登录
1. 下列方程是一元二次方程的是 （
A.$x^2 + \frac{3}{x}=0$
B.$5x^2 -6y -3=0$
C.$ax^2 -x +2=0$
D.$x^2 -5x=2$
D
）A.$x^2 + \frac{3}{x}=0$
B.$5x^2 -6y -3=0$
C.$ax^2 -x +2=0$
D.$x^2 -5x=2$
答案
1.D
解析
【分析】
要判断一个方程是否为一元二次方程，需紧扣一元二次方程的3个核心判定条件：①是整式方程（分母不含未知数）；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。解题时我们可以对照上述条件逐一筛选选项，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
首先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，同时要求二次项系数不为0。对各选项逐一分析：
A选项：方程中含有$\frac{3}{x}$，属于分式，因此该方程是分式方程，不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，排除；
B选项：方程中同时含有x、y两个未知数，属于二元方程，不符合“只含一个未知数”的要求，排除；
C选项：未说明$a≠0$，当$a=0$时，方程变为$-x+2=0$，是一元一次方程，无法确定其为一元二次方程，排除；
D选项：将方程移项整理得$x^2-5x-2=0$，满足只含一个未知数x、未知数最高次数为2、是整式方程且二次项系数为1≠0，符合一元二次方程的定义。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的定义、整式方程的判断
【点评】
本题是一元二次方程概念的基础考查题，解题的关键是牢记判定条件，尤其要注意当二次项系数含字母参数时，必须保证二次项系数不为0，避免误选C这类含参数的干扰选项。
【难度系数】
0.75
要判断一个方程是否为一元二次方程，需紧扣一元二次方程的3个核心判定条件：①是整式方程（分母不含未知数）；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。解题时我们可以对照上述条件逐一筛选选项，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
首先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，同时要求二次项系数不为0。对各选项逐一分析：
A选项：方程中含有$\frac{3}{x}$，属于分式，因此该方程是分式方程，不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，排除；
B选项：方程中同时含有x、y两个未知数，属于二元方程，不符合“只含一个未知数”的要求，排除；
C选项：未说明$a≠0$，当$a=0$时，方程变为$-x+2=0$，是一元一次方程，无法确定其为一元二次方程，排除；
D选项：将方程移项整理得$x^2-5x-2=0$，满足只含一个未知数x、未知数最高次数为2、是整式方程且二次项系数为1≠0，符合一元二次方程的定义。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的定义、整式方程的判断
【点评】
本题是一元二次方程概念的基础考查题，解题的关键是牢记判定条件，尤其要注意当二次项系数含字母参数时，必须保证二次项系数不为0，避免误选C这类含参数的干扰选项。
【难度系数】
0.75
2.若方程$(a-2)x^2+ax+b=0$是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是（
A.$a≠0$
B.$a≠2$
C.$a=2$
D.$a=0$
B
）A.$a≠0$
B.$a≠2$
C.$a=2$
D.$a=0$
答案
2.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆一元二次方程的判定条件：一元二次方程需满足三个要求：一是为整式方程，二是只含1个未知数，三是未知数的最高次数为2且二次项系数不为0。本题已经明确该方程是关于x的一元二次方程，因此只需保证二次项系数不等于0即可，据此列不等式求解a的取值范围，再匹配对应选项。
【解析】
根据一元二次方程的定义，一元二次方程的二次项系数不能为0。
本题中方程$(a-2)x^2+ax+b=0$的二次项系数为$a-2$，因此可列不等式：
$a-2≠0$
