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1.已知一次函数$y=-x+a$（$a$为常数）的图象如图所示，则函数$y=ax^2 - 2x + a$的大致图象是（
C
）答案
1.C
解析
【分析】
解题的突破口是先从已知一次函数的图象确定参数a的取值范围，再据此分析二次函数的图象特征，逐一匹配选项。第一步：回忆一次函数y=kx+b的图象性质，b为函数与y轴交点的纵坐标，先判断a的符号；再观察一次函数在x=1处的函数值大小，确定a的具体取值范围。第二步：结合a的范围，从开口方向、对称轴位置、与y轴交点、与x轴交点个数四个维度分析二次函数的图象特征，和选项对比即可得出答案。
【解析】
1. 确定a的取值范围：
由一次函数$y=-x+a$的图象可知，函数与y轴交于正半轴，因此$a＞0$；
当$x=1$时，一次函数的函数值$y=-1+a＞0$，解得$a＞1$。
2. 分析二次函数$y=ax^2-2x+a$的图象特征：
① 开口方向：二次项系数$a＞1＞0$，因此抛物线开口向上，可排除开口向下的选项；
② 对称轴：根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$b=-2$得对称轴为$x=\frac{2}{2a}=\frac{1}{a}$，结合$a＞1$可得$0＜\frac{1}{a}＜1$，即对称轴在y轴右侧、直线$x=1$左侧；
③ 与y轴交点：二次函数常数项为$a＞1$，因此抛物线与y轴交于正半轴，且交点纵坐标大于1；
④ 与x轴交点个数：判别式$\Delta=(-2)^2-4· a· a=4-4a^2=4(1-a^2)$，因为$a＞1$，所以$1-a^2＜0$，即$\Delta＜0$，抛物线与x轴无交点。
综上，符合所有特征的图象为选项C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的图象与性质；二次函数的图象与性质；二次函数判别式应用
【点评】
本题是函数图象与系数结合的典型题型，需要熟练掌握一次函数、二次函数的图象性质，通过已知函数图象推导参数范围，再进一步分析未知函数的图象特征，考查数形结合的思想方法。
【难度系数】
0.7
解题的突破口是先从已知一次函数的图象确定参数a的取值范围，再据此分析二次函数的图象特征，逐一匹配选项。第一步：回忆一次函数y=kx+b的图象性质，b为函数与y轴交点的纵坐标，先判断a的符号；再观察一次函数在x=1处的函数值大小，确定a的具体取值范围。第二步：结合a的范围，从开口方向、对称轴位置、与y轴交点、与x轴交点个数四个维度分析二次函数的图象特征，和选项对比即可得出答案。
【解析】
1. 确定a的取值范围：
由一次函数$y=-x+a$的图象可知，函数与y轴交于正半轴，因此$a＞0$；
当$x=1$时，一次函数的函数值$y=-1+a＞0$，解得$a＞1$。
2. 分析二次函数$y=ax^2-2x+a$的图象特征：
① 开口方向：二次项系数$a＞1＞0$，因此抛物线开口向上，可排除开口向下的选项；
② 对称轴：根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$b=-2$得对称轴为$x=\frac{2}{2a}=\frac{1}{a}$，结合$a＞1$可得$0＜\frac{1}{a}＜1$，即对称轴在y轴右侧、直线$x=1$左侧；
③ 与y轴交点：二次函数常数项为$a＞1$，因此抛物线与y轴交于正半轴，且交点纵坐标大于1；
④ 与x轴交点个数：判别式$\Delta=(-2)^2-4· a· a=4-4a^2=4(1-a^2)$，因为$a＞1$，所以$1-a^2＜0$，即$\Delta＜0$，抛物线与x轴无交点。
综上，符合所有特征的图象为选项C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的图象与性质；二次函数的图象与性质；二次函数判别式应用
【点评】
本题是函数图象与系数结合的典型题型，需要熟练掌握一次函数、二次函数的图象性质，通过已知函数图象推导参数范围，再进一步分析未知函数的图象特征，考查数形结合的思想方法。
【难度系数】
0.7
2.(合肥经开区期末)二次函数$y=ax^2+bx+1$的图象与一次函数$y=2ax+b$在同一平面直角坐标系中的图象可能是（
A
）答案
2.A
解析
【分析】
