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1. 如图，直线 $ l_1 // l_2 $，$ △ ABC $ 是等边三角形，$ ∠ 2 = 68° $，则$ ∠ 1 $ 的大小为（
A.$ 68° $
B.$ 62° $
C.$ 52° $
D.$ 42° $
C
）A.$ 68° $
B.$ 62° $
C.$ 52° $
D.$ 42° $
答案
1. C
2. /情境题 生活应用/由于木质的衣架没有柔韧性，在挂置衣服的时候不太方便操作.小红设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可，如图①，衣架杆$OA=OB=30\ \mathrm{cm}$.若衣架收拢时，$∠ AOB=60°$，如图②，则此时A，B两点间的距离是（
A.15 cm
B.30 cm
C.60 cm
D.以上都不对
B
）A.15 cm
B.30 cm
C.60 cm
D.以上都不对
答案
2. B
3. 母题 教材 P93复习题 T11 如图，$△ ABC$ 是等边三角形，$D,E,F$ 分别是 $AB,BC,CA$ 边上一点，且 $AD=BE=CF$，则 $△ DEF$ 的形状是
（第3题） （第4题） （第5题）
等边三角形
。（第3题） （第4题） （第5题）答案
3. 等边三角形 【点拨】
∵△ABC为等边三角形，且AD=CF，
∴AF=BD，∠A=∠B=60°. 在△ADF与△BED中，$\begin{cases} AF=BD, \\ ∠A=∠B, \\ AD=BE, \end{cases}$
∴△ADF≌△BED(SAS). 同理证得△ADF≌△CFE(SAS).
∴△ADF≌△BED≌△CFE.
∴DF=ED=EF.
∴△DEF是一个等边三角形.
∵△ABC为等边三角形，且AD=CF，
∴AF=BD，∠A=∠B=60°. 在△ADF与△BED中，$\begin{cases} AF=BD, \\ ∠A=∠B, \\ AD=BE, \end{cases}$
∴△ADF≌△BED(SAS). 同理证得△ADF≌△CFE(SAS).
∴△ADF≌△BED≌△CFE.
∴DF=ED=EF.
∴△DEF是一个等边三角形.
4. 将含$30°$角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，已知$∠α=60°$，点B，C表示的刻度分别为1，3，则线段AB的长为
2
cm.答案
4. 2 【点拨】
∵直尺的两对边相互平行，
∴∠ACB=∠α=60°. 易知∠A=60°,
∴∠ABC=180°−∠ACB−∠A=180°−60°−60°=60°.
∴∠A=∠ABC=∠ACB.
∴△ABC是等边三角形.
∴AB=BC=3−1=2(cm).
∵直尺的两对边相互平行，
∴∠ACB=∠α=60°. 易知∠A=60°,
∴∠ABC=180°−∠ACB−∠A=180°−60°−60°=60°.
∴∠A=∠ABC=∠ACB.
∴△ABC是等边三角形.
∴AB=BC=3−1=2(cm).
5. 如图，六边形ABCDEF的六个角都是$120°$，边长$AB=1\ \mathrm{cm}$，$BC=3\ \mathrm{cm}$，$CD=3\ \mathrm{cm}$，$DE=2\ \mathrm{cm}$，则这个六边形的周长是
15
cm.答案
5. 15 【点拨】如图，分别作AB，CD，EF的延长线和反向延长线，使它们交于点G，H，P.
∵六边形ABCDEF的六个角都是120°，
∴它的每一个外角是60°.
∴易得△APF，△BGC，△EDH，△PGH都是等边三角形.
∴GB=GC=BC=3 cm，EH=DH=DE=2 cm.
∴PG=PH=GH=3+3+2=8(cm).
∴FA=PF=PA=8−3−1=4(cm).
∴EF=8−4−2=2(cm).
∴六边形ABCDEF的周长为1+4+2+2+3+3=15(cm).
