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1 [2025 苏州]如图,在四边形ABCD中,BD=CD,∠C=∠BAD.以AB为直径的⊙O经过点D,求证:BC为⊙O的切线.
答案
∵ AB 是 ⊙O 的直径,
∴ ∠ADB = 90°.
∵ BD = CD,
∴ ∠C = ∠DBC.
∵ ∠C = ∠BAD,
∴ ∠DBC = ∠BAD.
∴ ∠OBC=∠ABD+∠DBC=∠ABD+∠BAD=90°.
∵ OB是⊙O 的半径,且 BC⊥OB,
∴ BC 为⊙O 的切线
解析
【分析】
要证明BC是⊙O的切线，根据切线的判定定理，需证明BC垂直于过切点B的半径OB，即证明∠ABC=90°。首先结合AB是直径的条件，利用直径所对的圆周角为直角，可得∠ADB=90°，进而得到∠BAD+∠ABD=90°；再结合等腰三角形等边对等角的性质和已知∠C=∠BAD，通过等量代换把∠DBC转化为∠BAD，即可推导出∠ABC=90°，完成证明。
【解析】
证明：
∵ AB 是 ⊙O 的直径，
∴ ∠ADB = 90°，即∠BAD + ∠ABD = 90°。
∵ BD = CD，
∴ ∠C = ∠DBC。
∵ ∠C = ∠BAD，
∴ ∠DBC = ∠BAD。
∴ ∠OBC=∠ABD+∠DBC=∠ABD+∠BAD=90°，即BC⊥OB。
又
∵ OB是⊙O 的半径，
∴ BC 为⊙O 的切线。
【答案】
BC为⊙O的切线
【知识点】
圆周角定理推论；等腰三角形性质；切线的判定
【点评】
本题是圆的切线证明的基础题型，解题核心是明确切线判定的关键是证明直线与对应半径垂直，通过角度的等量代换结合圆和等腰三角形的性质即可推导，解题思路清晰。
【难度系数】
0.7
要证明BC是⊙O的切线，根据切线的判定定理，需证明BC垂直于过切点B的半径OB，即证明∠ABC=90°。首先结合AB是直径的条件，利用直径所对的圆周角为直角，可得∠ADB=90°，进而得到∠BAD+∠ABD=90°；再结合等腰三角形等边对等角的性质和已知∠C=∠BAD，通过等量代换把∠DBC转化为∠BAD，即可推导出∠ABC=90°，完成证明。
【解析】
证明：
∵ AB 是 ⊙O 的直径，
∴ ∠ADB = 90°，即∠BAD + ∠ABD = 90°。
∵ BD = CD，
∴ ∠C = ∠DBC。
∵ ∠C = ∠BAD，
∴ ∠DBC = ∠BAD。
∴ ∠OBC=∠ABD+∠DBC=∠ABD+∠BAD=90°，即BC⊥OB。
又
∵ OB是⊙O 的半径，
∴ BC 为⊙O 的切线。
【答案】
BC为⊙O的切线
【知识点】
圆周角定理推论；等腰三角形性质；切线的判定
【点评】
本题是圆的切线证明的基础题型，解题核心是明确切线判定的关键是证明直线与对应半径垂直，通过角度的等量代换结合圆和等腰三角形的性质即可推导，解题思路清晰。
【难度系数】
0.7
2 [2024威海改编]如图，AB是$\odot O$的直径，点C，D在$\odot O$上，且$BC=CD$，E是线段AB延长线上一点，连接EC并延长，交射线AD于点F. $∠ FEG$的平分线EH交射线AC于点H，$∠ H=45°$. 求证：EF是$\odot O$的切线.
答案
连接 OC.
∵ OA=OC,
∴ ∠OAC=∠OCA.
∵ BC=CD,
∴ ∠DAC=∠BAC.
∴ ∠OCA=∠DAC.
∴ OC//AF.
∴ ∠OCE=∠F.
∵ EH 平分∠FEG,
∴ ∠FEH=∠GEH.
∵ ∠GEH=∠H+∠BAC,∠FEG=∠F+∠BAF,
∴ 2∠H+2∠BAC=∠F+∠BAF.
∵ ∠BAF=2∠BAC,
∴ ∠F=2∠H=90°.
∴ ∠OCE=∠F=90°,即 OC⊥EF.
∵ OC 是⊙O 的半径,
∴ EF 是⊙O 的切线
∵ OA=OC,
∴ ∠OAC=∠OCA.
∵ BC=CD,
∴ ∠DAC=∠BAC.
∴ ∠OCA=∠DAC.
∴ OC//AF.
∴ ∠OCE=∠F.
