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5. 已知 $ a - b = 1 $，$ a^2 + b^2 = 13 $，求下列式子的值：
(1) $ ab $；
(2) $ a^2 - b^2 - 8 $。
(1) $ ab $；
(2) $ a^2 - b^2 - 8 $。
答案
(1)$\because a-b=1$,
$\therefore (a-b)^2=a^2+b^2-2ab=1$.
$\because a^2+b^2=13,\therefore 13-2ab=1$.
$\therefore ab=6$.
(2)$\because a^2+b^2=13,ab=6$,
$\therefore (a+b)^2=a^2+b^2+2ab=13+12=25$.
$\therefore a+b=5$或$a+b=-5$.
$\because a^2-b^2-8=(a+b)(a-b)-8=a+b-8$,
$\therefore$ 当$a+b=5$时,$a+b-8=5-8=-3$;
当$a+b=-5$时,$a+b-8=-5-8=-13$.
因此,$a^2-b^2-8$的值为$-3$或$-13$.
$\therefore (a-b)^2=a^2+b^2-2ab=1$.
$\because a^2+b^2=13,\therefore 13-2ab=1$.
$\therefore ab=6$.
(2)$\because a^2+b^2=13,ab=6$,
$\therefore (a+b)^2=a^2+b^2+2ab=13+12=25$.
$\therefore a+b=5$或$a+b=-5$.
$\because a^2-b^2-8=(a+b)(a-b)-8=a+b-8$,
$\therefore$ 当$a+b=5$时,$a+b-8=5-8=-3$;
当$a+b=-5$时,$a+b-8=-5-8=-13$.
因此,$a^2-b^2-8$的值为$-3$或$-13$.
解析
【分析】
(1) 求ab的值时，观察已知条件给出了a-b与a²+b²的值，可结合完全平方差公式的展开式$(a-b)^2=a^2+b^2-2ab$，将已知数值代入公式，通过移项变形即可求出ab。
(2) 求$a^2-b^2-8$的值时，先利用平方差公式将$a^2-b^2$分解为$(a+b)(a-b)$，已知$a-b=1$，因此只需先求出$a+b$的值；结合(1)中算出的ab和已知的$a^2+b^2$，利用完全平方和公式$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$可计算出$(a+b)^2$的值，开平方得到$a+b$的两个可能取值，最后分两种情况代入计算即可，注意不要遗漏$a+b$为负的情况。
【解析】
(1) $\because a-b=1$，
$\therefore (a-b)^2=a^2+b^2-2ab=1$，
又$\because a^2+b^2=13$，
$\therefore 13-2ab=1$，
解得$ab=6$。
(2) $\because a^2+b^2=13$，$ab=6$，
$\therefore (a+b)^2=a^2+b^2+2ab=13+2×6=25$，
$\therefore a+b=5$或$a+b=-5$，
$\because a^2-b^2-8=(a+b)(a-b)-8$，且$a-b=1$，
$\therefore a^2-b^2-8=a+b-8$，
当$a+b=5$时，原式$=5-8=-3$；
当$a+b=-5$时，原式$=-5-8=-13$。
【答案】
(1) $\boxed{6}$；(2) $\boxed{-3}$或$\boxed{-13}$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，代数式求值
【点评】
本题重点考查乘法公式的灵活变形应用，解题的核心是熟练掌握完全平方公式的两种形式以及平方差公式的结构特征，计算时要注意正数开平方有正负两个结果，避免漏解。
【难度系数】
0.7
(1) 求ab的值时，观察已知条件给出了a-b与a²+b²的值，可结合完全平方差公式的展开式$(a-b)^2=a^2+b^2-2ab$，将已知数值代入公式，通过移项变形即可求出ab。
(2) 求$a^2-b^2-8$的值时，先利用平方差公式将$a^2-b^2$分解为$(a+b)(a-b)$，已知$a-b=1$，因此只需先求出$a+b$的值；结合(1)中算出的ab和已知的$a^2+b^2$，利用完全平方和公式$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$可计算出$(a+b)^2$的值，开平方得到$a+b$的两个可能取值，最后分两种情况代入计算即可，注意不要遗漏$a+b$为负的情况。
【解析】
(1) $\because a-b=1$，
$\therefore (a-b)^2=a^2+b^2-2ab=1$，
又$\because a^2+b^2=13$，
$\therefore 13-2ab=1$，
解得$ab=6$。
(2) $\because a^2+b^2=13$，$ab=6$，
$\therefore (a+b)^2=a^2+b^2+2ab=13+2×6=25$，
$\therefore a+b=5$或$a+b=-5$，
$\because a^2-b^2-8=(a+b)(a-b)-8$，且$a-b=1$，
$\therefore a^2-b^2-8=a+b-8$，
当$a+b=5$时，原式$=5-8=-3$；
当$a+b=-5$时，原式$=-5-8=-13$。
【答案】
(1) $\boxed{6}$；(2) $\boxed{-3}$或$\boxed{-13}$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，代数式求值
【点评】
本题重点考查乘法公式的灵活变形应用，解题的核心是熟练掌握完全平方公式的两种形式以及平方差公式的结构特征，计算时要注意正数开平方有正负两个结果，避免漏解。
【难度系数】
0.7
6. 解方程：
$(x+1)^2 + 3(x+2)(x-2) = (4x+1)(x-1).$
$(x+1)^2 + 3(x+2)(x-2) = (4x+1)(x-1).$
答案
$x^2+2x+1+3(x^2-4)=4x^2-3x-1$,
$x^2+2x+1+3x^2-12=4x^2-3x-1$,
$x^2+2x+3x^2-4x^2+3x=-1-1+12$,
$5x=10$,
$x=2$.
