1. (2024·淄博中考)如图，在综合与实践活动课上，小强先测得教学楼在水平地面上的影长BC为35 m.又在点C处测得该楼的顶端A的仰角是29°.则用科学计算器计算教学楼高度的按键顺序正确的是 ()

A 解析:由题意得,在Rt△ABC中,BC=35,∠C=29°,
∴AB=BC·tan 29°=35·tan 29°,
∴计算器的按键顺序为,故选A.

【分析】
解决本题首先要明确△ABC为直角三角形，∠B是直角，已知影长BC是∠C的邻边，长度为35m，C处的仰角∠C=29°，待求的教学楼高度AB是∠C的对边。根据锐角三角函数中正切的定义，正切值为对边与邻边的比值，可推导得到AB的计算式，再匹配计算器按键顺序即可得到正确选项。
【解析】
解：由题意得，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=35m，∠C=29°。
根据正切的定义可知：$\tan C=\frac{AB}{BC}$，
变形得$AB=BC·\tan C=35×\tan29°$，
因此计算器的按键顺序为依次按下3、5、×、tan、2、9、=，对应选项A。
【答案】
A，按键顺序为
【知识点】
正切的定义，解直角三角形的应用，计算器使用
【点评】
本题结合实际测量场景考查解直角三角形的基础应用，核心是根据已知边角的位置关系选择合适的锐角三角函数列式，再对应计算器按键规则判断即可，属于基础题型。
【难度系数】
0.8

2. 计算下列各式的值.(结果精确到0.001)
(1) $\sin 43°27'18''+\cos 25°26'$；
(2) $\cos 28°37'27''+\tan 56°23'$.

(1)原式≈0.687 8+0.903 1≈1.591。
(2)原式≈0.877 8+1.504 2=2.382。

【分析】
这两道题均为非特殊锐角的三角函数加减运算，无法直接使用特殊角三角函数值计算，需借助科学计算器求解。解题思路如下：①先确认计算器处于角度运算模式，避免因模式错误导致结果偏差；②将各角度的度分秒形式正确输入计算器（或先把度分秒换算为十进制度数再输入），分别求出每个三角函数的近似值，计算过程中多保留1~2位小数，减少后续求和的误差；③将所得的函数值相加，最后按照要求把结果精确到0.001即可。
【解析】
(1) 先分别计算两个三角函数值：
用计算器可得$\sin 43°27'18''\approx0.6878$，$\cos 25°26'\approx0.9031$，
则原式$\approx0.6878+0.9031=1.5909\approx1.591$。
(2) 同理计算两个三角函数值：
用计算器可得$\cos 28°37'27''\approx0.8778$，$\tan 56°23'\approx1.5042$，
则原式$\approx0.8778+1.5042=2.382$。
【答案】
(1) $\boxed{1.591}$；(2) $\boxed{2.382}$
【知识点】
1. 一般锐角三角函数值计算
2. 度分秒换算
3. 近似数的精确度
【点评】
本题属于基础操作类题目，主要考查使用计算器计算非特殊锐角三角函数值的能力，解题时需注意提前确认计算器的角度模式，计算过程中多保留1~2位小数能有效降低运算误差，最终结果要严格按要求保留小数位数。
【难度系数】
0.8

3. ★★ (威海中考)为了方便行人推车过某天桥,市政府在10 m高的天桥一侧修建了40 m长的斜道(),我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数,具体按键顺序是 ()

A.2ndF $\sin^{-1}$ 0 · 2 5 =
B.$\sin^{-1}$ 2ndF 0 · 2 5 =
C.sin 0 · 2 5 =
D.2ndF $\cos^{-1}$ 0 · 2 5 =

A 解析:$\sin A=\frac{BC}{AC}=\frac{10}{40}=0.25$,用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时,按键顺序为,故选A.