∵ EH 平分∠FEG,
∴ ∠FEH=∠GEH.
∵ ∠GEH=∠H+∠BAC,∠FEG=∠F+∠BAF,
∴ 2∠H+2∠BAC=∠F+∠BAF.
∵ ∠BAF=2∠BAC,
∴ ∠F=2∠H=90°.
∴ ∠OCE=∠F=90°,即 OC⊥EF.
∵ OC 是⊙O 的半径,
∴ EF 是⊙O 的切线
解析
【分析】要证明EF是$\odot O$的切线，根据切线判定定理，需证明EF垂直于过切点C的半径，因此先连接OC，目标是证$OC⊥ EF$。首先由等弦对应的圆周角相等，结合等腰三角形等边对等角的性质，可推出$OC// AF$，进而得到$∠ OCE=∠ F$，因此只需证明$∠ F=90°$即可；接下来利用角平分线的性质、三角形外角的性质，结合已知$∠ H=45°$，推导得出$∠ F=2∠ H=90°$，即可得到$OC⊥ EF$，完成证明。
【解析】
连接 $OC$.
$\because OA=OC$,
$\therefore ∠ OAC=∠ OCA$.
$\because BC=CD$,
$\therefore ∠ DAC=∠ BAC$.
$\therefore ∠ OCA=∠ DAC$,
$\therefore OC// AF$,
$\therefore ∠ OCE=∠ F$.
$\because EH$ 平分$∠ FEG$,
$\therefore ∠ FEH=∠ GEH$.
由三角形外角性质可得：$∠ GEH=∠ H+∠ BAC$，$∠ FEG=∠ F+∠ BAF$,
$\therefore 2∠ H+2∠ BAC=∠ F+∠ BAF$.
又$\because ∠ BAF=2∠ BAC$,
$\therefore ∠ F=2∠ H=2×45°=90°$,
$\therefore ∠ OCE=∠ F=90°$，即 $OC⊥ EF$.
$\because OC$ 是$\odot O$的半径,
$\therefore EF$ 是$\odot O$的切线.
【答案】
$EF$是$\odot O$的切线
【知识点】
切线的判定定理；圆周角定理；三角形外角性质
【点评】
本题是圆切线证明的常规题型，解题核心是掌握“连半径、证垂直”的切线证明思路，题目综合了圆的基本性质、平行线的判定、角平分线性质等多个知识点，需要熟练梳理角之间的等量关系来推导结论。
【难度系数】
0.6
【解析】
连接 $OC$.
$\because OA=OC$,
$\therefore ∠ OAC=∠ OCA$.
$\because BC=CD$,
$\therefore ∠ DAC=∠ BAC$.
$\therefore ∠ OCA=∠ DAC$,
$\therefore OC// AF$,
$\therefore ∠ OCE=∠ F$.
$\because EH$ 平分$∠ FEG$,
$\therefore ∠ FEH=∠ GEH$.
由三角形外角性质可得：$∠ GEH=∠ H+∠ BAC$，$∠ FEG=∠ F+∠ BAF$,
$\therefore 2∠ H+2∠ BAC=∠ F+∠ BAF$.
又$\because ∠ BAF=2∠ BAC$,
$\therefore ∠ F=2∠ H=2×45°=90°$,
$\therefore ∠ OCE=∠ F=90°$，即 $OC⊥ EF$.
$\because OC$ 是$\odot O$的半径,
$\therefore EF$ 是$\odot O$的切线.
【答案】
$EF$是$\odot O$的切线
【知识点】
切线的判定定理；圆周角定理；三角形外角性质
【点评】
本题是圆切线证明的常规题型，解题核心是掌握“连半径、证垂直”的切线证明思路，题目综合了圆的基本性质、平行线的判定、角平分线性质等多个知识点，需要熟练梳理角之间的等量关系来推导结论。
【难度系数】
0.6
3 如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ ABC=90°$,$∠ BAC$ 的平分线交 $BC$ 于点 $D$,$E$ 为 $AB$ 上一点,$DE=DC$,以点 $D$ 为圆心、$DB$ 长为半径作 $\odot D$,$AB=10$,$EB=6$.
(1) 求证:$AC$ 是$\odot D$ 的切线;
(2) 求线段 $AC$ 的长.
(1) 求证:$AC$ 是$\odot D$ 的切线;
(2) 求线段 $AC$ 的长.
答案
(1) 过点 D 作 DF⊥AC 于点 F.
∵ ∠ABC=90°,
∴ AB⊥BC.
∵ AD 平分∠BAC,DF⊥AC,DB⊥AB,
∴ DB=DF.
∴ DF 为⊙D 的半径.