解得$a≠2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题属于基础概念题，解题核心是牢记一元二次方程必须满足二次项系数不为0的限制条件，避免忽略该要求错选其他选项。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆一元二次方程的判定条件：一元二次方程需满足三个要求：一是为整式方程，二是只含1个未知数，三是未知数的最高次数为2且二次项系数不为0。本题已经明确该方程是关于x的一元二次方程，因此只需保证二次项系数不等于0即可，据此列不等式求解a的取值范围，再匹配对应选项。
【解析】
根据一元二次方程的定义，一元二次方程的二次项系数不能为0。
本题中方程$(a-2)x^2+ax+b=0$的二次项系数为$a-2$，因此可列不等式：
$a-2≠0$
解得$a≠2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题属于基础概念题，解题核心是牢记一元二次方程必须满足二次项系数不为0的限制条件，避免忽略该要求错选其他选项。
【难度系数】
0.9
3. 方程$2x^2 -6x -9=0$的二次项系数、一次项系数、常数项分别为 （
A.$2,6,9$
B.$2,-6,9$
C.$-2,6,9$
D.$2,-6,-9$
D
）A.$2,6,9$
B.$2,-6,9$
C.$-2,6,9$
D.$2,-6,-9$
答案
3.D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确一元二次方程一般形式的构成：一元二次方程的标准形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项，注意各项系数必须包含前面的正负符号。首先判断给出的方程是否已经符合一般形式，再对应提取各项系数即可。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），其中$a$为二次项系数，$b$为一次项系数，$c$为常数项，系数需连同其前面的符号一同确定。
题干中方程$2x^2 -6x -9=0$已经是一般形式，对应可得：
二次项系数为$2$，一次项系数为$-6$，常数项为$-9$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的一般形式；一元二次方程的系数识别
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对一元二次方程各项系数的识别能力，解题时需格外注意不要遗漏各项前面的正负符号，这是此类题的常见易错点。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要明确一元二次方程一般形式的构成：一元二次方程的标准形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项，注意各项系数必须包含前面的正负符号。首先判断给出的方程是否已经符合一般形式，再对应提取各项系数即可。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），其中$a$为二次项系数，$b$为一次项系数，$c$为常数项，系数需连同其前面的符号一同确定。
题干中方程$2x^2 -6x -9=0$已经是一般形式，对应可得：
二次项系数为$2$，一次项系数为$-6$，常数项为$-9$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的一般形式；一元二次方程的系数识别
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对一元二次方程各项系数的识别能力，解题时需格外注意不要遗漏各项前面的正负符号，这是此类题的常见易错点。
【难度系数】
0.9
4.(教材P4习题T1变式)将下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项:
(1)$-2x^2 + 3x = 100$;
(2)$x(x + 3) = 0$;
(3)$(5 + x)(x - 5) = 0$.
(1)$-2x^2 + 3x = 100$;
(2)$x(x + 3) = 0$;
(3)$(5 + x)(x - 5) = 0$.
答案
4.解:(1)移项,得一元二次方程的一般形式$-2x^2+3x-100=0$.其中二次项系数为$-2$,一次项系数为3,常数项为$-100$.
(2)去括号,得一元二次方程的一般形式$x^2+3x=0$.其中二次项系数为1,一次项系数为3,常数项为0.
(3)去括号,得一元二次方程的一般形式$x^2-25=0$.其中二次项系数为1,一次项系数为0,常数项为$-25$.
(2)去括号,得一元二次方程的一般形式$x^2+3x=0$.其中二次项系数为1,一次项系数为3,常数项为0.
(3)去括号,得一元二次方程的一般形式$x^2-25=0$.其中二次项系数为1,一次项系数为0,常数项为$-25$.