【分析】
首先观察图形，斜道、天桥高度与水平地面构成直角三角形，斜道的倾斜角为直角三角形的一个锐角。第一步先根据锐角三角函数的定义，计算这个角的正弦值：对边是天桥高度10m，斜边是斜道长40m，因此$\sin A=\frac{10}{40}=0.25$。第二步回忆用科学计算器由三角函数值求锐角度数的操作：需要先按第二功能键2ndF，调用对应的反三角函数$\sin^{-1}$，再输入三角函数值0.25，最后按等号得到结果，对应选项即可选出答案。
【解析】
由题意得$△ ABC$为直角三角形，$∠ B=90°$，$AC=40\mathrm{m}$，$BC=10\mathrm{m}$，斜道的倾斜角为$∠ A$。
根据正弦的定义：$\sin A = \frac{\mathrm{∠A的对边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{BC}{AC} = \frac{10}{40}=0.25$。
使用科学计算器求$∠ A$的度数时，按键顺序为：先按2ndF键启用第二功能，再按$\sin^{-1}$键调用反正弦函数，依次输入0、.、2、5，最后按=键得到角度，该操作与选项A一致。
【答案】
A
【知识点】
正弦的定义，科学计算器使用，解直角三角形应用
【点评】
本题结合生活实际场景命题，既考查了锐角三角函数的基础计算，又考查了科学计算器的操作，侧重对基础知识的掌握和应用能力的考查。
【难度系数】
0.7

4. 用计算器求下列各式中的锐角α.(结果精确到1′)
(1)$\sin α=0.876\ 5$；(2)$\sin α=0.124\ 6$；
(3)$\cos α=0.876\ 5$；(4)$\cos α=0.124\ 6$；
(5)$\tan α=0.863\ 2$；(6)$\tan α=1.257$.

(1)$α≈61°13'$. (2)$α≈7°9'$. (3)$α≈28°47'$.
(4)$α≈82°51'$. (5)$α≈40°48'$. (6)$α≈51°30'$.

【分析】
本题是已知锐角的三角函数值求对应锐角，解题思路如下：1. 需使用计算器的反三角函数功能（反正弦arcsin、反余弦arccos、反正切arctan，通常先按“shift”或“2ndf”键切换功能）；2. 输入对应三角函数值，得到以度为单位的角的大小；3. 将结果的小数部分乘以60转换为分，四舍五入精确到1′即可。
【解析】
(1) 已知$\sin α=0.8765$，按计算器“shift+sin”键后输入0.8765，得$α≈61.217°$，小数部分$0.217×60≈13′$，即$α≈61°13′$；
(2) 已知$\sin α=0.1246$，按计算器“shift+sin”键后输入0.1246，得$α≈7.152°$，小数部分$0.152×60≈9′$，即$α≈7°9′$；
(3) 已知$\cos α=0.8765$，按计算器“shift+cos”键后输入0.8765，得$α≈28.783°$，小数部分$0.783×60≈47′$，即$α≈28°47′$；
(4) 已知$\cos α=0.1246$，按计算器“shift+cos”键后输入0.1246，得$α≈82.848°$，小数部分$0.848×60≈51′$，即$α≈82°51′$；
(5) 已知$\tan α=0.8632$，按计算器“shift+tan”键后输入0.8632，得$α≈40.805°$，小数部分$0.805×60≈48′$，即$α≈40°48′$；
(6) 已知$\tan α=1.257$，按计算器“shift+tan”键后输入1.257，得$α≈51.496°$，小数部分$0.496×60≈30′$，即$α≈51°30′$。
【答案】
(1)$α≈61°13'$；(2)$α≈7°9'$；(3)$α≈28°47'$；(4)$α≈82°51'$；(5)$α≈40°48'$；(6)$α≈51°30'$
【知识点】
已知三角函数值求锐角；度分换算；计算器三角函数操作
【点评】
本题属于基础操作类题目，重点考查计算器反三角函数功能的使用和度分单位转换，计算时要注意度和分的进率为60，精确到1′时需正确四舍五入。
【难度系数】
0.8

5. 三角函数$\sin 30°, \cos 16°, \cos 43°$之间的大小关系是（）

A.$\sin 30° ＜ \cos 16° ＜ \cos 43°$
B.$\cos 43° ＜ \sin 30° ＜ \cos 16°$
C.$\sin 30° ＜ \cos 43° ＜ \cos 16°$
D.$\cos 16° ＜ \sin 30° ＜ \cos 43°$

C 解析:
∵$\sin 30°=\cos 60°$,$16°＜43°＜60°$,在$0°~90°$之间,余弦值随着角度的增大而减小,
∴$\cos 16°＞\cos 43°＞\sin 30°$.故选C.

