登录
1. 在日历上,我们可以发现其中某些数满足一定的规律,如图
是2025年6月份的日历,用如图所示的“Z”字型框任意框住月历中的5个数(如图中的阴影部分),如图,将“Z”字型框位置B,D上的数相乘,位置A,E上的数相乘,再相减,例如:在图中,9×23−8×24=15,6×20−5×21=15,不难发现,结果都等于15.如图,设日历中所示图形中位置C的数字为x.
(1)图2框中其余四个数用含x的代数式可以表示为
(2)用含x的式子表示发现的规律:
(3)利用整式的运算对(2)中的规律加以证明;
(4)如图2,在某月历中,“Z”字型框框住部分(阴影部分)5个位置上的数,若最小的数和最大的数的乘积为161,则中间C位置上的数为
是2025年6月份的日历,用如图所示的“Z”字型框任意框住月历中的5个数(如图中的阴影部分),如图,将“Z”字型框位置B,D上的数相乘,位置A,E上的数相乘,再相减,例如:在图中,9×23−8×24=15,6×20−5×21=15,不难发现,结果都等于15.如图,设日历中所示图形中位置C的数字为x.(1)图2框中其余四个数用含x的代数式可以表示为
x-8
,x-7
,x+7
,x+8
;(2)用含x的式子表示发现的规律:
(x-7)(x+7)-(x-8)(x+8)=15
;(3)利用整式的运算对(2)中的规律加以证明;
(4)如图2,在某月历中,“Z”字型框框住部分(阴影部分)5个位置上的数,若最小的数和最大的数的乘积为161,则中间C位置上的数为
15
.答案
1.(1)$x-8$ $x-7$ $x+7$ $x+8$
(2)$(x-7)(x+7)-(x-8)(x+8)=15$
(3)证明:$(x-7)(x+7)-(x-8)(x+8)=(x^2-49)-(x^2-64)=x^2-49-x^2+64=15.$
(4)15
(2)$(x-7)(x+7)-(x-8)(x+8)=15$
(3)证明:$(x-7)(x+7)-(x-8)(x+8)=(x^2-49)-(x^2-64)=x^2-49-x^2+64=15.$
(4)15
解析
【分析】首先明确月历中数字的基本规律：同一行相邻数相差1，同一列上下相邻数相差7。（1）问以C位置的数x为基准，结合“Z”字型的位置关系，依次推导其余四个数的表达式；（2）问根据题目给出的“B、D相乘减去A、E相乘结果为15”的规则，代入（1）的代数式即可得到规律表达式；（3）问利用整式的乘法（平方差公式）展开化简，验证结果恒为15即可；（4）问先判断最小数为A、最大数为E，根据二者乘积为161列方程求解，结合月历数字的实际意义取正根即可。
【解析】
(1) 月历中同一列上下相邻数差7，因此B在C上方，数值为$x-7$；A在B左侧，同一行相邻数差1，故$A=x-7-1=x-8$；D在C下方，数值为$x+7$；E在D右侧，同一行相邻数差1，故$E=x+7+1=x+8$。
(2) 根据题意“B、D的乘积减去A、E的乘积等于15”，代入各数的代数式可得规律：$(x-7)(x+7)-(x-8)(x+8)=15$。
(3) 证明：
$\begin{aligned}\mathrm{左边}&=(x-7)(x+7)-(x-8)(x+8)\\&=(x^2-49)-(x^2-64)\\&=x^2-49-x^2+64\\&=15=\mathrm{右边}\end{aligned}$
因此规律成立。
(4) 观察可知5个数中最小数为$A=x-8$，最大数为$E=x+8$，根据题意列方程：
$(x-8)(x+8)=161$
展开得$x^2-64=161$，整理得$x^2=225$。
因为月历中的数为正整数，所以$x=15$（负根舍去），即C位置的数为15。
【答案】
(1) $x-8$，$x-7$，$x+7$，$x+8$
(2) $(x-7)(x+7)-(x-8)(x+8)=15$
(3) 证明见上述解析过程
(4) $15$
【知识点】
月历数字规律，整式乘法，一元二次方程应用
【点评】本题结合生活中的月历场景考查知识的灵活应用能力，解题核心是找准月历中数字的排列规律，再结合整式运算、解方程的方法逐步求解，难度适中，贴近生活实际。
【难度系数】
0.7
【解析】
(1) 月历中同一列上下相邻数差7，因此B在C上方，数值为$x-7$；A在B左侧，同一行相邻数差1，故$A=x-7-1=x-8$；D在C下方，数值为$x+7$；E在D右侧，同一行相邻数差1，故$E=x+7+1=x+8$。
(2) 根据题意“B、D的乘积减去A、E的乘积等于15”，代入各数的代数式可得规律：$(x-7)(x+7)-(x-8)(x+8)=15$。
