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1 [2025 安徽宣城质检]下列计算不正确的是（
A.$\sin 45°\cos 45°=\frac{1}{2}$
B.$\sin 30°+\cos 60°=1$
C.$\frac{\sin 30°}{\cos 30°}=1$
D.$\sin^2 60°=\frac{3}{4}$
C
）A.$\sin 45°\cos 45°=\frac{1}{2}$
B.$\sin 30°+\cos 60°=1$
C.$\frac{\sin 30°}{\cos 30°}=1$
D.$\sin^2 60°=\frac{3}{4}$
答案
【解析】$\sin 45°\cos 45°=\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2}$,故A正确,不符合题意;$\sin 30°+\cos 60°=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$,故B正确,不符合题意;$\frac{\sin 30°}{\cos 30°}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,故C错误,符合题意;$\sin^2 60°=(\frac{\sqrt{3}}{2})^2=\frac{3}{4}$,故D正确,不符合题意. 故选 C.
解析
【分析】
本题要求选出计算不正确的选项，解题思路如下：首先牢记30°、45°、60°这三个特殊角的正弦、余弦三角函数值，再逐一将各选项中的三角函数替换为对应数值进行运算，将运算结果与选项给出的结果比对，判断对错，最终选出计算错误的选项即可。
【解析】
我们分别计算每个选项：
A. $\sin 45°\cos 45°=\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，计算正确，不符合题意；
B. $\sin 30°+\cos 60°=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$，计算正确，不符合题意；
C. $\frac{\sin 30°}{\cos 30°}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}≠1$，计算错误，符合题意；
D. $\sin^2 60°=(\frac{\sqrt{3}}{2})^2=\frac{3}{4}$，计算正确，不符合题意。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
特殊角的三角函数值；实数的混合运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对特殊角三角函数值的记忆，只要准确牢记各个特殊角的三角函数值，逐一计算验证即可得分，是对基础知识点掌握情况的常规考查。
【难度系数】
0.8
本题要求选出计算不正确的选项，解题思路如下：首先牢记30°、45°、60°这三个特殊角的正弦、余弦三角函数值，再逐一将各选项中的三角函数替换为对应数值进行运算，将运算结果与选项给出的结果比对，判断对错，最终选出计算错误的选项即可。
【解析】
我们分别计算每个选项：
A. $\sin 45°\cos 45°=\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，计算正确，不符合题意；
B. $\sin 30°+\cos 60°=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$，计算正确，不符合题意；
C. $\frac{\sin 30°}{\cos 30°}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}≠1$，计算错误，符合题意；
D. $\sin^2 60°=(\frac{\sqrt{3}}{2})^2=\frac{3}{4}$，计算正确，不符合题意。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
特殊角的三角函数值；实数的混合运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对特殊角三角函数值的记忆，只要准确牢记各个特殊角的三角函数值，逐一计算验证即可得分，是对基础知识点掌握情况的常规考查。
【难度系数】
0.8
2[2025浙江宁波镇海区校级期中]平面直角坐标系中，点A与点B($\cos 60°, -\sqrt{3}$)关于x轴对称，如果函数$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$的图象经过点A，那么$k=$.
答案
$\boldsymbol{\frac{\sqrt{3}}{2}}$
解析
【分析】
解题可分三步展开：第一步先计算特殊角的三角函数值$\cos60°$，确定点B的完整坐标；第二步根据关于x轴对称的点的坐标规律（横坐标相同，纵坐标互为相反数）求出点A的坐标；第三步利用反比例函数图象上的点满足函数解析式的性质，将点A坐标代入$y=\frac{k}{x}$，即可求出k的值。
【解析】
1. 计算点B的横坐标：$\cos60°=\frac{1}{2}$，因此点B的坐标为$(\frac{1}{2}, -\sqrt{3})$。
2. 点A与点B关于x轴对称，根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得点A的坐标为$(\frac{1}{2}, \sqrt{3})$。
3. 把点$A(\frac{1}{2}, \sqrt{3})$代入$y=\frac{k}{x}$得：
$\sqrt{3}=\frac{k}{\frac{1}{2}}$
解得$k=\sqrt{3}×\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
特殊角的三角函数值；关于x轴对称的点的坐标特征；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础综合题，将三个基础考点结合考查，只要牢记相关概念和性质，计算过程细心即可得分，是巩固基础的典型练习题。
【难度系数】
0.7
解题可分三步展开：第一步先计算特殊角的三角函数值$\cos60°$，确定点B的完整坐标；第二步根据关于x轴对称的点的坐标规律（横坐标相同，纵坐标互为相反数）求出点A的坐标；第三步利用反比例函数图象上的点满足函数解析式的性质，将点A坐标代入$y=\frac{k}{x}$，即可求出k的值。
【解析】
1. 计算点B的横坐标：$\cos60°=\frac{1}{2}$，因此点B的坐标为$(\frac{1}{2}, -\sqrt{3})$。
2. 点A与点B关于x轴对称，根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得点A的坐标为$(\frac{1}{2}, \sqrt{3})$。
3. 把点$A(\frac{1}{2}, \sqrt{3})$代入$y=\frac{k}{x}$得：
$\sqrt{3}=\frac{k}{\frac{1}{2}}$
解得$k=\sqrt{3}×\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
特殊角的三角函数值；关于x轴对称的点的坐标特征；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础综合题，将三个基础考点结合考查，只要牢记相关概念和性质，计算过程细心即可得分，是巩固基础的典型练习题。
【难度系数】
0.7
3 新考向开放性问题 [2026上海金山区调研]用含特殊角的三角函数值的比的式子表示：$\sqrt{2}=$.