本题可先推导两个函数的内在关联，再结合函数图象性质逐一排除错误选项：①二次函数$y=ax^2+bx+1$的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，将其代入一次函数$y=2ax+b$可得$y=0$，说明一次函数一定经过二次函数对称轴与x轴的交点，这是核心判断依据；②二次函数常数项为1，因此它与y轴交于$(0,1)$；③根据二次函数开口方向判断$a$的正负，再结合$a$的正负判断一次函数的增减性，最后验证一次函数是否过对称轴与x轴的交点即可。
【解析】
步骤1：推导两函数的公共点：
二次函数$y=ax^2+bx+1$的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，将$x=-\frac{b}{2a}$代入一次函数$y=2ax+b$，得：
$y=2a·(-\frac{b}{2a})+b=-b+b=0$，
因此一次函数$y=2ax+b$一定经过二次函数对称轴与x轴的交点。
步骤2：逐一分析选项：
选项A：二次函数开口向上，故$a＞0$，则一次函数斜率$2a＞0$，一次函数呈上升趋势，与图象一致；二次函数对称轴在x轴正半轴，即$-\frac{b}{2a}＞0$，结合$a＞0$得$b＜0$，一次函数与y轴交点在负半轴，符合$b＜0$；且一次函数与x轴的交点恰好是二次函数对称轴与x轴的交点，符合推导结论，故A正确。
选项B：二次函数开口向下，故$a＜0$，一次函数斜率$2a＜0$，呈下降趋势，符合；但二次函数对称轴为$x=-1$，一次函数应过点$(-1,0)$，图象中一次函数与x轴交点在$x＜-1$的位置，不符合，排除B。
选项C：二次函数开口向上，$a＞0$，一次函数斜率为正，符合；但一次函数与x轴交点在二次函数对称轴左侧，不是对称轴与x轴的交点，不符合推导结论，排除C。
选项D：二次函数常数项为1，故与y轴交点为$(0,1)$，图象中二次函数与y轴交点在$(0,1)$下方，不符合；且一次函数与x轴交点不是二次函数对称轴与x轴的交点，排除D。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象与性质，一次函数图象与性质，函数图象与系数的关系
【点评】
本题解题的关键是找到一次函数和二次函数的内在关联，即一次函数过二次函数对称轴与x轴的交点，再结合开口方向、截距等性质逐一排查即可快速得出答案。
【难度系数】
0.65
本题可先推导两个函数的内在关联，再结合函数图象性质逐一排除错误选项：①二次函数$y=ax^2+bx+1$的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，将其代入一次函数$y=2ax+b$可得$y=0$，说明一次函数一定经过二次函数对称轴与x轴的交点，这是核心判断依据；②二次函数常数项为1，因此它与y轴交于$(0,1)$；③根据二次函数开口方向判断$a$的正负，再结合$a$的正负判断一次函数的增减性，最后验证一次函数是否过对称轴与x轴的交点即可。
【解析】
步骤1：推导两函数的公共点：
二次函数$y=ax^2+bx+1$的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，将$x=-\frac{b}{2a}$代入一次函数$y=2ax+b$，得：
$y=2a·(-\frac{b}{2a})+b=-b+b=0$，
因此一次函数$y=2ax+b$一定经过二次函数对称轴与x轴的交点。
步骤2：逐一分析选项：
选项A：二次函数开口向上，故$a＞0$，则一次函数斜率$2a＞0$，一次函数呈上升趋势，与图象一致；二次函数对称轴在x轴正半轴，即$-\frac{b}{2a}＞0$，结合$a＞0$得$b＜0$，一次函数与y轴交点在负半轴，符合$b＜0$；且一次函数与x轴的交点恰好是二次函数对称轴与x轴的交点，符合推导结论，故A正确。
选项B：二次函数开口向下，故$a＜0$，一次函数斜率$2a＜0$，呈下降趋势，符合；但二次函数对称轴为$x=-1$，一次函数应过点$(-1,0)$，图象中一次函数与x轴交点在$x＜-1$的位置，不符合，排除B。
选项C：二次函数开口向上，$a＞0$，一次函数斜率为正，符合；但一次函数与x轴交点在二次函数对称轴左侧，不是对称轴与x轴的交点，不符合推导结论，排除C。
选项D：二次函数常数项为1，故与y轴交点为$(0,1)$，图象中二次函数与y轴交点在$(0,1)$下方，不符合；且一次函数与x轴交点不是二次函数对称轴与x轴的交点，排除D。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象与性质，一次函数图象与性质，函数图象与系数的关系
【点评】
本题解题的关键是找到一次函数和二次函数的内在关联，即一次函数过二次函数对称轴与x轴的交点，再结合开口方向、截距等性质逐一排查即可快速得出答案。
