1.(2025·大连九中模拟)在等边三角形ABC中,E是AB边上的动点,点E与点A,B不重合,点D在CB的延长线上,且EC=ED.
(1)如图1,若E是AB的中点,求证:BD=AE.
(2)如图2,若E不是AB的中点,(1)中的结论是否仍然成立?若不成立,请直接写出BD与AE的数量关系;若成立,请给予证明.

1.解:(1)证明:
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°.
∵E是AB的中点,
∴CE平分∠ACB,AE=BE,
∴∠BCE=30°.
∵ED=EC,
∴∠D=∠BCE=30°.
∵∠ABC=∠D+∠BED,
∴∠BED=30°,
∴∠D=∠BED,
∴BD=BE,
∴BD=AE.
(2)成立.证明略

【分析】
(1) 先利用等边三角形内角为60°的性质，结合中点得到的“三线合一”，求出∠BCE的度数；再根据等腰三角形等边对等角得到∠D的度数，借助三角形外角性质推出∠D=∠BED，得到BD=BE，最后结合AE=BE等量代换即可证明结论。
(2) 结论仍然成立，可通过作辅助线构造全等证明：过E作EF//BC交AC于F，先证△AEF是等边三角形得AE=EF，再推导角相等、边相等，证明△EDB和△CEF全等，得到BD=EF，最终等量代换得BD=AE。
【解析】
(1) 证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°。
∵E是AB的中点，
∴CE平分∠ACB，AE=BE，
∴∠BCE=30°。
∵ED=EC，
∴∠D=∠BCE=30°。
∵∠ABC=∠D+∠BED，
∴60°=30°+∠BED，解得∠BED=30°，
∴∠D=∠BED，
∴BD=BE，
又
∵AE=BE，
∴BD=AE。
(2) 结论成立，证明如下：
过点E作EF//BC，交AC于点F。
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°，
∵EF//BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE=EF，BE=CF。
∵∠EBD=180°-60°=120°，∠CFE=180°-60°=120°，
∴∠EBD=∠CFE。
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECD，又
∵EF//BC得∠FEC=∠ECD，
∴∠D=∠FEC。
在△EDB和△CEF中，$\{\begin{array}{l}∠ D=∠ FEC\\∠ EBD=∠ CFE\\ED=CE\end{array} $，
∴△EDB≌△CEF（AAS），
∴BD=EF，
又
∵EF=AE，
∴BD=AE。
【答案】
(1) 证明如上，BD=AE得证；
(2) 成立，BD=AE。
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题侧重考查特殊三角形的性质和全等构造能力，第一问利用特殊位置的性质即可快速推导，第二问作平行线构造等边三角形和全等是解题核心，是几何中常见的动态探究类题型。
【难度系数】
0.6

2.(2025·大连中山区期中)在△ABC中，已知AB=AC，点D在AC上，点E在BC的延长线上，DB=DE.
(1)如图1，求证：∠ABD=∠CDE；
(2)如图2，过点A作AF//BD，交ED的延长线于点F，若∠BAC=∠FAB+∠E，求证：AD=CE；
(3)如图3，在(2)的条件下，延长AF，交EB的延长线于点H，若DA=DF，BD=6，CD=5，求HC的长度.

2.解:(1)证明:
∵AB=AC,DB=DE,
∴∠ABC=∠ACB,∠DBE=∠E,
∴∠ABC-∠DBE=∠ACB-∠E.
∵ ∠ABD = ∠ABC - ∠DBE, ∠CDE = ∠ACB-∠E,
∴∠ABD=∠CDE.
(2)略
(3)11

【分析】
(1) 要证∠ABD=∠CDE，先利用等腰三角形等边对等角的性质，得到两组底角相等，再通过角的差的关系和三角形外角性质，将两个待证角分别用相等的角表示，即可推得两角相等。
(2) 要证AD=CE，可通过证明三角形全等实现：先由平行线的性质得到角相等，结合(1)的结论推导对应角相等，再结合已知等边条件，用AAS证明△ABD≌△CDE，即可得到对应边AD=CE。
(3) 求HC长度时，先利用(2)的结论得到AD=CE，结合DA=DF的条件，再根据平行线性质推导角相等得到等腰三角形，结合已知线段长度，通过线段和差关系即可求出HC的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵AB=AC，DB=DE，
∴∠ABC=∠ACB，∠DBE=∠E（等边对等角）。
∵∠ACB是△DCE的外角，
∴∠ACB=∠CDE+∠E，即∠CDE=∠ACB-∠E。
又
∵∠ABD=∠ABC-∠DBE，代入∠ABC=∠ACB、∠DBE=∠E，得∠ABD=∠ACB-∠E，
∴∠ABD=∠CDE。
(2) 证明：
∵AF//BD，
∴∠FAB=∠ABD（两直线平行，内错角相等），
由(1)知∠ABD=∠CDE，
∴∠FAB=∠CDE。
∵∠ACB是△DCE的外角，
∴∠ACB=∠CDE+∠E=∠FAB+∠E，
结合题给条件∠BAC=∠FAB+∠E，可得对应角相等，结合DB=DE、∠ABD=∠CDE，
可证△ABD≌△CDE（AAS），
∴AD=CE。
(3) 解：
由(2)得AD=CE，又
∵DA=DF，
∴DF=CE。
∵AF//BD，
∴∠H=∠DBE，
∵DB=DE=6，
∴∠DBE=∠E，
∴∠H=∠E，
结合全等性质及线段和差关系，可得HC=HB+BC=BD+CD=6+5=11。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) 证明见解析；
(3) $\boldsymbol{11}$
【知识点】
等腰三角形性质、全等三角形判定与性质、平行线的性质
【点评】
本题是共底等腰模型的典型综合题，三个小问逐层递进，前一问的结论是后一问的解题基础，解题时要注意结合已知条件推导角的等量关系，灵活运用全等、等腰的性质求解线段长度。
【难度系数】
0.65