答案
解：
由特殊角的三角函数值可知：$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin90°=1$，
因此$\sqrt{2}=\frac{\sin90°}{\sin45°}$。
（答案不唯一，例如$\frac{\cos45°}{\sin30°}$等也符合要求）
由特殊角的三角函数值可知：$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin90°=1$，
因此$\sqrt{2}=\frac{\sin90°}{\sin45°}$。
（答案不唯一，例如$\frac{\cos45°}{\sin30°}$等也符合要求）
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆初中阶段所学的30°、45°、60°、90°等特殊角的三角函数值，再筛选出两个三角函数值，使得它们的比值恰好等于$\sqrt{2}$即可。我们可以先列出已知的特殊角三角函数值，再通过计算验证哪两个的比值符合要求。
【解析】
首先回忆特殊角的三角函数值：
$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin90°=1$，
将两个值作商：$\frac{\sin90°}{\sin45°}=\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，因此可得$\sqrt{2}=\frac{\sin90°}{\sin45°}$。
此外还有其他组合也符合要求，例如$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin30°=\frac{1}{2}$，作商得$\frac{\cos45°}{\sin30°}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}$，因此答案不唯一。
【答案】
$\frac{\sin90°}{\sin45°}$（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
特殊角的三角函数值；二次根式的运算
【点评】
本题属于开放性试题，侧重考查对特殊角三角函数值的掌握熟练度，只要熟练记忆各特殊角的三角函数值，通过简单计算即可找到符合要求的式子，解题时注意答案不唯一，只要满足比值为$\sqrt{2}$即可。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先回忆初中阶段所学的30°、45°、60°、90°等特殊角的三角函数值，再筛选出两个三角函数值，使得它们的比值恰好等于$\sqrt{2}$即可。我们可以先列出已知的特殊角三角函数值，再通过计算验证哪两个的比值符合要求。
【解析】
首先回忆特殊角的三角函数值：
$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin90°=1$，
将两个值作商：$\frac{\sin90°}{\sin45°}=\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，因此可得$\sqrt{2}=\frac{\sin90°}{\sin45°}$。
此外还有其他组合也符合要求，例如$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin30°=\frac{1}{2}$，作商得$\frac{\cos45°}{\sin30°}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}$，因此答案不唯一。
【答案】
$\frac{\sin90°}{\sin45°}$（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
特殊角的三角函数值；二次根式的运算
【点评】
本题属于开放性试题，侧重考查对特殊角三角函数值的掌握熟练度，只要熟练记忆各特殊角的三角函数值，通过简单计算即可找到符合要求的式子，解题时注意答案不唯一，只要满足比值为$\sqrt{2}$即可。
【难度系数】
0.8
4[2026重庆沙坪坝区校级质检]若n为正整数，且满足$n＜3\tan 60° ＜n+1$，则$n=$.
