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1[2026安徽合肥校级质检,中]按如图所示的运算程序计算,能使输出y的值为$\frac{1}{2}$的是（
A.$α=60°,β=45°$
B.$α=30°,β=45°$
C.$α=60°,β=60°$
D.$α=45°,β=60°$
D
）A.$α=60°,β=45°$
B.$α=30°,β=45°$
C.$α=60°,β=60°$
D.$α=45°,β=60°$
答案
【解析】当 $α=60°,β=45°$时,$∵ α＞β$,$∴ y=\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$,$∴ A$ 选项不符合题意;当 $α=30°,β=45°$时,$∵ α＜β$,$∴ y=\cos 45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$,$∴ B$ 选项不符合题意;当 $α=60°,β=60°$时,$∵ α=β$,$∴ y=\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$,$∴ C$ 选项不符合题意;当 $α=45°,β=60°$时,$∵ α＜β$,$∴ y=\cos 60°=\frac{1}{2}$,$∴ D$ 选项符合题意. 故选 D.
解析
【分析】
解题时首先要读懂运算程序的逻辑：先比较输入的$α$和$β$的大小，若$α≥β$，则输出$y=\sinα$；若$α＜β$，则输出$y=\cosβ$。接下来将四个选项的$α$、$β$值分别代入对应公式计算$y$的值，找出$y=\frac{1}{2}$的选项即可，过程中要准确记忆$30°$、$45°$、$60°$角的三角函数值。
【解析】
当$α=60°,β=45°$时，$\because α＞β$，$\therefore y=\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，A选项不符合题意；
当$α=30°,β=45°$时，$\because α＜β$，$\therefore y=\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，B选项不符合题意；
当$α=60°,β=60°$时，$\because α=β$，$\therefore y=\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，C选项不符合题意；
当$α=45°,β=60°$时，$\because α＜β$，$\therefore y=\cos60°=\frac{1}{2}$，D选项符合题意。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
特殊角的三角函数值；程序框图运算；实数大小比较
【点评】
本题将程序运算和三角函数计算结合，形式较为新颖，核心考查对特殊角三角函数值的识记，解题的关键是理清程序的分支判断逻辑，再逐一验证选项即可。
【难度系数】
0.7
解题时首先要读懂运算程序的逻辑：先比较输入的$α$和$β$的大小，若$α≥β$，则输出$y=\sinα$；若$α＜β$，则输出$y=\cosβ$。接下来将四个选项的$α$、$β$值分别代入对应公式计算$y$的值，找出$y=\frac{1}{2}$的选项即可，过程中要准确记忆$30°$、$45°$、$60°$角的三角函数值。
【解析】
当$α=60°,β=45°$时，$\because α＞β$，$\therefore y=\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，A选项不符合题意；
当$α=30°,β=45°$时，$\because α＜β$，$\therefore y=\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，B选项不符合题意；
当$α=60°,β=60°$时，$\because α=β$，$\therefore y=\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，C选项不符合题意；
当$α=45°,β=60°$时，$\because α＜β$，$\therefore y=\cos60°=\frac{1}{2}$，D选项符合题意。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
特殊角的三角函数值；程序框图运算；实数大小比较
【点评】
本题将程序运算和三角函数计算结合，形式较为新颖，核心考查对特殊角三角函数值的识记，解题的关键是理清程序的分支判断逻辑，再逐一验证选项即可。
【难度系数】
0.7
2[中]在$△ ABC$中，$∠ A$，$∠ B$均为锐角，且满足$(\sqrt{3}\tan A - 3)^2 + |2\cos B -1|=0$，则$△ ABC$是（
A.直角三角形
B.等边三角形
C.含有$60°$角的任意三角形
D.顶角为钝角的等腰三角形
B
）A.直角三角形
B.等边三角形
C.含有$60°$角的任意三角形
D.顶角为钝角的等腰三角形
答案
【解析】
∵ $(\sqrt{3}\tan A - 3)^2 + |2\cos B -1|=0$,
∴ $\sqrt{3}\tan A - 3 = 0$, $2\cos B - 1 = 0$,
∴ $\tan A = \sqrt{3}$, $\cos B = \frac{1}{2}$.
