11.(绵阳安州区期中)将下列一元二次方程化成一般形式后,其中二次项系数是3,一次项系数是-8,常数项是-10的方程是 ()

A.$-8x=3x^2+10$
B.$3x^2=-8x+10$
C.$3x^2-8x=-10$
D.$3x^2=8x+10$

11.D

【分析】
解题的核心是掌握一元二次方程的一般形式：$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$为二次项系数，$b$为一次项系数，$c$为常数项。我们只需将每个选项的方程通过移项整理为一般形式，再逐一核对系数是否符合题干给出的“二次项系数3、一次项系数-8、常数项-10”的要求，就能选出正确答案，整理时注意移项要改变符号。
【解析】
我们将每个选项依次整理为一元二次方程的一般形式，再核对系数：
A. 对$-8x=3x^2+10$移项得$3x^2+8x+10=0$，二次项系数3，一次项系数8，常数项10，不符合要求，排除；
B. 对$3x^2=-8x+10$移项得$3x^2+8x-10=0$，二次项系数3，一次项系数8，常数项-10，不符合要求，排除；
C. 对$3x^2-8x=-10$移项得$3x^2-8x+10=0$，二次项系数3，一次项系数-8，常数项10，不符合要求，排除；
D. 对$3x^2=8x+10$移项得$3x^2-8x-10=0$，二次项系数3，一次项系数-8，常数项-10，完全符合题干要求。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的一般形式；一元二次方程的系数识别
【点评】
本题是一元二次方程概念的基础考查题，易错点是移项时忽略符号变化，只要熟练掌握一般形式的整理规则，就能轻松得分。
【难度系数】
0.8

12. 如果关于$x$的一元二次方程$(m-2)x^2 +5x + m^2 -4=0$的常数项为0，那么$m$的值为（）

A.0
B.2
C.$-2$
D.2或$-2$

12.C

【分析】
解题时首先要明确题目的两个约束条件：一是该方程是一元二次方程，隐含要求二次项系数不能为0；二是方程的常数项为0。我们先根据常数项为0列出方程求出m的可能取值，再结合二次项系数不为0的条件排除不符合要求的取值，即可得到正确的m值。
【解析】
解：
∵ 该方程是关于x的一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即 $ m-2 ≠ 0 $，解得 $ m ≠ 2 $
又
∵ 方程的常数项为0
∴ $ m^2 - 4 = 0 $
解得 $ m = 2 $ 或 $ m = -2 $
结合 $ m ≠ 2 $ 的限制，最终得 $ m = -2 $
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程的定义
2.含参方程参数求解
【点评】
本题是一元二次方程概念的基础易错题，很多同学容易忽略二次项系数不为0的隐含条件，直接根据常数项为0错选D，解题时要注意梳理全所有约束条件，再筛选符合要求的结果。
【难度系数】
0.6

13.(成都龙泉驿区期末)若关于x的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$中的$a,b,c$满足$a-b+c=0$,则方程必有一根为 ()

A.$x=0$
B.$x=1$
C.$x=-1$
D.$x=\pm1$

13.C

【分析】
解题的核心是利用一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。我们可以通过两种思路求解：一是观察已知条件a-b+c=0的形式，对比方程左边$ax^2+bx+c$，找到能让左边化简为a-b+c的x值；二是将选项中的x值逐一代入方程左边，验证是否等于0，匹配已知条件即可得到答案。
【解析】
方法一：利用根的定义推导
根据一元二次方程根的定义，若x=m是方程$ax^2+bx+c=0$的根，则满足$am^2+bm+c=0$。
已知a-b+c=0，将等式变形为：$a·(-1)^2 + b·(-1) + c=0$，对比根的表达式可知，当m=-1时等式成立，因此x=-1是方程的一个根。 方法二：代入选项验证选项A：当x=0时，代入方程左边得c，只有c=0时才等于0，与已知a-b+c=0不符，排除；选项B：当x=1时，代入方程左边得a+b+c，与已知a-b+c=0不符，排除；选项C：当x=-1时，代入方程左边得$a·(-1)^2 + b·(-1)+c=a-b+c=0$，满足方程，符合要求；选项D：由上述验证可知x=1不是方程的根，排除。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的根的定义
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，解题关键是理解根的定义，两种解题方法都比较容易掌握，代入验证法更适合基础薄弱的同学快速得出答案。
【难度系数】
0.8

14.【数学文化】我国古代著作《算法统宗》中记载:“今有方田一段,圆田一段,共积二百五十二步,只云方面圆径适等.问方(面)圆径各若干?”意思是:现在有正方形田和圆形田各一块(),面积之和为252,只知道正方形田的边长与圆形田的直径相等.问正方形田的边长和圆形田的直径各为多少?设正方形田的边长为x,则可列出方程为.