解析
【分析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$，$a,b,c$为常数），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题时需先对每个方程通过去括号、移项、合并同类项等操作，将方程整理为等号右侧为0，左侧按$x$的降幂排列的标准形式，再对应提取各项系数即可，注意系数需包含前面的符号，若方程缺少某一类项，则该项的系数为0。
【解析】
(1) 对$-2x^2 + 3x = 100$移项，将100移到等号左侧，得到一元二次方程的一般形式：$-2x^2+3x-100=0$，其中二次项系数为$-2$，一次项系数为3，常数项为$-100$。
(2) 对$x(x + 3) = 0$去括号，得到一元二次方程的一般形式：$x^2+3x=0$，其中二次项系数为1，一次项系数为3，常数项为0。
(3) 对$(5 + x)(x - 5) = 0$去括号合并同类项，得到一元二次方程的一般形式：$x^2-25=0$，其中二次项系数为1，一次项系数为0，常数项为$-25$。
【答案】
(1) 一般形式：$-2x^2+3x-100=0$，二次项系数为$-2$，一次项系数为$3$，常数项为$-100$；
(2) 一般形式：$x^2+3x=0$，二次项系数为$1$，一次项系数为$3$，常数项为$0$；
(3) 一般形式：$x^2-25=0$，二次项系数为$1$，一次项系数为$0$，常数项为$-25$。
【知识点】
1. 一元二次方程一般形式
2. 整式的运算
3. 方程项与系数识别
【点评】
本题是一元二次方程相关的基础题，重点考查对一元二次方程一般形式的掌握和各项系数的识别能力，解题时要注意系数需携带符号，缺项对应的系数为0，是后续学习一元二次方程解法的必备基础。
【难度系数】
0.9
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$，$a,b,c$为常数），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题时需先对每个方程通过去括号、移项、合并同类项等操作，将方程整理为等号右侧为0，左侧按$x$的降幂排列的标准形式，再对应提取各项系数即可，注意系数需包含前面的符号，若方程缺少某一类项，则该项的系数为0。
【解析】
(1) 对$-2x^2 + 3x = 100$移项，将100移到等号左侧，得到一元二次方程的一般形式：$-2x^2+3x-100=0$，其中二次项系数为$-2$，一次项系数为3，常数项为$-100$。
(2) 对$x(x + 3) = 0$去括号，得到一元二次方程的一般形式：$x^2+3x=0$，其中二次项系数为1，一次项系数为3，常数项为0。
(3) 对$(5 + x)(x - 5) = 0$去括号合并同类项，得到一元二次方程的一般形式：$x^2-25=0$，其中二次项系数为1，一次项系数为0，常数项为$-25$。
【答案】
(1) 一般形式：$-2x^2+3x-100=0$，二次项系数为$-2$，一次项系数为$3$，常数项为$-100$；
(2) 一般形式：$x^2+3x=0$，二次项系数为$1$，一次项系数为$3$，常数项为$0$；
(3) 一般形式：$x^2-25=0$，二次项系数为$1$，一次项系数为$0$，常数项为$-25$。
【知识点】
1. 一元二次方程一般形式
2. 整式的运算
3. 方程项与系数识别
【点评】
本题是一元二次方程相关的基础题，重点考查对一元二次方程一般形式的掌握和各项系数的识别能力，解题时要注意系数需携带符号，缺项对应的系数为0，是后续学习一元二次方程解法的必备基础。
【难度系数】
0.9
5. (教材P4习题T3变式)下列各数是方程$x^2 - x - 2 = 0$的根是（
A.$-2$
B.$2$
C.$-1,2$
D.$1,2$
C
）A.$-2$
B.$2$
C.$-1,2$
D.$1,2$
答案
5.C
解析
【分析】
要判断哪些数是一元二次方程的根，有两种常用解题思路：思路1：根据方程根的定义，将选项中的数值分别代入方程左右两边，若两边相等，则该数是方程的根；思路2：直接求解该一元二次方程，得到的解即为方程的根，再对应选项选择即可。
【解析】
方法一（代入验证法）：
分别将各数值代入方程$x^2 - x - 2 = 0$的左边计算：
1. 当$x=-2$时，左边$=(-2)^2 - (-2) - 2 = 4+2-2=4≠0$，不是方程的根；
2. 当$x=2$时，左边$=2^2 - 2 - 2 = 4-2-2=0$，等于右边，是方程的根；
3. 当$x=-1$时，左边$=(-1)^2 - (-1) - 2 = 1+1-2=0$，等于右边，是方程的根；
4. 当$x=1$时，左边$=1^2 - 1 - 2 = 1-1-2=-2≠0$，不是方程的根。
因此方程的根为-1和2。
方法二（解方程法）：
对一元二次方程$x^2 - x - 2 = 0$因式分解，得：