【难度系数】
0.65
3.(淮南三模)已知二次函数$y=ax^2+c$与正比例函数$y=bx$的图象如图所示，则函数$y=ax^2+bx+c$的图象大致为（
）
）答案
3.B
解析
【分析】
解题时先从已知的两个函数图象入手，分别提取系数a、b、c的符号信息：首先根据二次函数y=ax²+c的开口方向判断a的正负，根据其与y轴的交点判断c的正负；再根据正比例函数y=bx经过的象限判断b的正负；最后结合a、b、c的符号，分析目标函数y=ax²+bx+c的开口方向、与y轴交点位置、对称轴位置，逐一排除错误选项即可得到答案。
【解析】
1. 提取系数符号：
① 二次函数$y=ax^2+c$的图象开口向下，可得$a＜0$；图象与y轴交于正半轴，可得$c＞0$。
② 正比例函数$y=bx$的图象经过第二、四象限，可得$b＜0$。
2. 分析函数$y=ax^2+bx+c$的图象特征：
① 开口方向：由$a＜0$，可知函数图象开口向下，排除开口向上的选项；
② 与y轴交点：由$c＞0$，可知函数图象与y轴交于正半轴，排除与y轴交于负半轴的选项；
③ 对称轴位置：根据二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a＜0$、$b＜0$，可得$x=-\frac{b}{2a}＜0$，即对称轴在y轴左侧，排除对称轴在y轴右侧的选项。
综上，仅B选项符合所有特征。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象与系数、正比例函数图象性质、二次函数对称轴公式
【点评】
本题考查函数图象与系数的对应关系，解题核心是熟练掌握不同函数的图象特征，通过已知图象推导系数符号，再反向判断未知函数图象，是函数模块的典型基础考题。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的两个函数图象入手，分别提取系数a、b、c的符号信息：首先根据二次函数y=ax²+c的开口方向判断a的正负，根据其与y轴的交点判断c的正负；再根据正比例函数y=bx经过的象限判断b的正负；最后结合a、b、c的符号，分析目标函数y=ax²+bx+c的开口方向、与y轴交点位置、对称轴位置，逐一排除错误选项即可得到答案。
【解析】
1. 提取系数符号：
① 二次函数$y=ax^2+c$的图象开口向下，可得$a＜0$；图象与y轴交于正半轴，可得$c＞0$。
② 正比例函数$y=bx$的图象经过第二、四象限，可得$b＜0$。
2. 分析函数$y=ax^2+bx+c$的图象特征：
① 开口方向：由$a＜0$，可知函数图象开口向下，排除开口向上的选项；
② 与y轴交点：由$c＞0$，可知函数图象与y轴交于正半轴，排除与y轴交于负半轴的选项；
③ 对称轴位置：根据二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a＜0$、$b＜0$，可得$x=-\frac{b}{2a}＜0$，即对称轴在y轴左侧，排除对称轴在y轴右侧的选项。
综上，仅B选项符合所有特征。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象与系数、正比例函数图象性质、二次函数对称轴公式
【点评】
本题考查函数图象与系数的对应关系，解题核心是熟练掌握不同函数的图象特征，通过已知图象推导系数符号，再反向判断未知函数图象，是函数模块的典型基础考题。
【难度系数】
0.7
4.(安徽中考)已知二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象如图所示，则下列各项正确的是（
A.$abc＜0$
B.$2a+b＜0$
C.$2b-c＜0$
D.$a-b+c＜0$
（第4题图）
（第6题图）
C
）A.$abc＜0$
B.$2a+b＜0$
C.$2b-c＜0$
D.$a-b+c＜0$
（第4题图）
（第6题图）
答案
4.C
解析
【分析】
解题时先根据抛物线的几何特征确定系数a、b、c的符号，再结合对称轴位置、特殊点的函数值逐一判断选项。第一步：由开口方向判断a的符号，由对称轴“左同右异”规律判断b的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号；第二步：结合两个零点的范围推导对称轴的取值范围，得到a和b的不等关系，再代入x=-1等特殊点得到对应函数值的正负，最后验证每个选项是否成立。
【解析】
1. 确定a、b、c的符号：
① 抛物线开口向上，因此$\boldsymbol{a＞0}$；