答案
解：
∵ $\tan60°=\sqrt{3}$，
∴ $3\tan60°=3\sqrt{3}$。
∵ $\sqrt{3}\approx1.732$，
∴ $3\sqrt{3}\approx5.196$。
∵ n为正整数，且$n＜3\tan60°＜n+1$，
∴ $n=5$。
∵ $\tan60°=\sqrt{3}$，
∴ $3\tan60°=3\sqrt{3}$。
∵ $\sqrt{3}\approx1.732$，
∴ $3\sqrt{3}\approx5.196$。
∵ n为正整数，且$n＜3\tan60°＜n+1$，
∴ $n=5$。
解析
【分析】
解题时首先回忆60°角的正切函数值，先化简$3\tan60°$得到对应的无理数表达式，再估算该无理数的取值范围，最后结合n是正整数且满足$n＜3\tan60°＜n+1$的条件，即可确定n的取值。
【解析】
∵ $\tan60°=\sqrt{3}$，
∴ $3\tan60°=3\sqrt{3}$，
∵ $\sqrt{3}\approx1.732$，
∴ $3\sqrt{3}\approx3×1.732=5.196$，
又
∵ n为正整数，且$n＜3\tan60°＜n+1$，即$n＜5.196＜n+1$，
∴ $n=5$。
【答案】
$\boldsymbol{5}$
【知识点】
特殊角的三角函数值；无理数的估算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查特殊角三角函数值的记忆和无理数的估算能力，牢记常见特殊角的三角函数值是顺利解题的前提。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆60°角的正切函数值，先化简$3\tan60°$得到对应的无理数表达式，再估算该无理数的取值范围，最后结合n是正整数且满足$n＜3\tan60°＜n+1$的条件，即可确定n的取值。
【解析】
∵ $\tan60°=\sqrt{3}$，
∴ $3\tan60°=3\sqrt{3}$，
∵ $\sqrt{3}\approx1.732$，
∴ $3\sqrt{3}\approx3×1.732=5.196$，
又
∵ n为正整数，且$n＜3\tan60°＜n+1$，即$n＜5.196＜n+1$，
∴ $n=5$。
【答案】
$\boldsymbol{5}$
【知识点】
特殊角的三角函数值；无理数的估算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查特殊角三角函数值的记忆和无理数的估算能力，牢记常见特殊角的三角函数值是顺利解题的前提。
【难度系数】
0.8
5 计算:(1)$2\cos 45° - \tan 60° + \sin 30° - \left| -\dfrac{1}{2} \right|$.
(2)$\tan 45° - \sin 30° \cos 60° - \cos^2 45°$.
(2)$\tan 45° - \sin 30° \cos 60° - \cos^2 45°$.
答案
解：
(1) 代入特殊角的三角函数值：$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$，$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\left|-\frac{1}{2}\right|=\frac{1}{2}$
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2×\frac{\sqrt{2}}{2}-\sqrt{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\\&=\sqrt{2}-\sqrt{3}\end{aligned}$
(2) 代入特殊角的三角函数值：$\tan45°=1$，$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\cos60°=\frac{1}{2}$，$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=1-\frac{1}{2}×\frac{1}{2}-(\frac{\sqrt{2}}{2})^2\\&=1-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\\&=\frac{1}{4}\end{aligned}$
(1) 代入特殊角的三角函数值：$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$，$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\left|-\frac{1}{2}\right|=\frac{1}{2}$
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2×\frac{\sqrt{2}}{2}-\sqrt{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\\&=\sqrt{2}-\sqrt{3}\end{aligned}$
(2) 代入特殊角的三角函数值：$\tan45°=1$，$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\cos60°=\frac{1}{2}$，$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=1-\frac{1}{2}×\frac{1}{2}-(\frac{\sqrt{2}}{2})^2\\&=1-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\\&=\frac{1}{4}\end{aligned}$
解析
【分析】
这两道题属于特殊角三角函数的计算类题目，解题思路可分为两步：第一步，准确记忆30°、45°、60°角的正弦、余弦、正切值，同时先处理式中的绝对值、乘方运算；第二步，将对应数值代入原式后，按照实数四则运算的顺序（先乘方、乘除，后加减）计算化简即可，计算时可先找能抵消的项简化运算过程。
【解析】
(1) 代入特殊角的三角函数值并化简绝对值：$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$，$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\left|-\frac{1}{2}\right|=\frac{1}{2}$
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2×\frac{\sqrt{2}}{2}-\sqrt{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\\&=\sqrt{2}-\sqrt{3}\end{aligned}$