$x^2+2x+1+3x^2-12=4x^2-3x-1$,
$x^2+2x+3x^2-4x^2+3x=-1-1+12$,
$5x=10$,
$x=2$.
解析
【分析】
解题时先观察方程中各式的结构：$(x+1)^2$符合完全平方公式的形式，$(x+2)(x-2)$符合平方差公式的形式，$(4x+1)(x-1)$为多项式乘多项式。我们先利用对应乘法公式将各式展开，再依次通过去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解，注意展开时不要漏乘，移项要记得变号。
【解析】
利用乘法公式及多项式乘多项式法则展开方程两侧：
$x^2+2x+1+3(x^2-4)=4x^2-3x-1$
去括号得：
$x^2+2x+1+3x^2-12=4x^2-3x-1$
移项，将含x的项移到等号左侧，常数项移到等号右侧：
$x^2+2x+3x^2-4x^2+3x=-1-1+12$
合并同类项得：
$5x=10$
系数化为1，两侧同时除以5：
$x=2$
【答案】
$x=2$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，解一元一次方程
【点评】
本题结合乘法公式与解方程的知识点进行考查，解题核心是准确运用乘法公式化简整式，计算时要注意去括号、移项的符号规则，避免粗心导致计算错误。
【难度系数】
0.7
解题时先观察方程中各式的结构：$(x+1)^2$符合完全平方公式的形式，$(x+2)(x-2)$符合平方差公式的形式，$(4x+1)(x-1)$为多项式乘多项式。我们先利用对应乘法公式将各式展开，再依次通过去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解，注意展开时不要漏乘，移项要记得变号。
【解析】
利用乘法公式及多项式乘多项式法则展开方程两侧：
$x^2+2x+1+3(x^2-4)=4x^2-3x-1$
去括号得：
$x^2+2x+1+3x^2-12=4x^2-3x-1$
移项，将含x的项移到等号左侧，常数项移到等号右侧：
$x^2+2x+3x^2-4x^2+3x=-1-1+12$
合并同类项得：
$5x=10$
系数化为1，两侧同时除以5：
$x=2$
【答案】
$x=2$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，解一元一次方程
【点评】
本题结合乘法公式与解方程的知识点进行考查，解题核心是准确运用乘法公式化简整式，计算时要注意去括号、移项的符号规则，避免粗心导致计算错误。
【难度系数】
0.7
7.解不等式:
$(1-3x)^2+(2x-1)^2＞13(x-1)(x+1).$
$(1-3x)^2+(2x-1)^2＞13(x-1)(x+1).$
答案
$1-6x+9x^2+4x^2-4x+1＞13x^2-13$,
$-10x＞-15$,
$x＜\dfrac{3}{2}$.
$-10x＞-15$,
$x＜\dfrac{3}{2}$.
