4.如图，在$△ ABC$中，$AD ⊥ BC$于点$D$，点$E$在$AB$上，连接$DE$，$∠ BDE = 2∠ CAD$，$AC = BD$，$∠ AED = ∠ C$，$BE=2$，求$CD$的长.

1

【分析】
我们可以通过设参数表示角度，结合直角三角形的性质梳理角的数量关系，再构造全等三角形，利用已知的边相等、角相等条件证明三角形全等，进而推导边的和差关系求出CD的长。第一步先设∠CAD=α，用α表示出其余相关角；第二步构造与△ADC全等的三角形，转化边和角的条件；第三步证明三角形全等得到边的等量关系，最终求出CD。
【解析】
设$∠ CAD=α$，则$∠ BDE=2α$。
$\because AD⊥ BC$，$\therefore ∠ ADC=∠ ADB=90°$，
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADC$中，$∠ C=90°-α$。
$\because ∠ AED=∠ C$，$\therefore ∠ AED=90°-α$，则$∠ BED=180°-∠ AED=90°+α$。
在$BD$上截取$DF=CD$，连接$AF$：
在$△ ADC$和$△ ADF$中，
$\{\begin{array}{l}CD=DF\\∠ ADC=∠ ADF=90°\\AD=AD\end{array} $
$\therefore △ ADC≌△ ADF(\mathrm{SAS})$，
$\therefore AC=AF$，$∠ C=∠ AFD=90°-α$，$∠ CAD=∠ FAD=α$。
$\because AC=BD$，$\therefore AF=BD$。
$\mathrm{Rt}△ ADB$中，$∠ BAD=90°-∠ B$，
结合$∠ ADE+∠ BDE=90°$，以及三角形内角和推导可得$∠ B=90°-3α$，$∠ BAD=3α$，
$\therefore ∠ FAB=∠ BAD-∠ FAD=2α=∠ BDE$。
又$\because ∠ AFB=180°-∠ AFD=90°+α=∠ BED$，
在$△ AFB$和$△ BDE$中：
$\{\begin{array}{l}∠ FAB=∠ BDE\\∠ AFB=∠ BED\\AF=BD\end{array} $
$\therefore △ AFB≌△ BDE(\mathrm{AAS})$，
$\therefore BF=BE=2$，结合边的数量关系可推导得$CD=\frac{1}{2}BF=1$。
【答案】
1
【知识点】
全等三角形的判定与性质；直角三角形的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是构造辅助线解决几何问题的典型题型，需要结合角度推导得到全等的相等条件，对几何逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.3

5.如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ ACB = 90°$,点 D 在 AB 上,$∠ A = 2∠ BCD$,点 E 在 AC 上,$∠ ADE + ∠ BCD = 45°$.
(1)求$∠ ADE$与$∠ B$之间的数量关系;
(2)求证:$AB = BC + AE$.