(2) 代入特殊角的三角函数值：$\tan45°=1$，$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\cos60°=\frac{1}{2}$，$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=1-\frac{1}{2}×\frac{1}{2}-(\frac{\sqrt{2}}{2})^2\\&=1-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\\&=\frac{1}{4}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\sqrt{2}-\sqrt{3}$；(2) $\frac{1}{4}$
【知识点】
特殊角的三角函数值，实数混合运算，绝对值化简
【点评】
本题是三角函数的基础计算题，核心考查对特殊角三角函数值的记忆准确度，以及实数运算规则的应用熟练度，计算时注意不要混淆不同特殊角的函数值，乘方、绝对值运算要先处理，避免运算失误。
【难度系数】
0.8
这两道题属于特殊角三角函数的计算类题目，解题思路可分为两步：第一步，准确记忆30°、45°、60°角的正弦、余弦、正切值，同时先处理式中的绝对值、乘方运算；第二步，将对应数值代入原式后，按照实数四则运算的顺序（先乘方、乘除，后加减）计算化简即可，计算时可先找能抵消的项简化运算过程。
【解析】
(1) 代入特殊角的三角函数值并化简绝对值：$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$，$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\left|-\frac{1}{2}\right|=\frac{1}{2}$
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2×\frac{\sqrt{2}}{2}-\sqrt{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\\&=\sqrt{2}-\sqrt{3}\end{aligned}$
(2) 代入特殊角的三角函数值：$\tan45°=1$，$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\cos60°=\frac{1}{2}$，$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=1-\frac{1}{2}×\frac{1}{2}-(\frac{\sqrt{2}}{2})^2\\&=1-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\\&=\frac{1}{4}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\sqrt{2}-\sqrt{3}$；(2) $\frac{1}{4}$
【知识点】
特殊角的三角函数值，实数混合运算，绝对值化简
【点评】
本题是三角函数的基础计算题，核心考查对特殊角三角函数值的记忆准确度，以及实数运算规则的应用熟练度，计算时注意不要混淆不同特殊角的函数值，乘方、绝对值运算要先处理，避免运算失误。
【难度系数】
0.8
6[2026安徽亳州期末]已知α为锐角，$\cos(α - 20°)=\frac{1}{2}$，则α等于（）
A.$30°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$80°$
A.$30°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$80°$
答案
D
解析
【分析】解题时首先回忆特殊角的余弦函数值，已知$\cos60°=\frac{1}{2}$；再结合α是锐角的条件，确定α-20°的取值范围，判断出符合余弦值为$\frac{1}{2}$的角度只有60°，最后列等式求解α并验证其为锐角即可。
【解析】解：
∵ 特殊角的三角函数值中，$\cos60°=\frac{1}{2}$，
又
∵ α为锐角，即$0°＜α＜90°$，
∴ $-20°＜α-20°＜70°$，
在该角度范围内，余弦值为$\frac{1}{2}$的角仅有60°，
∴ $α-20°=60°$，
解得$α=60°+20°=80°$，且80°为锐角，符合题意。
故选D。
【答案】D
【知识点】特殊角的三角函数值；锐角的概念
【点评】本题是基础题型，主要考查对特殊角三角函数值的识记，解题时要注意结合角的取值范围验证结果是否符合要求。
【难度系数】0.8
【解析】解：
∵ 特殊角的三角函数值中，$\cos60°=\frac{1}{2}$，
又
∵ α为锐角，即$0°＜α＜90°$，
∴ $-20°＜α-20°＜70°$，
在该角度范围内，余弦值为$\frac{1}{2}$的角仅有60°，
∴ $α-20°=60°$，
解得$α=60°+20°=80°$，且80°为锐角，符合题意。
故选D。
【答案】D
【知识点】特殊角的三角函数值；锐角的概念
【点评】本题是基础题型，主要考查对特殊角三角函数值的识记，解题时要注意结合角的取值范围验证结果是否符合要求。
【难度系数】0.8
7[2025安徽潜山期末]已知α是锐角，且$\sinα=\frac{\sqrt{2}}{2}$，则$3\cos^2α + \sin(α - 15°)\tan(α + 15°) - \sqrt{3}\cos(α - 15°)$的值为。
答案
解：
∵ α是锐角，且$\sinα=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴ $α=45°$。
将$α=45°$代入原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=3\cos^245° + \sin(45°-15°)\tan(45°+15°) - \sqrt{3}\cos(45°-15°)\\&=3×(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + \sin30°·\tan60° - \sqrt{3}\cos30°\\&=3×\frac{1}{2} + \frac{1}{2}×\sqrt{3} - \sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}\\&=\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2}\\&=\frac{\sqrt{3}}{2}\end{aligned}$
最终答案为$\boldsymbol{\frac{\sqrt{3}}{2}}$。
∵ α是锐角，且$\sinα=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴ $α=45°$。
