6. 新考向综合探究（期中·天津双菱中学）
【问题背景】
(1)如图①,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°,E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=60°,探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法是,延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先证△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF可得出结论,他的结论应是.
【探索延伸】
(2)如图②,若在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分别是BC,CD上的点,且$∠EAF=\frac{1}{2}∠BAD,$上述结论是否仍然成立,并说明理由.
【实际应用】
(3)如图③,在某次军事演习中,舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处,舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处,并且两舰艇到指挥中心的距离相等,接到行动指令后,舰艇甲向正东方向以46海里/时的速度前进,同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以70海里/时的速度前进,2小时后,指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E,F处,且两舰艇之间的夹角为70°,请直接写出此时两舰艇之间的距离.

6.(1) EF=BE+FD
分析:
∵ ∠B=∠ADC=90°,
∴ ∠B=∠ADG=90°.
∵ AB=AD,BE=DG,
∴ △ABE≌△ADG(SAS),
∴ ∠BAE=∠DAG,AE=AG.
∵ ∠BAD=120°,∠EAF=60°,
∴ ∠BAE+∠DAF=60°,
∴ ∠DAG+∠DAF=60°,即∠GAF=60°,
∴ ∠EAF=∠GAF.
又
∵ AF=AF,
∴ △AEF≌△AGF(SAS),
∴ EF=GF.
∵ GF=DG+FD,
∴ EF=DG+FD=BE+FD.
(2)结论EF=BE+FD仍然成立,理由如下:
如图①,延长FD到点G,使DG=BE,连接AG.
∵ ∠B+∠ADC=180°,∠ADG+∠ADC=180°,
∴ ∠B=∠ADG.
∵ AB=AD,BE=DG,
∴ △ABE≌△ADG(SAS),
∴ AE=AG,∠BAE=∠DAG.
∵ ∠BAD=2∠EAF,
∴ ∠FAG=∠FAD+∠DAG=∠FAD+∠BAE=∠BAD−∠EAF=2∠EAF−∠EAF=∠EAF.
又
∵ AF=AF,
∴ △AEF≌△AGF(SAS),
∴ EF=GF.
∵ GF=DG+FD=BE+FD,
∴ EF=BE+FD.
(3)此时两舰艇之间的距离为232海里.
分析:如图②,连接EF,延长AE,BF相交于点C.
由题意可知,∠EOF=70°,OA=OB①,
∵ ∠AOB=30°+90°+(90°−70°)=140°,
∴ ∠AOB=2∠EOF②.
又
∵ ∠A+∠OBC=(90°−30°)+(70°+50°)=180°③,
∴ 由①②③可知,符合(2)中的条件,
∴ 结论EF=AE+BF成立,
∴ EF=AE+BF=(46+70)×2=232(海里).
则此时两舰艇之间的距离为232海里.