14.$x^2 + π(\frac{x}{2})^2 = 252$

【分析】
解题时首先明确题目的等量关系：正方形田的面积+圆形田的面积=252。我们先分别表示出两个图形的面积：已知正方形边长为x，直接用正方形面积公式可得其面积；再根据“正方形边长与圆形直径相等”得到圆的直径，进而求出圆的半径，代入圆的面积公式得到圆的面积，最后把两个面积相加等于总面积即可列出方程。
【解析】
设正方形田的边长为x：
1. 正方形的面积为：$S_{\mathrm{正}} = x^2$
2. 因为圆形田的直径等于正方形边长，所以圆的直径为x，半径为$\frac{x}{2}$，圆的面积为：$S_{\mathrm{圆}} = π r^2 = π(\frac{x}{2})^2$
3. 根据两块田面积之和为252，可得：$x^2 + π(\frac{x}{2})^2 = 252$
【答案】
$x^2 + π(\frac{x}{2})^2 = 252$
【知识点】
列方程解应用题；正方形面积计算；圆的面积计算
【点评】
本题结合传统数学文化出题，既考查了基础几何面积公式的应用，也考查了提取等量关系列方程的能力，解题的核心是准确表示出两个图形的面积，再结合面积和的条件列式。
【难度系数】
0.8

15. 根据下列问题，列出关于x的一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：
(1)一个矩形的长比宽多2，且面积是120，求这个矩形的长x；
(2)一个直角三角形的两直角边长之和为7，且面积为6，求这个三角形的一直角边长x；
(3)一个小组的同学元旦见面时，若每两人都握手一次，则所有人共握手10次，求这组同学数x。

15.解:(1)根据题意,得$x(x-2)=120$,化为一般形式为$x^2-2x-120=0$.
(2)根据题意,得$\frac{1}{2}x(7-x)=6$,化为一般形式为$-\frac{1}{2}x^2+\frac{7}{2}x-6=0$.
(3)根据题意,得$\frac{1}{2}x(x-1)=10$,化为一般形式为$\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x-10=0$.

【分析】
解答本题的核心是先结合每个小问的实际场景找准等量关系，再用含x的式子表示出相关未知量列出方程，最后根据一元二次方程一般形式的要求整理即可：
(1) 已知矩形长为x，长比宽多2，因此宽为$x-2$，等量关系为「矩形面积=长×宽」，据此列方程后整理；
(2) 已知一条直角边长为x，两直角边长之和为7，因此另一条直角边长为$7-x$，等量关系为「直角三角形面积=$\frac{1}{2}$×直角边乘积」，据此列方程后整理；
(3) 已知同学数为x，每人会和剩余$x-1$人握手，每两人的握手会被重复计算1次，因此总握手次数为$\frac{1}{2}x(x-1)$，等量关系为「总握手次数=10」，据此列方程后整理。
【解析】
(1) 矩形的长为x，则宽为$x-2$，根据矩形面积公式列方程：
$x(x-2)=120$
展开移项化为一元二次方程一般形式：$x^2-2x-120=0$
(2) 设一条直角边长为x，则另一条直角边长为$7-x$，根据直角三角形面积公式列方程：
$\frac{1}{2}x(7-x)=6$
展开移项化为一元二次方程一般形式：$-\frac{1}{2}x^2+\frac{7}{2}x-6=0$
(3) 设这组同学数为x，根据握手总次数的计算规则列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1)=10$
展开移项化为一元二次方程一般形式：$\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x-10=0$
【答案】
(1) 所列方程为$x(x-2)=120$，一般形式为$x^2-2x-120=0$；
(2) 所列方程为$\frac{1}{2}x(7-x)=6$，一般形式为$-\frac{1}{2}x^2+\frac{7}{2}x-6=0$；
(3) 所列方程为$\frac{1}{2}x(x-1)=10$，一般形式为$\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x-10=0$。
【知识点】
列一元二次方程；一元二次方程的一般形式；实际问题等量关系
【点评】
本题属于一元二次方程基础应用题，覆盖了几何面积、生活场景两类常见考法，解题关键是准确提取等量关系，用未知数表示相关量后列方程，化简时注意运算准确性，避免出现符号错误、漏项等问题。
【难度系数】
0.8

16.【整体思想】已知$a$是方程$x^2 - 3x - 2 = 0$的根.求：
(1)代数式$2a^2 -6a +3$的值；
(2)代数式$a^3 -11a$的值.

16.解:(1)由题意,得$a^2-3a-2=0$,$\therefore a^2-3a=2$. $\therefore 2a^2-6a+3=2(a^2-3a)+3=2×2+3=7$.
(2)由题意,得$a^2-3a-2=0$,$\therefore a^2-3a=2$,$a^2=3a+2$. $\therefore a^3-11a=a(a^2-11)=a(3a+2-11)=a(3a-9)=3a^2-9a=3(3a+2)-9a=9a+6-9a=6$.

【分析】
本题无需直接求解方程得到a的具体值，可利用一元二次方程根的定义，先得到核心关系式$a^2-3a=2$，再将所求代数式变形为含有$a^2-3a$的结构，整体代入计算即可。第(2)问出现三次项，可通过$a^2=3a+2$对三次项降次，逐步消去含a的项得到结果，能大幅简化计算。
【解析】
(1) 因为a是方程$x^2 - 3x - 2 = 0$的根，将$x=a$代入方程得：
$a^2-3a-2=0$，即$a^2-3a=2$。
对所求代数式变形得：$2a^2-6a+3=2(a^2-3a)+3$，将$a^2-3a=2$代入得：
原式$=2×2+3=7$。
(2) 由a是方程的根可得$a^2-3a=2$，即$a^2=3a+2$。
对所求代数式变形得：$a^3-11a=a· a^2-11a$，将$a^2=3a+2$代入得：
原式$=a(3a+2)-11a=3a^2+2a-11a=3a^2-9a=3(a^2-3a)$，再将$a^2-3a=2$代入得：
原式$=3×2=6$。
【答案】
(1) $\boxed{7}$；(2) $\boxed{6}$
【知识点】
一元二次方程根的定义，整体代入思想，代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程与代数式求值结合的典型题型，核心是灵活运用整体思想和降次技巧，避免计算带根号的根，大幅降低计算量，能很好地考察学生对代数变形方法的掌握程度。
【难度系数】
0.6