将$α=45°$代入原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=3\cos^245° + \sin(45°-15°)\tan(45°+15°) - \sqrt{3}\cos(45°-15°)\\&=3×(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + \sin30°·\tan60° - \sqrt{3}\cos30°\\&=3×\frac{1}{2} + \frac{1}{2}×\sqrt{3} - \sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}\\&=\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2}\\&=\frac{\sqrt{3}}{2}\end{aligned}$
最终答案为$\boldsymbol{\frac{\sqrt{3}}{2}}$。
解析
【分析】
解题时首先根据已知条件：α是锐角且$\sinα=\frac{\sqrt{2}}{2}$，结合特殊锐角的三角函数值，可确定α的度数；再将α的度数代入原式，把式子中出现的所有特殊角的三角函数值对应代入，按照实数运算顺序逐步计算即可，计算时要注意先算乘方、再算乘除、最后算加减，避免运算失误。
【解析】
∵ α是锐角，且$\sinα=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴ $α=45°$。
将$α=45°$代入原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=3\cos^245° + \sin(45°-15°)\tan(45°+15°) - \sqrt{3}\cos(45°-15°)\\&=3×(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + \sin30°·\tan60° - \sqrt{3}\cos30°\\&=3×\frac{1}{2} + \frac{1}{2}×\sqrt{3} - \sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}\\&=\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2}\\&=\frac{\sqrt{3}}{2}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
特殊角的三角函数值；三角函数化简求值
【点评】
本题属于三角函数基础计算题，解题关键是先根据已知三角函数值确定锐角α的度数，计算时要准确记忆各特殊角的三角函数值，按照运算顺序逐步计算，避免混淆不同角度的三角函数值。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据已知条件：α是锐角且$\sinα=\frac{\sqrt{2}}{2}$，结合特殊锐角的三角函数值，可确定α的度数；再将α的度数代入原式，把式子中出现的所有特殊角的三角函数值对应代入，按照实数运算顺序逐步计算即可，计算时要注意先算乘方、再算乘除、最后算加减，避免运算失误。
【解析】
∵ α是锐角，且$\sinα=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴ $α=45°$。
将$α=45°$代入原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=3\cos^245° + \sin(45°-15°)\tan(45°+15°) - \sqrt{3}\cos(45°-15°)\\&=3×(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + \sin30°·\tan60° - \sqrt{3}\cos30°\\&=3×\frac{1}{2} + \frac{1}{2}×\sqrt{3} - \sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}\\&=\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2}\\&=\frac{\sqrt{3}}{2}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
特殊角的三角函数值；三角函数化简求值
【点评】
本题属于三角函数基础计算题，解题关键是先根据已知三角函数值确定锐角α的度数，计算时要准确记忆各特殊角的三角函数值，按照运算顺序逐步计算，避免混淆不同角度的三角函数值。
【难度系数】
0.7
8 在$△ ABC$中,若$∠ A,∠ B$均为锐角,且满足$\left| \cos A - \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right| + (1 - \tan B)^2 = 0$,则$∠ C$的度数是
105°
.答案
【解析】
∵ $\left| \cos A - \frac{\sqrt{3}}{2} \right| + (1 - \tan B)^2 = 0$,
∴ $\cos A - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$,$1 - \tan B = 0$,
∴ $\cos A = \frac{\sqrt{3}}{2}$,$\tan B = 1$.
∵ $∠ A,∠ B$ 均为锐角,
∴ $∠ A = 30°$,$∠ B = 45°$,
∴ $∠ C = 180°-30°-45°= 105°$. 故答案为 $105°$.
∵ $\left| \cos A - \frac{\sqrt{3}}{2} \right| + (1 - \tan B)^2 = 0$,
∴ $\cos A - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$,$1 - \tan B = 0$,
∴ $\cos A = \frac{\sqrt{3}}{2}$,$\tan B = 1$.
∵ $∠ A,∠ B$ 均为锐角,
∴ $∠ A = 30°$,$∠ B = 45°$,
∴ $∠ C = 180°-30°-45°= 105°$. 故答案为 $105°$.
解析
【分析】
解题首先从给出的等式入手，我们知道绝对值和偶次幂都具有非负性，若两个非负数的和为0，则这两个非负数各自都为0，由此可以得到关于cosA和tanB的等式，求出两个三角函数值；再结合∠A、∠B均为锐角，对应记忆的30°、45°、60°角的三角函数值，就能确定∠A和∠B的度数；最后根据三角形内角和为180°，减去已知两个角的度数即可求出∠C的度数。
【解析】
∵ $\left| \cos A - \frac{\sqrt{3}}{2} \right| + (1 - \tan B)^2 = 0$,
∴ $\cos A - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$,$1 - \tan B = 0$,
∴ $\cos A = \frac{\sqrt{3}}{2}$,$\tan B = 1$.
∵ $∠ A,∠ B$ 均为锐角,
∴ $∠ A = 30°$,$∠ B = 45°$,
∴ $∠ C = 180°-30°-45°= 105°$.
