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10. 如图，AE与BD相交于点C，AC=EC，BC=DC，AB=8厘米，点P从点A出发，沿A→B→A方向以2厘米/秒的速度运动，点Q同时从点D出发，沿D→E方向以1厘米/秒的速度运动，当点P到达点A时，P，Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t秒。当点P在A→B运动时，BP=
(8-2t)
厘米（用含t的代数式表示）；当P，Q，C三点共线时，t的值为 8或$\frac{8}{3}$
。答案
10.(8-2t);8或$\frac{8}{3}$ 【点拨】由题知AP=2t厘米,
∴BP=(8-2t)厘米.根据题意,得DQ=t厘米.在△ABC和△EDC中,
∵AC=EC,∠ACB=∠ECD,BC=DC,
∴△ABC≌△EDC,
∴∠B=∠D.
∵P,Q,C三点共线,
∴∠BCP=∠DCQ.在△BCP和△DCQ中,
∵∠B=∠D,BC=DC,∠BCP=∠DCQ,
∴△BCP≌△DCQ,
∴DQ=PB.当点P在A→B方向运动时,BP=(8-2t)厘米,此时0＜t≤4,
∴8-2t=t,解得t=$\frac{8}{3}$;当点P在B→A方向运动时,BP=(2t-8)厘米,此时4＜t≤8,
∴2t-8=t,解得t=8.综上所述,当P,Q,C三点共线时,t的值为8或$\frac{8}{3}$.
∴BP=(8-2t)厘米.根据题意,得DQ=t厘米.在△ABC和△EDC中,
∵AC=EC,∠ACB=∠ECD,BC=DC,
∴△ABC≌△EDC,
∴∠B=∠D.
∵P,Q,C三点共线,
∴∠BCP=∠DCQ.在△BCP和△DCQ中,
∵∠B=∠D,BC=DC,∠BCP=∠DCQ,
∴△BCP≌△DCQ,
∴DQ=PB.当点P在A→B方向运动时,BP=(8-2t)厘米,此时0＜t≤4,
∴8-2t=t,解得t=$\frac{8}{3}$;当点P在B→A方向运动时,BP=(2t-8)厘米,此时4＜t≤8,
∴2t-8=t,解得t=8.综上所述,当P,Q,C三点共线时,t的值为8或$\frac{8}{3}$.
11.长方形具有四个内角均为直角，并且两组对边分别相等的特征.如图，把一张长方形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF.
(1)如果∠DEF=120°，求∠BAF的度数；
(2)判断△ABF和△AGE是否全等.请说明理由.
(1)如果∠DEF=120°，求∠BAF的度数；
(2)判断△ABF和△AGE是否全等.请说明理由.
答案
11.【解】(1)
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠B=∠C=∠D=90°，
∴AD//BC，
∴∠DEF+∠EFC=180°.
∵∠DEF=120°，
∴∠EFC=180°-120°=60°.
由折叠的性质,知∠AFE=∠EFC=60°，
∴∠AFB=180°-∠AFE-∠EFC=60°.
在△ABF中,∠BAF=180°-∠B-∠AFB=30°.
(2)△ABF≌△AGE.理由如下：
由折叠的性质,知∠G=∠D,∠FAG=∠C,AG=CD，
∴∠G=90°,∠FAG=90°.
∴∠B=∠G.
易知∠BAD=90°,AB=CD,
∴AB=AG,∠BAD=∠FAG=90°,
∴易得∠BAF=∠GAE.
∴△ABF≌△AGE(ASA).
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠B=∠C=∠D=90°，
∴AD//BC，
∴∠DEF+∠EFC=180°.
∵∠DEF=120°，
∴∠EFC=180°-120°=60°.
由折叠的性质,知∠AFE=∠EFC=60°，
∴∠AFB=180°-∠AFE-∠EFC=60°.
在△ABF中,∠BAF=180°-∠B-∠AFB=30°.
(2)△ABF≌△AGE.理由如下：
由折叠的性质,知∠G=∠D,∠FAG=∠C,AG=CD，
∴∠G=90°,∠FAG=90°.
∴∠B=∠G.
易知∠BAD=90°,AB=CD,
∴AB=AG,∠BAD=∠FAG=90°,
∴易得∠BAF=∠GAE.
∴△ABF≌△AGE(ASA).
12. /新视角 类比探究题 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$BC=AC$,$D$为直线$BC$上一动点,连接$AD$.在直线$AC$的右侧作$AE⊥ AD$,且$AE=AD$,过点$E$作$AC$的垂线,垂足为$N$.
【观察发现】
(1)如图①,当点$D$在线段$BC$上时,线段$EN$与$BC$之间的关系是
【探究迁移】
(2)将图①中的$B$,$E$连接,交直线$AC$于点$M$,我们很容易发现$MN=MC$.如图②,当点$D$在线段$BC$的延长线上时,连接$BE$交直线$CA$于点$M$,线段$EN$和线段$BC$之间的关系有没有变化?此时$MN=MC$吗?说明理由.
