 正弦值规律：在图(1)中令 $AB_1=AB_2=AB_3$，
∵ $B_1C_1 ⊥ AC$，$B_2C_2 ⊥ AC$，$B_3C_3 ⊥ AC$，
∴ $B_1C_1 ＞ B_2C_2 ＞ B_3C_3$，且$∠ B_1AC_1＞∠ B_2AC_2＞∠ B_3AC_3$，
由正弦定义得：$\sin ∠ B_1AC_1 = \frac{B_1C_1}{AB_1}$，$\sin ∠ B_2AC_2 = \frac{B_2C_2}{AB_2}$，$\sin ∠ B_3AC_3= \frac{B_3C_3}{AB_3}$，
∴ $\sin ∠ B_1AC_1 ＞ \sin∠ B_2AC_2＞\sin∠ B_3AC_3$。
② 余弦值规律：在图(2)的$\mathrm{Rt}△ ACB_3$中，$∠ C=90°$，$∠ B_3AC ＞ ∠ B_2AC ＞ ∠ B_1AC$，
由余弦定义得：$\cos ∠ B_1AC = \frac{AC}{AB_1}$，$\cos ∠ B_2AC = \frac{AC}{AB_2}$，$\cos ∠ B_3AC = \frac{AC}{AB_3}$，
∵ $AB_3＞ AB_2 ＞ AB_1$，
∴ $\frac{AC}{AB_1} ＞ \frac{AC}{AB_2} ＞ \frac{AC}{AB_3}$，即$\cos∠ B_3AC＜\cos∠ B_2AC＜\cos∠ B_1AC$。
综上可得结论：锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小。
(2) 应用规律比较大小：
根据正弦值随角度增大而增大，角度排序为$88°＞62°＞50°＞34°＞18°$，因此$\sin 88°＞ \sin 62°＞ \sin 50°＞ \sin 34°＞ \sin 18°$；
根据余弦值随角度增大而减小，因此$\cos 88°＜ \cos 62°＜ \cos 50°＜\cos 34°＜\cos 18°$。
(3) 同角正余弦比较：
当$α=45°$时，$\sin45°=\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，故$\sinα = \cosα$；
当$0°＜α＜45°$时，$\sinα＜\sin45°$，$\cosα＞\cos45°$，故$\sinα ＜ \cosα$；
当$45°＜α＜90°$时，$\sinα＞\sin45°$，$\cosα＜\cos45°$，故$\sinα ＞ \cosα$。
【答案】
(1) 锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小；
(2) $\sin 88°＞ \sin 62°＞ \sin 50°＞ \sin 34°＞ \sin 18°$；$\cos 88°＜ \cos 62°＜ \cos 50°＜\cos 34°＜\cos 18°$；
(3) =；＜；＞
【知识点】
锐角三角函数的定义；锐角三角函数的增减性；特殊角的三角函数值
【点评】
本题借助数形结合探究锐角三角函数的增减性，再利用推导的规律解决大小比较问题，既考查对三角函数定义的理解，也考查规律探究和迁移应用的能力，是三角函数性质部分的基础题型。
【难度系数】
0.7
解题可分三步思考：1. 探究规律阶段，用控制变量法结合锐角三角函数定义推导增减性：探究正弦规律时控制斜边长度相等，对比不同角度下对边的长度变化；探究余弦规律时控制邻边长度相等，对比不同角度下斜边的长度变化。2. 多个锐角三角函数值比较大小阶段，直接使用第一步得到的增减性规律，按角度大小排序即可得到对应三角函数值的大小关系。3. 同角正余弦比较大小阶段，先明确45°角的正余弦值相等，再结合增减性判断不同角度范围的大小关系。
【解析】
(1) 探究变化规律：
① 正弦值规律：在图(1)中令 $AB_1=AB_2=AB_3$，
∵ $B_1C_1 ⊥ AC$，$B_2C_2 ⊥ AC$，$B_3C_3 ⊥ AC$，
∴ $B_1C_1 ＞ B_2C_2 ＞ B_3C_3$，且$∠ B_1AC_1＞∠ B_2AC_2＞∠ B_3AC_3$，
由正弦定义得：$\sin ∠ B_1AC_1 = \frac{B_1C_1}{AB_1}$，$\sin ∠ B_2AC_2 = \frac{B_2C_2}{AB_2}$，$\sin ∠ B_3AC_3= \frac{B_3C_3}{AB_3}$，
∴ $\sin ∠ B_1AC_1 ＞ \sin∠ B_2AC_2＞\sin∠ B_3AC_3$。
② 余弦值规律：在图(2)的$\mathrm{Rt}△ ACB_3$中，$∠ C=90°$，$∠ B_3AC ＞ ∠ B_2AC ＞ ∠ B_1AC$，
由余弦定义得：$\cos ∠ B_1AC = \frac{AC}{AB_1}$，$\cos ∠ B_2AC = \frac{AC}{AB_2}$，$\cos ∠ B_3AC = \frac{AC}{AB_3}$，
∵ $AB_3＞ AB_2 ＞ AB_1$，
∴ $\frac{AC}{AB_1} ＞ \frac{AC}{AB_2} ＞ \frac{AC}{AB_3}$，即$\cos∠ B_3AC＜\cos∠ B_2AC＜\cos∠ B_1AC$。
综上可得结论：锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小。
(2) 应用规律比较大小：
根据正弦值随角度增大而增大，角度排序为$88°＞62°＞50°＞34°＞18°$，因此$\sin 88°＞ \sin 62°＞ \sin 50°＞ \sin 34°＞ \sin 18°$；
根据余弦值随角度增大而减小，因此$\cos 88°＜ \cos 62°＜ \cos 50°＜\cos 34°＜\cos 18°$。
(3) 同角正余弦比较：
当$α=45°$时，$\sin45°=\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，故$\sinα = \cosα$；
当$0°＜α＜45°$时，$\sinα＜\sin45°$，$\cosα＞\cos45°$，故$\sinα ＜ \cosα$；
当$45°＜α＜90°$时，$\sinα＞\sin45°$，$\cosα＜\cos45°$，故$\sinα ＞ \cosα$。
【答案】
(1) 锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小；
(2) $\sin 88°＞ \sin 62°＞ \sin 50°＞ \sin 34°＞ \sin 18°$；$\cos 88°＜ \cos 62°＜ \cos 50°＜\cos 34°＜\cos 18°$；
(3) =；＜；＞
【知识点】
锐角三角函数的定义；锐角三角函数的增减性；特殊角的三角函数值
【点评】
本题借助数形结合探究锐角三角函数的增减性，再利用推导的规律解决大小比较问题，既考查对三角函数定义的理解，也考查规律探究和迁移应用的能力，是三角函数性质部分的基础题型。
【难度系数】
0.7