【答案】
$105°$
【知识点】
非负数的性质，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础综合题，考查多个基础知识点的结合应用，只要掌握非负性、特殊角的三角函数值和三角形内角和定理，就能顺利解题，是对基础掌握情况的常规考查。
【难度系数】
0.8
解题首先从给出的等式入手，我们知道绝对值和偶次幂都具有非负性，若两个非负数的和为0，则这两个非负数各自都为0，由此可以得到关于cosA和tanB的等式，求出两个三角函数值；再结合∠A、∠B均为锐角，对应记忆的30°、45°、60°角的三角函数值，就能确定∠A和∠B的度数；最后根据三角形内角和为180°，减去已知两个角的度数即可求出∠C的度数。
【解析】
∵ $\left| \cos A - \frac{\sqrt{3}}{2} \right| + (1 - \tan B)^2 = 0$,
∴ $\cos A - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$,$1 - \tan B = 0$,
∴ $\cos A = \frac{\sqrt{3}}{2}$,$\tan B = 1$.
∵ $∠ A,∠ B$ 均为锐角,
∴ $∠ A = 30°$,$∠ B = 45°$,
∴ $∠ C = 180°-30°-45°= 105°$.
【答案】
$105°$
【知识点】
非负数的性质，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础综合题，考查多个基础知识点的结合应用，只要掌握非负性、特殊角的三角函数值和三角形内角和定理，就能顺利解题，是对基础掌握情况的常规考查。
【难度系数】
0.8
9[2026安徽宣城期末]在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，若$\sin A=\dfrac{3}{5}$，则$\cos B$的值是（
A.$\dfrac{3}{4}$
B.$\dfrac{4}{3}$
C.$\dfrac{3}{5}$
D.$\dfrac{4}{5}$
C
）A.$\dfrac{3}{4}$
B.$\dfrac{4}{3}$
C.$\dfrac{3}{5}$
D.$\dfrac{4}{5}$
答案
【解析】
∵ Rt△ABC 中, $∠ C=90°$,
∴ $∠ A+∠ B=90°$,
∴ $\cos B = \sin A = \frac{3}{5}$,故选 C.
∵ Rt△ABC 中, $∠ C=90°$,
∴ $∠ A+∠ B=90°$,
∴ $\cos B = \sin A = \frac{3}{5}$,故选 C.
解析
【分析】
解题时首先结合直角三角形∠C=90°的条件，想到直角三角形的两个锐角互余，即∠A+∠B=90°，再回忆互余两角的三角函数关系：任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值，因此可直接将cosB转化为sinA，代入已知的sinA的数值即可得到结果，无需计算各边长度。
【解析】
∵ 在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，
∴ $∠A + ∠B = 90°$，
根据互余角的三角函数关系可得：$\cos B = \cos(90°-∠A) = \sin A$，
又
∵ $\sin A=\dfrac{3}{5}$，
∴ $\cos B=\dfrac{3}{5}$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 直角三角形两锐角互余
2. 互余角的三角函数关系
【点评】
本题是三角函数基础题，核心考查直角三角形中互余锐角的三角函数转化关系，解题的关键是利用直角三角形内角性质建立∠A和∠B的关系，避免了繁琐的边长计算，能快速得出答案。
【难度系数】
0.85
解题时首先结合直角三角形∠C=90°的条件，想到直角三角形的两个锐角互余，即∠A+∠B=90°，再回忆互余两角的三角函数关系：任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值，因此可直接将cosB转化为sinA，代入已知的sinA的数值即可得到结果，无需计算各边长度。
【解析】
∵ 在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，
∴ $∠A + ∠B = 90°$，
根据互余角的三角函数关系可得：$\cos B = \cos(90°-∠A) = \sin A$，
又
∵ $\sin A=\dfrac{3}{5}$，
∴ $\cos B=\dfrac{3}{5}$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 直角三角形两锐角互余
2. 互余角的三角函数关系
【点评】
本题是三角函数基础题，核心考查直角三角形中互余锐角的三角函数转化关系，解题的关键是利用直角三角形内角性质建立∠A和∠B的关系，避免了繁琐的边长计算，能快速得出答案。
【难度系数】
0.85
10 ∠A, ∠B, ∠C 是△ABC 的三个内角, 则 $\sin \frac{A+B}{2}$ 等于 (
A.$\cos \frac{C}{2}$
B.$\sin \frac{C}{2}$
C.$\cos C$
D.$\cos \frac{A+B}{2}$
A
)A.$\cos \frac{C}{2}$
B.$\sin \frac{C}{2}$
C.$\cos C$
D.$\cos \frac{A+B}{2}$
答案
【解析】
∵ $∠ A, ∠ B, ∠ C$ 是△ABC 的三个内角,
∴ $∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$,
∴ $∠ A + ∠ B = 180°-∠ C$,
∴ $\sin \frac{A+B}{2} = \sin \frac{180°-∠ C}{2} = \sin(90°-\frac{∠ C}{2})=\cos \frac{C}{2}$. 故选 A.