∵ $∠ A, ∠ B$ 均为锐角,
∴ $∠ A=60°$,$∠ B=60°$,
∴ $△ ABC$ 是等边三角形. 故选 B.
∵ $(\sqrt{3}\tan A - 3)^2 + |2\cos B -1|=0$,
∴ $\sqrt{3}\tan A - 3 = 0$, $2\cos B - 1 = 0$,
∴ $\tan A = \sqrt{3}$, $\cos B = \frac{1}{2}$.
∵ $∠ A, ∠ B$ 均为锐角,
∴ $∠ A=60°$,$∠ B=60°$,
∴ $△ ABC$ 是等边三角形. 故选 B.
解析
【分析】
解题时首先回忆非负数的性质：平方和绝对值都是非负数，若两个非负数的和为0，则这两个非负数各自为0。据此我们可以列出关于$\tan A$和$\cos B$的等式，求解得到两个三角函数值后，结合$∠ A$、$∠ B$都是锐角的条件，对应特殊角的三角函数值求出$∠ A$和$∠ B$的度数，最后计算第三个内角的度数，即可判断三角形的形状。
【解析】
∵ $(\sqrt{3}\tan A - 3)^2 + |2\cos B -1|=0$，且平方、绝对值均为非负数，
∴ $\sqrt{3}\tan A - 3 = 0$，$2\cos B - 1 = 0$，
解得 $\tan A = \sqrt{3}$，$\cos B = \frac{1}{2}$。
又
∵ $∠ A, ∠ B$ 均为锐角，
∴ $∠ A=60°$，$∠ B=60°$，
∴ $∠C=180°-∠A-∠B=60°$，
∴ $△ ABC$ 的三个内角都为$60°$，是等边三角形。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
非负数的性质；特殊角的三角函数值；等边三角形的判定
【点评】
本题是基础综合类题目，解题的核心是先利用非负数的性质求出对应角的三角函数值，再结合特殊角的三角函数值确定内角大小，最终判断三角形形状，是特殊角三角函数值章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆非负数的性质：平方和绝对值都是非负数，若两个非负数的和为0，则这两个非负数各自为0。据此我们可以列出关于$\tan A$和$\cos B$的等式，求解得到两个三角函数值后，结合$∠ A$、$∠ B$都是锐角的条件，对应特殊角的三角函数值求出$∠ A$和$∠ B$的度数，最后计算第三个内角的度数，即可判断三角形的形状。
【解析】
∵ $(\sqrt{3}\tan A - 3)^2 + |2\cos B -1|=0$，且平方、绝对值均为非负数，
∴ $\sqrt{3}\tan A - 3 = 0$，$2\cos B - 1 = 0$，
解得 $\tan A = \sqrt{3}$，$\cos B = \frac{1}{2}$。
又
∵ $∠ A, ∠ B$ 均为锐角，
∴ $∠ A=60°$，$∠ B=60°$，
∴ $∠C=180°-∠A-∠B=60°$，
∴ $△ ABC$ 的三个内角都为$60°$，是等边三角形。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
非负数的性质；特殊角的三角函数值；等边三角形的判定
【点评】
本题是基础综合类题目，解题的核心是先利用非负数的性质求出对应角的三角函数值，再结合特殊角的三角函数值确定内角大小，最终判断三角形形状，是特殊角三角函数值章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
3[中]如图,等边三角形ABC中,D,E分别为AB,BC边上的点,AD=BE,AE与CD交于点F,AG⊥CD于点G,则$\frac{AG}{AF}$的值为
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
.答案
【解析】等边△ABC 中，$AC=AB$，$∠CAD=∠ABE=60°$，又$AD=BE$，
∴ $△CAD≌△ABE$，可得$∠AFD=60°$，在Rt△AFG中，$\frac{AG}{AF}=\sin∠AFD=\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
∴ $△CAD≌△ABE$，可得$∠AFD=60°$，在Rt△AFG中，$\frac{AG}{AF}=\sin∠AFD=\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
