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1. 用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无实数根的方程为 （
A.$x^2 - \frac{1}{2}=0$
B.$x^2=0$
C.$x^2 +4=0$
D.$-x^2 +3=0$
C
）A.$x^2 - \frac{1}{2}=0$
B.$x^2=0$
C.$x^2 +4=0$
D.$-x^2 +3=0$
答案
1.C
解析
【分析】
直接开平方法解一元二次方程的核心依据是实数的平方具有非负性，即对于任意实数x，都有$x^2≥0$。若将方程整理为$x^2=a$的形式，只有当$a≥0$时方程才有实数根，若$a＜0$则方程无实数根。解题时只需把每个选项的方程变形为$x^2=a$的形式，判断a的正负即可找到无实根的方程。
【解析】
逐一分析各选项：
A. 对$x^2 - \frac{1}{2}=0$移项得$x^2=\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}＞0$，方程有两个实数根$x=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$，不符合要求；
B. $x^2=0$，0是非负数，方程有实数根$x_1=x_2=0$，不符合要求；
C. 对$x^2 +4=0$移项得$x^2=-4$，因为任意实数的平方不可能为负数，所以该方程无实数根，符合要求；
D. 对$-x^2 +3=0$移项得$x^2=3$，$3＞0$，方程有两个实数根$x=\pm\sqrt{3}$，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 直接开平方法 2. 平方的非负性
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础题型，解题关键是掌握实数平方的非负性，通过变形方程判断等号右边常数的符号即可快速得出结论，难度较低。
【难度系数】
0.9
直接开平方法解一元二次方程的核心依据是实数的平方具有非负性，即对于任意实数x，都有$x^2≥0$。若将方程整理为$x^2=a$的形式，只有当$a≥0$时方程才有实数根，若$a＜0$则方程无实数根。解题时只需把每个选项的方程变形为$x^2=a$的形式，判断a的正负即可找到无实根的方程。
【解析】
逐一分析各选项：
A. 对$x^2 - \frac{1}{2}=0$移项得$x^2=\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}＞0$，方程有两个实数根$x=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$，不符合要求；
B. $x^2=0$，0是非负数，方程有实数根$x_1=x_2=0$，不符合要求；
C. 对$x^2 +4=0$移项得$x^2=-4$，因为任意实数的平方不可能为负数，所以该方程无实数根，符合要求；
D. 对$-x^2 +3=0$移项得$x^2=3$，$3＞0$，方程有两个实数根$x=\pm\sqrt{3}$，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 直接开平方法 2. 平方的非负性
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础题型，解题关键是掌握实数平方的非负性，通过变形方程判断等号右边常数的符号即可快速得出结论，难度较低。
【难度系数】
0.9
2. 一元二次方程$4x^2 -9=0$的解为 （
A.$x=\frac{3}{2}$
B.$x=\frac{2}{3}$
C.$x_1=\frac{3}{2},x_2=-\frac{3}{2}$
D.$x_1=\frac{2}{3},x_2=-\frac{2}{3}$
C
）A.$x=\frac{3}{2}$
B.$x=\frac{2}{3}$
C.$x_1=\frac{3}{2},x_2=-\frac{3}{2}$
D.$x_1=\frac{2}{3},x_2=-\frac{2}{3}$
答案
2.C
解析
【分析】
这是一道不含一次项的一元二次方程求解问题，优先选用直接开平方法解答。首先将常数项移到方程右侧，再把二次项系数化为1，最后根据平方根的性质对等式两边开平方即可，注意正数的平方根有两个，互为相反数，不要漏解，得到方程的解后对应选择正确选项即可。
【解析】
解：对于方程$4x^2 -9=0$，
1. 移项，得$4x^2=9$；
2. 二次项系数化为1，得$x^2=\frac{9}{4}$；