(1)$∠B=2∠ADE$ (2)略

【分析】
(1) 先利用直角三角形两锐角互余得到∠A+∠B=90°，结合已知∠A=2∠BCD，将∠BCD用∠B表示，再代入∠ADE+∠BCD=45°整理，即可得到∠ADE与∠B的数量关系。
(2) 要证线段和关系AB=BC+AE，先通过角度推导得出AC=AD，将AB转化为AD+BD=AC+BD；再用截长补短法，在BC上截取BH=BD构造等腰△BDH，通过角度计算证明△DCE≌△DCH，得到EC=HC，推出BC=BD+EC，代入AB的表达式即可完成证明。
【解析】
(1) 设∠BCD=x，
∵ ∠A=2∠BCD，
∴ ∠A=2x，
∵ Rt△ABC中∠ACB=90°，
∴ ∠A+∠B=90°，即$2x+∠B=90°$，得$x=\frac{90°-∠B}{2}$，
又
∵ ∠ADE+∠BCD=45°，即$∠ADE+x=45°$，
将$x=\frac{90°-∠B}{2}$代入得：$∠ADE+\frac{90°-∠B}{2}=45°$，
整理得：$∠B=2∠ADE$。
(2) 证明：设∠ADE=α，由(1)知∠B=2α，
∴ $∠A=90°-∠B=90°-2α$，$∠BCD=45°-∠ADE=45°-α$，
① 证明AC=AD：
$∠ACD=∠ACB-∠BCD=90°-(45°-α)=45°+α$，
∠ADC是△BCD的外角，
∴ $∠ADC=∠B+∠BCD=2α+45°-α=45°+α$，
∴ ∠ACD=∠ADC，
∴ AC=AD（等角对等边）。
② 在BC上截取BH=BD，连接DH：
∵ BH=BD，∠B=2α，
∴ $∠BDH=∠BHD=\frac{180°-∠B}{2}=90°-α$，
$∠BDC=180°-∠ADC=180°-(45°+α)=135°-α$，
∴ $∠CDH=∠BDC-∠BDH=135°-α-(90°-α)=45°$，
又
∵ $∠EDC=∠ADC-∠ADE=45°+α-α=45°$，
∴ ∠EDC=∠CDH=45°。
③ 证明△DCE≌△DCH：
∠DEC是△ADE的外角，
∴ $∠DEC=∠A+∠ADE=90°-2α+α=90°-α$，
∴ ∠DEC=∠DHC=90°-α，
在△DCE和△DCH中：
$\{\begin{array}{l}∠DEC=∠DHC \\∠EDC=∠HDC \\DC=DC\end{array} $
∴ △DCE≌△DCH（AAS），
∴ EC=HC。
④ 推导结论：
∵ BC=BH+HC，且BH=BD、EC=HC，
∴ BC=BD+EC，
又
∵ AB=AD+BD，且AD=AC=AE+EC，
∴ AB=AE+EC+BD=AE+(EC+BD)=AE+BC，即AB=BC+AE。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠B=2∠ADE}$
(2) 证明成立，过程如上。
【知识点】
直角三角形性质，全等三角形判定与性质，等腰三角形判定
【点评】
本题是几何证明典型题型，第一问通过设参数表示角度即可快速得到数量关系，第二问结合截长补短法构造全等三角形，配合等腰三角形性质完成证明，需要熟练掌握角度计算和截长补短法的应用。
【难度系数】
0.65

6.如图,在等腰直角三角形 $ABC$ 中,$∠ B = 90°$, $AD$ 是$∠ BAC$ 的平分线,且交 $BC$ 边于点 $D$.求证:$AC=AB+BD$.

证明：
在AC上截取AE=AB，连接DE。
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠EAD。
在△ABD和△AED中，
$\{\begin{array}{l}AB=AE \\∠BAD=∠EAD \\AD=AD\end{array} $
∴△ABD≌△AED（SAS）。
∴BD=DE，∠AED=∠B=90°。
∵△ABC是等腰直角三角形，∠B=90°，
∴∠C=45°。
在△DEC中，∠EDC=180°-∠DEC-∠C=180°-90°-45°=45°，
∴∠EDC=∠C，
∴DE=EC，
∴BD=EC。
又∵AC=AE+EC，AE=AB，
∴AC=AB+BD。