【拓展应用】
(3)如图③,当点$D$在线段$CB$的延长线上时,连接$BE$交直线$AC$于点$M$,当$AC=8$,$CM=3$时,求$△ ABD$和$△ ABE$的面积.
【观察发现】
(1)如图①,当点$D$在线段$BC$上时,线段$EN$与$BC$之间的关系是
EN//BC,EN=BC
.【探究迁移】
(2)将图①中的$B$,$E$连接,交直线$AC$于点$M$,我们很容易发现$MN=MC$.如图②,当点$D$在线段$BC$的延长线上时,连接$BE$交直线$CA$于点$M$,线段$EN$和线段$BC$之间的关系有没有变化?此时$MN=MC$吗?说明理由.
【拓展应用】
(3)如图③,当点$D$在线段$CB$的延长线上时,连接$BE$交直线$AC$于点$M$,当$AC=8$,$CM=3$时,求$△ ABD$和$△ ABE$的面积.
答案
12.【解】(1)EN//BC,EN=BC
【点拨】根据题意可知EN⊥AC,BC⊥AC,
∴∠ANE=∠CNE=∠C=90°,
∴EN//BC.
∵AE⊥AD,
∴∠DAE=90°.
易知∠DAC+∠ADC=∠DAC+∠EAN=90°,
∴∠ADC=∠EAN.
在△ADC和△EAN中,$\begin{cases}∠ ADC=∠ EAN,\\∠ ACD=∠ ENA,\\AD=AE,\end{cases}$
∴△ADC≌△EAN(AAS),
∴AC=EN.
∵AC=BC,
∴EN=BC.
(2)线段EN与BC之间的关系不变,MN=MC.理由如下：
易知,∠DAC+∠ADC=90°,∠DAC+∠EAN=180°-∠DAE=90°,
∴∠ADC=∠EAN.
同(1)可得,EN//BC,△EAN≌△ADC,
∴EN=AC.
∵BC=AC,
∴EN=BC.
在△MEN和△MBC中,$\begin{cases}∠ EMN=∠ BMC,\\∠ ENM=∠ BCM=90°,\\NE=BC,\end{cases}$
∴△MEN≌△MBC(AAS),
∴MN=MC.
(3)当点D在线段CB的延长线上时,
同理可得,△EAN≌△ADC,△MEN≌△MBC,
∴易知MN=CM=3,NE=BC=AC=8,AN=DC,
∴CN=MN+CM=6.
∵AN=AC+CN=8+6=14,
∴DC=14,
∴BD=DC-BC=14-8=6.
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}BD· AC=\frac{1}{2}×6×8=24$.
又
∵△MEN≌△MBC,
∴$S_{△ MEN}=S_{△ MBC}$.
∴$S_{△ ABE}=S_{△ ABC}+S_{△ MBC}+S_{△ AEN}-S_{△ MEN}=S_{△ ABC}+S_{△ AEN}$,
∴$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}×8×8+\frac{1}{2}×8×14=88$,
∴△ABD和△ABE的面积分别为24和88.
【点拨】根据题意可知EN⊥AC,BC⊥AC,
∴∠ANE=∠CNE=∠C=90°,
∴EN//BC.
∵AE⊥AD,
∴∠DAE=90°.
易知∠DAC+∠ADC=∠DAC+∠EAN=90°,
∴∠ADC=∠EAN.
在△ADC和△EAN中,$\begin{cases}∠ ADC=∠ EAN,\\∠ ACD=∠ ENA,\\AD=AE,\end{cases}$
∴△ADC≌△EAN(AAS),
∴AC=EN.
∵AC=BC,
∴EN=BC.
(2)线段EN与BC之间的关系不变,MN=MC.理由如下：
易知,∠DAC+∠ADC=90°,∠DAC+∠EAN=180°-∠DAE=90°,
∴∠ADC=∠EAN.
同(1)可得,EN//BC,△EAN≌△ADC,
∴EN=AC.
∵BC=AC,
∴EN=BC.
在△MEN和△MBC中,$\begin{cases}∠ EMN=∠ BMC,\\∠ ENM=∠ BCM=90°,\\NE=BC,\end{cases}$
∴△MEN≌△MBC(AAS),
∴MN=MC.
(3)当点D在线段CB的延长线上时,
同理可得,△EAN≌△ADC,△MEN≌△MBC,
∴易知MN=CM=3,NE=BC=AC=8,AN=DC,
∴CN=MN+CM=6.
∵AN=AC+CN=8+6=14,
∴DC=14,
∴BD=DC-BC=14-8=6.
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}BD· AC=\frac{1}{2}×6×8=24$.
又
∵△MEN≌△MBC,
∴$S_{△ MEN}=S_{△ MBC}$.
∴$S_{△ ABE}=S_{△ ABC}+S_{△ MBC}+S_{△ AEN}-S_{△ MEN}=S_{△ ABC}+S_{△ AEN}$,
∴$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}×8×8+\frac{1}{2}×8×14=88$,
∴△ABD和△ABE的面积分别为24和88.