② 对称轴在y轴右侧，即$x=-\frac{b}{2a}＞0$，结合a＞0可得$\boldsymbol{b＜0}$；
③ 抛物线与y轴交于负半轴，因此$\boldsymbol{c＜0}$。
2. 逐个分析选项：
选项A：a＞0，b＜0，c＜0，因此$abc=\mathrm{正}×\mathrm{负}×\mathrm{负}=\mathrm{正}$，即$abc＞0$，A错误。
选项B：抛物线与x轴的两个交点分别在$(-1,0)$和$(2,0)$，因此对称轴范围为$\frac{-1+2}{2}＜-\frac{b}{2a}＜\frac{0+2}{2}$，即$0.5＜-\frac{b}{2a}＜1$，不等式两边同乘正数2a，得$a＜-b＜2a$，整理得$2a+b＞0$，B错误。
选项C：当$x=-1$时，代入函数得$y=a-b+c$，由图像可知x=-1时函数值大于0，即$a-b+c＞0$；结合B选项得到的$a＞-\frac{b}{2}$，代入不等式得$-\frac{b}{2}-b +c＞0$，整理得$c＞\frac{3b}{2}$。由于b＜0，因此$2b＜\frac{3b}{2}＜c$，即$2b＜c$，可得$2b-c＜0$，C正确。
选项D：由x=-1时函数值$y=a-b+c＞0$，可知D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象与系数关系、二次函数对称轴、特殊点函数值判断
【点评】
本题是二次函数的典型题型，核心考查抛物线图象特征和系数的对应关系，解题关键是熟练掌握“开口定a、对称轴定a与b的符号关系、y轴交点定c”的规律，结合特殊点的函数值即可推导不等关系。
【难度系数】
0.6
解题时先根据抛物线的几何特征确定系数a、b、c的符号，再结合对称轴位置、特殊点的函数值逐一判断选项。第一步：由开口方向判断a的符号，由对称轴“左同右异”规律判断b的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号；第二步：结合两个零点的范围推导对称轴的取值范围，得到a和b的不等关系，再代入x=-1等特殊点得到对应函数值的正负，最后验证每个选项是否成立。
【解析】
1. 确定a、b、c的符号：
① 抛物线开口向上，因此$\boldsymbol{a＞0}$；
② 对称轴在y轴右侧，即$x=-\frac{b}{2a}＞0$，结合a＞0可得$\boldsymbol{b＜0}$；
③ 抛物线与y轴交于负半轴，因此$\boldsymbol{c＜0}$。
2. 逐个分析选项：
选项A：a＞0，b＜0，c＜0，因此$abc=\mathrm{正}×\mathrm{负}×\mathrm{负}=\mathrm{正}$，即$abc＞0$，A错误。
选项B：抛物线与x轴的两个交点分别在$(-1,0)$和$(2,0)$，因此对称轴范围为$\frac{-1+2}{2}＜-\frac{b}{2a}＜\frac{0+2}{2}$，即$0.5＜-\frac{b}{2a}＜1$，不等式两边同乘正数2a，得$a＜-b＜2a$，整理得$2a+b＞0$，B错误。
选项C：当$x=-1$时，代入函数得$y=a-b+c$，由图像可知x=-1时函数值大于0，即$a-b+c＞0$；结合B选项得到的$a＞-\frac{b}{2}$，代入不等式得$-\frac{b}{2}-b +c＞0$，整理得$c＞\frac{3b}{2}$。由于b＜0，因此$2b＜\frac{3b}{2}＜c$，即$2b＜c$，可得$2b-c＜0$，C正确。
选项D：由x=-1时函数值$y=a-b+c＞0$，可知D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象与系数关系、二次函数对称轴、特殊点函数值判断
【点评】
本题是二次函数的典型题型，核心考查抛物线图象特征和系数的对应关系，解题关键是熟练掌握“开口定a、对称轴定a与b的符号关系、y轴交点定c”的规律，结合特殊点的函数值即可推导不等关系。
【难度系数】
0.6
5.(蚌埠淮上区三模)已知当二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值为正数时，$c＜x＜-1$，下列式子错误的是（
A.$b＜0$
B.$2a-b＞0$
C.$ac+b=-1$
D.$a=1$
D
）A.$b＜0$
B.$2a-b＞0$
C.$ac+b=-1$
D.$a=1$
答案
5.D
解析
【分析】