∵ $∠ A, ∠ B, ∠ C$ 是△ABC 的三个内角,
∴ $∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$,
∴ $∠ A + ∠ B = 180°-∠ C$,
∴ $\sin \frac{A+B}{2} = \sin \frac{180°-∠ C}{2} = \sin(90°-\frac{∠ C}{2})=\cos \frac{C}{2}$. 故选 A.
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形内角和的性质，先将∠A+∠B用含∠C的式子替换，代入所求三角函数式后可得到90°与$\frac{C}{2}$的差的正弦值，再利用互余两角的三角函数转换关系即可推出结果，对应选出正确选项。
【解析】
∵ ∠A, ∠B, ∠C是△ABC的三个内角，
∴ ∠A + ∠B + ∠C = 180°，
∴ ∠A + ∠B = 180° - ∠C，
∴ $\sin \frac{A+B}{2} = \sin \frac{180° - ∠C}{2} = \sin(90° - \frac{∠C}{2})$，
根据互余两角的三角函数关系$\sin(90°-α)=\cosα$，可得$\sin(90° - \frac{∠C}{2})=\cos\frac{C}{2}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理；互余角的三角函数关系
【点评】
本题是三角函数与三角形性质结合的基础题，核心考查基础知识点的简单应用，掌握相关基础概念就能快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆三角形内角和的性质，先将∠A+∠B用含∠C的式子替换，代入所求三角函数式后可得到90°与$\frac{C}{2}$的差的正弦值，再利用互余两角的三角函数转换关系即可推出结果，对应选出正确选项。
【解析】
∵ ∠A, ∠B, ∠C是△ABC的三个内角，
∴ ∠A + ∠B + ∠C = 180°，
∴ ∠A + ∠B = 180° - ∠C，
∴ $\sin \frac{A+B}{2} = \sin \frac{180° - ∠C}{2} = \sin(90° - \frac{∠C}{2})$，
根据互余两角的三角函数关系$\sin(90°-α)=\cosα$，可得$\sin(90° - \frac{∠C}{2})=\cos\frac{C}{2}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理；互余角的三角函数关系
【点评】
本题是三角函数与三角形性质结合的基础题，核心考查基础知识点的简单应用，掌握相关基础概念就能快速求解。
【难度系数】
0.8
11 若$α,β$是直角三角形的两个锐角，则$\frac{\sinα}{\cosβ} - \tan\frac{α+β}{2}$的值为
刷易错 小心有坑~
0
。刷易错 小心有坑~
答案
【解析】由题意,得$\frac{\sin α}{\cos β}-\tan \frac{α+β}{2}=\frac{\cos β}{\cos β}-\tan 45°=1-1=0$.
解析
【分析】
解题时先结合直角三角形的性质，明确两个锐角互余，即α+β=90°。第一步，利用互余两角的三角函数关系，推导sinα和cosβ的关系，将分子sinα转化为cosβ，即可求出分式的值；第二步，先计算(α+β)/2的度数，再结合特殊角的三角函数值得到$\tan\frac{α+β}{2}$的结果，最后代入原式计算即可得到答案。
【解析】
∵α，β是直角三角形的两个锐角
∴α+β=90°，即α=90°-β
∴$\sinα=\sin(90°-β)=\cosβ$，$\frac{α+β}{2}=\frac{90°}{2}=45°$
将上述结果代入原式：
$\frac{\sinα}{\cosβ} - \tan\frac{α+β}{2}=\frac{\cosβ}{\cosβ}-\tan45°=1 - 1=0$
【答案】
0
【知识点】
直角三角形两锐角互余；互余角的三角函数关系；特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础计算题，解题的核心是利用直角三角形锐角互余的性质完成三角函数的转化，牢记特殊角的三角函数值是正确计算的前提，做题时注意不要混淆互余角的三角函数对应关系即可。
【难度系数】
0.7
解题时先结合直角三角形的性质，明确两个锐角互余，即α+β=90°。第一步，利用互余两角的三角函数关系，推导sinα和cosβ的关系，将分子sinα转化为cosβ，即可求出分式的值；第二步，先计算(α+β)/2的度数，再结合特殊角的三角函数值得到$\tan\frac{α+β}{2}$的结果，最后代入原式计算即可得到答案。
【解析】
∵α，β是直角三角形的两个锐角
∴α+β=90°，即α=90°-β
∴$\sinα=\sin(90°-β)=\cosβ$，$\frac{α+β}{2}=\frac{90°}{2}=45°$
将上述结果代入原式：
$\frac{\sinα}{\cosβ} - \tan\frac{α+β}{2}=\frac{\cosβ}{\cosβ}-\tan45°=1 - 1=0$
【答案】
0
【知识点】
直角三角形两锐角互余；互余角的三角函数关系；特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础计算题，解题的核心是利用直角三角形锐角互余的性质完成三角函数的转化，牢记特殊角的三角函数值是正确计算的前提，做题时注意不要混淆互余角的三角函数对应关系即可。
【难度系数】
0.7
12 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=2$，$BC=\sqrt{3}$，则$\sin \dfrac{A}{2} =$
晓莉的解题步骤如下：
$\because \sin A = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$， ①
$\therefore \sin \dfrac{A}{2} = \dfrac{1}{2}\sin A = \dfrac{1}{2} × \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{4}$. ②
请你判断晓莉哪一步错了，并写出正确的解题过程.