∴ AC 是⊙D 的切线
(2) 在Rt△BDE和Rt△FDC中,$\begin{cases}DE=DC,\\DB=DF,\end{cases}$
∴ Rt△BDE≌Rt△FDC.
∴ EB=CF.
∵ AD 平分∠BAF,
∴ ∠BAD=∠FAD. 又
∵ ∠ABD=∠AFD=90°,AD=AD,
∴ △ABD≌△AFD.
∴ AB=AF.
∴ AC=AF+CF=AB+EB=10+6=16
∵ ∠ABC=90°,
∴ AB⊥BC.
∵ AD 平分∠BAC,DF⊥AC,DB⊥AB,
∴ DB=DF.
∴ DF 为⊙D 的半径.
∴ AC 是⊙D 的切线
(2) 在Rt△BDE和Rt△FDC中,$\begin{cases}DE=DC,\\DB=DF,\end{cases}$
∴ Rt△BDE≌Rt△FDC.
∴ EB=CF.
∵ AD 平分∠BAF,
∴ ∠BAD=∠FAD. 又
∵ ∠ABD=∠AFD=90°,AD=AD,
∴ △ABD≌△AFD.
∴ AB=AF.
∴ AC=AF+CF=AB+EB=10+6=16
解析
【分析】
(1) 要证明AC是⊙D的切线，根据切线的判定方法，需证明圆心D到AC的距离等于⊙D的半径。已知⊙D半径为DB，AD是∠BAC的平分线，结合角平分线上的点到角两边距离相等的性质，过D作DF⊥AC于F，只需证DF=DB即可完成证明。
(2) 求AC的长时，可将AC拆分为AF+CF两段，先利用HL证明Rt△BDE和Rt△FDC全等，得到CF=EB；再证明△ABD≌△AFD，得到AF=AB，将两段已知长度相加即可得到AC的长。
【解析】
(1) 过点 D 作 DF⊥AC 于点 F。
∵ ∠ABC=90°，
∴ AB⊥BC。
∵ AD 平分∠BAC，DF⊥AC，DB⊥AB，
∴ DB=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∴ DF 为⊙D 的半径，且DF⊥AC，
∴ AC 是⊙D 的切线。
(2) 在Rt△BDE和Rt△FDC中，
$\begin{cases}DE=DC,\\DB=DF,\end{cases}$
∴ Rt△BDE≌Rt△FDC（HL）。
∴ EB=CF。
∵ AD 平分∠BAF，
∴ ∠BAD=∠FAD。
又
∵ ∠ABD=∠AFD=90°，AD=AD，
∴ △ABD≌△AFD（AAS）。
∴ AB=AF。
∴ AC=AF+CF=AB+EB=10+6=16。
【答案】
(1) 证明成立；
(2) 线段AC的长为16。
【知识点】
切线的判定，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆与三角形综合的基础题型，切线证明部分考察了“证距离等于半径”这一常用的切线判定思路，线段计算部分通过两次全等实现未知线段向已知线段的转化，能有效检验对基础几何定理的掌握和综合运用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明AC是⊙D的切线，根据切线的判定方法，需证明圆心D到AC的距离等于⊙D的半径。已知⊙D半径为DB，AD是∠BAC的平分线，结合角平分线上的点到角两边距离相等的性质，过D作DF⊥AC于F，只需证DF=DB即可完成证明。
(2) 求AC的长时，可将AC拆分为AF+CF两段，先利用HL证明Rt△BDE和Rt△FDC全等，得到CF=EB；再证明△ABD≌△AFD，得到AF=AB，将两段已知长度相加即可得到AC的长。
【解析】
(1) 过点 D 作 DF⊥AC 于点 F。
∵ ∠ABC=90°，
∴ AB⊥BC。
∵ AD 平分∠BAC，DF⊥AC，DB⊥AB，
∴ DB=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∴ DF 为⊙D 的半径，且DF⊥AC，
∴ AC 是⊙D 的切线。
(2) 在Rt△BDE和Rt△FDC中，
$\begin{cases}DE=DC,\\DB=DF,\end{cases}$
∴ Rt△BDE≌Rt△FDC（HL）。
∴ EB=CF。
∵ AD 平分∠BAF，
∴ ∠BAD=∠FAD。
又
∵ ∠ABD=∠AFD=90°，AD=AD，
∴ △ABD≌△AFD（AAS）。
∴ AB=AF。
∴ AC=AF+CF=AB+EB=10+6=16。
【答案】
(1) 证明成立；
(2) 线段AC的长为16。
【知识点】
切线的判定，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆与三角形综合的基础题型，切线证明部分考察了“证距离等于半径”这一常用的切线判定思路，线段计算部分通过两次全等实现未知线段向已知线段的转化，能有效检验对基础几何定理的掌握和综合运用能力。
【难度系数】
0.7
4 如图，O是$△ ABC$的边AC上一点，以点O为圆心、OA长为半径作$\odot O$，与BC相切于点E，交AB于点D。连接OD并延长，交CB的延长线于点F，连接AF，OE，$∠ AOD = ∠ EOD$。求证：AF是$\odot O$的切线。
答案
在△AOF 和△EOF 中,$\begin{cases}OA=OE,\\∠AOD=∠EOD,\\OF=OF,\end{cases}$
∴ △AOF≌△EOF.