首先根据二次函数值为正的x的取值范围，可判断抛物线开口向下（a＜0），且对应的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两根为$x_1=c$、$x_2=-1$。接下来可通过二次函数交点式展开，与原式对比系数得到a、b、c的关系，再结合区间左端点c小于右端点-1的隐含条件，逐一验证四个选项，找出错误的式子即可。
【解析】
由题意得：二次函数$y=ax^2+bx+c$开口向下，即$a＜0$，且方程$ax^2+bx+c=0$的两个根为$x_1=c$，$x_2=-1$。
设二次函数交点式为$y=a(x-c)(x+1)$，展开得：
$y=ax^2 + a(1-c)x - ac$
与$y=ax^2+bx+c$对比系数，可得：
$\begin{cases}b=a(1-c) ①\\c=-ac ②\end{cases}$
处理②式：移项得$c(1+a)=0$，
∵函数值为正的范围是$c＜x＜-1$，区间左端点小于右端点，
∴$c＜-1≠0$，因此$1+a=0$，解得$a=-1$。
将$a=-1$代入①式得：$b=-1×(1-c)=c-1$，即$c=b+1$。
逐一判断选项：
A. 由$c＜-1$，得$b+1＜-1$，即$b＜-2＜0$，故A正确；
B. $2a-b=2×(-1)-b=-2-b$，
∵$b＜-2$，
∴$-b＞2$，则$-2-b＞-2+2=0$，即$2a-b＞0$，故B正确；
C. $ac+b=(-1)×c + b = b - c$，代入$c=b+1$得$b-(b+1)=-1$，故C正确；
D. 由推导得$a=-1≠1$，故D错误。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图象与性质；根与系数的关系；二次函数的交点式
【点评】
本题考查二次函数与一元二次方程、不等式的关联，解题核心是根据函数值的正负区间确定抛物线开口方向和方程的根，结合系数对应关系推导参数关系，需注意挖掘区间端点大小的隐含条件，避免忽略限制导致错误。
【难度系数】
0.6
首先根据二次函数值为正的x的取值范围，可判断抛物线开口向下（a＜0），且对应的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两根为$x_1=c$、$x_2=-1$。接下来可通过二次函数交点式展开，与原式对比系数得到a、b、c的关系，再结合区间左端点c小于右端点-1的隐含条件，逐一验证四个选项，找出错误的式子即可。
【解析】
由题意得：二次函数$y=ax^2+bx+c$开口向下，即$a＜0$，且方程$ax^2+bx+c=0$的两个根为$x_1=c$，$x_2=-1$。
设二次函数交点式为$y=a(x-c)(x+1)$，展开得：
$y=ax^2 + a(1-c)x - ac$
与$y=ax^2+bx+c$对比系数，可得：
$\begin{cases}b=a(1-c) ①\\c=-ac ②\end{cases}$
处理②式：移项得$c(1+a)=0$，
∵函数值为正的范围是$c＜x＜-1$，区间左端点小于右端点，
∴$c＜-1≠0$，因此$1+a=0$，解得$a=-1$。
将$a=-1$代入①式得：$b=-1×(1-c)=c-1$，即$c=b+1$。
逐一判断选项：
A. 由$c＜-1$，得$b+1＜-1$，即$b＜-2＜0$，故A正确；
B. $2a-b=2×(-1)-b=-2-b$，
∵$b＜-2$，
∴$-b＞2$，则$-2-b＞-2+2=0$，即$2a-b＞0$，故B正确；
C. $ac+b=(-1)×c + b = b - c$，代入$c=b+1$得$b-(b+1)=-1$，故C正确；
D. 由推导得$a=-1≠1$，故D错误。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图象与性质；根与系数的关系；二次函数的交点式
【点评】
本题考查二次函数与一元二次方程、不等式的关联，解题核心是根据函数值的正负区间确定抛物线开口方向和方程的根，结合系数对应关系推导参数关系，需注意挖掘区间端点大小的隐含条件，避免忽略限制导致错误。
【难度系数】
0.6
6.(淮南潘集区一模)若二次函数$y=ax^2$与一次函数$y=bx - c(ab≠0)$的图象如图所示，则下列结论正确的是（
A.$abc＞0$
B.$a+b+c＜0$
C.$a+c＜0$
D.$a＜b＜2a$
D
）A.$abc＞0$
B.$a+b+c＜0$
C.$a+c＜0$
D.$a＜b＜2a$
答案
6.D
解析
【分析】
解题时首先从函数图象提取系数的符号信息：先由二次函数开口方向确定a的符号，再由一次函数的走势和与y轴的交点确定b、c的符号；接着联立两个函数解析式得到一元二次方程，结合两个交点的横坐标范围，利用韦达定理推导a、b、c的数量关系，最后逐个验证选项即可。