$(x-2)(x+1)=0$
则$x-2=0$或$x+1=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=-1$，即方程的根为-1,2。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
1.方程根的定义；2.一元二次方程解法
【点评】
本题是基础题型，考查对一元二次方程根的理解，代入验证法可快速排查选项，解方程法适合熟练掌握因式分解的同学，两种方法都能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
要判断哪些数是一元二次方程的根，有两种常用解题思路：思路1：根据方程根的定义，将选项中的数值分别代入方程左右两边，若两边相等，则该数是方程的根；思路2：直接求解该一元二次方程，得到的解即为方程的根，再对应选项选择即可。
【解析】
方法一（代入验证法）：
分别将各数值代入方程$x^2 - x - 2 = 0$的左边计算：
1. 当$x=-2$时，左边$=(-2)^2 - (-2) - 2 = 4+2-2=4≠0$，不是方程的根；
2. 当$x=2$时，左边$=2^2 - 2 - 2 = 4-2-2=0$，等于右边，是方程的根；
3. 当$x=-1$时，左边$=(-1)^2 - (-1) - 2 = 1+1-2=0$，等于右边，是方程的根；
4. 当$x=1$时，左边$=1^2 - 1 - 2 = 1-1-2=-2≠0$，不是方程的根。
因此方程的根为-1和2。
方法二（解方程法）：
对一元二次方程$x^2 - x - 2 = 0$因式分解，得：
$(x-2)(x+1)=0$
则$x-2=0$或$x+1=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=-1$，即方程的根为-1,2。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
1.方程根的定义；2.一元二次方程解法
【点评】
本题是基础题型，考查对一元二次方程根的理解，代入验证法可快速排查选项，解方程法适合熟练掌握因式分解的同学，两种方法都能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
6.(绵阳中考)若关于x的一元二次方程$x^2 -6x +a=0$的一个根为1，则a的值为
5
.答案
6.5
解析
【分析】
本题考查利用一元二次方程的根求参数，解题思路如下：根据方程根的定义，方程的根能使方程左右两边相等，因此只需将已知根x=1代入原方程，即可得到只含参数a的一元一次方程，解该方程就能求出a的值。
【解析】
∵x=1是一元二次方程$x^2 -6x +a=0$的根，
∴将x=1代入方程可得：
$1^2 -6×1 +a = 0$
计算得：$1 - 6 + a = 0$
整理得：$a -5 = 0$
解得：$a=5$
【答案】
5
【知识点】
一元二次方程根的定义；代入法求参数；一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对一元二次方程根的概念的理解，掌握“方程的根满足原方程”这一规律即可快速求解，是一元二次方程章节的常考基础题。
【难度系数】
0.9
本题考查利用一元二次方程的根求参数，解题思路如下：根据方程根的定义，方程的根能使方程左右两边相等，因此只需将已知根x=1代入原方程，即可得到只含参数a的一元一次方程，解该方程就能求出a的值。
【解析】
∵x=1是一元二次方程$x^2 -6x +a=0$的根，
∴将x=1代入方程可得：
$1^2 -6×1 +a = 0$
计算得：$1 - 6 + a = 0$
整理得：$a -5 = 0$
解得：$a=5$
【答案】
5
【知识点】
一元二次方程根的定义；代入法求参数；一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对一元二次方程根的概念的理解，掌握“方程的根满足原方程”这一规律即可快速求解，是一元二次方程章节的常考基础题。
【难度系数】
0.9
7.已知$m$是方程$x^2 + 2x - 1 = 0$的一个根，则代数式$m^2 + 2m$的值是
1
。答案
7.1
解析
【分析】
解题时首先要明确一元二次方程根的定义：如果一个数是一元二次方程的根，将这个数代入方程后，方程左右两边相等。本题已知m是给定方程的根，直接将x=m代入方程，再通过简单移项就能得到所求代数式的值，不需要求解m的具体数值，用整体代入的思路计算更简便。
【解析】
因为m是方程$x^2 + 2x - 1 = 0$的一个根，根据一元二次方程根的定义，将$x=m$代入方程可得：
$m^2 + 2m - 1 = 0$
移项后得：
$m^2 + 2m = 1$
【答案】
1
【知识点】
一元二次方程的根的定义，整体代入求值
【点评】