解析
【分析】
解题时首先观察不等式左右两边的结构，左边是两个完全平方的和，右边是含平方差形式的整式乘法，因此第一步可先利用完全平方公式、平方差公式分别展开左右两边的括号，再通过移项、合并同类项将不等式化为一元一次不等式的标准形式，最后系数化为1即可求解，注意系数为负数时，不等号方向要改变。
【解析】
第一步，利用乘法公式展开不等式两边：
左边展开：$(1-3x)^2+(2x-1)^2=1-6x+9x^2+4x^2-4x+1$
右边展开：$13(x-1)(x+1)=13(x^2-1)=13x^2-13$
原不等式化为：
$1-6x+9x^2+4x^2-4x+1＞13x^2-13$
第二步，合并同类项：
左边合并同类项得：$13x^2-10x+2＞13x^2-13$
第三步，移项、化简：
两边同时减去$13x^2$，得：$-10x+2＞-13$
移项得：$-10x＞-13-2$，即$-10x＞-15$
第四步，系数化为1：
两边同时除以$-10$，不等号方向改变，得：$x＜\dfrac{3}{2}$
【答案】
$x＜\dfrac{3}{2}$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，解一元一次不等式
【点评】
本题重点考查乘法公式的灵活运用以及解一元一次不等式的步骤，解题的核心是准确运用乘法公式展开整式，尤其要注意系数化为1时，若不等号两边同时除以负数，不等号方向必须改变，这是本题的易错点。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察不等式左右两边的结构，左边是两个完全平方的和，右边是含平方差形式的整式乘法，因此第一步可先利用完全平方公式、平方差公式分别展开左右两边的括号，再通过移项、合并同类项将不等式化为一元一次不等式的标准形式，最后系数化为1即可求解，注意系数为负数时，不等号方向要改变。
【解析】
第一步，利用乘法公式展开不等式两边：
左边展开：$(1-3x)^2+(2x-1)^2=1-6x+9x^2+4x^2-4x+1$
右边展开：$13(x-1)(x+1)=13(x^2-1)=13x^2-13$
原不等式化为：
$1-6x+9x^2+4x^2-4x+1＞13x^2-13$
第二步，合并同类项：
左边合并同类项得：$13x^2-10x+2＞13x^2-13$
第三步，移项、化简：
两边同时减去$13x^2$，得：$-10x+2＞-13$
移项得：$-10x＞-13-2$，即$-10x＞-15$
第四步，系数化为1：
两边同时除以$-10$，不等号方向改变，得：$x＜\dfrac{3}{2}$
【答案】
$x＜\dfrac{3}{2}$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，解一元一次不等式
【点评】
本题重点考查乘法公式的灵活运用以及解一元一次不等式的步骤，解题的核心是准确运用乘法公式展开整式，尤其要注意系数化为1时，若不等号两边同时除以负数，不等号方向必须改变，这是本题的易错点。
【难度系数】
0.8
8. 数学活动课上，老师准备了若干张如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张、B种纸片一张、C种纸片两张拼成如图2所示的大正方形.
(1)观察图2,请你写出式子$(a+b)^2,a^2+b^2,ab$之间的等量关系:
(2)若要拼出一个面积为$(a+2b)(a+b)$的长方形,则需要A种卡片1张,B种卡片2张,C种卡片
(3)根据(1)中的等量关系,解答如下问题:
①已知$a+b=5,a^2+b^2=11$,求$ab$的值;
②已知$(x-2022)^2+(x-2024)^2=20$,求$x-2023$的值.
(1)观察图2,请你写出式子$(a+b)^2,a^2+b^2,ab$之间的等量关系:
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
;(2)若要拼出一个面积为$(a+2b)(a+b)$的长方形,则需要A种卡片1张,B种卡片2张,C种卡片
$3$
张;(3)根据(1)中的等量关系,解答如下问题:
①已知$a+b=5,a^2+b^2=11$,求$ab$的值;
②已知$(x-2022)^2+(x-2024)^2=20$,求$x-2023$的值.
答案
(1)$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
(2)$3$
(3)①$\because a+b=5$,
$\therefore (a+b)^2=25$,即$a^2+b^2+2ab=25$.
又$a^2+b^2=11$,
$\therefore ab=7$.
②设$x-2023=a$,
则$x-2022=a+1,x-2024=a-1$.
$\because (x-2022)^2+(x-2024)^2=20$,
$\therefore (a+1)^2+(a-1)^2=20$.
整理,得$2a^2=18$.
解得$a=\pm3$.
$\therefore x-2023=\pm3$.
(2)$3$
(3)①$\because a+b=5$,
$\therefore (a+b)^2=25$,即$a^2+b^2+2ab=25$.
又$a^2+b^2=11$,
$\therefore ab=7$.
②设$x-2023=a$,
则$x-2022=a+1,x-2024=a-1$.
$\because (x-2022)^2+(x-2024)^2=20$,
$\therefore (a+1)^2+(a-1)^2=20$.
整理,得$2a^2=18$.
解得$a=\pm3$.
$\therefore x-2023=\pm3$.