解析
【分析】
首先利用等边三角形的性质得到边相等、内角为60°的条件，结合已知AD=BE，可通过SAS证明△CAD和△ABE全等，得到对应角相等的关系。要求$\frac{AG}{AF}$的比值，可结合AG⊥CD的条件，利用直角三角形中三角函数的定义求解，因此需要先推出Rt△AGF中锐角∠AFD的度数，通过外角性质和角的等量代换即可得到∠AFD=60°，最后代入60°的正弦值即可求出结果。
【解析】
∵ △ABC是等边三角形，
∴ $AC=AB$，$∠CAD=∠ABE=60°$，
在△CAD和△ABE中：
$\begin{cases}AC=AB \\∠CAD=∠ABE \\AD=BE\end{cases}$
∴ $△CAD≌△ABE$（SAS），
∴ $∠ACD=∠BAE$，
∵ ∠AFD是△AFC的外角，
∴ $∠AFD=∠CAF+∠ACD=∠CAF+∠BAE=∠CAB=60°$，
∵ $AG⊥CD$，
∴ △AGF是直角三角形，
在Rt△AGF中，$\frac{AG}{AF}=\sin∠AFD=\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值
【点评】
本题是几何综合基础题，解题核心是通过全等三角形转化角的关系，得到直角三角形中锐角的度数，再结合三角函数定义求解，逻辑链条清晰，是巩固几何与三角函数结合应用的典型习题。
【难度系数】
0.6
首先利用等边三角形的性质得到边相等、内角为60°的条件，结合已知AD=BE，可通过SAS证明△CAD和△ABE全等，得到对应角相等的关系。要求$\frac{AG}{AF}$的比值，可结合AG⊥CD的条件，利用直角三角形中三角函数的定义求解，因此需要先推出Rt△AGF中锐角∠AFD的度数，通过外角性质和角的等量代换即可得到∠AFD=60°，最后代入60°的正弦值即可求出结果。
【解析】
∵ △ABC是等边三角形，
∴ $AC=AB$，$∠CAD=∠ABE=60°$，
在△CAD和△ABE中：
$\begin{cases}AC=AB \\∠CAD=∠ABE \\AD=BE\end{cases}$
∴ $△CAD≌△ABE$（SAS），
∴ $∠ACD=∠BAE$，
∵ ∠AFD是△AFC的外角，
∴ $∠AFD=∠CAF+∠ACD=∠CAF+∠BAE=∠CAB=60°$，
∵ $AG⊥CD$，
∴ △AGF是直角三角形，
在Rt△AGF中，$\frac{AG}{AF}=\sin∠AFD=\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值
【点评】
本题是几何综合基础题，解题核心是通过全等三角形转化角的关系，得到直角三角形中锐角的度数，再结合三角函数定义求解，逻辑链条清晰，是巩固几何与三角函数结合应用的典型习题。
【难度系数】
0.6
4 [2026安徽六安校级质检，中]如图，△ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上(每个小正方形的边长均为1)，则$\tan(α+β)$ $\tanα+\tanβ$. (填“＞”“=”或“＜”)
答案
$\boldsymbol{＞}$
解析
【分析】
解题思路可分三步：第一步，根据正切的定义（直角三角形中锐角的对边与邻边的比值），结合网格边长为1的条件，分别算出$\tanα$、$\tanβ$的值，再求和；第二步，用勾股定理计算$△ ABC$的三边长，通过勾股定理逆定理判断三角形形状，得到$α+β$的度数，进而求出$\tan(α+β)$的值；第三步，比较两个值的大小即可得到结论。
【解析】
设每个小正方形的边长为1：
1. 计算$\tanα+\tanβ$的值：
由图可知，$α$的对边长度为1，邻边长度为3，因此$\tanα=\frac{1}{3}$；
$β$的对边长度为1，邻边长度为2，因此$\tanβ=\frac{1}{2}$；
所以$\tanα+\tanβ=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{5}{6}$。
2. 计算$\tan(α+β)$的值：
由网格可得$△ ABC$三边长：
$AC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$BC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$AB=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$；