3. 两边同时开平方，得$x=\pm\sqrt{\frac{9}{4}}=\pm\frac{3}{2}$；
即方程的解为$x_1=\frac{3}{2},x_2=-\frac{3}{2}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程，平方根的性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查直接开平方法的应用，解题时要注意开平方后正数有两个平方根，避免因漏写负根出错。
【难度系数】
0.9
这是一道不含一次项的一元二次方程求解问题，优先选用直接开平方法解答。首先将常数项移到方程右侧，再把二次项系数化为1，最后根据平方根的性质对等式两边开平方即可，注意正数的平方根有两个，互为相反数，不要漏解，得到方程的解后对应选择正确选项即可。
【解析】
解：对于方程$4x^2 -9=0$，
1. 移项，得$4x^2=9$；
2. 二次项系数化为1，得$x^2=\frac{9}{4}$；
3. 两边同时开平方，得$x=\pm\sqrt{\frac{9}{4}}=\pm\frac{3}{2}$；
即方程的解为$x_1=\frac{3}{2},x_2=-\frac{3}{2}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程，平方根的性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查直接开平方法的应用，解题时要注意开平方后正数有两个平方根，避免因漏写负根出错。
【难度系数】
0.9
3.已知代数式$x^2 - 4$与代数式$x^2$的值互为相反数，那么$x$的值为
$\pm\sqrt{2}$
。答案
3.$\pm\sqrt{2}$
解析
【分析】
解题时先利用互为相反数的两个数之和为0的性质，根据题目给出的两个代数式互为相反数的条件列出关于x的一元二次方程，再将方程整理为$x^2=a(a≥0)$的形式，最后用直接开平方法求出x的值即可。
【解析】
解：
∵代数式$x^2 - 4$与$x^2$互为相反数
∴根据互为相反数的两数之和为0，可得：
$(x^2 - 4) + x^2 = 0$
合并同类项得：$2x^2 - 4 = 0$
移项得：$2x^2 = 4$
系数化为1得：$x^2 = 2$
直接开平方得：$x = \pm\sqrt{2}$
【答案】
$\pm\sqrt{2}$
【知识点】
1. 相反数的性质
2. 直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是熟练掌握相反数的性质正确列出方程，用直接开平方法解方程时要注意正数有两个互为相反数的平方根，避免漏解。
【难度系数】
0.8
解题时先利用互为相反数的两个数之和为0的性质，根据题目给出的两个代数式互为相反数的条件列出关于x的一元二次方程，再将方程整理为$x^2=a(a≥0)$的形式，最后用直接开平方法求出x的值即可。
【解析】
解：
∵代数式$x^2 - 4$与$x^2$互为相反数
∴根据互为相反数的两数之和为0，可得：
$(x^2 - 4) + x^2 = 0$
合并同类项得：$2x^2 - 4 = 0$
移项得：$2x^2 = 4$
系数化为1得：$x^2 = 2$
直接开平方得：$x = \pm\sqrt{2}$
【答案】
$\pm\sqrt{2}$
【知识点】
1. 相反数的性质
2. 直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是熟练掌握相反数的性质正确列出方程，用直接开平方法解方程时要注意正数有两个互为相反数的平方根，避免漏解。
【难度系数】
0.8
4. 用直接开平方法解下列方程：
(1)$x^2 - 169 = 0$；
(2)$9x^2 = 64$；
(3)$11y^2 + 7 = 2$；
(4)$6x^2 + 8 = 80$。
(1)$x^2 - 169 = 0$；
(2)$9x^2 = 64$；
(3)$11y^2 + 7 = 2$；
(4)$6x^2 + 8 = 80$。
答案
4. 解:(1)移项,得$x^2 = 169$. 由此可得$x=\pm13$,即$x_1=13$,$x_2=-13$. (2)二次项系数化为1,得$x^2=\frac{64}{9}$. 由此可得$x=\pm\frac{8}{3}$,即$x_1=\frac{8}{3}$,$x_2=-\frac{8}{3}$. (3)移项,得$11y^2=-5$. $\because-5＜0,\therefore$原一元二次方程无实数根. (4)移项,合并同类项,得$6x^2=72$. 二次项系数化为1,得$x^2=12$. 由此可得$x=\pm2\sqrt{3}$,即$x_1=2\sqrt{3}$,$x_2=-2\sqrt{3}$.