【解析】
1. 确定系数符号：二次函数$y=ax^2$开口向上，因此$a＞0$；一次函数$y=bx-c$图象呈上升趋势，因此斜率$b＞0$；一次函数与y轴交于正半轴，当$x=0$时$y=-c＞0$，得$c＜0$。
2. 联立方程结合韦达定理分析：联立两个函数解析式得$ax^2=bx-c$，整理为$ax^2-bx+c=0$，由图象可知该方程的两个根为$x_1\in(-1,0)$，$x_2=2$。根据韦达定理，两根之和$x_1+x_2=\frac{b}{a}$，即$x_1+2=\frac{b}{a}$。
因为$x_1\in(-1,0)$，所以$1＜x_1+2＜2$，即$1＜\frac{b}{a}＜2$，又$a＞0$，不等式两边同乘$a$得$a＜b＜2a$，故D正确。
3. 验证其余选项：
A选项：$a＞0$，$b＞0$，$c＜0$，因此$abc＜0$，A错误；
B选项：当$x=-1$时，二次函数值$y=a$大于一次函数值$y=-b-c$，即$a＞-b-c$，移项得$a+b+c＞0$，B错误；
C选项：由韦达定理两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$，得$c=2ax_1$，因此$a+c=a(1+2x_1)$，因为$x_1\in(-1,0)$，$1+2x_1\in(-1,1)$，$a+c$可能为正也可能为负，C错误。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象性质，一次函数图象性质，韦达定理
【点评】
本题属于函数图象综合题，需要结合图象提取交点范围、系数符号等有效信息，通过方程与函数的关联推导系数关系，掌握函数图象和系数的对应规律是解题的核心。
【难度系数】
0.6
解题时首先从函数图象提取系数的符号信息：先由二次函数开口方向确定a的符号，再由一次函数的走势和与y轴的交点确定b、c的符号；接着联立两个函数解析式得到一元二次方程，结合两个交点的横坐标范围，利用韦达定理推导a、b、c的数量关系，最后逐个验证选项即可。
【解析】
1. 确定系数符号：二次函数$y=ax^2$开口向上，因此$a＞0$；一次函数$y=bx-c$图象呈上升趋势，因此斜率$b＞0$；一次函数与y轴交于正半轴，当$x=0$时$y=-c＞0$，得$c＜0$。
2. 联立方程结合韦达定理分析：联立两个函数解析式得$ax^2=bx-c$，整理为$ax^2-bx+c=0$，由图象可知该方程的两个根为$x_1\in(-1,0)$，$x_2=2$。根据韦达定理，两根之和$x_1+x_2=\frac{b}{a}$，即$x_1+2=\frac{b}{a}$。
因为$x_1\in(-1,0)$，所以$1＜x_1+2＜2$，即$1＜\frac{b}{a}＜2$，又$a＞0$，不等式两边同乘$a$得$a＜b＜2a$，故D正确。
3. 验证其余选项：
A选项：$a＞0$，$b＞0$，$c＜0$，因此$abc＜0$，A错误；
B选项：当$x=-1$时，二次函数值$y=a$大于一次函数值$y=-b-c$，即$a＞-b-c$，移项得$a+b+c＞0$，B错误；
C选项：由韦达定理两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$，得$c=2ax_1$，因此$a+c=a(1+2x_1)$，因为$x_1\in(-1,0)$，$1+2x_1\in(-1,1)$，$a+c$可能为正也可能为负，C错误。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象性质，一次函数图象性质，韦达定理
【点评】
本题属于函数图象综合题，需要结合图象提取交点范围、系数符号等有效信息，通过方程与函数的关联推导系数关系，掌握函数图象和系数的对应规律是解题的核心。
【难度系数】
0.6
7.如图,二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴交于$A(-2,0)$,$B$两点,对称轴是直线$x=2$,有下列结论:①$a＞0$;②点$B$的坐标为$(6,0)$;③$c=3b$;④对于任意实数$m$,都有$4a+2b≥am^2+bm$,其中正确结论的序号为 (
A.①②
B.②③
C.②③④
D.③④
(第7题图)
(第8题图)
C
)A.①②
B.②③
C.②③④
D.③④
(第7题图)
(第8题图)
答案
7.C
解析
【分析】