因为$AC^2+BC^2=5+5=10=AB^2$，且$AC=BC$，所以$△ ABC$是等腰直角三角形，$∠ CAB=45°$，而$∠ CAB=α+β$，因此$\tan(α+β)=\tan45°=1$。
3. 比较大小：
因为$1＞\frac{5}{6}$，所以$\tan(α+β)＞\tanα+\tanβ$。
【答案】
$\boldsymbol{＞}$
【知识点】
正切的定义，勾股定理逆定理，特殊角的三角函数值
【点评】
本题结合网格考查三角函数的相关计算，解题核心是利用网格特征通过勾股定理逆定理判断三角形形状，得到$α+β$的度数，再结合正切的定义计算比较，能很好地考查学生对网格类几何问题的分析能力。
【难度系数】
0.6
解题思路可分三步：第一步，根据正切的定义（直角三角形中锐角的对边与邻边的比值），结合网格边长为1的条件，分别算出$\tanα$、$\tanβ$的值，再求和；第二步，用勾股定理计算$△ ABC$的三边长，通过勾股定理逆定理判断三角形形状，得到$α+β$的度数，进而求出$\tan(α+β)$的值；第三步，比较两个值的大小即可得到结论。
【解析】
设每个小正方形的边长为1：
1. 计算$\tanα+\tanβ$的值：
由图可知，$α$的对边长度为1，邻边长度为3，因此$\tanα=\frac{1}{3}$；
$β$的对边长度为1，邻边长度为2，因此$\tanβ=\frac{1}{2}$；
所以$\tanα+\tanβ=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{5}{6}$。
2. 计算$\tan(α+β)$的值：
由网格可得$△ ABC$三边长：
$AC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$BC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$AB=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$；
因为$AC^2+BC^2=5+5=10=AB^2$，且$AC=BC$，所以$△ ABC$是等腰直角三角形，$∠ CAB=45°$，而$∠ CAB=α+β$，因此$\tan(α+β)=\tan45°=1$。
3. 比较大小：
因为$1＞\frac{5}{6}$，所以$\tan(α+β)＞\tanα+\tanβ$。
【答案】
$\boldsymbol{＞}$
【知识点】
正切的定义，勾股定理逆定理，特殊角的三角函数值
【点评】
本题结合网格考查三角函数的相关计算，解题核心是利用网格特征通过勾股定理逆定理判断三角形形状，得到$α+β$的度数，再结合正切的定义计算比较，能很好地考查学生对网格类几何问题的分析能力。
【难度系数】
0.6
5[中]∠A,∠B为Rt△ABC的两个锐角,且$\sin A,\cos B$是方程$x^2-\sqrt{2}x+m=0$的两个实数根.求$m$的值及$∠ A,∠ B$的度数.
答案
【解】
∵ $∠ A,∠ B$ 为 Rt△ABC 的两个锐角,
∴ $\sin A = \frac{BC}{AB}=\cos B$.
∵ $\sin A,\cos B$ 是方程 $x^2-\sqrt{2}x+m=0$ 的两个实数根,
∴ $\sin A + \cos B = \sqrt{2}$,
∴ $\sin A = \cos B = \frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴ $∠ A = ∠ B = 45°$.
∵ $\sin A · \cos B = m$,
∴ $m = \frac{1}{2}$.
∵ $∠ A,∠ B$ 为 Rt△ABC 的两个锐角,
∴ $\sin A = \frac{BC}{AB}=\cos B$.
∵ $\sin A,\cos B$ 是方程 $x^2-\sqrt{2}x+m=0$ 的两个实数根,
∴ $\sin A + \cos B = \sqrt{2}$,
∴ $\sin A = \cos B = \frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴ $∠ A = ∠ B = 45°$.
∵ $\sin A · \cos B = m$,
∴ $m = \frac{1}{2}$.
