【例】(2025·大连西岗区期末节选)在一次数学探究课上,老师给同学们提供了如图1所示的数学模型:
在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠BAC=α,长度等于腰长的一条线段AD绕点A旋转……同学们通过探究后,交流各自的体会:
小晴同学:若α=60°,则AD在△ABC内旋转到任意位置,∠BDC的大小不变(如图2);
小颖同学:若α=60°,则AD在△ABC外旋转到任意位置,∠BDC的大小也不变(如图3);
小宁同学:综合前面的结论,发现在图1中,AD旋转到任意位置上,∠BDC与α都存在一定的数量关系.
(1)当α=60°时,
①如图2,AD在△ABC内旋转到任意位置,求∠BDC的度数;
②如图3,AD在△ABC外旋转到任意位置,求∠BDC的度数.
(2)若α为任意度数(0°＜α＜90°),AD旋转到任意位置,则∠BDC=(用含α的式子表示).

(1)①$150°$ ②$30°$ (2)$180°-\frac{1}{2}α$ 或 $\frac{1}{2}α$

【分析】
本题属于共顶点等线段的几何探究题，核心利用等腰三角形两底角相等、三角形内角和定理推导角的数量关系。解题时先抓住AB=AC=AD的条件，得到△ABD、△ACD均为等腰三角形，通过设未知角表示出各等腰三角形的底角，再结合角的和差关系消去未知角，即可求出∠BDC的度数；推广到任意角度α时，同理分AD在△ABC内、外两种情况讨论即可。
【解析】
(1)① 已知AB=AC，∠BAC=α=60°，故△ABC为等边三角形，即AB=AC=BC。
由题意得AD=AB，因此AB=AC=AD，△ABD、△ACD均为等腰三角形。
设∠BAD=x，则∠CAD=∠BAC - ∠BAD=60°-x。
在△ABD中，AB=AD，
∴$∠ ADB=\frac{180°-∠ BAD}{2}=\frac{180°-x}{2}$；
在△ACD中，AC=AD，
∴$∠ ADC=\frac{180°-∠ CAD}{2}=\frac{180°-(60°-x)}{2}=\frac{120°+x}{2}$；
∴$∠ BDC=∠ ADB+∠ ADC=\frac{(180°-x)+(120°+x)}{2}=\frac{300°}{2}=150°$。
② AD在△ABC外时，AB=AC=AD仍成立。
设∠BAD=x，则∠CAD=∠BAC + ∠BAD=60°+x。
在△ABD中，$∠ ADB=\frac{180°-x}{2}$；
在△ACD中，$∠ ADC=\frac{180°-(60°+x)}{2}=\frac{120°-x}{2}$；
∴$∠ BDC=∠ ADB-∠ ADC=\frac{(180°-x)-(120°-x)}{2}=\frac{60°}{2}=30°$。
(2) 分两种情况讨论：
当AD在△ABC内部时，设∠BAD=x，则∠CAD=α - x，
则$∠ BDC=\frac{(180°-x)+(180°-(α -x))}{2}=\frac{360°-α}{2}=180°-\frac{1}{2}α$；
当AD在△ABC外部时，设∠BAD=x，则∠CAD=α + x，
则$∠ BDC=\frac{(180°-x)-(180°-(α +x))}{2}=\frac{α}{2}$。
【答案】
(1)①$150°$；②$30°$；(2)$180°-\frac{1}{2}α$ 或 $\frac{1}{2}α$
【知识点】
等腰三角形性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题是典型的共顶等腰模型探究题，通过特殊角度到一般角度的推导，考查了由特殊到一般的数学思维，解题时需注意分类讨论AD的位置，避免漏解。
【难度系数】
0.65