解析
【分析】
用直接开平方法解一元二次方程的核心是先将方程变形为“未知数的平方 = 常数a”的形式，解题通用步骤为：首先通过移项、合并同类项，把含未知数的平方项留在等号左侧，常数项移至等号右侧；其次将平方项的系数化为1；最后判断右侧常数a的符号：若a≥0，直接开平方即可得到未知数的两个解；若a＜0，则方程没有实数根。本题4个小题均按照该思路逐步求解即可。
【解析】
(1)移项，得$x^2 = 169$，由此可得$x=\pm13$，即$x_1=13$，$x_2=-13$。
(2)二次项系数化为1，得$x^2=\frac{64}{9}$，由此可得$x=\pm\frac{8}{3}$，即$x_1=\frac{8}{3}$，$x_2=-\frac{8}{3}$。
(3)移项，得$11y^2=-5$，$\because-5＜0$，$\therefore$原一元二次方程无实数根。
(4)移项、合并同类项，得$6x^2=72$，二次项系数化为1，得$x^2=12$，由此可得$x=\pm2\sqrt{3}$，即$x_1=2\sqrt{3}$，$x_2=-2\sqrt{3}$。
【答案】
(1)$x_1=13$，$x_2=-13$；(2)$x_1=\frac{8}{3}$，$x_2=-\frac{8}{3}$；(3)无实数根；(4)$x_1=2\sqrt{3}$，$x_2=-2\sqrt{3}$
【知识点】
直接开平方法，平方根的性质，一元二次方程实根判定
【点评】
本题是直接开平方法的基础应用题型，主要考查方程变形能力和平方根性质的运用，解题时需先将方程整理为平方项等于常数的标准形式，注意不要遗漏常数小于0时方程无实数根的情况，掌握方法后可快速求解这类一元二次方程。
【难度系数】
0.8
用直接开平方法解一元二次方程的核心是先将方程变形为“未知数的平方 = 常数a”的形式，解题通用步骤为：首先通过移项、合并同类项，把含未知数的平方项留在等号左侧，常数项移至等号右侧；其次将平方项的系数化为1；最后判断右侧常数a的符号：若a≥0，直接开平方即可得到未知数的两个解；若a＜0，则方程没有实数根。本题4个小题均按照该思路逐步求解即可。
【解析】
(1)移项，得$x^2 = 169$，由此可得$x=\pm13$，即$x_1=13$，$x_2=-13$。
(2)二次项系数化为1，得$x^2=\frac{64}{9}$，由此可得$x=\pm\frac{8}{3}$，即$x_1=\frac{8}{3}$，$x_2=-\frac{8}{3}$。
(3)移项，得$11y^2=-5$，$\because-5＜0$，$\therefore$原一元二次方程无实数根。
(4)移项、合并同类项，得$6x^2=72$，二次项系数化为1，得$x^2=12$，由此可得$x=\pm2\sqrt{3}$，即$x_1=2\sqrt{3}$，$x_2=-2\sqrt{3}$。
【答案】
(1)$x_1=13$，$x_2=-13$；(2)$x_1=\frac{8}{3}$，$x_2=-\frac{8}{3}$；(3)无实数根；(4)$x_1=2\sqrt{3}$，$x_2=-2\sqrt{3}$
【知识点】
直接开平方法，平方根的性质，一元二次方程实根判定
【点评】
本题是直接开平方法的基础应用题型，主要考查方程变形能力和平方根性质的运用，解题时需先将方程整理为平方项等于常数的标准形式，注意不要遗漏常数小于0时方程无实数根的情况，掌握方法后可快速求解这类一元二次方程。
【难度系数】
0.8
5. 一元二次方程$(x+6)^2=16$可转化为两个一元一次方程，若其中一个一元一次方程是$x+6=4$，则另一个一元一次方程是
$x+6=-4$
。答案
5.$x+6=-4$
解析
【分析】
本题考查用直接开平方法解一元二次方程，解题思路如下：首先回忆直接开平方法的原理：对于形如$a^2=b$（$b≥0$）的等式，根据平方根的性质，正数的平方根有两个且互为相反数，因此$a=\sqrt{b}$或$a=-\sqrt{b}$。本题中方程左边是完全平方式$(x+6)^2$，右边是正数16，因此对两边同时开平方时，$x+6$的取值有两种情况，已知其中一种是$x+6=4$，另一种就是取负的平方根的情况。
【解析】
解：对于一元二次方程$(x+6)^2=16$，根据直接开平方法的规则，对等式两边同时开平方，可得：
$x+6=\pm\sqrt{16}$
即$x+6=\pm4$
因此可以转化为两个一元一次方程：$x+6=4$和$x+6=-4$
故另一个一元一次方程是$x+6=-4$。
【答案】
$x+6=-4$
【知识点】
直接开平方法、平方根的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查直接开平方法解一元二次方程的基本操作，解题的关键是牢记正数开平方后有两个互为相反数的结果，避免漏解。
【难度系数】
0.9