本题属于基础题型，核心是考查对一元二次方程根的含义的理解，运用整体代入的思想即可快速求解，避免了求解方程根的繁琐步骤。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确一元二次方程根的定义：如果一个数是一元二次方程的根，将这个数代入方程后，方程左右两边相等。本题已知m是给定方程的根，直接将x=m代入方程，再通过简单移项就能得到所求代数式的值，不需要求解m的具体数值，用整体代入的思路计算更简便。
【解析】
因为m是方程$x^2 + 2x - 1 = 0$的一个根，根据一元二次方程根的定义，将$x=m$代入方程可得：
$m^2 + 2m - 1 = 0$
移项后得：
$m^2 + 2m = 1$
【答案】
1
【知识点】
一元二次方程的根的定义，整体代入求值
【点评】
本题属于基础题型，核心是考查对一元二次方程根的含义的理解，运用整体代入的思想即可快速求解，避免了求解方程根的繁琐步骤。
【难度系数】
0.9
8.(教材P2问题1变式)王叔叔从市场上买了一块长80 cm，宽70 cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱.如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长为x cm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3 000 cm²的无盖长方形工具箱，根据题意列方程为 （
A.$(80-x)(70-x)=3\ 000$
B.$80×70-4x^2=3\ 000$
C.$(80-2x)(70-2x)=3\ 000$
D.$80×70-4x^2-(70+80)x=3\ 000$
C
）A.$(80-x)(70-x)=3\ 000$
B.$80×70-4x^2=3\ 000$
C.$(80-2x)(70-2x)=3\ 000$
D.$80×70-4x^2-(70+80)x=3\ 000$
答案
8.C
解析
【分析】
解这道题首先要明确等量关系：无盖长方形工具箱的底面积=3000 cm²。接下来需要确定底面的长和宽：原矩形铁皮长80cm、宽70cm，四个角各剪掉边长为x cm的正方形后，长和宽的方向上都各自减去了2个x的长度（左右各剪1个x，上下各剪1个x），得到底面的长和宽，再结合矩形面积公式即可列出方程。
【解析】
剪掉四个角的正方形后，围成的无盖长方形工具箱的底面是矩形：
底面的长 = 原铁皮长 - 2×剪掉的正方形边长 = $\boldsymbol{(80 - 2x)}$ cm
底面的宽 = 原铁皮宽 - 2×剪掉的正方形边长 = $\boldsymbol{(70 - 2x)}$ cm
根据矩形面积公式“面积=长×宽”，已知底面积为3000 cm²，可列方程：
$\boldsymbol{(80 - 2x)(70 - 2x) = 3000}$
因此选C选项。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形面积计算
【点评】
本题属于几何类列方程应用题，解题的核心是正确表示出折叠后图形的相关边长，找准等量关系，难度较低。
【难度系数】
0.8
解这道题首先要明确等量关系：无盖长方形工具箱的底面积=3000 cm²。接下来需要确定底面的长和宽：原矩形铁皮长80cm、宽70cm，四个角各剪掉边长为x cm的正方形后，长和宽的方向上都各自减去了2个x的长度（左右各剪1个x，上下各剪1个x），得到底面的长和宽，再结合矩形面积公式即可列出方程。
【解析】
剪掉四个角的正方形后，围成的无盖长方形工具箱的底面是矩形：
底面的长 = 原铁皮长 - 2×剪掉的正方形边长 = $\boldsymbol{(80 - 2x)}$ cm
底面的宽 = 原铁皮宽 - 2×剪掉的正方形边长 = $\boldsymbol{(70 - 2x)}$ cm
根据矩形面积公式“面积=长×宽”，已知底面积为3000 cm²，可列方程：
$\boldsymbol{(80 - 2x)(70 - 2x) = 3000}$
因此选C选项。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形面积计算
【点评】
本题属于几何类列方程应用题，解题的核心是正确表示出折叠后图形的相关边长，找准等量关系，难度较低。
【难度系数】
0.8
9.(教材P2问题2变式)某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念,全班共送出2 450张照片.如果全班有x名同学,那么根据题意列方程为(
A.$x(x+1)=2\ 450$
B.$\frac{1}{2}x(x+1)=2\ 450$
C.$x(x-1)=2\ 450$
D.$\frac{1}{2}x(x-1)=2\ 450$
C
)A.$x(x+1)=2\ 450$
B.$\frac{1}{2}x(x+1)=2\ 450$
C.$x(x-1)=2\ 450$
D.$\frac{1}{2}x(x-1)=2\ 450$
答案
9.C
解析