解题时先结合二次函数图象性质逐个分析结论：首先看开口方向判断a的符号，排除错误结论①；再利用二次函数的对称性，结合A点坐标和对称轴求出B点坐标，判断②是否正确；接着根据对称轴公式得到a和b的关系，代入A点坐标推导c与b的关系，判断③是否正确；最后根据二次函数的最值性质，分析x=2时函数取最大值的特点，推导判断④是否正确，最终选出正确选项。
【解析】
我们逐个分析4个结论：
1. 判断①：由图象可知抛物线开口向下，因此$a＜0$，故①错误；
2. 判断②：二次函数图象与x轴的交点A、B关于对称轴对称，已知$A(-2,0)$，对称轴为直线$x=2$，A到对称轴的距离为$2-(-2)=4$，因此B点横坐标为$2+4=6$，即$B(6,0)$，故②正确；
3. 判断③：由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=2$，可得$b=-4a$，即$a=-\frac{b}{4}$。将$A(-2,0)$代入$y=ax^2+bx+c$得：$4a-2b+c=0$，把$a=-\frac{b}{4}$代入该式：$4×(-\frac{b}{4})-2b+c=0$，化简得$c=3b$，故③正确；
4. 判断④：抛物线开口向下，对称轴为$x=2$，因此$x=2$时函数取得最大值，即对任意实数$m$，都有$a·2^2+b·2+c≥ am^2+bm+c$，两边同时减去$c$，可得$4a+2b≥ am^2+bm$，故④正确。
综上，②③④正确，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象与系数关系；二次函数的对称性；二次函数的最值
【点评】
本题综合考查二次函数的图象性质，需要结合图象信息，灵活运用对称轴公式、对称性、最值等知识点逐一推导判断，熟练掌握基础性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时先结合二次函数图象性质逐个分析结论：首先看开口方向判断a的符号，排除错误结论①；再利用二次函数的对称性，结合A点坐标和对称轴求出B点坐标，判断②是否正确；接着根据对称轴公式得到a和b的关系，代入A点坐标推导c与b的关系，判断③是否正确；最后根据二次函数的最值性质，分析x=2时函数取最大值的特点，推导判断④是否正确，最终选出正确选项。
【解析】
我们逐个分析4个结论：
1. 判断①：由图象可知抛物线开口向下，因此$a＜0$，故①错误；
2. 判断②：二次函数图象与x轴的交点A、B关于对称轴对称，已知$A(-2,0)$，对称轴为直线$x=2$，A到对称轴的距离为$2-(-2)=4$，因此B点横坐标为$2+4=6$，即$B(6,0)$，故②正确；
3. 判断③：由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=2$，可得$b=-4a$，即$a=-\frac{b}{4}$。将$A(-2,0)$代入$y=ax^2+bx+c$得：$4a-2b+c=0$，把$a=-\frac{b}{4}$代入该式：$4×(-\frac{b}{4})-2b+c=0$，化简得$c=3b$，故③正确；
4. 判断④：抛物线开口向下，对称轴为$x=2$，因此$x=2$时函数取得最大值，即对任意实数$m$，都有$a·2^2+b·2+c≥ am^2+bm+c$，两边同时减去$c$，可得$4a+2b≥ am^2+bm$，故④正确。
综上，②③④正确，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象与系数关系；二次函数的对称性；二次函数的最值
【点评】
本题综合考查二次函数的图象性质，需要结合图象信息，灵活运用对称轴公式、对称性、最值等知识点逐一推导判断，熟练掌握基础性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
8.已知二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的部分图象如图所示，图象经过点$(0,2)$，其对称轴为直线$x=-1$。有下列结论：①$3a+c＞0$；②若点$(-4,y_1),(3,y_2)$均在二次函数的图象上，则$y_1＞y_2$；③关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=-1$有两个相等的实数根；④满足$ax^2+bx+c＞2$的$x$的取值范围为$-2＜x＜0$，其中正确结论的个数为（
A.1
B.2
C.3
D.4
B
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
8.B
解析
【分析】