本题考查用直接开平方法解一元二次方程，解题思路如下：首先回忆直接开平方法的原理：对于形如$a^2=b$（$b≥0$）的等式，根据平方根的性质，正数的平方根有两个且互为相反数，因此$a=\sqrt{b}$或$a=-\sqrt{b}$。本题中方程左边是完全平方式$(x+6)^2$，右边是正数16，因此对两边同时开平方时，$x+6$的取值有两种情况，已知其中一种是$x+6=4$，另一种就是取负的平方根的情况。
【解析】
解：对于一元二次方程$(x+6)^2=16$，根据直接开平方法的规则，对等式两边同时开平方，可得：
$x+6=\pm\sqrt{16}$
即$x+6=\pm4$
因此可以转化为两个一元一次方程：$x+6=4$和$x+6=-4$
故另一个一元一次方程是$x+6=-4$。
【答案】
$x+6=-4$
【知识点】
直接开平方法、平方根的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查直接开平方法解一元二次方程的基本操作，解题的关键是牢记正数开平方后有两个互为相反数的结果，避免漏解。
【难度系数】
0.9
6.方程$(x+2026)^2=1$的根是（
A.$x_1=-2025, x_2=-2027$
B.$x_1=-2025, x_2=-2026$
C.$x_1=x_2=-2026$
D.$x_1=x_2=-2027$
A
）A.$x_1=-2025, x_2=-2027$
B.$x_1=-2025, x_2=-2026$
C.$x_1=x_2=-2026$
D.$x_1=x_2=-2027$
答案
6.A
解析
【分析】
本题可采用直接开平方法求解，首先观察方程形式，左边是含未知数的整式的平方，右边是正数，符合直接开平方法的适用条件。解题时先将$(x+2026)$看作一个整体，对等式两边同时开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，再分别求解两个一次方程即可得到原方程的根，最后对应选项选出答案。
【解析】
对于方程$(x+2026)^2=1$，两边直接开平方，得：
$x+2026=\pm1$
分两种情况求解：
①当$x+2026=1$时，解得$x=1-2026=-2025$；
②当$x+2026=-1$时，解得$x=-1-2026=-2027$。
因此原方程的根为$x_1=-2025$，$x_2=-2027$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；一元二次方程的根
【点评】
本题是基础题型，核心是掌握直接开平方法的运算规则，解题时注意将括号内的式子看作整体开平方，不要遗漏负根的情况即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
本题可采用直接开平方法求解，首先观察方程形式，左边是含未知数的整式的平方，右边是正数，符合直接开平方法的适用条件。解题时先将$(x+2026)$看作一个整体，对等式两边同时开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，再分别求解两个一次方程即可得到原方程的根，最后对应选项选出答案。
【解析】
对于方程$(x+2026)^2=1$，两边直接开平方，得：
$x+2026=\pm1$
分两种情况求解：
①当$x+2026=1$时，解得$x=1-2026=-2025$；
②当$x+2026=-1$时，解得$x=-1-2026=-2027$。
因此原方程的根为$x_1=-2025$，$x_2=-2027$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；一元二次方程的根
【点评】
本题是基础题型，核心是掌握直接开平方法的运算规则，解题时注意将括号内的式子看作整体开平方，不要遗漏负根的情况即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
7.若关于$x$的方程$(x-2)^2=a-5$有解，则$a$的取值范围是（
A.$a=5$
B.$a＞5$
C.$a≥5$
D.$a≠5$
C
）A.$a=5$
B.$a＞5$
C.$a≥5$
D.$a≠5$
答案
7.C
解析
【分析】
本题考查直接开平方法解一元二次方程的条件，解题时首先回忆平方的性质：任意实数的平方都是非负数。方程左边是$(x-2)^2$，属于平方形式，取值一定$≥0$，要使方程有解，右边的$a-5$必须是非负数，据此列不等式求解即可得到$a$的取值范围。
【解析】
解：$\because$ 任意实数的平方都是非负数，
$\therefore (x-2)^2 ≥ 0$，
要使方程$(x-2)^2 = a-5$有解，需满足右边的代数式也为非负数，即：
$a - 5 ≥ 0$，
解得$a ≥ 5$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
1. 平方的非负性
2. 直接开平方法解一元二次方程
3. 解一元一次不等式
【点评】