解析
【分析】
解题时先从直角三角形的锐角性质入手，Rt△ABC的两个锐角互余，由此可得$\sin A=\cos B$；再结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），可得到两根之和、两根之积与方程系数的对应关系，代入相等的两个根就能先求出$\sin A$和$\cos B$的值，进而得出对应锐角的度数，最后用两根之积即可算出m的值。
【解析】
∵ $∠ A,∠ B$ 为 Rt△ABC 的两个锐角，
∴ $∠A+∠B=90°$，可得$\sin A = \cos B$。
∵ $\sin A,\cos B$是方程 $x^2-\sqrt{2}x+m=0$ 的两个实数根，根据韦达定理可得：
$\sin A + \cos B = \sqrt{2}$，
把$\sin A = \cos B$代入上式，得$2\sin A=\sqrt{2}$，
解得$\sin A = \cos B = \frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵ $∠A、∠B$均为锐角，
∴ $∠ A = ∠ B = 45°$。
再根据韦达定理，两根之积等于常数项与二次项系数的比，即：
$\sin A · \cos B = m$，
代入数值计算得$m = \frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$m=\frac{1}{2}$，$∠A=45°$，$∠B=45°$
【知识点】
互余角的三角函数关系；一元二次方程根与系数的关系；特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础综合题，将三角函数性质和一元二次方程知识结合考查，解题关键是利用直角三角形锐角互余的性质推出两个方程根相等，再结合韦达定理逐步推导，需要掌握相关知识点的关联应用。
【难度系数】
0.6
解题时先从直角三角形的锐角性质入手，Rt△ABC的两个锐角互余，由此可得$\sin A=\cos B$；再结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），可得到两根之和、两根之积与方程系数的对应关系，代入相等的两个根就能先求出$\sin A$和$\cos B$的值，进而得出对应锐角的度数，最后用两根之积即可算出m的值。
【解析】
∵ $∠ A,∠ B$ 为 Rt△ABC 的两个锐角，
∴ $∠A+∠B=90°$，可得$\sin A = \cos B$。
∵ $\sin A,\cos B$是方程 $x^2-\sqrt{2}x+m=0$ 的两个实数根，根据韦达定理可得：
$\sin A + \cos B = \sqrt{2}$，
把$\sin A = \cos B$代入上式，得$2\sin A=\sqrt{2}$，
解得$\sin A = \cos B = \frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵ $∠A、∠B$均为锐角，
∴ $∠ A = ∠ B = 45°$。
再根据韦达定理，两根之积等于常数项与二次项系数的比，即：
$\sin A · \cos B = m$，
代入数值计算得$m = \frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$m=\frac{1}{2}$，$∠A=45°$，$∠B=45°$
【知识点】
互余角的三角函数关系；一元二次方程根与系数的关系；特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础综合题，将三角函数性质和一元二次方程知识结合考查，解题关键是利用直角三角形锐角互余的性质推出两个方程根相等，再结合韦达定理逐步推导，需要掌握相关知识点的关联应用。
【难度系数】
0.6
6[2026江西抚州期中,较难]阅读理解：
如图,在直角三角形中,由锐角三角函数的定义
我们容易得到以下结论：
① $ \begin{array}{l}\sin A=\dfrac{a}{c}\\\cos B=\dfrac{a}{c}\end{array}\}⇒\sin A=\cos B$；
② $\dfrac{\sin A}{\cos A}=\dfrac{a}{c}·\dfrac{c}{b}=\dfrac{a}{b}=\tan A$；
③ $ \begin{array}{l}\tan A=\dfrac{a}{b}\\\tan B=\dfrac{b}{a}\end{array}\}⇒\tan A·\tan B=1$。
牛刀小试：
(1) 已知 $∠ A + ∠ B = 90°$，且 $\sin A = \dfrac{1}{3}$，则 $\cos B=$
(2) 已知 $∠ A$ 为锐角，且 $\tan A = 4$，求 $\dfrac{5\cos A + 2\sin A}{3\cos A - \sin A}$ 的值。
(3) 试求出 $\tan 1°·\tan 2°·\tan 3°·\tan 4°·\tan 86°·\tan 87°·\tan 88°·\tan 89°$ 的值。
如图,在直角三角形中,由锐角三角函数的定义
我们容易得到以下结论：
① $ \begin{array}{l}\sin A=\dfrac{a}{c}\\\cos B=\dfrac{a}{c}\end{array}\}⇒\sin A=\cos B$；
② $\dfrac{\sin A}{\cos A}=\dfrac{a}{c}·\dfrac{c}{b}=\dfrac{a}{b}=\tan A$；
③ $ \begin{array}{l}\tan A=\dfrac{a}{b}\\\tan B=\dfrac{b}{a}\end{array}\}⇒\tan A·\tan B=1$。
牛刀小试：
(1) 已知 $∠ A + ∠ B = 90°$，且 $\sin A = \dfrac{1}{3}$，则 $\cos B=$
$\frac{1}{3}$
。(2) 已知 $∠ A$ 为锐角，且 $\tan A = 4$，求 $\dfrac{5\cos A + 2\sin A}{3\cos A - \sin A}$ 的值。
(3) 试求出 $\tan 1°·\tan 2°·\tan 3°·\tan 4°·\tan 86°·\tan 87°·\tan 88°·\tan 89°$ 的值。
答案
(1)
∵ $∠ A + ∠ B = 90°$, $\sin A = \frac{1}{3}$,
∴ $\cos B = \sin A = \frac{1}{3}$. 故答案为 $\frac{1}{3}$.
