1. 观察下列各式：
①$60×60=60^2 - 0^2 = 3\ 600$；
②$59×61=(60 - 1)×(60 + 1)$
$=60^2 - 1^2$
$=3\ 599$；
③$58×62=(60 - 2)×(60 + 2)$
$=60^2 - 2^2$
$=3\ 596$；
④$57×63=(60 - 3)×(60 + 3)$
$=60^2 - 3^2$
$=3\ 591$；
……
【探究】(1)上面的式子表示的规律是$(60 + m)(60 - m)=$；观察各等式的左边发现两个因数之和都是120，而两数乘积却随着两个因数的接近程度在变化，当两个因数时，乘积最大；
【应用】(2)根据上面的规律思考，若$a + b = 400$，则$ab$的最大值是；
【拓展】(3)将一根长40 cm的铁丝折成一个长方形，设它的一边长为$x$ cm，面积为$S$，写出$S$与$x$之间的等量关系.当$x$为何值时，$S$取得最大值？

1.(1)$60^2 - m^2$ 相等
(2)40 000
(3)解:周长为40 cm,一条边的长为$x$ cm,则另一条边的长为$(20-x)$cm,由长方形的面积公式可得 $S=x(20-x)$.
长方形的长与宽的和为 $x+(20-x)=20$,
当 $x=20-x$,即 $x=10$ 时,$x(20-x)$最大,即面积$S$最大.
答:$S$与$x$之间的等量关系为 $S=x(20-x)$,当 $x=10$ 时,$S$有最大值.

【分析】
首先解决第(1)问，观察给出的式子，均符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构，其中$a=60$，$b=m$，可直接得出结果；再对比几个等式的乘积，发现两个因数差越小，乘积越大，当差为0即两数相等时乘积最大。
第(2)问是规律的直接应用，已知$a+b=400$为定值，根据前面总结的规律，当两数相等时乘积最大，代入计算即可。
第(3)问属于几何场景的应用，先根据长方形周长求出邻边的长度和，再用含$x$的式子表示邻边长度，结合面积公式写出$S$的表达式，最后套用和定积最大的规律求出$S$最大时$x$的值即可。
【解析】
(1) 根据平方差公式可得：$(60+m)(60-m)=60^2 - m^2$；
观察给出的4个式子，两个因数的差分别为0、2、4、6，对应的乘积依次减小，因此当两个因数相等时，乘积最大。
(2) 已知$a+b=400$为定值，根据规律，当$a=b=200$时，$ab$取得最大值，最大值为$200×200=40000$。
(3) 已知长方形周长为40cm，一边长为$x$cm，则其邻边长为$\frac{40}{2}-x=(20-x)$cm，
根据长方形面积公式得：$S=x(20-x)$。
由于$x+(20-x)=20$为定值，根据前面总结的规律，当$x=20-x$，即$x=10$时，$x(20-x)$的乘积最大，也就是面积$S$最大。
【答案】
(1)$60^2 - m^2$；相等
(2)$40000$
(3)$S$与$x$的等量关系为$S=x(20-x)$，当$x=10$时，$S$取得最大值。
【知识点】
平方差公式；和定积最大规律；长方形面积计算
【点评】
本题以规律探究为切入点，先从具体运算中总结和为定值的两数乘积的变化规律，再将规律应用到代数计算和几何最值问题中，侧重考查学生的规律归纳能力和知识迁移应用能力，贴合基础运算与应用的考查要求。
【难度系数】
0.7

2.有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决,请阅读下面的解题过程.
例:若$x=6\,789×6\,786,y=6\,788×6\,787$,试比较$x,y$的大小.
解:设$6\,788=a$,
则$x=(a+1)(a-2)=a^2 -a -2$,
$y=a(a-1)=a^2 -a$.
$\because x-y=(a^2 -a -2)-(a^2 -a)=-2＜0$,
$\therefore x＜y$.
请利用上面的方法解答下列问题:
(1)若$x=3\,987×3\,991,y=3\,988×3\,986$,试比较$x,y$的大小;
(2)已知$n$为自然数,$P=(n+1)(n+4)$,$Q=(n+2)(n+3)$,试比较$P,Q$的大小;
(3)若$x=2\,024×2\,028 -2\,025×2\,027,y=2\,025×2\,029 -2\,026×2\,028$,试比较$x,y$的大小.

2.解:(1)设 3 988=$a$,
则 $x=(a-1)(a+3)=a^2+2a-3$,
$y=a(a-2)=a^2-2a$.
$\because x-y=(a^2+2a-3)-(a^2-2a)=-3+4a＞0$,
$\therefore x＞y$.
(2)$\because P=(n+1)(n+4),Q=(n+2)(n+3)$,
$\therefore P-Q=(n+1)(n+4)-(n+2)(n+3)$
$=n^2+5n+4-n^2-5n-6=-2＜0$.
$\therefore P＜Q$.
(3)设 2 024=$a$,则 2 028=$a+4$,2 025=$a+1$,2 027=$a+3$,
2 029=$a+5$,2 026=$a+2$,
$\therefore x=a(a+4)-(a+1)(a+3)$
$=a^2+4a-a^2-3a-a-3$
$=-3$,
$y=(a+1)(a+5)-(a+2)(a+4)$
$=a^2+5a+a+5-a^2-4a-2a-8$
$=-3$.
$\therefore x=y$.

【分析】
这道题是整式比较大小的应用类问题，解题核心是利用换元法（字母代替数）简化计算，无需直接算出乘积结果：①遇到大数字相乘比较大小的问题，先观察乘数的大小关系，选取中间值作为基准用字母表示，把所有乘数转化为含该字母的整式；②利用多项式乘多项式法则展开要比较的两个式子，再通过作差法判断差的正负：差＞0则被减数更大，差＜0则减数更大，差=0则两式相等；③对于直接含字母的整式比较大小，可直接作差展开化简判断正负即可。
【解析】
(1) 设$3988=a$，
则$x=(a-1)(a+3)=a^2+2a-3$，
$y=a(a-2)=a^2-2a$，
$\because x-y=(a^2+2a-3)-(a^2-2a)=4a-3$，
代入$a=3988$可得$4a-3＞0$，
$\therefore x＞y$。
(2) 已知$P=(n+1)(n+4)$，$Q=(n+2)(n+3)$，
作差得$P-Q=(n+1)(n+4)-(n+2)(n+3)$
$=(n^2+5n+4)-(n^2+5n+6)$
$=-2＜0$，
$\therefore P＜Q$。
(3) 设$2024=a$，则$2028=a+4$，$2025=a+1$，$2027=a+3$，$2029=a+5$，$2026=a+2$，
计算得$x=a(a+4)-(a+1)(a+3)$
$=a^2+4a-(a^2+4a+3)$
$=-3$，
$y=(a+1)(a+5)-(a+2)(a+4)$
$=a^2+6a+5-(a^2+6a+8)$
$=-3$，
$\therefore x=y$。
【答案】
(1) $x＞y$；(2) $P＜Q$；(3) $x=y$
【知识点】
整式乘法运算，作差法比较大小，换元法简化计算
【点评】
本题通过给出示例的方式引导学生掌握大数乘积比较大小的简便方法，将繁琐的数值运算转化为简单的整式运算，既能降低计算量，也能减少计算出错概率，解题的关键是选对换元的基准数，熟练掌握多项式乘法的运算规则。
【难度系数】
0.7