解析
【分析】
(1) 用两种方法计算图2大正方形的面积即可推导等量关系：一是直接用边长$(a+b)$计算得面积为$(a+b)^2$；二是将大正方形拆分为1个边长为$a$的正方形、1个边长为$b$的正方形和2个长$a$宽$b$的长方形，面积和为$a^2+b^2+2ab$，二者相等即可得到三者的关系。
(2) 先根据多项式乘法法则展开$(a+2b)(a+b)$，展开式中$a^2$的系数对应A卡片张数，$b^2$的系数对应B卡片张数，$ab$的系数对应C卡片张数，即可求出C卡片的数量。
(3) ①直接将已知条件代入(1)得到的完全平方公式变形，即可计算$ab$的值；②观察到$(x-2022)$和$(x-2024)$都与$(x-2023)$相差1，用换元法设$x-2023=a$，将原式转化为关于$a$的方程，利用完全平方公式化简求解即可。
【解析】
(1) 图2中大正方形的边长为$a+b$，面积为$(a+b)^2$；同时大正方形由1张A、1张B、2张C拼接而成，面积和为$a^2+b^2+2ab$，因此三者的等量关系为$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。
(2) 展开$(a+2b)(a+b)$得：$a^2+ab+2ab+2b^2=a^2+3ab+2b^2$，其中$ab$项的系数为3，因此需要C种卡片3张。
(3) ①已知$a+b=5$，将等式两边同时平方得$(a+b)^2=25$，结合(1)的结论得$a^2+b^2+2ab=25$，将$a^2+b^2=11$代入得：$11+2ab=25$，解得$ab=7$。
②设$x-2023=a$，则$x-2022=a+1$，$x-2024=a-1$，代入已知等式得：$(a+1)^2+(a-1)^2=20$，展开合并同类项得$2a^2+2=20$，化简得$a^2=9$，解得$a=\pm3$，即$x-2023=\pm3$。
【答案】
(1)$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
(2)$3$
(3)①$ab=7$；②$x-2023=\pm3$
【知识点】
完全平方公式，多项式乘多项式，换元法
【点评】
本题结合几何图形考查乘法公式的推导及灵活应用，通过面积法可直观理解完全平方公式的几何意义，熟练掌握公式变形、合理使用换元法可有效简化计算，是整式乘法章节的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
(1) 用两种方法计算图2大正方形的面积即可推导等量关系：一是直接用边长$(a+b)$计算得面积为$(a+b)^2$；二是将大正方形拆分为1个边长为$a$的正方形、1个边长为$b$的正方形和2个长$a$宽$b$的长方形，面积和为$a^2+b^2+2ab$，二者相等即可得到三者的关系。
(2) 先根据多项式乘法法则展开$(a+2b)(a+b)$，展开式中$a^2$的系数对应A卡片张数，$b^2$的系数对应B卡片张数，$ab$的系数对应C卡片张数，即可求出C卡片的数量。
(3) ①直接将已知条件代入(1)得到的完全平方公式变形，即可计算$ab$的值；②观察到$(x-2022)$和$(x-2024)$都与$(x-2023)$相差1，用换元法设$x-2023=a$，将原式转化为关于$a$的方程，利用完全平方公式化简求解即可。
【解析】
(1) 图2中大正方形的边长为$a+b$，面积为$(a+b)^2$；同时大正方形由1张A、1张B、2张C拼接而成，面积和为$a^2+b^2+2ab$，因此三者的等量关系为$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。
(2) 展开$(a+2b)(a+b)$得：$a^2+ab+2ab+2b^2=a^2+3ab+2b^2$，其中$ab$项的系数为3，因此需要C种卡片3张。
(3) ①已知$a+b=5$，将等式两边同时平方得$(a+b)^2=25$，结合(1)的结论得$a^2+b^2+2ab=25$，将$a^2+b^2=11$代入得：$11+2ab=25$，解得$ab=7$。
②设$x-2023=a$，则$x-2022=a+1$，$x-2024=a-1$，代入已知等式得：$(a+1)^2+(a-1)^2=20$，展开合并同类项得$2a^2+2=20$，化简得$a^2=9$，解得$a=\pm3$，即$x-2023=\pm3$。
【答案】
(1)$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
(2)$3$
(3)①$ab=7$；②$x-2023=\pm3$
【知识点】
完全平方公式，多项式乘多项式，换元法
【点评】
本题结合几何图形考查乘法公式的推导及灵活应用，通过面积法可直观理解完全平方公式的几何意义，熟练掌握公式变形、合理使用换元法可有效简化计算，是整式乘法章节的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