(2)
∵ $\tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = 4$,
∴ $\sin A = 4\cos A$,
∴ $\frac{5\cos A + 2\sin A}{3\cos A - \sin A} = \frac{5\cos A + 2×4\cos A}{3\cos A - 4\cos A} = -13$.
(3) 原式 = $(\tan 1° · \tan 89°) · (\tan 2° · \tan 88°) · (\tan 3° · \tan 87°) · (\tan 4° · \tan 86°) = 1$.
∵ $∠ A + ∠ B = 90°$, $\sin A = \frac{1}{3}$,
∴ $\cos B = \sin A = \frac{1}{3}$. 故答案为 $\frac{1}{3}$.
(2)
∵ $\tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = 4$,
∴ $\sin A = 4\cos A$,
∴ $\frac{5\cos A + 2\sin A}{3\cos A - \sin A} = \frac{5\cos A + 2×4\cos A}{3\cos A - 4\cos A} = -13$.
(3) 原式 = $(\tan 1° · \tan 89°) · (\tan 2° · \tan 88°) · (\tan 3° · \tan 87°) · (\tan 4° · \tan 86°) = 1$.
解析
【分析】
（1）根据材料给出的互余锐角三角函数性质，当∠A+∠B=90°时，sinA=cosB，直接代入已知的sinA的值即可求解；
（2）利用材料中同角三角函数的商数关系$\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}$，结合已知$\tan A=4$得到$\sin A$与$\cos A$的数量关系，代入待求分式后可约去公因式$\cos A$，进而算出结果；
（3）根据材料中互余两角的正切乘积为1的结论，观察到$1°+89°=90°、2°+88°=90°、3°+87°=90°、4°+86°=90°$，将互余角的正切两两配对计算，即可快速得到乘积结果。
【解析】
(1)
∵ $∠ A + ∠ B = 90°$，根据互余锐角三角函数性质可得$\cos B = \sin A$，
又$\sin A = \frac{1}{3}$，
∴ $\cos B = \frac{1}{3}$。
(2) 根据同角三角函数的商数关系可得$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = 4$，
∴ $\sin A = 4\cos A$，
将$\sin A = 4\cos A$代入待求式：
$\frac{5\cos A + 2\sin A}{3\cos A - \sin A} = \frac{5\cos A + 2×4\cos A}{3\cos A - 4\cos A} = \frac{13\cos A}{-\cos A}=-13$。
(3) 观察角度可得$1°+89°=90°、2°+88°=90°、3°+87°=90°、4°+86°=90°$，根据互余两角正切乘积为1的性质，将原式两两分组：
原式 = $(\tan 1° · \tan 89°) · (\tan 2° · \tan 88°) · (\tan 3° · \tan 87°) · (\tan 4° · \tan 86°)$
$=1×1×1×1$
$=1$。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$；(2) $-13$；(3) $1$
【知识点】
1. 互余锐角三角函数性质
2. 同角三角函数商数关系
3. 三角函数化简运算
【点评】
本题属于阅读理解类题型，需要先准确理解材料给出的三角函数相关性质，再结合性质灵活解决问题，既考查对基础三角函数概念的掌握，也考查知识迁移应用和找规律的能力。
【难度系数】
0.7
（1）根据材料给出的互余锐角三角函数性质，当∠A+∠B=90°时，sinA=cosB，直接代入已知的sinA的值即可求解；
（2）利用材料中同角三角函数的商数关系$\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}$，结合已知$\tan A=4$得到$\sin A$与$\cos A$的数量关系，代入待求分式后可约去公因式$\cos A$，进而算出结果；
（3）根据材料中互余两角的正切乘积为1的结论，观察到$1°+89°=90°、2°+88°=90°、3°+87°=90°、4°+86°=90°$，将互余角的正切两两配对计算，即可快速得到乘积结果。