【分析】
解题时首先明确每名同学需要送出的照片数量：全班共x名同学，每名同学不需要给自己送照片，因此每人需给其余(x-1)名同学各送1张。接下来判断总数量是否需要除以2：送照片属于双向独立行为，甲送乙照片与乙送甲照片是两次不同的赠送，对应2张照片，因此不需要除以2，用人数乘以每人送出的数量就能得到总照片数，据此列方程即可匹配选项。
【解析】
已知全班有x名同学：
1. 每名同学需向除自己外的其他同学送照片，因此1名同学送出的照片数量为(x-1)张；
2. 全班x名同学送出的总照片数为人数×单人送出数量，即$x(x-1)$张；
3. 已知全班共送出2450张照片，因此可列方程为$x(x-1)=2450$。
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
列一元二次方程；互赠类问题建模
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的常见基础题，解题关键是区分互赠类问题和握手类问题的等量关系差异：互赠类是双向独立计数，不需要除以2，握手类是单次双向计数，需要除以2，避免混淆后误选D。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确每名同学需要送出的照片数量：全班共x名同学，每名同学不需要给自己送照片，因此每人需给其余(x-1)名同学各送1张。接下来判断总数量是否需要除以2：送照片属于双向独立行为，甲送乙照片与乙送甲照片是两次不同的赠送，对应2张照片，因此不需要除以2，用人数乘以每人送出的数量就能得到总照片数，据此列方程即可匹配选项。
【解析】
已知全班有x名同学：
1. 每名同学需向除自己外的其他同学送照片，因此1名同学送出的照片数量为(x-1)张；
2. 全班x名同学送出的总照片数为人数×单人送出数量，即$x(x-1)$张；
3. 已知全班共送出2450张照片，因此可列方程为$x(x-1)=2450$。
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
列一元二次方程；互赠类问题建模
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的常见基础题，解题关键是区分互赠类问题和握手类问题的等量关系差异：互赠类是双向独立计数，不需要除以2，握手类是单次双向计数，需要除以2，避免混淆后误选D。
【难度系数】
0.8
10. 如果关于$x$的方程$(m-3)x^{|m-1|} - x + 3 = 0$是一元二次方程，那么$m$的值为
-1
。答案
10.$-1$
解析
【分析】
要确定m的取值，需结合一元二次方程的定义推导，一元二次方程必须同时满足两个核心条件：一是含未知数的最高次项的次数为2，二是二次项的系数不能为0。我们可以先根据最高次数为2列关于m的方程，再结合二次项系数不为0的要求排除不符合的解，就能得到正确的m值。
【解析】
解：
∵关于$x$的方程$(m-3)x^{|m-1|} - x + 3 = 0$是一元二次方程
∴需同时满足以下两个条件：
1. 最高次项的次数为2，即$|m-1|=2$
解绝对值方程：
当$m-1=2$时，$m=3$；
当$m-1=-2$时，$m=-1$。
2. 二次项系数不为0，即$m-3 ≠ 0$，解得$m ≠ 3$。
综上，排除不符合要求的$m=3$，最终可得$m=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
一元二次方程的定义；绝对值方程求解；不等式的应用
【点评】
本题是一元二次方程概念的基础应用题，解题的易错点是容易忽略二次项系数不为0的限制条件，错误得出$m=3$和$m=-1$两个结果，做题时要牢记一元二次方程的两个判定条件，二者缺一不可。
【难度系数】
0.7
要确定m的取值，需结合一元二次方程的定义推导，一元二次方程必须同时满足两个核心条件：一是含未知数的最高次项的次数为2，二是二次项的系数不能为0。我们可以先根据最高次数为2列关于m的方程，再结合二次项系数不为0的要求排除不符合的解，就能得到正确的m值。
【解析】
解：
∵关于$x$的方程$(m-3)x^{|m-1|} - x + 3 = 0$是一元二次方程
∴需同时满足以下两个条件：
1. 最高次项的次数为2，即$|m-1|=2$
解绝对值方程：
当$m-1=2$时，$m=3$；
当$m-1=-2$时，$m=-1$。
2. 二次项系数不为0，即$m-3 ≠ 0$，解得$m ≠ 3$。
综上，排除不符合要求的$m=3$，最终可得$m=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
一元二次方程的定义；绝对值方程求解；不等式的应用
【点评】
本题是一元二次方程概念的基础应用题，解题的易错点是容易忽略二次项系数不为0的限制条件，错误得出$m=3$和$m=-1$两个结果，做题时要牢记一元二次方程的两个判定条件，二者缺一不可。
【难度系数】
0.7
