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10. 荣德原创题 下列三角形中，若AB=AC，则不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是 （
B
）答案
10.B
11. 如图,在平面直角坐标系中,已知$A(0,3),B(3,0)$,若点 C 在 x 轴上,且$△ ABC$为等腰三角形,则满足条件的点 C 的个数是 (
A.3
B.4
C.7
D.8
B
)A.3
B.4
C.7
D.8
答案
11.B 【点拨】
∵A(0,3),B(3,0)，
∴OA=OB=3.如图，以点A为圆心，AB长为半径画圆，交x轴于点C₃，得到以A为顶点的等腰三角形ABC₃，以点B为圆心，AB长为半径画圆，交坐标轴于点C₁,C₂，得到以B为顶点的等腰三角形ABC₁，等腰三角形ABC₂，作AB的垂直平分线，交坐标原点于点C₄，得到以C₄为顶点的等腰三角形ABC₄.综上所述，符合条件的点C一共有4个。
12.[2025西安未央区期末]如图，$△ ABC$中，$AC=DC=3$，$AD$平分$∠ BAC$，$BD⊥ AD$于点$D$，$E$为$AC$的中点，连接$BE$交$AD$于点$O$，则图中两个阴影三角形($△ OBD$与$△ OAE$)的面积之差的最大值为
$\frac{9}{2}$
。答案
12.$\frac{9}{2}$ 【点拨】如图，延长BD,AC交于点H.
∵AD⊥BH，
∴∠ADB=∠ADH=90°.
∴ ∠ABD + ∠BAD = 90°，∠H+∠HAD=90°.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠HAD.
∴∠ABD=∠H.
∴AB=AH.又
∵AD⊥BH，
∴BD=DH.
∵DC = CA，
∴∠CDA = ∠CAD. 又
∵∠CAD+∠H = 90°，∠CDA + ∠CDH = 90°，
∴∠CDH=∠H.
∴CD=CH=AC.
∵E为AC的中点，
∴AE=EC，
∴$S_{△ ABE} = \frac{1}{4} S_{△ ABH}$，$S_{△ CDH} = \frac{1}{4} S_{△ ABH}$.
∴$S_{△ ABE} = S_{△ CDH}$.
∵ $S_{△ OBD} - S_{△ AOE} = S_{△ ADB} - S_{△ ABE} = S_{△ ADH} - S_{△ CDH} = S_{△ ACD}$.
∵AC=CD=3，
∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为$\frac{1}{2}×3×3=\frac{9}{2}$。
13. [2025无锡期中] 如图，在$△ ABC$中，$AC=BC$，$∠ ACB=100°$，$D$是$AB$边上一点（不与$A$，$B$重合），连接$CD$，以$CD$为边作等腰三角形$CDE$，$CD=CE$，且$∠ DCE=100°$，$CB$与$DE$交于点$F$，连接$BE$。
(1)求证：$△ ACD ≌ △ BCE$；
(2)当$AD=BF$时，证明$△ DCF$是等腰三角形。
(1)求证：$△ ACD ≌ △ BCE$；
(2)当$AD=BF$时，证明$△ DCF$是等腰三角形。
答案
13.【证明】(1)$\because ∠ ACB=100°,∠ DCE=100°$，
$\therefore ∠ ACB=∠ DCE.\therefore ∠ ACD=∠ BCE$.
在$△ ACD$和$△ BCE$中，$\begin{cases} AC=BC,\\ ∠ ACD=∠ BCE,\\ CD=CE, \end{cases}$
$\therefore △ ACD≌ △ BCE(\mathrm{SAS})$.
(2)$\because AC=BC,∠ ACB=100°$，
$\therefore ∠ A=\frac{1}{2}×(180°-100°)=40°$.
同理$∠ CDE=40°$.
$\because △ ACD≌ △ BCE,\therefore AD=BE,∠ A=∠ CBE=40°$.
又$\because AD=BF,\therefore BE=BF.\therefore ∠ BFE=70°$.
$\therefore ∠ DFC=∠ BFE=70°$.
$\because$在$△ DCF$中，$∠ CDE=40°,∠ DFC=70°$，
$\therefore ∠ DCF=70°=∠ DFC.\therefore DC=DF$.
$\therefore △ DCF$是等腰三角形.
$\therefore ∠ ACB=∠ DCE.\therefore ∠ ACD=∠ BCE$.
在$△ ACD$和$△ BCE$中，$\begin{cases} AC=BC,\\ ∠ ACD=∠ BCE,\\ CD=CE, \end{cases}$
$\therefore △ ACD≌ △ BCE(\mathrm{SAS})$.
(2)$\because AC=BC,∠ ACB=100°$，
$\therefore ∠ A=\frac{1}{2}×(180°-100°)=40°$.
同理$∠ CDE=40°$.
$\because △ ACD≌ △ BCE,\therefore AD=BE,∠ A=∠ CBE=40°$.
又$\because AD=BF,\therefore BE=BF.\therefore ∠ BFE=70°$.
$\therefore ∠ DFC=∠ BFE=70°$.
$\because$在$△ DCF$中，$∠ CDE=40°,∠ DFC=70°$，
$\therefore ∠ DCF=70°=∠ DFC.\therefore DC=DF$.
$\therefore △ DCF$是等腰三角形.
14. 新视角 动点探究题 如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=16 cm,BC=12 cm,AC=20 cm,P,Q是△ABC边上的两个动点,其中点P从点A开始沿A→B方向运动,且速度为1 cm/s,点Q从点B开始沿B→C→A方向运动,且速度为2 cm/s,它们同时出发,设运动的时间为t s.
(1)BP=
(2)当点Q在边BC上运动时,运动几秒后,△PQB是等腰三角形?
(3)当点Q在边CA上运动时,运动多少秒后,△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形?
(1)BP=
$(16-t)$
cm.(用含t的式子表示)(2)当点Q在边BC上运动时,运动几秒后,△PQB是等腰三角形?
(3)当点Q在边CA上运动时,运动多少秒后,△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形?
答案
14.【解】(1)$(16-t)$
(2)当点Q在边BC上运动，△PQB为等腰三角形时，则有BP=BQ，由题意得BP=$(16-t)$cm，BQ=$2t$ cm，
$\therefore 16-t=2t$，解得$t=\frac{16}{3}$.
$\therefore$运动$\frac{16}{3}$ s后，△PQB是等腰三角形.
(3)分情况讨论：①如图①所示，当△BCQ是以BC为底边的等腰三角形时，则CQ=BQ，
$\therefore ∠ C=∠ CBQ$. $\because ∠ ABC=90°,\therefore ∠ CBQ+∠ ABQ=90°,∠ A+∠ C=90°.\therefore ∠ A=∠ ABQ.\therefore BQ=AQ$.
$\therefore CQ=AQ=10$ cm.$\therefore BC+CQ=22$ cm.$\therefore t=22÷ 2=11$；
②如图②所示，当△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时，则CQ=BC，
$\therefore BC+CQ=24$ cm.$\therefore t=24÷ 2=12$.
综上所述，运动11 s或12 s后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形。