【解析】
(1)
∵ $∠ A + ∠ B = 90°$，根据互余锐角三角函数性质可得$\cos B = \sin A$，
又$\sin A = \frac{1}{3}$，
∴ $\cos B = \frac{1}{3}$。
(2) 根据同角三角函数的商数关系可得$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = 4$，
∴ $\sin A = 4\cos A$，
将$\sin A = 4\cos A$代入待求式：
$\frac{5\cos A + 2\sin A}{3\cos A - \sin A} = \frac{5\cos A + 2×4\cos A}{3\cos A - 4\cos A} = \frac{13\cos A}{-\cos A}=-13$。
(3) 观察角度可得$1°+89°=90°、2°+88°=90°、3°+87°=90°、4°+86°=90°$，根据互余两角正切乘积为1的性质，将原式两两分组：
原式 = $(\tan 1° · \tan 89°) · (\tan 2° · \tan 88°) · (\tan 3° · \tan 87°) · (\tan 4° · \tan 86°)$
$=1×1×1×1$
$=1$。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$；(2) $-13$；(3) $1$
【知识点】
1. 互余锐角三角函数性质
2. 同角三角函数商数关系
3. 三角函数化简运算
【点评】
本题属于阅读理解类题型，需要先准确理解材料给出的三角函数相关性质，再结合性质灵活解决问题，既考查对基础三角函数概念的掌握，也考查知识迁移应用和找规律的能力。
【难度系数】
0.7
7 核心素养运算能力 [难]规定:$\sin(-x)=-\sin x$, $\cos(-x)=\cos x$, $\sin(x+y)=\sin x · \cos y + \cos x · \sin y$.
(1)据此判断下列等式成立的是
①$\cos(-60°)=-\dfrac{1}{2}$; ②$\sin2x=2\sin x · \cos x$;
③$\sin(x-y)=\sin x · \cos y - \cos x · \sin y$.
(2)利用上面的规定求:①$\sin75°$;②$\sin15°$.
(1)据此判断下列等式成立的是
②③
(填序号).①$\cos(-60°)=-\dfrac{1}{2}$; ②$\sin2x=2\sin x · \cos x$;
③$\sin(x-y)=\sin x · \cos y - \cos x · \sin y$.
(2)利用上面的规定求:①$\sin75°$;②$\sin15°$.
答案
【解】(1)①$\cos(-60°)=\cos 60°=\frac{1}{2}$,原等式不成立;②$\sin 2x=\sin(x+x)=\sin x · \cos x + \cos x · \sin x=2\sin x · \cos x$,等式成立;③$\sin(x-y)=\sin x · \cos(-y) + \cos x · \sin(-y)= \sin x · \cos y - \cos x · \sin y$,等式成立. 故答案为②③.
(2) ① $\sin 75° = \sin(30°+45°) = \sin 30° · \cos 45°+\cos 30° · \sin 45° = \frac{1}{2} × \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} × \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.
② $\sin 15° = \sin(45°-30°) = \sin 45° · \cos 30°- \cos 45° · \sin 30° = \frac{\sqrt{2}}{2} × \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} × \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.
(2) ① $\sin 75° = \sin(30°+45°) = \sin 30° · \cos 45°+\cos 30° · \sin 45° = \frac{1}{2} × \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} × \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.