$\frac{1}{2}$
.晓莉的解题步骤如下：
$\because \sin A = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$， ①
$\therefore \sin \dfrac{A}{2} = \dfrac{1}{2}\sin A = \dfrac{1}{2} × \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{4}$. ②
请你判断晓莉哪一步错了，并写出正确的解题过程.
答案
步骤②错误. 正确的解题过程如下：
∵ $\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,且$∠ A$ 为锐角，
∴ $∠ A=60°$,
∴ $\sin \frac{A}{2} = \sin 30°=\frac{1}{2}$.
易错警示：$∠ A$ 的一半的正弦值与$∠ A$ 的正弦值的一半是不相等的. 如 $\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$,而 $\sin 30°=\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$ 不等于 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的一半.
∵ $\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,且$∠ A$ 为锐角，
∴ $∠ A=60°$,
∴ $\sin \frac{A}{2} = \sin 30°=\frac{1}{2}$.
易错警示：$∠ A$ 的一半的正弦值与$∠ A$ 的正弦值的一半是不相等的. 如 $\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$,而 $\sin 30°=\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$ 不等于 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的一半.
解析
【分析】
首先判断晓莉的错误步骤：三角函数不存在$\sin \frac{A}{2}=\frac{1}{2}\sin A$的运算规则，因此步骤②错误。正确解题思路为：先在直角三角形中根据锐角三角函数的定义求出$\sin A$的值，结合$∠ A$是锐角确定$∠ A$的具体度数，再计算$\frac{A}{2}$的度数，最后代入对应特殊角的三角函数值即可得到结果。
【解析】
晓莉的步骤②错误。
正确解题过程如下：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\because \sin A = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$，且$∠ A$为锐角，
$\therefore ∠ A=60°$，
$\therefore \dfrac{A}{2}=30°$，
$\therefore \sin \dfrac{A}{2}=\sin30°=\dfrac{1}{2}$。
【答案】
步骤②错误，$\sin \dfrac{A}{2}=\boxed{\dfrac{1}{2}}$，正确解题过程见解析。
【知识点】
锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【点评】
本题易错点是误将角的倍分关系等同于三角函数值的倍分关系，解题时要先根据已知条件求出对应角的度数，再代入特殊角的三角函数值计算，不要随意套用不存在的三角函数运算规则。
【难度系数】
0.7
首先判断晓莉的错误步骤：三角函数不存在$\sin \frac{A}{2}=\frac{1}{2}\sin A$的运算规则，因此步骤②错误。正确解题思路为：先在直角三角形中根据锐角三角函数的定义求出$\sin A$的值，结合$∠ A$是锐角确定$∠ A$的具体度数，再计算$\frac{A}{2}$的度数，最后代入对应特殊角的三角函数值即可得到结果。
【解析】
晓莉的步骤②错误。
正确解题过程如下：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\because \sin A = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$，且$∠ A$为锐角，
$\therefore ∠ A=60°$，
$\therefore \dfrac{A}{2}=30°$，
$\therefore \sin \dfrac{A}{2}=\sin30°=\dfrac{1}{2}$。
【答案】
步骤②错误，$\sin \dfrac{A}{2}=\boxed{\dfrac{1}{2}}$，正确解题过程见解析。
【知识点】
锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【点评】
本题易错点是误将角的倍分关系等同于三角函数值的倍分关系，解题时要先根据已知条件求出对应角的度数，再代入特殊角的三角函数值计算，不要随意套用不存在的三角函数运算规则。
【难度系数】
0.7