(3) 证明：
$\begin{aligned}\mathrm{左边}&=(x-7)(x+7)-(x-8)(x+8)\\&=(x^2-49)-(x^2-64)\\&=x^2-49-x^2+64\\&=15=\mathrm{右边}\end{aligned}$
因此规律成立。
(4) 观察可知5个数中最小数为$A=x-8$，最大数为$E=x+8$，根据题意列方程：
$(x-8)(x+8)=161$
展开得$x^2-64=161$，整理得$x^2=225$。
因为月历中的数为正整数，所以$x=15$（负根舍去），即C位置的数为15。
【答案】
(1) $x-8$，$x-7$，$x+7$，$x+8$
(2) $(x-7)(x+7)-(x-8)(x+8)=15$
(3) 证明见上述解析过程
(4) $15$
【知识点】
月历数字规律，整式乘法，一元二次方程应用
【点评】本题结合生活中的月历场景考查知识的灵活应用能力，解题核心是找准月历中数字的排列规律，再结合整式运算、解方程的方法逐步求解，难度适中，贴近生活实际。
【难度系数】
0.7
2. 在月历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，我们利用 $ n × n $ 的方框在日历上框出一些数，选取方框中位于顶点处的4个数，设这4个数分别为 $ a,b,c,d(a ＜ b ＜ c ＜ d) $，计算“$ bc - ad $”的值，探索其运算结果的规律. 当 $ n=2 $ 时，如图1是2025年1月份的日历，小明在其中画出两个 $ 2 × 2 $ 的方框，通过计算 $ 7 × 13 - 6 × 14 =7,17 × 23 -16 ×24 =7 $，发现 $ bc - ad =7 $.
(1)请你再选择一个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律；
(2)请你利用整式的运算对小明发现的规律加以证明；
(3)请利用小明的方法，借助2025年2月份的日历，继续进行如下探究.
①当 $ n=3 $ 时，如图2，在日历中用 $ 3 ×3 $ 的方框框住一些数，选取方框中位于顶点处的4个数，探究“$ bc - ad $”的值的规律(直接写出结论，不用证明)；
②当 $ n=4 $ 时，如图3，若在日历中用 $ 4 ×4 $ 的方框框住一些数，选取方框中位于顶点处的4个数，直接写出“$ bc - ad $”的值的规律；
(4)通过以上的探究过程，请你写出“$ bc - ad $”运算结果的一般规律(用含 $ n $ 的式子表示).
(1)请你再选择一个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律；
(2)请你利用整式的运算对小明发现的规律加以证明；
(3)请利用小明的方法，借助2025年2月份的日历，继续进行如下探究.
①当 $ n=3 $ 时，如图2，在日历中用 $ 3 ×3 $ 的方框框住一些数，选取方框中位于顶点处的4个数，探究“$ bc - ad $”的值的规律(直接写出结论，不用证明)；
②当 $ n=4 $ 时，如图3，若在日历中用 $ 4 ×4 $ 的方框框住一些数，选取方框中位于顶点处的4个数，直接写出“$ bc - ad $”的值的规律；
(4)通过以上的探究过程，请你写出“$ bc - ad $”运算结果的一般规律(用含 $ n $ 的式子表示).
答案
2.(1)解:取 3,4,10,11，
$4×10-3×11=7$,符合规律.
(2)证明:设 $a=x$,则 $b=x+1,c=x+7,d=x+8$.
$\therefore bc-ad=(x+1)(x+7)-x(x+8)=x^2+8x+7-x^2-8x=7.$
故 $bc-ad=7$ 成立.
(3)解:①$bc-ad=7×4=28$.
②$bc-ad=7×9=63$.
(4)解:一般规律为 $bc-ad=7(n-1)^2$.
$4×10-3×11=7$,符合规律.
(2)证明:设 $a=x$,则 $b=x+1,c=x+7,d=x+8$.
$\therefore bc-ad=(x+1)(x+7)-x(x+8)=x^2+8x+7-x^2-8x=7.$
故 $bc-ad=7$ 成立.
(3)解:①$bc-ad=7×4=28$.
②$bc-ad=7×9=63$.
(4)解:一般规律为 $bc-ad=7(n-1)^2$.