∴ ∠OAF=∠OEF.
∵ BC 与⊙O 相切,
∴ OE⊥FC.
∴ ∠OAF=∠OEF=90°,即 OA⊥AF.
∵ OA 为⊙O 的半径,
∴ AF 是⊙O 的切线
∴ △AOF≌△EOF.
∴ ∠OAF=∠OEF.
∵ BC 与⊙O 相切,
∴ OE⊥FC.
∴ ∠OAF=∠OEF=90°,即 OA⊥AF.
∵ OA 为⊙O 的半径,
∴ AF 是⊙O 的切线
解析
【分析】
要证明AF是$\odot O$的切线，首先观察到AF与$\odot O$的交点A是圆上的点，根据切线的判定定理，只需证明OA垂直于AF，即$∠ OAF=90°$。已知BC是$\odot O$的切线，根据切线的性质可得过切点E的半径OE垂直于BC，即$∠ OEF=90°$，因此只需证明$∠ OAF=∠ OEF$即可。结合已知条件：OA、OE均为$\odot O$的半径，故$OA=OE$；题目给出$∠ AOD=∠ EOD$，且OF是$△ AOF$和$△ EOF$的公共边，可通过SAS判定两个三角形全等，利用全等三角形对应角相等即可得到$∠ OAF=∠ OEF=90°$，进而完成证明。
【解析】
证明：在$△ AOF$和$△ EOF$中，
$\begin{cases}OA=OE,\\∠ AOD=∠ EOD,\\OF=OF,\end{cases}$
$\therefore △ AOF≌△ EOF(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ OAF=∠ OEF$。
$\because$ BC与$\odot O$相切，E为切点，
$\therefore OE⊥ FC$，
$\therefore ∠ OEF=90°$，
$\therefore ∠ OAF=90°$，即$OA⊥ AF$。
又$\because$ OA是$\odot O$的半径，
$\therefore$ AF是$\odot O$的切线。
【答案】
AF是$\odot O$的切线
【知识点】
1. 切线的判定；2. 切线的性质；3. 全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆中切线证明的常规题型，解题核心是通过全等三角形转化垂直关系，需要熟练掌握切线的相关性质、判定定理以及全等三角形的判定方法，逻辑链条清晰，解题思路指向性明确。
【难度系数】
0.7
要证明AF是$\odot O$的切线，首先观察到AF与$\odot O$的交点A是圆上的点，根据切线的判定定理，只需证明OA垂直于AF，即$∠ OAF=90°$。已知BC是$\odot O$的切线，根据切线的性质可得过切点E的半径OE垂直于BC，即$∠ OEF=90°$，因此只需证明$∠ OAF=∠ OEF$即可。结合已知条件：OA、OE均为$\odot O$的半径，故$OA=OE$；题目给出$∠ AOD=∠ EOD$，且OF是$△ AOF$和$△ EOF$的公共边，可通过SAS判定两个三角形全等，利用全等三角形对应角相等即可得到$∠ OAF=∠ OEF=90°$，进而完成证明。
【解析】
证明：在$△ AOF$和$△ EOF$中，
$\begin{cases}OA=OE,\\∠ AOD=∠ EOD,\\OF=OF,\end{cases}$
$\therefore △ AOF≌△ EOF(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ OAF=∠ OEF$。
$\because$ BC与$\odot O$相切，E为切点，
$\therefore OE⊥ FC$，
$\therefore ∠ OEF=90°$，
$\therefore ∠ OAF=90°$，即$OA⊥ AF$。
又$\because$ OA是$\odot O$的半径，
$\therefore$ AF是$\odot O$的切线。
【答案】
AF是$\odot O$的切线
【知识点】
1. 切线的判定；2. 切线的性质；3. 全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆中切线证明的常规题型，解题核心是通过全等三角形转化垂直关系，需要熟练掌握切线的相关性质、判定定理以及全等三角形的判定方法，逻辑链条清晰，解题思路指向性明确。
【难度系数】
0.7