6. [2025常州期中] 如图，$△ ABC$是等边三角形，点D在$△ ABC$的外部，且$DA=DC$，连接BD交AC于点G.
(1)求证:BD垂直平分AC；
(2)在BC上取点E，连接DE，交AC于点F，若$EB=ED$，试判断$△ CEF$的形状，并说明理由.
(1)求证:BD垂直平分AC；
(2)在BC上取点E，连接DE，交AC于点F，若$EB=ED$，试判断$△ CEF$的形状，并说明理由.
答案
6. (1)【证明】
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC. 又
∵DA=DC，
∴点B，D在线段AC的垂直平分线上.
∴BD垂直平分AC.
(2)【解】△CEF为等边三角形. 理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°.
∵BG⊥AC，
∴∠DBE=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°.
∵DE=BE，
∴∠BDE=∠DBE=30°.
∴∠CEF=∠BDE+∠DBE=60°.
∴∠CFE=180°−60°−60°=60°.
∴∠CEF=∠CFE=∠ECF.
∴△CEF为等边三角形.
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC. 又
∵DA=DC，
∴点B，D在线段AC的垂直平分线上.
∴BD垂直平分AC.
(2)【解】△CEF为等边三角形. 理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°.
∵BG⊥AC，
∴∠DBE=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°.
∵DE=BE，
∴∠BDE=∠DBE=30°.
∴∠CEF=∠BDE+∠DBE=60°.
∴∠CFE=180°−60°−60°=60°.
∴∠CEF=∠CFE=∠ECF.
∴△CEF为等边三角形.
7. 新趋势 学科内综合 如图是由若干个相同的小等边三角形组成的图形，小明在该图形中建立了平面直角坐标系，并测得点A的坐标是$(-4\sqrt{3},6)$，点B的坐标是$(0,-3)$，由此可知点C的坐标是（
A.$(3\sqrt{3},9)$
B.$(3,4\sqrt{3})$
C.$(\sqrt{3},3\sqrt{3})$
D.$(\dfrac{5\sqrt{3}}{2},9)$
A
）A.$(3\sqrt{3},9)$
B.$(3,4\sqrt{3})$
C.$(\sqrt{3},3\sqrt{3})$
D.$(\dfrac{5\sqrt{3}}{2},9)$
答案
7. A 【点拨】由点B的坐标是(0,−3)可知，每个小等边三角形的高是3，由点A的坐标是(−4√3,6)可知，每个小等边三角形的边长为2√3. 易知点C是由点A(−4√3,6)向右平移2√3×3.5=7√3个单位长度，向上平移3个单位长度得到的.
∴点C的坐标是(3√3,9).
∴点C的坐标是(3√3,9).
8.如图，$△ ABC$是等边三角形，点$P$在$△ ABC$内，$PA=4$，将$△ PAB$绕点$A$逆时针旋转得到$△ P_1AC$，则$P_1P$的长等于（
A.$4$
B.$\sqrt{12}$
C.$2$
D.$\dfrac{3}{2}$
A
）A.$4$
B.$\sqrt{12}$
C.$2$
D.$\dfrac{3}{2}$
答案
8. A 【点拨】
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB，∠CAB=60°.
∵将△PAB绕点A逆时针旋转得到△P₁AC，
∴△CP₁A≌△BPA.
∴AP₁=AP，∠CAP₁=∠BAP.
∴∠CAP+∠CAP₁=∠CAP+∠BAP，即∠PAP₁=∠CAB=60°.
∴△APP₁是等边三角形.
∴P₁P=PA=4.
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB，∠CAB=60°.
∵将△PAB绕点A逆时针旋转得到△P₁AC，
∴△CP₁A≌△BPA.
∴AP₁=AP，∠CAP₁=∠BAP.
∴∠CAP+∠CAP₁=∠CAP+∠BAP，即∠PAP₁=∠CAB=60°.
∴△APP₁是等边三角形.
∴P₁P=PA=4.