解决本题首先从已知条件入手：1. 由对称轴为直线$x=-1$，利用对称轴公式可得$b=2a$；2. 由图象过点$(0,2)$得$c=2$；3. 结合图象与x轴的交点$(-3,0)$，利用对称性可得另一个交点为$(1,0)$，代入解析式可求出$a$的值，明确抛物线开口向下、顶点坐标等特征，再逐一验证4个结论的正误，统计正确结论的个数即可。
【解析】
根据题意先推导二次函数的相关性质：
1. 对称轴为$x=-1$，由对称轴公式$-\frac{b}{2a}=-1$，得$b=2a$；
2. 图象过点$(0,2)$，代入得$c=2$；
3. 图象与x轴交于$(-3,0)$，由对称性得另一交点为$(1,0)$，代入解析式得$a+b+c=0$，将$b=2a、c=2$代入得$3a+2=0$，解得$a=-\frac{2}{3}＜0$，抛物线开口向下，函数解析式为$y=-\frac{2}{3}x^2-\frac{4}{3}x+2$。
逐一判断结论：
①$3a+c=3×(-\frac{2}{3})+2=0$，故$3a+c＞0$错误；
②点$(-4,y_1)$到对称轴$x=-1$的距离为$|-4-(-1)|=3$，点$(3,y_2)$到对称轴的距离为$|3-(-1)|=4$，抛物线开口向下，距离对称轴越远函数值越小，故$y_1＞y_2$，该结论正确；
③将$x=-1$代入解析式得顶点纵坐标为$y=-\frac{2}{3}×(-1)^2-\frac{4}{3}×(-1)+2=\frac{8}{3}$，抛物线最大值为$\frac{8}{3}＞-1$，故直线$y=-1$与抛物线有2个交点，即方程$ax^2+bx+c=-1$有两个不相等的实数根，该结论错误；
④解$ax^2+bx+c=2$，代入解析式化简得$x(x+2)=0$，解得$x=0$或$x=-2$，抛物线开口向下，故$ax^2+bx+c＞2$的$x$取值范围为$-2＜x＜0$，该结论正确。
综上，正确的结论为②④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图象与性质，二次函数与方程，二次函数与不等式
【点评】
本题需要结合二次函数的对称性、增减性等性质推导函数特征，再逐一验证结论，解题的关键是熟练掌握二次函数图象和系数的对应关系，灵活运用对称性简化计算。
【难度系数】
0.6
解决本题首先从已知条件入手：1. 由对称轴为直线$x=-1$，利用对称轴公式可得$b=2a$；2. 由图象过点$(0,2)$得$c=2$；3. 结合图象与x轴的交点$(-3,0)$，利用对称性可得另一个交点为$(1,0)$，代入解析式可求出$a$的值，明确抛物线开口向下、顶点坐标等特征，再逐一验证4个结论的正误，统计正确结论的个数即可。
【解析】
根据题意先推导二次函数的相关性质：
1. 对称轴为$x=-1$，由对称轴公式$-\frac{b}{2a}=-1$，得$b=2a$；
2. 图象过点$(0,2)$，代入得$c=2$；
3. 图象与x轴交于$(-3,0)$，由对称性得另一交点为$(1,0)$，代入解析式得$a+b+c=0$，将$b=2a、c=2$代入得$3a+2=0$，解得$a=-\frac{2}{3}＜0$，抛物线开口向下，函数解析式为$y=-\frac{2}{3}x^2-\frac{4}{3}x+2$。
逐一判断结论：
①$3a+c=3×(-\frac{2}{3})+2=0$，故$3a+c＞0$错误；
②点$(-4,y_1)$到对称轴$x=-1$的距离为$|-4-(-1)|=3$，点$(3,y_2)$到对称轴的距离为$|3-(-1)|=4$，抛物线开口向下，距离对称轴越远函数值越小，故$y_1＞y_2$，该结论正确；
③将$x=-1$代入解析式得顶点纵坐标为$y=-\frac{2}{3}×(-1)^2-\frac{4}{3}×(-1)+2=\frac{8}{3}$，抛物线最大值为$\frac{8}{3}＞-1$，故直线$y=-1$与抛物线有2个交点，即方程$ax^2+bx+c=-1$有两个不相等的实数根，该结论错误；
④解$ax^2+bx+c=2$，代入解析式化简得$x(x+2)=0$，解得$x=0$或$x=-2$，抛物线开口向下，故$ax^2+bx+c＞2$的$x$取值范围为$-2＜x＜0$，该结论正确。
综上，正确的结论为②④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图象与性质，二次函数与方程，二次函数与不等式
【点评】
本题需要结合二次函数的对称性、增减性等性质推导函数特征，再逐一验证结论，解题的关键是熟练掌握二次函数图象和系数的对应关系，灵活运用对称性简化计算。
【难度系数】
0.6