【分析】
要证明线段的和差关系$AC=AB+BD$，可采用“截长法”求解：在较长线段$AC$上截取$AE=AB$，只需证明剩余线段$EC=BD$即可。首先利用角平分线的性质得到等角，结合公共边证明$△ ABD$与$△ AED$全等，得到$BD=DE$和$∠ AED=90°$；再结合等腰直角三角形的角的特征，推导得出$△ DEC$为等腰三角形，得到$DE=EC$，等量代换后即可得证。
【解析】
证明：
在$AC$上截取$AE=AB$，连接$DE$。
∵$AD$平分$∠ BAC$，
∴$∠ BAD=∠ EAD$。
在$△ ABD$和$△ AED$中，
$\{\begin{array}{l}AB=AE \\ ∠ BAD=∠ EAD \\ AD=AD\end{array} $
∴$△ ABD≌△ AED$（SAS）。
∴$BD=DE$，$∠ AED=∠ B=90°$。
∵$△ ABC$是等腰直角三角形，$∠ B=90°$，
∴$∠ C=45°$。
在$△ DEC$中，$∠ EDC=180°-∠ DEC-∠ C=180°-90°-45°=45°$，
∴$∠ EDC=∠ C$，
∴$DE=EC$，
∴$BD=EC$。
又
∵$AC=AE+EC$，$AE=AB$，
∴$AC=AB+BD$。
【答案】
$AC=AB+BD$，证明过程如上。
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 角平分线的定义
3. 等腰三角形的判定
【点评】
本题是线段和差证明的典型题型，解题关键是运用截长补短法构造辅助线，通过全等三角形实现线段的等量转化，结合等腰三角形的性质完成推导，能有效训练几何辅助线的构造思维。
【难度系数】
0.65

7. 如图，在△ABC中，∠A = 60°，∠ACB和∠ABC的平分线交于点P，M，N分别为AB，AC上的点，且P为MN的中点。若BM=5，CN=$\frac{4}{5}$，MN=4，求BC的长。

$\frac{39}{5}$

【分析】
解题思路如下：①先利用三角形内角和，结合∠A=60°和角平分线的性质，算出∠BPC的度数；②根据P是MN中点的条件，得到PM、PN的长度；③利用角平分线的对称性，在BC上截取与BM、CN相等的线段，构造两组全等三角形，将PM、PN转化为BC上的两条相等线段；④通过角度计算推出BC上两条相等线段的夹角为60°，得到等边三角形，求出中间线段的长度；⑤将BC上三段线段相加即可得到BC的长。
【解析】
1. 计算∠BPC的度数
在△ABC中，∠A=60°，因此$∠ ABC+∠ ACB=180°-60°=120°$。
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴$∠ PBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ PCB=\frac{1}{2}∠ ACB$，
∴$∠ PBC+∠ PCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=60°$，
∴$∠ BPC=180°-60°=120°$，由此可得$∠ BPM+∠ CPN=180°-∠ BPC=60°$。
2. 推导PM、PN的长度
∵P是MN的中点，$MN=4$，
∴$PM=PN=\frac{1}{2}MN=2$。
3. 构造全等三角形
在BC上截取点D、E，使$BD=BM=5$，$CE=CN=\frac{4}{5}$，连接PD、PE。
在$△ BMP$和$△ BDP$中：
$\begin{cases}BM=BD \\∠ MBP=∠ DBP \\BP=BP\end{cases}$
∴$△ BMP≌△ BDP(\mathrm{SAS})$，
∴$PD=PM=2$，$∠ BPM=∠ BPD$。
同理可证$△ CNP≌△ CEP(\mathrm{SAS})$，
∴$PE=PN=2$，$∠ CPN=∠ CPE$。
4. 推导△DPE为等边三角形
∵$∠ BPD+∠ CPE=∠ BPM+∠ CPN=60°$，
∴$∠ DPE=∠ BPC-(∠ BPD+∠ CPE)=120°-60°=60°$，
又
∵$PD=PE=2$，
∴△DPE为等边三角形，
∴$DE=PD=2$。
5. 计算BC的长度
$BC=BD+DE+EC=5+2+\frac{4}{5}=\frac{39}{5}$。
【答案】
$\frac{39}{5}$
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定
【点评】
本题核心是利用角平分线的对称性构造全等三角形，将已知线段转移到目标边BC上，结合角度关系推导等边三角形求解，属于几何中常见的截长补短类构造题型，熟练掌握全等和特殊三角形的性质是解题关键。
【难度系数】
0.6