【分析】要比较这三个三角函数值的大小，首先需统一三角函数名称，我们可利用互余两角的三角函数关系$\sinα=\cos(90°-α)$，将$\sin30°$转化为余弦形式；再结合锐角余弦函数的性质：在$0°∼90°$范围内，余弦值随角度的增大而减小，只需比较三个余弦值对应的角度大小，即可推导得出函数值的大小关系。
【解析】
首先根据互余两角的三角函数关系可得：$\sin30°=\cos(90°-30°)=\cos60°$，
三个余弦对应的角度满足：$16°＜43°＜60°$，
因为在$0°∼90°$之间，余弦值随着角度的增大而减小，
所以$\cos16°＞\cos43°＞\cos60°$，即$\cos16°＞\cos43°＞\sin30°$，整理得$\sin30°＜\cos43°＜\cos16°$。
故选C。
【答案】C
【知识点】互余两角三角函数关系；锐角余弦的增减性；特殊角的三角函数值
【点评】本题属于锐角三角函数大小比较的基础题型，解题关键是先统一三角函数名称，再结合三角函数的增减性判断，熟练掌握三角函数的基本性质即可快速求解。
【难度系数】0.7

6. (1)通过计算(可用计算器),比较下列各对数的大小,并提出你的猜想:
①$\sin 30°$ $2\sin 15°\cos 15°$;
②$\sin 36°$ $2\sin 18°\cos 18°$;
③$\sin 45°$ $2\sin 22.5°\cos 22.5°$;
④$\sin 60°$ $2\sin 30°\cos 30°$;
⑤$\sin 80°$ $2\sin 40°\cos 40°$.
猜想:已知$0°＜α＜45°$,则$\sin 2α=$ .
(2)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=1$,$∠ BAC=2α$,请根据给出的图形,利用面积法验证(1)中你的猜想.

(1)①= ②= ③= ④= ⑤= 猜想:$2\sin α\cos α$
(2)由题图①可得$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·\sin 2α·AC$,
由题图②可得$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×2AB·\sin α·AC·\cos α$,
∴$\sin 2α=2\sin α\cos α$.

【分析】
(1) 解题思路：先分别计算每组式子左右两边的锐角三角函数值，比较大小后归纳共性规律，最终得到关于$\sin2α$的通用结论。计算时可直接使用特殊角三角函数值或计算器求值，对比后就能归纳出猜想。
(2) 解题思路：利用“同一三角形的面积是定值”的原理，用两种方法分别计算$△ ABC$的面积：第一种用两边及夹角的正弦面积公式计算，第二种结合等腰三角形三线合一的性质，用底乘高的公式计算，令两个面积表达式相等，化简后即可验证猜想。
【解析】
(1) 计算各组数值对比：
① $\sin30°=0.5$，$2\sin15°\cos15°\approx2×0.2588×0.9659=0.5$，因此$\sin30°=2\sin15°\cos15°$；
② $\sin36°\approx0.5878$，$2\sin18°\cos18°\approx2×0.3090×0.9511\approx0.5878$，因此$\sin36°=2\sin18°\cos18°$；
同理计算③④⑤组，均可得到左右两边数值相等的结论。
由此猜想：已知$0°＜α＜45°$，则$\sin2α=2\sinα\cosα$。
(2) 验证过程：
结合题图①，$△ ABC$中$AB=AC=1$，$∠ BAC=2α$，根据两边及夹角的面积公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AB· AC·\sin2α=\frac{1}{2}×1×1×\sin2α=\frac{1}{2}\sin2α$。
结合题图②，过$A$作$AD⊥ BC$于$D$，因为$AB=AC$，等腰三角形三线合一，所以$AD$平分$∠ BAC$，即$∠ BAD=α$，且$BC=2BD$。在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$AD=AB·\cosα=\cosα$，$BD=AB·\sinα=\sinα$，因此$BC=2\sinα$。根据底乘高的面积公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· BC· AD=\frac{1}{2}×2\sinα×\cosα=\sinα\cosα$。
因为两个式子均为$△ ABC$的面积，因此$\frac{1}{2}\sin2α=\sinα\cosα$，两边同乘2得$\sin2α=2\sinα\cosα$，猜想得证。
【答案】
(1)①$=$；②$=$；③$=$；④$=$；⑤$=$；猜想：$\boldsymbol{2\sinα\cosα}$
(2) 验证成立，$\sin2α=2\sinα\cosα$。
【知识点】
锐角三角函数计算，三角形面积计算，等腰三角形性质
【点评】
本题先通过特殊值计算归纳猜想，再用几何面积法验证结论，体现了从特殊到一般的数学思想，既考察了三角函数的基础应用，也考察了面积法的灵活使用。
【难度系数】
0.7