解析
【分析】
本题围绕月历的数字规律展开，月历核心特征为同一行相邻数相差1，同一列相邻数相差7。解题思路如下：(1)任选一个2×2的方框，计算顶点处四个数的bc-ad的值验证规律即可；(2)用字母表示2×2方框的四个顶点数，通过整式的运算化简即可证明规律；(3)n=3、n=4时，类比2×2方框的数字关系，写出四个顶点的代数式，计算即可得到对应结果；(4)观察n=2、3、4的运算结果，归纳得到含n的一般规律。
【解析】
(1) 示例：选取2×2方框中的数3,4,10,11，计算得：
$4×10 - 3×11=40-33=7$，符合该规律（答案不唯一，任选合理的2×2方框均可）。
(2) 证明：设$a=x$，根据月历数字规律，同一行相邻数差1，得$b=x+1$；同一列相邻数差7，得$c=x+7$，$d=x+8$。
代入计算：
$\begin{aligned}bc-ad&=(x+1)(x+7)-x(x+8)\\&=x^2+8x+7-x^2-8x\\&=7\end{aligned}$
故$bc-ad=7$成立。
(3) ①当n=3时，设$a=x$，则$b=x+2$，$c=x+14$，$d=x+16$，代入计算得$bc-ad=(x+2)(x+14)-x(x+16)=28$，即$bc-ad=28$。
②当n=4时，设$a=x$，则$b=x+3$，$c=x+21$，$d=x+24$，代入计算得$bc-ad=(x+3)(x+21)-x(x+24)=63$，即$bc-ad=63$。
(4) 观察结果：n=2时，$bc-ad=7=7×(2-1)^2$；n=3时，$bc-ad=28=7×(3-1)^2$；n=4时，$bc-ad=63=7×(4-1)^2$，因此一般规律为$bc-ad=7(n-1)^2$。
【答案】
(1) 示例：取3,4,10,11，$4×10-3×11=7$，符合规律（答案不唯一）；
(2) 证明如上，$bc-ad=7$成立；
(3) ①$bc-ad=28$；②$bc-ad=63$；
(4) $bc-ad=7(n-1)^2$
【知识点】
日历数字规律，整式运算，规律探究
【点评】
本题以生活中常见的月历为载体，考查数字规律探索和整式运算的应用，需要从特殊案例出发归纳推导一般规律，能够有效锻炼逻辑推理能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.7
本题围绕月历的数字规律展开，月历核心特征为同一行相邻数相差1，同一列相邻数相差7。解题思路如下：(1)任选一个2×2的方框，计算顶点处四个数的bc-ad的值验证规律即可；(2)用字母表示2×2方框的四个顶点数，通过整式的运算化简即可证明规律；(3)n=3、n=4时，类比2×2方框的数字关系，写出四个顶点的代数式，计算即可得到对应结果；(4)观察n=2、3、4的运算结果，归纳得到含n的一般规律。
【解析】
(1) 示例：选取2×2方框中的数3,4,10,11，计算得：
$4×10 - 3×11=40-33=7$，符合该规律（答案不唯一，任选合理的2×2方框均可）。
(2) 证明：设$a=x$，根据月历数字规律，同一行相邻数差1，得$b=x+1$；同一列相邻数差7，得$c=x+7$，$d=x+8$。
代入计算：
$\begin{aligned}bc-ad&=(x+1)(x+7)-x(x+8)\\&=x^2+8x+7-x^2-8x\\&=7\end{aligned}$
故$bc-ad=7$成立。
(3) ①当n=3时，设$a=x$，则$b=x+2$，$c=x+14$，$d=x+16$，代入计算得$bc-ad=(x+2)(x+14)-x(x+16)=28$，即$bc-ad=28$。
②当n=4时，设$a=x$，则$b=x+3$，$c=x+21$，$d=x+24$，代入计算得$bc-ad=(x+3)(x+21)-x(x+24)=63$，即$bc-ad=63$。
(4) 观察结果：n=2时，$bc-ad=7=7×(2-1)^2$；n=3时，$bc-ad=28=7×(3-1)^2$；n=4时，$bc-ad=63=7×(4-1)^2$，因此一般规律为$bc-ad=7(n-1)^2$。
【答案】
(1) 示例：取3,4,10,11，$4×10-3×11=7$，符合规律（答案不唯一）；
(2) 证明如上，$bc-ad=7$成立；
(3) ①$bc-ad=28$；②$bc-ad=63$；
(4) $bc-ad=7(n-1)^2$
【知识点】
日历数字规律，整式运算，规律探究
【点评】
本题以生活中常见的月历为载体，考查数字规律探索和整式运算的应用，需要从特殊案例出发归纳推导一般规律，能够有效锻炼逻辑推理能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.7