本题是基础题型，解题的核心是抓住平方数的非负性，明确直接开平方法解方程时等号右侧的数必须是非负的，熟练掌握相关性质即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题考查直接开平方法解一元二次方程的条件，解题时首先回忆平方的性质：任意实数的平方都是非负数。方程左边是$(x-2)^2$，属于平方形式，取值一定$≥0$，要使方程有解，右边的$a-5$必须是非负数，据此列不等式求解即可得到$a$的取值范围。
【解析】
解：$\because$ 任意实数的平方都是非负数，
$\therefore (x-2)^2 ≥ 0$，
要使方程$(x-2)^2 = a-5$有解，需满足右边的代数式也为非负数，即：
$a - 5 ≥ 0$，
解得$a ≥ 5$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
1. 平方的非负性
2. 直接开平方法解一元二次方程
3. 解一元一次不等式
【点评】
本题是基础题型，解题的核心是抓住平方数的非负性，明确直接开平方法解方程时等号右侧的数必须是非负的，熟练掌握相关性质即可快速作答。
【难度系数】
0.9
8. 解下列方程：
(1) $(x-5)^2 = 9$；
(2) $3(2x-1)^2 = 27$。
(1) $(x-5)^2 = 9$；
(2) $3(2x-1)^2 = 27$。
答案
8. 解:(1)由此可得$x-5=\pm3$,即$x_1=8$,$x_2=2$. (2)二次项系数化为1,得$(2x-1)^2=9$. 由此可得$2x-1=\pm3$,即$x_1=2$,$x_2=-1$.
解析
【分析】
这两道题均符合直接开平方法解一元二次方程的形式特征，解题思路如下：①先将方程整理为“含未知数的完全平方式=非负常数”的形式；②根据平方根的性质，对等式两边同时开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程；③分别求解一元一次方程，得到原方程的两个根，注意开平方时要同时取正、负两个平方根，避免漏解。
第(1)题已经是标准的$(x-m)^2=n$（$n≥0$）的形式，可直接开平方求解；第(2)题完全平方式前有系数，需先将系数化为1，再开平方求解。
【解析】
(1) 对$(x-5)^2 = 9$两边同时开平方，得：
$x-5=\pm3$
分两种情况求解：
当$x-5=3$时，解得$x=8$；
当$x-5=-3$时，解得$x=2$。
(2) 先将二次项系数化为1，方程两边同时除以3，得：
$(2x-1)^2=9$
对等式两边同时开平方，得：
$2x-1=\pm3$
分两种情况求解：
当$2x-1=3$时，$2x=4$，解得$x=2$；
当$2x-1=-3$时，$2x=-2$，解得$x=-1$。
【答案】
(1)$x_1=8$，$x_2=2$；(2)$x_1=2$，$x_2=-1$
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程 2. 平方根的性质
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，核心是掌握直接开平方法的适用条件，解题时先将方程转化为完全平方式等于非负数的形式，开平方时注意不要遗漏负平方根即可准确求解。
【难度系数】
0.85
这两道题均符合直接开平方法解一元二次方程的形式特征，解题思路如下：①先将方程整理为“含未知数的完全平方式=非负常数”的形式；②根据平方根的性质，对等式两边同时开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程；③分别求解一元一次方程，得到原方程的两个根，注意开平方时要同时取正、负两个平方根，避免漏解。
第(1)题已经是标准的$(x-m)^2=n$（$n≥0$）的形式，可直接开平方求解；第(2)题完全平方式前有系数，需先将系数化为1，再开平方求解。
【解析】
(1) 对$(x-5)^2 = 9$两边同时开平方，得：
$x-5=\pm3$
分两种情况求解：
当$x-5=3$时，解得$x=8$；
当$x-5=-3$时，解得$x=2$。
(2) 先将二次项系数化为1，方程两边同时除以3，得：
$(2x-1)^2=9$
对等式两边同时开平方，得：
$2x-1=\pm3$
分两种情况求解：
当$2x-1=3$时，$2x=4$，解得$x=2$；
当$2x-1=-3$时，$2x=-2$，解得$x=-1$。
【答案】
(1)$x_1=8$，$x_2=2$；(2)$x_1=2$，$x_2=-1$
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程 2. 平方根的性质
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，核心是掌握直接开平方法的适用条件，解题时先将方程转化为完全平方式等于非负数的形式，开平方时注意不要遗漏负平方根即可准确求解。
【难度系数】
0.85