② $\sin 15° = \sin(45°-30°) = \sin 45° · \cos 30°- \cos 45° · \sin 30° = \frac{\sqrt{2}}{2} × \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} × \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：(1) 第一问需结合题目给出的三角函数新规定，逐一验证三个等式：①用$\cos(-x)=\cos x$直接计算判断；②将$2x$拆为$x+x$，代入$\sin(x+y)$的公式推导验证；③将$x-y$转化为$x+(-y)$，结合负角的正余弦规定推导验证。(2) 第二问求非特殊角的正弦值，需将$75°$拆为$30°+45°$、$15°$拆为$45°-30°$，再代入对应的正弦和角、差角公式，代入特殊角的三角函数值化简计算即可。
【解析】
(1) 逐个判断等式：
① 根据$\cos(-x)=\cos x$，得$\cos(-60°)=\cos60°=\frac{1}{2}$，原等式不成立；
② $\sin2x=\sin(x+x)=\sin x·\cos x+\cos x·\sin x=2\sin x·\cos x$，等式成立；
③ $\sin(x-y)=\sin[x+(-y)]=\sin x·\cos(-y)+\cos x·\sin(-y)$，结合$\cos(-y)=\cos y$、$\sin(-y)=-\sin y$，代入得$\sin x·\cos y - \cos x·\sin y$，等式成立。
故第一问答案为②③。
(2) 计算非特殊角的正弦值：
① $\sin75°=\sin(30°+45°)$，代入和角公式：
$\sin75°=\sin30°·\cos45°+\cos30°·\sin45°=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{6}}{4}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
② $\sin15°=\sin(45°-30°)$，代入差角公式：
$\sin15°=\sin45°·\cos30°-\cos45°·\sin30°=\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{②③}$；(2) ①$\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$；②$\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}$
【知识点】
特殊角的三角函数值；三角函数公式推导；新定义规则应用
【点评】
本题属于新定义类运算题，既考查对给定规则的理解、推导能力，又考查特殊角三角函数值的掌握程度，计算时需注意角度拆分合理、符号判断准确，避免因公式记错或计算失误失分。
【难度系数】
0.4
本题分为两小问，解题思路如下：(1) 第一问需结合题目给出的三角函数新规定，逐一验证三个等式：①用$\cos(-x)=\cos x$直接计算判断；②将$2x$拆为$x+x$，代入$\sin(x+y)$的公式推导验证；③将$x-y$转化为$x+(-y)$，结合负角的正余弦规定推导验证。(2) 第二问求非特殊角的正弦值，需将$75°$拆为$30°+45°$、$15°$拆为$45°-30°$，再代入对应的正弦和角、差角公式，代入特殊角的三角函数值化简计算即可。
【解析】
(1) 逐个判断等式：
① 根据$\cos(-x)=\cos x$，得$\cos(-60°)=\cos60°=\frac{1}{2}$，原等式不成立；
② $\sin2x=\sin(x+x)=\sin x·\cos x+\cos x·\sin x=2\sin x·\cos x$，等式成立；
③ $\sin(x-y)=\sin[x+(-y)]=\sin x·\cos(-y)+\cos x·\sin(-y)$，结合$\cos(-y)=\cos y$、$\sin(-y)=-\sin y$，代入得$\sin x·\cos y - \cos x·\sin y$，等式成立。
故第一问答案为②③。
(2) 计算非特殊角的正弦值：
① $\sin75°=\sin(30°+45°)$，代入和角公式：
$\sin75°=\sin30°·\cos45°+\cos30°·\sin45°=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{6}}{4}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
② $\sin15°=\sin(45°-30°)$，代入差角公式：
$\sin15°=\sin45°·\cos30°-\cos45°·\sin30°=\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{②③}$；(2) ①$\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$；②$\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}$
【知识点】
特殊角的三角函数值；三角函数公式推导；新定义规则应用
【点评】
本题属于新定义类运算题，既考查对给定规则的理解、推导能力，又考查特殊角三角函数值的掌握程度，计算时需注意角度拆分合理、符号判断准确，避免因公式记错或计算失误失分。
【难度系数】
0.4
